F02 Analogies

50 %
50 %
Information about F02 Analogies
Education

Published on March 7, 2009

Author: azourna

Source: slideshare.net

Description

Αναλογίες, ιδιότητες αναλογιών, απλή μέθοδος των τριών, οι αναλογίες στη φύση, ακολουθία Fibonacci, τρίγωνο του Pascal

Αναλογίες Ορισμοί και Ιδιότητες Ζουρνά Άννας

Ονομάζουμε λόγο ενός αριθμού Α προς έναν άλλο Β  0 τον αριθμό λ επί τον οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο Β για να δώσει τον Α, δηλαδή: Λόγος δύο αριθμών Α και Β Α = λ Β 

Ονομάζουμε λόγο ενός αριθμού Α προς έναν άλλο Β  0 τον αριθμό λ επί τον οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο Β για να δώσει τον Α, δηλαδή:

Πιο απλά, ο λόγος του Α προς τον διάφορο του μηδενός αριθμό Β είναι το κλάσμα: Λόγος δύο αριθμών Α και Β

Πιο απλά, ο λόγος του Α προς τον διάφορο του μηδενός αριθμό Β είναι το κλάσμα:

Ονομάζουμε αναλογία την ισότητα δύο ή και περισσοτέρων λόγων, δηλαδή: Αναλογία Θα πρέπει και Β  0 και Δ  0

Ονομάζουμε αναλογία την ισότητα δύο ή και περισσοτέρων λόγων, δηλαδή:

Σε μία αναλογία Αναλογία - όροι οι αριθμητές Α και Γ ονομάζονται ηγούμενοι , οι παρονομαστές Β και Δ ονομάζονται επόμενοι , οι Α και Δ άκροι όροι και οι Β και Γ μέσοι όροι.

Σε μία αναλογία

Αν σε μία αναλογία οι μέσοι όροι είναι ίσοι τότε αυτή η αναλογία ονομάζεται συνεχής: Συνεχής Αναλογία Ο Β ονομάζεται γεωμετρικός μέσος των Α και Γ.

Αν σε μία αναλογία οι μέσοι όροι είναι ίσοι τότε αυτή η αναλογία ονομάζεται συνεχής:

Να βρείτε στις παρακάτω αναλογίες ποιοι είναι οι άκροι όροι, ποιοι οι μέσοι όροι, ποιοι είναι οι ηγούμενοι και ποιοι οι επόμενοι: Παράδειγμα Άκροι όροι Μέσοι όροι Ηγούμενοι Επόμενοι 5 και 9 3 και 15 5 και 15 3 και 9 34 και 7 14 και 17 34 και 17 14 και 7

Να βρείτε στις παρακάτω αναλογίες ποιοι είναι οι άκροι όροι, ποιοι οι μέσοι όροι, ποιοι είναι οι ηγούμενοι και ποιοι οι επόμενοι:

Σε μία αναλογία , το γινόμενο των άκρων όρων Α και Δ ισούται με το γινόμενο των μέσων όρων Β και Γ . Α  Δ = Β  Γ Ιδιότητες Αναλογιών Ι

Σε μία αναλογία , το γινόμενο των άκρων όρων Α και Δ ισούται με το γινόμενο των μέσων όρων Β και Γ .

Α  Δ = Β  Γ

Σε μία συνεχή αναλογία το τετράγωνο του μέσου Β ισούται με το γινόμενο των άκρων όρων Α και Γ. Β 2 = Α  Γ Ιδιότητες Αναλογιών ΙΙ

Σε μία συνεχή αναλογία

το τετράγωνο του μέσου Β ισούται με το γινόμενο των άκρων όρων Α και Γ.

Β 2 = Α  Γ

Έστω η συνεχής αναλογία Τότε το τετράγωνο του μέσου 10 , ισούται με το γινόμενο των άκρων 20 και 5 . 10 2 = 20  5 Παράδειγμα

Έστω η συνεχής αναλογία

Τότε το τετράγωνο του μέσου 10 , ισούται με το γινόμενο των άκρων 20 και 5 .

