Fractal Geometry

100 %
0 %
Information about Fractal Geometry
Education

Published on August 18, 2009

Author: ssakpi

Source: slideshare.net

Description

AACIMP 2009 Summer School lecture by Mykola Pratsyovity.

Фрактальная геометрия Николай Викторович Працевитый Национальный педагогический университет имени М. П. Драгоманова Институт математики НАН Украини Национальный технический университет Украины КПИ 6 августа 2009 г. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 1 / 39

Содержание 1 Введение 2 Самоподобные фракталы 3 Мера Хаусдорфа и размерность Хаусдорфа–Безиковича 4 Преобразования, сохраняющие фрактальную размерность. Фрактальная геометрия с групповой точки зрения 5 Фрактальные системы координат 6 Фрактальный анализ вероятностных распределений (вероятностных мер) 7 Недифференцируемые функции и их фрактальный анализ 8 Нерешенные проблемы 9 Рекомендуемая литература Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 2 / 39

Первоисточники Фрактальная геометрия современная наука, изучающая особые геометрические формы и преобразования полных метрических пространств средствами теории меры и метрической размерности. 1 Hausdorff F. Dimension und ¨ußeres Maß // Math. Ann. a 1919. 79. S. 157–179. 2 Mandelbrot B. B. Les objets fractals: Forme, hasard et dimension. Paris: Flammarion, 1975. 412 p. Mandelbrot B. B. Fractals: Form, chance and dimension. San Francisco: Freeman, 1977. 346 p. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 3 / 39

Центральные понятия теории 1 Меры Хаусдорфа (дробных порядков) 2 Фрактальная (дробная) размерность 3 Самоподобие, самоаффинность 4 Преобразования, сохраняющие фрактальную размерность 5 Фрактальная система координат и др. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 4 / 39

Главные задачи 1 Вычисление размерности 2 Вычисление значения меры Хаусдорфа 3 Исследование преобразований на предмет сохранения размерности Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 5 / 39

Применения 1 Метрическая теория чисел 2 Теория сингулярных мер 3 Теория недифференцируемых функций Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 6 / 39

Аналитическое представление фракталов В R1 : 1 Системы счисления 2 Множества неполных сум сходящихся рядов В R2 : 1 Аттракторы динамических систем 2 Графики функций 3 Множества значений комплекснозначных функций Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 7 / 39

Самоподобные фракталы E ⊂ R. Определение (Самоподобное множество) 1 E = E1 ∪ . . . ∪ E n ; k i 2 E ∼ Ei ; 3 Ei ∩ Ej мало по сравнению с E . Пример Множество Кантора, ковер Серпинского, снежинка Коха, остров Коха. Определение (Самоподобная размерность) x x x αs (E ) = x : k1 + k2 + . . . + kn = 1. Если k1 = k2 = . . . = kn = k, то αs (E ) = − logk n. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 8 / 39

Множество Кантора 1 Геометрическая конструкция: 2 Структура самоподобия: 1 C = C1 ∪ C2 , C ∼ C1 ∼ C2 , 3 = C1 ∩ C2 = ∅. 3 Самоподобная размерность: log3 2 ≈ 0.6309. 4 Аналитическое задание: ∞ αk C= x: x= , αk ∈ {0, 2} . 3k k=1 ∞ 2 5 C является множеством неполных сумм ряда 3k = 1. k=1 Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 9 / 39

Ковер Серпинского I Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 10 / 39

Ковер Серпинского II S ковер Серпинского, 1 S = S1 ∪ S2 ∪ S3 , 1 2 2 S ∼ Si , где Si = fi (S), x = 1 x, 2 x = 1x + 1, 2 2 1 x = 2x + 1, 4 f1 : f2 : f3 : √ y = 1y, 2 y = 1y, 2 y = 1y + 2 3 4 . Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 11 / 39

Ковер Серпинского III Теорема S в аффинной системе координат с одинаковыми масштабами по осях и углом 60◦ между осями: ∞ ∞ αk βk (x, y ) : x = ,y = , αk , βk ∈ {0, 1}, αk + βk < 2 . 2k 2k k=1 k=1 Теорема S множество значений функции ∞ εαk z= , 2k k=1 где αk k-ая троичная цифра x ∈ [0, 1], ε0 , ε1 ,ε2 корни третьей степени с 1. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 12 / 39

