Funciones de Variable Real - Análisis Matemático I UNER

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Funciones de Variable Real - Análisis Matemático I UNER
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Unidad I Lic. Mar´ Josefina Tito ıa Licenciatura en Sistemas Facultad de Ciencias de la Administraci´n o UNER Marzo de 2013 1. 1.1. Funciones Definici´n de funci´n o o Definici´n: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Una funci´n de A o o en B es una correspondencia que a cada elemento de A le asigna un unico ´ elemento de B. Se acostumbra a indicar una funci´n de A en B como f:A→B y si a ∈ A o indicar con f(a) al elemento de B que le corresponde por la funci´n. o Esto es equivalente a decir que f(a) es la imagen de a por medio de f. Ejemplo 1: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 4, 5, 6, 7} y sea f : A → B tal que f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 5, f (4) = 6, f (5) = 7 Se observa en el ejemplo anterior que f es una funci´n ya que a cada eleo mento del conjunto A, le corresponde un unico elemento del conjunto B. ´ Al conjunto {3, 4, 5, 6, 7}⊂B, se lo denomina conjunto imagen de la funci´n o f. Ejemplo 2: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 4, 5, 6, 7} y sea f : A→B, tal que f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 5, f (4) = 6 Se observa que esta ultima correspondencia no es una funci´n ya que 5∈A, ´ o pero al 5 no le corresponde ning´n elemento en B. u 1

Unidad I Ejemplo 3: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 4, 5, 6, 7} y sea ahora f : A→B, tal que f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 4 , f (3) = 5, f (4) = 6, f (5) = 7. Se observa que esta correspondencia no es una funci´n, ya que al elemento o 3∈A, le corresponde m´s de un elemento en B. a Es importante recalcar dos aspectos de la definici´n de funci´n, que son o o las condiciones de existencia y unicidad, se dice una correspondencia que a ¨ cada elemento de A (existencia) le asigna un unico elemento en B (unici´ dad)”. En el ejemplo 2, la correspondencia dada no es una funci´n, ya que o no cumple la condici´n de existencia.Y el ejemplo 3 muestra una correspono dencia que no cumple la condici´n de unicidad. o Expresi´n Simb´lica: f : A→B es una funci´n si la correspondencia entre o o o los elementos del conjunto A y el conjunto B cumple: 1. ∀x ∈ A∃y ∈ B/ y = f (x) o (x, y)∈f . (Condici´n de existencia) o 2. ∀x ∈ A : (x, y1 ) ∈ f y (x, y2 )∈ f ⇒ y1 =y2 . (Condici´n de unicidad ). o A la variable x le llamaremos variable independiente y a la variable y variable dependiente. Dominio: al conjunto A, se lo llama dominio de la funci´n. o Al conjunto B se lo llama codominio de la funci´n. o Imagen: llamaremos imagen de la funci´n, al conjunto de las im´genes por o a f de los elementos de A.Indicaremos a este conjunto If y observemos que If ⊆B. Simb´licamente: If = {y/y ∈ B ∧ y = f (x)} o 2. Funciones de variable real Trabajaremos con funciones de variable real,es decir, tanto A como B ser´ el conjunto de los n´meros reales o un subconjunto de este. a u De ahora en adelante si al definir una funci´n f no especificamos el conjunto o dominio A, supondremos que se est´ considerando el dominio natural o a campo de definici´n de f que es el mayor conjunto de n´meros reales o u para los cuales la funci´n f est´ definida. o a √ Ejemplo 4 : Sea la funci´n f (x) = 1 − x2 , de acuerdo a lo definido o ante-riormente el dominio natural de esta funci´n ser´ el conjunto de los o a √ 2 est´ definida, es decir el conjunto de n´meros reales x donde la 1 − x u e Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 2