10 2 = 20  5

Δύο ποσά α και β λέγονται συμμεταβλητά όταν κάθε μεταβολή της τιμής του ενός ποσού, μεταβάλλει την τιμή του άλλου ποσού. Παράδειγμα Συμμεταβλητά ποσά είναι το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου και το εμβαδόν αυτού. Μεταβάλλοντας την πλευρά αλλάζουμε και το εμβαδόν . Συμμεταβλητά ποσά

Δύο ποσά α και β λέγονται συμμεταβλητά όταν κάθε μεταβολή της τιμής του ενός ποσού, μεταβάλλει την τιμή του άλλου ποσού.

Παράδειγμα

Συμμεταβλητά ποσά είναι το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου και το εμβαδόν αυτού.

Μεταβάλλοντας την πλευρά αλλάζουμε και το εμβαδόν .

Δύο ποσά α και β ονομάζονται ευθέως ανάλογα, ή πιο απλά ανάλογα, αν οι αντίστοιχες τιμές τους έχουν σταθερό λόγο. Δεν αρκεί να πούμε ότι αν αυξάνει το ένα ποσό να αυξάνει και η τιμή του άλλου ποσού. Ευθέως ανάλογα ποσά

Δύο ποσά α και β ονομάζονται ευθέως ανάλογα, ή πιο απλά ανάλογα, αν οι αντίστοιχες τιμές τους έχουν σταθερό λόγο.

Δεν αρκεί να πούμε ότι αν αυξάνει το ένα ποσό να αυξάνει και η τιμή του άλλου ποσού.

Να συμπληρωθεί το παρακάτω πινακάκι: Παράδειγμα ... 6,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

Να συμπληρωθεί το παρακάτω πινακάκι:

Η αξία των μήλων σε €, με την ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα Αν το 1 κιλό μήλα κοστίζει 1,5€ τότε για να βρούμε πόσο κοστίζουν τα 2 kg θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 1,5. ... 6,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα.

Η αξία των μήλων σε €, με την ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα Για να βρούμε πόσο κοστίζουν τα 3 kg μήλα θα κάνουμε πάλι πολλαπλασιασμό του 3 με το 1,5. ... 6,00 3,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα.

Η αξία των μήλων σε €, με την ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα Εδώ πρέπει να διαιρέσουμε το 6 με το 1,5 για να βρούμε πόσα kg μήλα μπορούμε να αγοράσουμε με 6€. ... 6,00 4,50 3,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα.

Η αξία των μήλων σε €, με την ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα ... 6,00 4,50 3,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 4 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα.

Η αξία των μήλων σε €, με την ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα Αν θέλουμε να αγοράσουμε x κιλά μήλα τότε πόσα χρήματα θα πρέπει να πληρώσουμε; ... 7,50 6,00 4,50 3,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 4 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα.

Η αξία των μήλων σε €, με την ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα O λόγος των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερός και ίσος με 1,5. 1,50  x ... 7,50 6,00 4,50 3,00 1,50 Αξία σε € x ... 5 4 3 2 1 Ποσότητα σε κιλά ( kg )

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg , είναι ποσά ανάλογα.

Να συμπληρωθεί το παρακάτω πινακάκι: Παράδειγμα Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 5 4 3 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

Να συμπληρωθεί το παρακάτω πινακάκι:

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα Για να βρούμε την περίμετρο του τετραγώνου αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το 1 με το 4. 20 12 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 4 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα Για να βρούμε την περίμετρο του τετραγώνου με πλευρά 2, θα πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 4. 20 12 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 4 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα Για να βρούμε την πλευρά τετραγώνου με περίμετρο 12, πρέπει να διαιρέσουμε το 12 με το 4. 20 12 8 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 4 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα 20 12 8 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 4 3 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα Για να βρούμε την πλευρά τετραγώνου με περίμετρο 20, πρέπει να διαιρέσουμε το 20 με το 4. 20 16 12 8 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 4 3 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα Αν η πλευρά είναι ίση με α τότε η περίμετρος είναι 4  α 20 16 12 8 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 5 4 3 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Παράδειγμα O λόγος των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερός και ίσος με 4. 4 α … 20 16 12 8 4 Περίμετρος τετραγώνου σε cm α … 5 4 3 2 1 Πλευρά τετραγώνου σε cm

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Για να επιλύσουμε κάποιο πρόβλημα πρέπει: να διαβάσουμε την εκφώνηση αρκετές φορές (να μπορούμε να πούμε το πρόβλημα απ’ έξω και με δικά μας λόγια) να εξετάσουμε κάθε δεδομένο προσεκτικά να καταλάβουμε τι ακριβώς μας ζητάει να ξεκινήσουμε τη λύση τμηματικά (πολλές φορές αρχίζοντας από το τέλος) Επίλυση προβλημάτων