Снежинка Коха Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 13 / 39

Остров Коха Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 14 / 39

Мера Хаусдорфа M ⊂ Rn , d (M) диаметр M, h(t) непрерывная возрастающая функция, t ≥ 0, h(0) = 0, ΦM : ∀E ⊂ M, ∀ε > 0 ∃ {Ej } (Ej ∈ ΦM , d (Ej ) ≤ ε): E ⊂ Ej . j Определение (Мера Хаусдорфа) H h (M) = lim inf h(d (Ej )) , Ej ∈ Φ M , Ej ⊃ M. ε→0 d(Ej )≤ε j j h(t) = γ(α)t α =⇒ α-мерная мера (α-мера) Хаусдорфа H α ΦM семейство всех замкнутых (открытых) шаров =⇒ сферическая α-мера Хаусдорфа шары одинакового радиуса =⇒ энтропийная Γα (1/2) α h(t) = 2α Γ(1+α/2) t , α = m ∈ N =⇒ H m m-мерная мера Лебега Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 15 / 39

Размерность Хаусдорфа–Безиковича ∞ H α (E ) ££gg c €  0 α0 α Определение (Размерность Хаусдорфа–Безиковича) α0 (E ) = sup{α : H α (E ) = 0} = inf{α : H α (E ) = 0}. 1 α0 (не более чем счетное множество) = 0; 2 если E1 ⊂ E2 , то α0 (E1 ) ≤ α0 (E2 ); 3 α0 En = sup(En ); n n f 4 если E1 − E2 , f → преобразование подобия, то α0 (E1 ) = α0 (E2 ). Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 16 / 39

Определение фрактального множества Ф. Хаусдорф, 1919: множество, специальная метрическая размерность которого является дробным числом (фракталы в узком понимании). Б. Мандельброт, 1975: множество метрического пространства, розмерность Хаусдорфа–Безиковича которого больше его топологической размерности (фракталы в широком понимании). Б. Мандельброт, 1983: структура, состоящая из частей, в некотором смысле подобных целому. Определение (Фрактал) Более чем счетное множество, имеющее тривиальную (= 0 или ∞) меру Хаусдорфа, порядок α которой равен топологической размерности. Квазифракталы размерности (Хаусдорфа–Безиковича и топологическая) равны, но соотвествующая H α -мера тривиальна. Аномально фрактальные множества более чем счетные множества, у которых обе размерности равны 0. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 17 / 39

Топологическая размерность E компакт, dim E топологическая размерность E . Определение (Топологическая размерность) dim E = n, если n наименьшее целое число такое, что для любого ε > 0 существует конечная система замкнутых множеств, покрывающих E , с диаметрами ≤ ε, никакие n + 2 из которых не имеют общих точок. Т.е. E можно покрыть как угодно малыми замкнутыми множествами так, что ни одна точка не принадлежит n + 2 разным частям, но при любом достаточно мелком покрытии найдутся точки, принадлежащие n + 1 разным множествам. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 18 / 39

Фрактальная геометрия с групповой точки зрения I f преобразование метрического пространства (M, ρ), E ⊂ M. Определение (Преобразование, сохраняющее фрактальную размерность) α0 (E ) = α0 (f (E )) ∀E ⊂ M. H множество всех преобразований (M, ρ), сохраняющих фрактальную размерность, ◦ композиция преобразований. Теорема (H, ◦) группа. Фрактальная геометрия изучает инварианты группы H преобразований пространства, сохраняющих фрактальную размерность (размерность Хаусдорфа–Безиковича), т.е. изучает свойства фигур, которые сохраняются при каждом преобразовании из H. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 19 / 39

Фрактальная геометрия с групповой точки зрения II Лемма Если существуют константы λ1 > 0 и λ2 > 0 такие, что λ1 ρ(A, B) ≤ ρ(f (A), f (B)) ≤ λ2 ρ(A, B) ∀A, B ∈ M, то f сохраняет размерность Хаусдорфа–Безиковича. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 20 / 39

Аффинные преобразования R2 f аффинное преобразование R2 . Лемма Существуют константы c1 > 0 и c2 > 0 такие, что c1 |AB| ≤ |f (A)f (B)| ≤ c2 |AB| ∀A, B ∈ R2 , где |AB| расстояние между точками A и B. Теорема {Аффинные преобразования R2 } ⊂ {Сохраняющие размерность Хаусдорфа–Безиковича} Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 21 / 39