Unidad I todos los reales que satisfacen la condici´n: o 1 − x2 ≥ 0 ⇒ x2 ≤ 1 −1 ≤ x ≤ 1 √ Luego el dominio de la funci´n f (x) = 1 − x2 es el intervalo: Df = [−1, 1] o 1 , como en el ejemplo anterior 1−x el dominio de esta funci´n, ser´ el conjunto de los n´meros reales para los o a u 1 que la expresi´n 1−x est´ definida, esto el el conjunto de todos los n´meros o a u reales que satisfacen la condici´n: o Ejemplo 5 :Sea la funci´n f (x) = o 1−x=0 ⇒x=1 1 es el conjunto Df = R − {1} 1−x o bien, usando notaci´n de intervalos: Df = (−∞, 1) ∪ (1, +∞) o Luego el dominio de la funci´n f (x) = o Ejemplo 6 :Sea la funci´n f (x) = √ o 1 , el dominio de esta funci´n o −4 es el conjunto de n´meros reales que cumplen la condici´n: u o x2 x2 − 4 > 0 ⇒ x2 > 4 ⇒ |x| > 2 ⇒ x < −2 ∨ x > 2 Entonces el dominio de la funci´n f (x) = o Df = (−∞, −2) ∪ (2, +∞). 2.1. √ 1 x2 −4 es el conjunto: Representaci´n gr´fica de funciones o a Veremos ahora como se puede obetenr una imagen ge´metrica de las o funciones de A⊆R en R. Sea el siguiente conjunto: R2 ={(x, y) : x ∈ R, y ∈ R} luego R2 es el conjunto de todos los pares ordenados de n´meros reales.Se u puede demostrar que existe una correspondencia biun´ ıvoca entre este conjunto y el conjunto de puntos del plano cartesiano.Es decir, a cada punto del plano cartesiano le corresponde un punto del conjunto R2 y rec´ ıprocamente 2 le corresponde un punto del plano cartesiano. a cada punto del conjunto R Gr´fico de una funci´n: Una vez definida una funci´n, el conjunto de a o o Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 3

Unidad I todos los pares ordenados que satisfacen la regla de correspondencia que la define constituye lo que se denomina gr´fico de la funci´n. a o Observe que Gf ⊂ R2 . En s´ ımbolos: el gr´fico de una funci´n f : R→R es el conjunto: a o Gf = (x, y) ∈ R2 /y = f (x) Ejemplo 7:Si f : R → R es la funci´n f (x) = x2 entonces, el gr´fico de f o a es: Gf = (x, y) ∈ R2 /y = x2 luego, los pares ordenados que pertenecen al gr´fico de f tiene la forma a 2 ) para todo x ∈ R. (x, x La figura 1 muestra la representaci´n gr´fica de la funci´n del ejemplo 4. o a o Figura 1: Gr´fico de la funci´n f (x) = x2 a o Ejemplo 8:Sea la funci´n f (x) = √ o 1 cuyo dominio es el conjunto: −4 Df = (−∞, −2) ∪ (2, +∞), el gr´fico de esta funci´n se muestra en la figura a o 2. x2 Figura 2: Gr´fico de la funci´n f (x) = √ a o Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 1 x2 − 4 4

Unidad I 3. Funciones elementales 3.1. Funci´n lineal o Se define la funci´n lineal como: o f : R → R/f (x) = ax + b El gr´fico de la funci´n lineal consiste en todos los pares ordenados de la a o forma:(x, ax + b) con x en R.La representaci´n gr´fica en el plano es una o a recta. El coeficiente a se denomina pendiente de la recta, est´ relacionado con la a inclinaci´n de la recta respecto del eje x, ya que es el valor de la tangente o trigon´metrica del ´ngulo de inclinaci´n de la recta con el eje x. o a o a = tg(α) El coeficiente independiente b se denomina ordenada al origen. La figura 3 nos muestra el gr´fico de la funci´n f (x) = 2x + 3. Se puede ver a o Figura 3: Gr´fico de la funci´n f (x) = 2x + 3 a o que Df = R y If = R Funci´n Constante: Si en la definici´n anterior a = 0, la funci´n resultante o o o f (x) = b se denomina funci´n constante. o Es decir, f : R → R/f (x) = b Se observa que Df = R y If = {b} Asi, por ejemplo, si f : R → R/f (x) = 2, luego su gr´fica esta dada en la figura 4. a Funci´n Id´ntica: Si en la definici´n de funci´n lineal se hace a = 1 y o e o o b = 0, la funci´n resultante f (x) = x se denomina funci´n id´ntica.Se obo o e serva que Df = R y If = R. La figura 5 muestra la representaci´n gr´fica o a Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 5