Για να επιλύσουμε κάποιο πρόβλημα πρέπει:

να διαβάσουμε την εκφώνηση αρκετές φορές (να μπορούμε να πούμε το πρόβλημα απ’ έξω και με δικά μας λόγια)

να εξετάσουμε κάθε δεδομένο προσεκτικά

να καταλάβουμε τι ακριβώς μας ζητάει

να ξεκινήσουμε τη λύση τμηματικά (πολλές φορές αρχίζοντας από το τέλος)

Η μέθοδος αυτή μας βοηθάει να βρούμε το ζητούμενο σε ένα πρόβλημα με ανάλογα ποσά όταν η εκφώνηση μας δίνει τρία δεδομένα (γι αυτό και ονομάζεται έτσι). Το σημαντικό είναι να γράψουμε σωστά την κατάστρωση προσέχοντας να γράψουμε τα ίδια ποσά το ένα κάτω από το άλλο. Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα χρειάζεται να εφαρμόσουμε την απλή μέθοδο των τριών περισσότερες από μία φορές. Απλή μέθοδος των τριών

Η μέθοδος αυτή μας βοηθάει να βρούμε το ζητούμενο σε ένα πρόβλημα με ανάλογα ποσά όταν η εκφώνηση μας δίνει τρία δεδομένα (γι αυτό και ονομάζεται έτσι).

Το σημαντικό είναι να γράψουμε σωστά την κατάστρωση προσέχοντας να γράψουμε τα ίδια ποσά το ένα κάτω από το άλλο.

Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα χρειάζεται να εφαρμόσουμε την απλή μέθοδο των τριών περισσότερες από μία φορές.

Είναι πολύ σημαντική και στη Χημεία. Για να μπορέσετε του χρόνου να λύνετε άνετα τις ασκήσεις με τις αντιδράσεις προσέξτε καλά… Απλή μέθοδος των τριών

Είναι πολύ σημαντική και στη Χημεία.

Για να μπορέσετε του χρόνου να λύνετε άνετα τις ασκήσεις με τις αντιδράσεις προσέξτε καλά…

Τα υλικά για έξι ντουζίνες κουλουράκια, όπως δίνονται από μια συνταγή, είναι: 1 αυγό, μισό φλυτζάνι baking powder , του φλυτζανιού ζάχαρη, ένα κουτάκι βανίλια και 1,5 φλυτζάνι αλεύρι. Πόσο αλεύρι χρειάζεται, για να παρασκευασθούν 24 κουλουράκια ; Οι 6 ντουζίνες είναι 6  12 = 72 κουλουράκια Παράδειγμα Ι Για 72 κουλουράκια χρειαζόμαστε 1,5 φλ. αλεύρι Για 24 κουλουράκια χρειαζόμαστε ; = x φλ. αλεύρι x = 1,5  = = 0,5 φλυτζάνι αλεύρι θα χρειαστούμε για 24 κουλουράκια 24 72 36 72

Τα υλικά για έξι ντουζίνες κουλουράκια, όπως δίνονται από μια συνταγή, είναι: 1 αυγό, μισό φλυτζάνι baking powder , του φλυτζανιού ζάχαρη, ένα κουτάκι βανίλια και 1,5 φλυτζάνι αλεύρι. Πόσο αλεύρι χρειάζεται, για να παρασκευασθούν 24 κουλουράκια ;

Οι 6 ντουζίνες είναι 6  12 = 72 κουλουράκια

Για 72 κουλουράκια

χρειαζόμαστε 1,5 φλ. αλεύρι

Για 24 κουλουράκια

χρειαζόμαστε ; = x φλ. αλεύρι

x =

1,5 

=

=

0,5 φλυτζάνι αλεύρι θα χρειαστούμε για 24 κουλουράκια

24

72

36

72

Αν τα 3 m ενός υφάσματος κοστίζουν 42€ να υπολογίσετε πόσο θα κοστίσουν 8 m από το ίδιο ύφασμα. Παράδειγμα ΙΙ Για 3 m υφάσματος θα πληρώσουμε 42 € Για 8 m υφάσματος θα πληρώσουμε ; = x € x = 42  = 112 € θα κοστίσουν τα 8 m από το ίδιο ύφασμα 1 14 Πρέπει στην κατάστρωση να προσέξετε πολύ… 8 3

Αν τα 3 m ενός υφάσματος κοστίζουν 42€ να υπολογίσετε πόσο θα κοστίσουν 8 m από το ίδιο ύφασμα.