Преобразования [0, 1] ⊂ R1 I Лемма Непрерывная функция является преобразованием [0, 1] ⇐⇒ она строго монотонная функция распределения F (x) на [0, 1] (F (0) = 0, F (1) = 1) или равняется 1 − F (x). 1 Каждая ли абсолютно непрерывная функция сохраняет размерность? Если нет (и существуют такие примеры), то найти условия (необходимые и достаточные), когда сохраняет. 2 Существуют ли сингулярные функции распеределения, сохраняющие размерность? Если да, то построить примеры и найти условия (необходимые и достаточные), при которых это происходит. 3 Если функция распределения сохраняет размерность, то сохраняют ли размерность ее компоненты (абсолютно непрерывная и сингулярная)? Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 22 / 39

Преобразования [0, 1] ⊂ R1 II Теорема Если строго возрастающая на [0, 1] функция распределения F имеет свойство: для произвольного ε > 0 существует δ > 0 такое, что для произвольного α ∈ (0, 1] и каждой конечной или счетной системы попарно неперекрывающихся интервалов (ak , bk ) (bk − ak )α < δ ⇒ [F (bk ) − F (ak )]α < ε, k k то oна сохраняет размерность Хаусдорфа-Безиковича. Теорема Существуют сингулярные функции распределения, сохраняющие размерность Хаусдорфа–Безиковича. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 23 / 39

Фрактальные системы координат I ∆c1 ...ck , ck ∈ A = {0, 1} отрезок числовой прямой, c1 ...ck интервал с такими же концами, и inf ∆c1 ...ck−1 0 < inf ∆c1 ...ck−1 1 . Локально тонкая система координат (ЛТСК ) на [0, 1] система Φ измельчающих разбиений [0, 1]: [0, 1] = ∆0 ∪ ∆1 , 0 ∩ 1 = ∅, ∆ i1 = ∆i1 0 ∪ ∆ i1 1 , i1 0 ∩ i1 1 = ∅, i1 ∈ A; ∆i1 ...im = ∆i1 ...im 0 ∪ ∆i1 ...im 1 , i1 ...im 0 ∩ i1 ...im 1 = ∅, ij ∈ A, j = 1, m |∆i1 ...im | → 0 (m → ∞). Φ x = ∆α1 ...αk ... координаты точки x в ЛТСК Φ. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 24 / 39

Фрактальные системы координат II Теорема Если Φ1 и Φ2 ЛТСК на [0, 1], то существует единственная непрерывная функция распределения f , переводящая Φ1 в Φ2 . При этом x = ∆Φ1 (x)...α (x)... = f (∆α1 (x)...α (x)... ) = f (x). α 2 Φ1 k k Теорема Образом ЛТСК при непрерывном преобразовании [0, 1] является ЛТСК. Определение (Фрактальная система координат на [0, 1]) При вычислении размерности Хаусдорфа–Безиковича произвольного множества из [0, 1] можна рассматривать покрытия, состоящие только из цилиндрических отрезков ∆Φ...im (m ∈ N) данной ЛТСК Φ1 . i1 1 Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 25 / 39

Фрактальные системы координат III Φ1 , Φ2 фрактальные системы координат на [0, 1], f непрерывная функция распределения, переводящая Φ1 в Φ2 . Теорема Сохраняющее размерность Хаусдорфа–Безиковича преобразование f представимо в виде f (x) = f (∆Φ1 (x)...α α 1 ) = ∆Φ1 (x)...α 2 . k (x)... α k (x)... Теорема Если ln |∆Φ1 (x)...α α 2 | k (x) lim = 1, ∀x ∈ [0, 1], k→∞ ln |∆Φ1 (x)...α α 1 | k (x) то f сохраняет размерность Хаусдорфа–Безиковича. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 26 / 39

Существенные множества вероятностных распределений F (x) функция распределения вероятностей, x ∈ R. Определение (Спектр) SF множество всех точек роста F (x). x точка роста F (x), если F (x + ε) − F (x − ε) > 0 ∀ε > 0. Определение (Носитель) F (x + ε) − F (x) NF = x : lim >0 . ε→0 ε DF ⊆ NF ⊆ SF , где DF множество скачков F (x). Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 27 / 39