Unidad I Figura 4: Gr´fico de la funci´n f (x) = 2 a o de la funci´n id´ntica. o e Figura 5: Gr´fico de la funci´n f (x) = x a o 3.2. Funci´n valor absoluto o Se define como f : R → R/f (x) = |x|; entonces |x| = x −x si x ≥ 0 si x < 0 √ Observaci´n: |x| = x2 . En este caso Df = R y If = [0, +∞) La figura 6 o muestra el gr´fico de la funci´n valor absoluto. a o Propiedades del valor absoluto: 1. ∀x, x = 0 : |x| > 0 2. ∀k, ∀x, : (|x| < k ⇔ −k < x < k) 3. ∀k, ∀x, : (|x| > k ⇔ x < −k ∨ x > k) 4. ∀x∀y : |x.y| = |x| . |y| 5. ∀x∀y : |x + y| ≤ |x| + |y| Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 6

Unidad I Figura 6: Gr´fico de la funci´n f (x) = |x| a o 3.3. Funci´n parte entera o Se define como: f : R → R/f (x) = [x] donde [x] = max {k ∈ Z/k ≤ x}, es decir la parte entera de x es el mayor n´mero entero k que cumple con la condici´n: k ∈ Z∧x ∈ R ⇔ k ≤ x < k+1. u o Se observa que Df = R y If = Z La figura 7 muestra el gr´fico de la funci´n a o parte entera. Figura 7: Gr´fico de la funci´n f (x) = [x] a o 3.4. Funci´n mantisa o Se define como: f : R → R/f (x) = x − [x]. Es la funci´n tal que a cada x real le asigna la parte decimal del mismo o n´mero. Se observa que Df = R y If = [0, 1) u 3.5. Funci´n signo o Se define como f : R − {0} → R/sgn(x) = |x| x De acuerdo a la definici´n es: Df = R − {0} y If = {−1, 1}. o Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 7

Unidad I Figura 8: Gr´fico de la funci´n f (x) = x − [x] a o Figura 9: Gr´fico de la funci´n f (x) = sgn(x) a o 3.6. Funci´n cuadr´tica o a Se define:f : R → R/f (x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son constantes que representan n´meros reales, y a = 0. u La gr´fica de esta funci´n es una par´bola de eje vertical. a o a Por ejemplo, si f es la funci´n definida como f (x) = 2x2 − 5x + 3 su gr´fica o a 1 es la par´bola cuyo v´rtice es el punto: 5 , − 8 (recordemos que el v´rtice a e e 4 b b esta dado por la ecuaci´n: − 2a , f − 2a ) o La gr´fica de f (x) = 2x2 − 5x + 3 se muestra en la figura 9. a Figura 10: Gr´fico de la funci´n f (x) = 2x2 − 5x + 3 a o Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 8

Unidad I 3.7. Funci´n polin´micas o o La funci´n lineal y la funci´n cuadr´tica son casos particulares de una o o a familia de funciones m´s amplia, que son las funciones polin´micas.Estas se a o definen como:f : R → R/f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 donde a1 , ..., an . son constantes reales llamadas coeficientes. La figura 10 muestra el gr´fico de la funci´n plin´mica de grado 3, a o o f (x) = −x3 + 3x − 2. Figura 11: Gr´fico de la funci´n f (x) = −x3 + 3x − 2 a o 4. 4.1. Paridad de funciones Funci´n par o Una funci´n f : R → R es par si es f (x) = f (−x) para todo x ∈ R. o As´ por ejemplo la funci´n f (x) = x2 es par ya que f (−x) = (−x)2 = x2 ı o para todo x ∈ R. Otro ejemplo de funci´n que es par es la funci´n f (x) = |x|. o o 4.2. Funci´n impar o Una funci´n f : R → R es impar si es f (x) = −f (−x) para todo x ∈ R. o As´ por ejemplo la funci´n f (x) = x3 es impar ya que f (−x) = (−x)3 = −x3 ı o para todo x ∈ R. Otro ejemplo de funci´n que es impar es la funci´n f (x) = x. o o Para pensar:Qu´ propiedad de simetr´ tiene la representaci´n gr´fica de e ıa o a una funci´n par? y la de una funci´n impar?. o o Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 9