Για 3 m υφάσματος

θα πληρώσουμε 42 €

Για 8 m υφάσματος

θα πληρώσουμε ; = x €

x =

42 

=

112 € θα κοστίσουν τα 8 m από το ίδιο ύφασμα

1

14

8

3

Θεωρία: Σελ. 96 Ασκήσεις 1 σελ. 98 πάνω στο βιβλίο 1, 2, 3 και 4 σελ. 105 Εργασία για το Σπίτι Δεν τελείωσε το μάθημα, είμαστε μόλις στην αρχή …

Θεωρία:

Σελ. 96

Ασκήσεις

1 σελ. 98 πάνω στο βιβλίο

1, 2, 3 και 4 σελ. 105

με ένα άλλο μάτι… Και τώρα ας δούμε τις αναλογίες

με ένα άλλο μάτι…

πίσω από την τέλεια κατασκευαστική αρμονία του κόσμου που μας περιβάλλει; Έχετε ποτέ αναρωτηθεί τι κρύβεται

πίσω από την τέλεια κατασκευαστική αρμονία του κόσμου που μας περιβάλλει;

ένα όργανο κατασκευασμένο έτσι ώστε να κρατάει σταθερό το λόγο των αποστάσεων που μετράμε. Στην αναζήτηση αυτή θα μας βοηθήσει α β σταθερός

ένα όργανο κατασκευασμένο έτσι ώστε να κρατάει σταθερό το λόγο των αποστάσεων που μετράμε.

Η κλασσική ομορφιά των αρχαίων ελληνικών γλυπτών Αφροδίτη της Μήλου Μουσείο του Λούβρου

Ερμής του Πραξιτέλη Μουσείο της Ολυμπίας Η κλασσική ομορφιά των αρχαίων ελληνικών γλυπτών

Ερμής του Πραξιτέλη

Μουσείο της Ολυμπίας

Στα μουσικά όργανα

Δεν έχουν άδικο όσοι λένε ότι η τσιπούρα είναι ένα όμορφο ψάρι… Για να δούμε και στα ψάρια... Όμορφο ξε όμορφο εμένα, δε θα με φάτε…

Δεν έχουν άδικο όσοι λένε ότι η τσιπούρα είναι ένα όμορφο ψάρι…

Στη φύση…

Ακόμη και στα οστά…

Και στα πρόσωπα …

Θα μπορούσαμε να βρούμε άπειρα παραδείγματα, αλλά ας δούμε ποιος είναι αυτός ο σταθερός αριθμό και ποιος πρώτος άρχισε να παρατηρεί τις αναλογίες αυτές… Και στα πρόσωπα …

Θα μπορούσαμε να βρούμε άπειρα παραδείγματα, αλλά ας δούμε ποιος είναι αυτός ο σταθερός αριθμό και ποιος πρώτος άρχισε να παρατηρεί τις αναλογίες αυτές…