Фрактальные распределения вероятностей I Определение (Фрактальное распределение вероятностей) Спектр или носитель является фрактальным множеством. Определение (Сингулярное распределение вероятностей) Функция распределения сингулярна, то есть непрерывна и ее производная почти всюду (в смысле меры Лебега) равна 0. Поскольку сингулярное распределение сосредоточено на множестве нулевой меры Лебега (необходимое условие фрактальности в пространстве R1 ), то сингулярные распределения потенциально фрактальны. Чистое абсолютно непрерывное распределение также может быть фрактальным, например, когда спектр является нигде не плотным множеством положительной меры Лебега. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 28 / 39

Фрактальные распределения вероятностей II Если 0 < H α (E ) < 1, то H α ((−∞, x) ∩ E ) F (x) = H α (E ) является функцией фрактального сингулярного распределения. Если E нигде не плотное множество положительной меры Лебега λ, то λ((−∞, x) ∩ E ) F (x) = λ(E ) является функцией абсолютно непрерывного распределения. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 29 / 39

Простой пример недифференцируемой функции ∞ αk x= ≡ ∆3 1 α2 ...αk ... , α 3k k=1 ∞ βk y = f (x) = ≡ ∆2 1 β2 ...βk ... , β 2k k=1 где 0, если α1 (x) = 0 β1 = 1, если α1 (x) = 0, βk−1 , если αk (x) = αk−1 (x) βk = 1 − βk−1 , если αk (x) = αk−1 (x), k > 1. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 30 / 39

График функции y 1 1 2 O 1 2 1 x 3 3 Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 31 / 39

График функции y 1 1 2 O 1 2 1 x 3 3 Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 31 / 39

График функции y 1 1 2 1 4 O 1 2 1 2 1 x 9 9 3 3 Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 31 / 39

График функции y 1 1 2 O 1 2 1 x 3 3 Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 31 / 39

График функции 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 31 / 39

Фрактальные свойства Теорема 1) Если y0 двоично-рациональное число из [0, 1], то множество f −1 (y0 ) конечно и α0 f −1 (y0 ) = 0. 2) Для двоично-иррационального y0 : α0 f −1 (y0 ) = B log3 2, где B = lim dk , dk количество пар последовательных двоичных цифр k k→∞ y0 (до k-го места включительно), у которых компоненты разные. Теорема Фрактальная клеточная размерность графика Γf : 2 − log3 2 ≈ 1, 36907. Теорема α0 (Γf ) = log2 1 + 2log3 2 ≈ 1, 34968. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 32 / 39

Нерешенные проблемы 1. M = {m1 , m2 , . . . , mk , . . .} ⊂ N (конечное или бесконечное), mi +1 > mi ∀i, 1 [a1 , a2 , . . .] ≡ . 1 a1 + a2 + . . . Найти фрактальную размерность множества CF [M] = {x ∈ [0, 1] : x = [a1 (x), a2 (x), . . .], ai (x) ∈ M, i = 1, 2, . . .} . 2. Найти необходимые и достаточные условия, при которых сумма двух функций, сохраняющих фрактальную размерность, является также функцией, сохраняющей фрактальную размерность. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 33 / 39

Рекомендуемая литература I Кравченко В. Ф. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях. Москва: Физматлит, 2007. 544 с. Кравченко В. Ф., Масюк В. М. Новый класс фрактальных функций в задачах анализа и синтеза антенн. Москва: Радиотехника, 2002. 80 с. Кроновер Р. Н. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории: Пер. с англ. Москва: Постмаркет, 2000. 352 с. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. Москва: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 656 с. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. 2-е изд. Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 160 с. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 34 / 39

Рекомендуемая литература II Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем: Пер. с англ. Москва: Мир, 1993. 176 с. Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова, 1998. 296 с. Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, функции, распределения. Киев: Наук. думка, 1992. 208 с. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии: Пер. с англ. Москва: Триумф, 2003. 320 с. Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. Москва: Мир, 1991. 254 с. Фракталы в физике: Тр. VI Междунар. симпоз. по фракталам в физике, Триест, 9–12 июля 1985 г. Москва: Мир, 1988. 672 с. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 35 / 39