Unidad I 5. 5.1. Clasificaci´n de funciones o Funciones Inyectivas Una funci´n f : A → B se dice inyectiva si cumple la siguiente condio ci´n: si x1 , x2 ∈ A son tales que f (x1 ) = f (x2 ) entonces debe ser x1 = x2 . o As´ por ejemplo la funci´n f : R → R/f (x) = 2x+3 es inyectiva y la funci´n ı o o 2 no es inyectiva. f : R → R/f (x) = x 5.2. Funciones suryectivas o sobreyectivas Una funci´n f : A → B se dice suryectiva o sobreyectiva si cumple o la siguiente condici´n:cualquiera sea b ∈ B, existe a ∈ A tal que f (a) = b. o Esto es equivalente a decir que f : A → B se dice suryectiva o sobreyectiva si la If = B. As´ por ejemplo la funci´n f : R → R/f (x) = 2x + 3 es sobreyectiva y la ı o funci´n f : R → R/f (x) = x2 no es sobreyectiva. o 5.3. Funciones biyectivas Una funci´n f : A → B se dice biyectiva si es inyectiva y suryectiva. o Ejemplo 9: de acuerdo a lo visto anteriormente la funci´n f : R → R/f (x) = o 2x + 3 es biyectiva. 6. Composici´n de funciones o Sean A, B y C tres conjuntos y sean f : A → B y g : B → C dos funciones. Si x0 es un elemento de A, por f le corresponder f (x0 ); como f (x0 ) es un elemento de B, por g le corresponder un elemento de C que ser´:g (f (x0 )). a Definici´n:Sean A, B y C tres conjuntos y sean f : A → B y g : B → C o dos funciones.La composici´n de g y f es la funci´n g ◦ f : A → C definida o o por g ◦ f = g (f (x)). Sean ahora las funciones f : A → B y g : M → N , para que exista la funci´n o compuesta g ◦ f es necesario que la If ⊆ Dg. Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 10

Unidad I Ejemplo 10:Sean f : R → R/f (x) = 2x + 1 y g : R → R/g(x) = x2 , entonces la funci´n g ◦ f : R → R se obtiene de la siguiente manera: o (g ◦ f ) (x) = g (2x + 1) ⇒ (g ◦ f ) (x) = (2x + 1)2 Si ahora se quiere obtener f ◦ g : R → R ⇒ (f ◦ g) (x) = f x2 (f ◦ g) (x) = 2x2 + 1 ⇒ 1 Ejemplo 11: Sean f : R → (−∞, 0) /f (x) = − 2 y x +1 √ g : [0, +∞) → R/g(x) = x √ La composici´n f ◦ g : [0, +∞) → (−∞, 0) ser´: (f ◦ g) (x) = f ( x) ⇒ o a 1 1 (f ◦ g) (x) = − √ 2 ⇒ (f ◦ g) (x) = − 1+x 1 + ( x) Sin embargo la composici´n g ◦ f no existe ya que If no est´ incluida en el o a Df . 7. Funci´n inversa o Sea f : A → B una funci´n.Se llama funci´n inversa de f a la funci´n o o o g : B → A tal que g ◦ f (x) = x, ∀x ∈ A y f ◦ g(x) = x, ∀x ∈ B. Si la funci´n inversa de f existe la denotaremos: f −1 . o si f es una funci´n cualquiera, siempre tiene inversa? o La respuesta a esta pregunta viene dada por la siguiente proposici´n: o Proposici´n 1 : o Sea f : A → B una funci´n. Existe entonces funci´n inversa de f si y s´lo o o o si f es biyectiva. Demostraci´n: supongamos que f tiene funci´n inversa f −1 . Debemos proo o bar que f es biyectiva. Por definic´n f −1 : B → A es tal que cumple f −1 ◦ f (x) = x, ∀x ∈ A o y f ◦ f −1 (x) = x, ∀x ∈ B. la inyectividad de f resulta de: si x1 , x2 ∈ A son tales que: f (x1 ) = f (x2 ) entonces ser´: f −1 (f (x1 )) = f −1 (f (x2 )) a −1 ◦ f (x ) = f −1 ◦ f (x ) o sea: f 1 2 lo que por definici´n resulta : x1 = x2 o Para probar suryectividad, consideremos un y0 cualquiera en B. Debemos encontrar un x0 ∈ A tal que f (x0 ) = y0 ; pero si x0 = f −1 (y0 ) resulta: f (x0 ) = f f −1 (y0 ) = y0 Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 11