Η χρυσή τομή 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317 931800607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752087668925017116962070322210432162695486262963136144381497587012203408058879 544547492461856953648644492410443207713449470495658467885098743394422125448770664780915884607499887124007652170575179788341662562494075890697 040002812104276217711177780531531714101170466659914669798731761356006708748071013179523689427521948435305678300228785699782977834784587822891 109762500302696156170025046433824377648610283831268330372429267526311653392473167111211588186385133162038400522216579128667529465490681131715 993432359734949850904094762132229810172610705961164562990981629055520852479035240602017279974717534277759277862561943208275051312181562855122 248093947123414517022373580577278616008688382952304592647878017889921990270776903895321968198615143780314997411069260886742962267575605231727 775203536139362107673893764556060605921658946675955190040055590895022953094231248235521221241544400647034056573479766397239494994658457887303 962309037503399385621024236902513868041457799569812244574717803417312645322041639723213404444948730231541767689375210306873788034417009395440 962795589867872320951242689355730970450959568440175551988192180206405290551893494759260073485228210108819464454422231889131929468962200230144 377026992300780308526118075451928877050210968424936271359251876077788466583615023891349333312231053392321362431926372891067050339928226526355 620902979864247275977256550861548754357482647181414512700060238901620777322449943530889990950168032811219432048196438767586331479857191139781 539780747615077221175082694586393204565209896985556781410696837288405874610337810544439094368358358138113116899385557697548414914453415091295 407005019477548616307542264172939468036731980586183391832859913039607201445595044977921207612478564591616083705949878600697018940988640076443 617093341727091914336501371576601148038143062623805143211734815100559013456101180079050638142152709308588092875703450507808145458819906336129 827981411745339273120809289727922213298064294687824274874017450554067787570832373109759151177629784432847479081765180977872684161176325038612 112914368343767023503711163307258698832587103363222381098090121101989917684149175123313401527338438372345009347860497929459915822012581045982 309255287212413704361491020547185549611808764265765110605458814756044317847985845397312863016254487611485202170644041116607669505977578325703 951108782308271064789390211156910392768384538633332156582965977310343603232254574363720412440640888267375843395367959312322134373209957498894 699565647360072959998391288103197426312517971414320123112795518947781726914158911779919564812558001845506563295285985910009086218029775637892 599916499464281930222935523466747593269516542140210913630181947227078901220872873617073486499981562554728113734798716569527489008144384053274 837813782466917444229634914708157007352545707089772675469343822619546861533120953357923801460927351021011919021836067509730895752895774681422 954339438549315533963038072916917584610146099505506480367930414723657203986007355076090231731250161320484358364817704848181099160244252327167 219018933459637860878752870173935930301335901123710239171265904702634940283076687674363865132710628032317406931733448234356453185058135310854 973335075996677871244905836367541328908624063245639535721252426117027802865604323494283730172557440583727826799603173936401328762770124367983 114464369476705312724924104716700138247831286565064934341803900410178053395058772458665575522939158239708417729833728231152569260929959422400 005606266786743579239724540848176519734362652689448885527202747787473359835367277614075917120513269344837529916499809360246178442675727767900 191919070380522046123248239132610432719168451230602362789354543246176997575368904176365025478513824631465833638337602357789926729886321618583 959036399818384582764491245980937043055559613797343261348304949496868108953569634828178128862536460842033946538194419457142666823718394918323 709085748502665680398974406621053603064002608171126659954199368731609457228881092077882277203636684481532561728411769097926666552238468831137 185299192163190520156863122282071559987646842355205928537175780765605036773130975191223973887224682580571597445740484298780735221598426676 …

Χρυσή τομή και ο Πυθαγόρας Ο Πυθαγόρας ο μεγάλος Έλληνας μαθηματικός της αρχαιότητας ήταν ο πρώτος που παρατήρησε την κατασκευαστική αρμονία των δέντρων , των φυτών και των ζώων.

Ο Πυθαγόρας ο μεγάλος Έλληνας μαθηματικός της αρχαιότητας ήταν ο πρώτος που παρατήρησε την κατασκευαστική αρμονία των

δέντρων , των φυτών και των ζώων.

Η ομορφιά τους εξηγείται από την αρμονία ανάμεσα στον κορμό, τα μεγάλα κλαδιά και τα μικρότερα κλαδιά, ανάμεσα στο μήκος κορμού και άκρων. Για να μπορέσει να βρει κάποιον κανόνα για αυτήν την αρμονία , ξεκίνησε τις μετρήσεις. Χρυσή τομή και αναλογίες στη Φύση

Η ομορφιά τους εξηγείται από την αρμονία ανάμεσα στον κορμό, τα μεγάλα κλαδιά και τα μικρότερα κλαδιά, ανάμεσα στο μήκος κορμού και άκρων.

Για να μπορέσει να βρει κάποιον κανόνα για αυτήν την αρμονία , ξεκίνησε τις μετρήσεις.

Χρυσή τομή και αναλογίες στη Φύση Μέτρησε σε δέντρα το … Μήκος του κορμού του δέντρου = α Μήκος μεγάλου κλαδιού = β Μήκος μικρού κλαδιού = γ Παρατήρησε διαιρώντας τα μήκη ότι: 1,62 γ β β α

Μέτρησε σε δέντρα το …

Παρατήρησε ότι αυτή η αναλογία εμφανιζότανε μέχρι και στις ρίζες των δέντρων. Εκτός από τα φυτά και τα δέντρα, έκανε παρόμοιες μετρήσεις και συγκρίσεις τόσο στα ζώα όσο και στους ανθρώπους. Χρυσή τομή και αναλογίες στη Φύση

Παρατήρησε ότι αυτή η αναλογία εμφανιζότανε μέχρι και στις ρίζες των δέντρων.