Рекомендуемая литература III Barnsley M. F. Superfractals. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006. x+453 p. Chaos and fractals. The mathematics behind the computer graphics / Ed. by R. L. Devaney and L. Keen. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989. x+148 p. (Proc. Sympos. Appl. Math.; 39). Devaney R. L. An introduction to chaotic dynamical systems. Reprint of the second (1989) edition. Boulder, CO: Westview Press, 2003. xvi+335 p. (Stud. Nonlinearity). Edgar G. A. Measure, topology, and fractal geometry. New York: Springer-Verlag, 1990. xiv+230 p. (Undergrad. Texts Math.). Edgar G. A. Integral, probability, and fractal measures. New York: Springer-Verlag, 1998. x+286 p. Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 36 / 39

Рекомендуемая литература IV Falconer K. J. The geometry of fractal sets. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986. xiv+162 p. (Cambridge Tracts in Math.; 85). Falconer K. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. Chichester: Wiley, 1990. xxii+288 p. Falconer K. Techniques in fractal geometry. Chichester: Wiley, 1997. xviii+256 p. Field M., Golubitsky M. Symmetry in chaos. A search for pattern in mathematics, art and nature. New York: Oxford Univ. Press, 1992. xii+218 p. Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995. xviii+802 p. (Encyclopedia Math. Appl.; 54). Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 37 / 39

Рекомендуемая литература V Peitgen H.-O., J¨rgens H., Saupe D. Chaos and fractals. New frontiers u of science. New York: Springer-Verlag, 1992. xvi+984 p. Peitgen H.-O., Richter P. H. The beauty of fractals. Images of complex dynamical systems. New York: Springer-Verlag, 1986. xii+199 p. Pesin Ya. B. Dimension theory in dynamical systems. Contemporary views and applications. Chicago: Univ. of Chicago Press, 1997. xii+304 p. (Chicago Lectures in Math.). Pollicott M., Yuri M. Dynamical systems and ergodic theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998. xiv+179 p. (London Math. Soc. Stud. Texts; 40). Rogers C. A. Hausdorff measures. Reprint of the 1970 original. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998. xxx+195 p. (Cambridge Math. Lib.). Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 38 / 39

Рекомендуемая литература VI Strichartz R. S. Differential equations on fractals. Princeton: Princeton Univ. Press, 2006. xvi+169 p. Welstead S. Fractal and wavelet image compression techniques. Bellingham: SPIE Press, 1999. 254 p. Wicks K. R. Fractals and hyperspaces. Berlin: Springer-Verlag, 1991. vi+168 p. (Lecture Notes in Math.; 1492). Н. В. Працевитый (НПУ/ИМ) Фрактальная геометрия КПИ 2009 39 / 39

Add a comment

Related presentations

Related pages

Fractal - Wikipedia, the free encyclopedia

Introduction. The word "fractal" often has different connotations for laypeople than for mathematicians, where the layperson is more likely to be familiar ...
Read more

Fractal Geometry

This is a collection of pages meant to support a first course in fractal geometry for students without especially strong mathematical preparation, or any ...
Read more

Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ...

Kenneth Falconer - Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications jetzt kaufen. ISBN: 9781119942399, Fremdsprachige Bücher - Diskrete Mathematik
Read more

Fraktal – Wikipedia

Kenneth Falconer: FRACTAL GEOMETRY. Mathematical Foundations and Applications, Wiley 1997; Reinhart Behr: Fraktale, Formen aus Mathematik und Natur.
Read more

Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ...

Falconer K - Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications jetzt kaufen. 2 Kundrezensionen und 5.0 Sterne. …
Read more

Benoit Mandelbrot - Wikipedia, the free encyclopedia

He is recognized for his contribution to the field of fractal geometry, which included coining the word "fractal'", ...
Read more

IBM100 - Fractal Geometry - IBM - United States

Fractal geometry in They Were There. Learn more about Benoit Mandelbrot and fractal geometry in the IBM Centennial film, They Were There. (Beginning at 26:55)
Read more

Introduction to Fractal Geometry

Using this fractal as an example, we can prove that the fractal dimension is not an integer. First of all we have to find out how the "size" of an object ...
Read more

Fractal Design

Fractal Design. Friends... Friends of Fractal. Tweets by Fractal Design. Latest News. Define Nano Machine by Justin Ohlsen . 10/11/2016.
Read more

Deepest Mandelbrot Set Zoom Animation ever - YouTube

Standard YouTube License; Show more Show less. Loading... Advertisement ... Mandelbrot Fractal Set 3D - Enjoy the Trip ♪ ♫ ♬ - Duration: ...
Read more