Unidad I Supongamos ahora que f es biyectiva y probemos que en ese caso hay funci´n inversa de f . o Para y en B sabemos por la suryectividad de f , que existe x ∈ A tal que f (x) = y y sabemos por la inyectividad de f , que ese x es unico. Definimos ´ entonces g (y) = x De esta manera definimos una funci´n g : B → A que, por su propia conso −1 .• trucci´n, resulta ser f o Ejemplo 12: sea la funci´n f : R → R/f (x) = 2x + 3, o x−3 su funci´n inversa es la funci´n f −1 : R → R/f −1 (x) = o o 2 En efecto si se hace: f −1 ◦ f (x) = f −1 (2x + 3) ⇒ f −1 ◦ f (x) = (2x) 2 ⇒ f −1 ◦ f (x) = x (2x + 3) − 3 2 ⇒ f −1 ◦ f (x) = y si se hace: x−3 ⇒ f ◦ f −1 (x) = 2 x−3 + 3 ⇒ 2 2 f ◦ f −1 (x) = (x − 3) + 3 ⇒ f ◦ f −1 (x) = x x−3 Luego la funci´n f −1 : R → R/f −1 (x) = o 2 es la funci´n inversa de f : R → R/f (x) = 2x + 3. o f ◦ f −1 (x) = f 8. Funci´n homogr´fica o a La funci´n homogr´fica tiene la forma: f (x) = o a ax + b donde c = 0 y cx + d ad − bc = 0. Veamos ahora el por qu´ de estas restricciones: e a b Si c = 0 ⇒ f (x) = x + que es la funci´n lineal. o d d a c Si ad − bc = 0 ⇒ ad = bc ⇒ = . Entonces, b d a b x+1 ax + b b b f (x) = = = ⇒ la funci´n es constante. o c cx + d d d x+1 d El dominio de esta funci´n ser´ el conjunto de los n´meros reales menos o a u aquellos que anulen el denominador. Luego: d c El gr´fico de esta funci´n es una curva llamada hip´rbola. a o e Df = R − − Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 12

Unidad I Ejemplo: Sea la funci´n R − − 3 /f (x) = o 2 x+1 Observaci´n: si en la o 2x + 3 Figura 12: Gr´fico de la funci´n f (x) = a o x+1 2x + 3 x+1 funci´n del ejemplo f (x) = o se hace: 2x + 3     1 1 x+1+ − 1 1x+1 2 2 ⇒ f (x) =  f (x) =   3 3 2 2 x+ x+ 2 2  1 1 1 1  f (x) = 1 − 2  ⇒ f (x) = − 4 3 3 2 2 x+ x+ 2 2 1 1 2 + f (x) = − 3 2 2 x+ 2 −3 La recta x = es la ecuaci´n de la as´ o ıntota vertical. 2 1 La recta y = es la ecuaci´n de la as´ o ıntota horizontal. 2 9. 9.1. Funciones trascendentes Funci´n exponencial o La funcion exponencial se define: f : R → (0, +∞) /f (x) = ax con a > 0 y a = 1. Se puede probar que esta funci´n es inyectiva y suryectiva, por lo tanto o es biyectiva. El gr´fico de esta funci´n para el caso a > 1 viene dado en la a o figura 13, como se puede observar la funci´n es creciente y positiva. En el o caso 0 < a < 1 la funci´n es decreciente y se muestra el gr´fico en la figura o a 14. Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 13

Unidad I Figura 13: Gr´fico de la funci´n f (x) = ax con a > 1 a o Figura 14: Gr´fico de la funci´n f (x) = ax con 0 < a < 1 a o 9.2. Funci´n logaritmo o Si f : R → (0, +∞) es la funci´n tal que f (x) = ax con a > 0 y a = 1, o entonces su inversa se denomina funci´n logaritmo en base a y se indica o loga : (0, +∞) → R. Esto define, para cada x > 0, un n´mero real loga (x) u caracterizado por la propiedad: loga (x) = y ⇔ ay = x Dicho n´mero, loga (x), se llama logaritmo en base a de x. u Recordemos que a > 0 y a = 1 . si a = 10 entonces y = log(x) y si a = e entonces y = ln(x). La grfica de la funci´n logaritmo para a > 1 se muestra en la figura 15 y o para 0 < a < 1 en la figura 16. Propiedades de los logaritmos: 1. loga (x.y) = loga (x) + loga (y) ∀x, y ∈ R>0 2. loga (x : y) = loga (x) − loga (y) ∀x, y ∈ R>0 3. loga (xn ) = n.loga (x) ∀x ∈ R>0 4. aloga (x) = x ∀x ∈ R>0 Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 14