Εκτός από τα φυτά και τα δέντρα, έκανε παρόμοιες μετρήσεις και συγκρίσεις τόσο στα ζώα όσο και στους ανθρώπους.

Χρυσή τομή = Θεϊκή αναλογία Την αναλογία αυτήν την ονόμασαν θεϊκή αναλογία γιατί πίστευαν ότι μόνο θεός θα μπορούσε να έχει φτιάξει τον κόσμο με αρμονία και με τόση μαεστρία. Ο Πλάτων έλεγε ότι ο αριθμός αυτός βρίσκεται στο υπερουράνιο τόπο.

Την αναλογία αυτήν την ονόμασαν θεϊκή αναλογία γιατί πίστευαν ότι μόνο θεός θα μπορούσε να έχει φτιάξει τον κόσμο με αρμονία και με τόση μαεστρία.

Ο Πλάτων έλεγε ότι ο αριθμός αυτός βρίσκεται στο υπερουράνιο τόπο.

Εύρεση της Χρυσής Τομής Το ενδέκατο θεώρημα του Ευκλείδη είναι το πρόβλημα του χωρισμού ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο . Δηλαδή, η διαίρεση ενός δεδομένου ευθυγράμμου τμήματος σε δύο τμήματα τέτοια, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου με πλευρές την δοθείσα και το ένα μέρος αυτής να ισούται με το τετράγωνο του άλλου μέρους. Επειδή τέμνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ονομάζεται και πρόβλημα της Χρυσής Τομής .

Το ενδέκατο θεώρημα του Ευκλείδη είναι το πρόβλημα του χωρισμού ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο . Δηλαδή, η διαίρεση ενός δεδομένου ευθυγράμμου τμήματος σε δύο τμήματα τέτοια, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου με πλευρές την δοθείσα και το ένα μέρος αυτής να ισούται με το τετράγωνο του άλλου μέρους.

Επειδή τέμνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ονομάζεται και πρόβλημα της

Χρυσής Τομής .

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Βήμα 1 o Α Β Γ Σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τις ΑΒ και ΒΓ, όπου ΑΒ = 2ΒΓ

Βήμα 1 o

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Βήμα 2 o Α Β Γ Φέρνουμε κύκλο με κέντρο το Γ και με ακτίνα r = ΒΓ .

Βήμα 2 o

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Βήμα 3 o Α Β Γ Ο κύκλος τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Δ . Δ

Βήμα 3 o

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Βήμα 4 o Α Β Γ Με κέντρο το Α και με ακτίνα R = ΑΔ φέρνουμε κύκλο που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε. Δ Ε

Βήμα 4 o

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Βήμα 5 o Α Β Γ Βρήκαμε το σημείο Ε που χωρίζει το ΑΒ σε δύο μέρη με λόγο: Δ Ε ΑΕ ΒΕ φ 1,618

Βήμα 5 o

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο. Βήμα 6 o Α Β Γ Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσο με (ΑΕ) 2 . Δηλαδή: ΑΒ  ΕΒ = (ΑΕ) 2 Δ Ε Ίσο με την ΕΒ ΑΕ ΒΕ φ 1,618

Βήμα 6 o

Χρυσή τομή και χρυσά τρίγωνα Υπάρχουν δύο ειδών χρυσά τρίγωνα: Το χρυσό ισοσκελές τρίγωνο Το χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο 36 ο 1 φ

Υπάρχουν δύο ειδών χρυσά τρίγωνα:

Ποιο είναι το χρυσό ορθογώνιο; Αυτό που σας φαίνεται πιο αρμονικό. Χρυσή τομή και χρυσό ορθογώνιο Γ Β Α Δ Ι Ζ Η Ε

Ποιο είναι το χρυσό ορθογώνιο;

Αυτό που σας φαίνεται

πιο αρμονικό.

Είναι το Γ . Σε αυτό που ο λόγος Χρυσή τομή και χρυσό ορθογώνιο μήκος πλάτος φ 1,618 Site στα Αγγλικά για το Φ Το φ Γ Β Α Δ Ι Ζ Η Ε Γ

Είναι το Γ .