Unidad I Figura 15: Gr´fico de la funci´n f (x) = loga (x) con a > 1 a o Figura 16: Gr´fico de la funci´n f (x) = loga (x) con 0 < a < 1 a o 9.3. 9.3.1. Funciones trigonom´tricas e ´ Angulos Definici´n: Se llama ´ngulo a la porci´n del plano comprendida entre o a o dos semirectas con el mismo origen. Cada una de ellas se llama lado del a ´ngulo y el origen se llama v´rtice. El lado OA se denomina lado inicial y e el lado OB lado terminal. ´ Angulo en posici´n normal: Se dice que un ´ngulo se encuentra en poo a sici´n normal cuando su v´rtice coincide con el origen de coordenadas y su o e lado inicial con el semieje positivo de abscisas. ˆ El ´ngulo AOB se puede formar haciendo girar el lado OB sobre el lado a OA y con esa rotaci´n el punto B se mueve hacia el punto A a lo largo de o Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 15

Unidad I ¯ una circunferencia de centro O y radio OB. El ´ngulo es positivo cuando a OB gira hacia OA en el sentido contrario a las agujas del reloj. El ´ngulo a es negativo cuando OB gira hacia OA en el sentido de las agujas del reloj. 9.3.2. Medici´n de ´ngulos o a Sistema circular Si un angulo tiene su v´rtice en el centro de una cir´ e cunferencia de radio r e intercepta en ella un arco cuya longitud es r entonces dicho ´ngulo tiene una medida de un radi´n. En s´ a a ımbolos: 1 rad. As´ el ´ngulo que recorre la mitad de la longitud de la circunferencia ı, a ser´ igual a π radianes, un cuarto de longitud de la circunferencia π/2 raa dianes, la longitud de la circunferencia 2π rad, etc. Si usamos el sistema de medici´n sexagesimal se sabe que : 1 ´ngulo de un o a giro mide 360◦ el equivalente en el sistema circular es 2π rad. Entonces: 1giro ≈ 2π rad ≈ 360◦ Con esto: 1◦ ≈ 9.4. 2π 360◦ y 1rad ≈ 360◦ 2π Funciones trigonom´tricas definidas en un tri´ngulo rect´ngue a a lo Figura 17: Tri´ngulo BAC a Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 16

Unidad I ˆ Sea BAC un tri´ngulo rect´ngulo en A, se define: a a c cateto opuesto ⇒ sen(α) = sen(α) = hipotenusa a cos(α) = cateto adyacente b ⇒ cos(α) = hipotenusa a tan(α) = cateto opuesto c ⇒ tan(α) = cateto adyacente b cosec(α) = sec(α) = cotan(α) = hipotenusa a ⇒ cosec(α) = cateto opuesto c hipotenusa a ⇒ sec(α) = cateto adyacente b cateto adyacente b ⇒ cotan(α) = cateto opuesto c Se puede probar que: sen2 (α) + cos2 (α) = 1 senα cosα 1 tan2 (α) + 1 = cos2 α tan(α) = De esta manera quedan definidas las funciones trigonom´tricas para ´ngue a los mayores que 0 y menores que un ´ngulo recto. La extensi´n de estas a o funciones a ´ngulos cualesquiera se da a continuaci´n a o 9.5. Funciones trigonom´tricas e La circunferencia trigonom´trica e Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas en el plano y la circunferencia con centro en el origen y radio r. Si consideramos un ´ngulo α menor que un recto, entonces en el tri´ngulo a a rect´ngulo OM P , como el radio OP es igual a r, resulta: a Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 17

Unidad I y PM ⇒ sen(α) = OP r OM x cos(α) = ⇒ cos(α) = OP r PM y tan(α) = ⇒ tan(α) = OM x sen(α) = Observaci´n La abscisa del punto resultante al girar un ´ngulo α es la que o a le da el signo al coseno de dicho ´ngulo y la ordenada es la que le da el signo a al seno. De acuerdo con esta observaci´n, el seno es positivo en los dos primeros o cuadrantes y negativo en el tercer y cuarto cuadrante. El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante y negativo en el segundo y tercer cuadrante. Se puede probar que esta definici´n de las funciones trigonom´tricas tamo e Figura 18: Signo del seno y coseno bi´n cumplen las propiedades enunciadas anteriormente. A saber: e sen2 (α) + cos2 (α) = 1 senα tan(α) = cosα 1 tan2 (α) + 1 = cos2 α Se vi´ anteriormente que se puede expresar la medida de un ´ngulo como o a un n´mero real. Como las funciones trigonom´tricas est´n definidas sobre u e a a ´ngulos, y los ´ngulos se pueden medir en radianes por ejemplo, entonces se a puede pensar definir las funciones trigonometricas como funciones de A en R donde A ⊆ R. Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 18

Unidad I 9.6. Funci´n seno o Se define como: f : R → R/f (x) = sen(x). La representaci´n gr´fica o a esta dada en la figura 19. La curva que representa la gr´fica de la funci´n a o Figura 19: Gr´fico de la funci´n y = sen(x) a o y = sen(x) se denomina sinusoide. El Df = R y su If = [−1, 1]. Es una funci´n impar. o La funci´n alcanza un m´ximo de 1 y un m´ o a ınimo de -1. Los ceros de esta funci´n son de la forma: x = kπ con k ∈ Z. o Es una funci´n peri´dica de per´ o o ıodo 2π. Esto es: sen (x + 2π) = sen (x) En general sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo k ∈ Z. Tal como est´ definida no es inyectiva, ni suryectiva, por lo que no es biyeca tiva. Si se define ahora:f : − π , π → [−1, 1] /f (x) = sen(x) es biyectiva, luego 2 2 tiene inversa, la funci´n inversa del seno es el arcoseno y se define: o π π /f (x) = sen−1 (x) f : [−1, 1] → − , 2 2 Figura 20: Gr´fico de la funci´n y = sen−1 (x) a o Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 19

Unidad I 9.7. Funci´n coseno o Se define como: f : R → R/f (x) = cos(x). La representaci´n gr´fica o a esta dada en la figura 21. La curva que representa la gr´fica de la funci´n a o Figura 21: Gr´fico de la funci´n y = cos(x) a o y = cos(x) se denomina cosinusoide. El Df = R y su If = [−1, 1]. Es una funci´n par. o La funci´n alcanza un m´ximo de 1 y un m´ o a ınimo de -1. Los ceros de esta funci´n son de la forma: x = (2k + 1) π con k ∈ Z. o 2 Es una funci´n peri´dica de per´ o o ıodo 2π. Esto es: cos (x + 2π) = cos (x) En general cos (x + 2kπ) = cos (x) para todo k ∈ Z. Tal como est´ definida no es inyectiva, ni suryectiva, por lo que no es a Figura 22: Gr´fico de la funci´n y = cos−1 (x) a o biyectiva. Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 20

Unidad I Si se define ahora:f : [0, π] → [−1, 1] /f (x) = cos(x) es biyectiva, luego tiene inversa, la funci´n inversa del coseno es el arcocoseno y se define: o f : [−1, 1] → [0, π] /f (x) = cos−1 (x) 9.8. Funci´n tangente o Se define como: f : A → R/f (x) = tan(x), donde π A = x/x ∈ R, x = (2k + 1) ∀k ∈ Z . 2 La representaci´n gr´fica esta dada en la figura 23. La curva que representa o a Figura 23: Gr´fico de la funci´n y = tan(x) a o la gr´fica de la funci´n y = tan(x) se denomina tangentoide. a o π El Df = x/x ∈ R, x = (2k + 1) ∀k ∈ Z y su If = R. 2 Es una funci´n impar.No est´ acotada. o a Los ceros de esta funci´n son de la forma: x = kπ con k ∈ Z. Es una o Figura 24: Gr´fico de la funci´n y = tan−1 (x) a o funci´n peri´dica de per´ o o ıodo π. Esto es: tan (x + π) = tan (x). En general tan (x + kπ) = tan (x) para todo k ∈ Z. Tal como est´ definida no es inyeca tiva,si es suryectiva,por lo que no es biyectiva. Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 21

Unidad I π π → R/f (x) = tan(x) es biyectiva, luego tiene Si se define ahora:f : − , 2 2 inversa, la funci´n inversa de la tangente es el arcotangente y se define: o π π f :R→ − , /f (x) = tan−1 (x) 2 2 Lic. M.J.Tito An´lisis Matem´tico I a a 22

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