Σε αυτό που ο λόγος

Τα χρυσά ορθογώνια στη φύση

Χρυσή τομή και γλυπτική Ο Mark Barr , το 1909, συμβόλισε το λόγο της αναλογίας με το γράμμα φ από τον μεγάλο γλύπτη της αρχαιότητας Φειδία . Πληροφορίες για τον Φειδία.

Ο Mark Barr , το 1909, συμβόλισε το λόγο της αναλογίας με το γράμμα φ από τον μεγάλο γλύπτη της αρχαιότητας Φειδία .

Η χρυσή τομή στην Αρχαία Ελλάδα

Η χρυσή τομή στην Αρχαία Ελλάδα Το αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου

Το αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου

Τα χρυσά τρίγωνα στην Πυραμίδα του Χέοπα 146,6 m 237,2 m α β

Η χρυσή τομή στην τέχνη Leonardo Da Vinci

Leonardo Da Vinci

Η χρυσή τομή στην τέχνη Leonardo Da Vinci Πληροφορίες για τον Βιτρούβιο

Leonardo Da Vinci

Η χρυσή τομή και στην αρχιτεκτονική K ölner Dom Notre – Dame

και στη σύγχρονη αρχιτεκτονική Το κτήριο του ΟΗΕ

Το κτήριο του ΟΗΕ

Η χρυσή αναλογία στο ανθρώπινο σώμα

Αρμονία και μουσική Στην αρμονία των ήχων που βγάζουν οι χορδές με λόγο ίσο με το φ στηρίχθηκαν τα πρώτα έγχορδα μουσικά όργανα.

Στην αρμονία των ήχων που βγάζουν οι χορδές με λόγο ίσο με το φ στηρίχθηκαν τα πρώτα

έγχορδα μουσικά όργανα.

Χρυσή τομή και μουσική Επιλέξτε κάποια από τις παρακάτω συνδέσεις για να παίξετε πιάνο online. Ο Beethoven (1770 – 1827) στην πέμπτη συμφωνία του χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή

Επιλέξτε κάποια από τις παρακάτω συνδέσεις για να παίξετε πιάνο online.

 

Οι αριθμοί Fibonacci Ο Leonardo Pisano Fibonacci γεννήθηκε στην Πίζα της Ιταλίας το 1175 μ.Χ. και πέθανε περίπου το 1240μ.Χ. Ταξιδεύοντας, γνώρισε το Αραβικό σύστημα αρίθμησης , το οποίο και μετέφερε στην Ευρώπη. Έως τότε χρησιμοποιούνταν το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης. I, II, III, IV, V,... Έχουν σωθεί 4 βιβλία του και ένα γράμμα.

Οι αριθμοί Fibonacci Το 1202 γράφει στο βιβλίο του Liber Abaci για μια σειρά αριθμών : Η σειρά αρχίζει με το 0 και το 1 Κάθε επόμενος αριθμός προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών . Η σειρά έχει άπειρους όρους. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Σε αυτούς τους αριθμούς κατέληξε μελετώντας ένα ζευγάρι κουνέλια και τους απογόνους αυτών, αφού θεώρησε ότι κάθε μήνα γεννούσαν από ένα ζευγάρι και για να αρχίσει το ζευγάρι να παράγει απογόνους θα έπρεπε να έχει περάσει ένας μήνας από την ημερομηνία γέννησης αυτού. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … Σα πολλοί θα γίνουμε μετά από ένα χρόνο… Πλήθος ζευγαριών

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … Το πλήθος των κλαδιών, των φύλλων και των λουλουδιών στα δέντρα

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση Αυτό το κουκουνάρι έχει 13 αριστερόστροφες σπείρες και 8 δεξιόστροφες. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Αυτό το κουκουνάρι έχει

13 αριστερόστροφες σπείρες και

8 δεξιόστροφες.

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση Αυτά τα ηλιοτρόπια έχουν 55 δεξιόστροφες και 34 αριστερόστροφες σπείρες. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση Μέχρι και πάνω στο κουνουπίδι μπορούμε να μετρήσουμε σπείρες που το πλήθος τους είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί της σειράς Fibonacci. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Μέχρι και πάνω στο κουνουπίδι μπορούμε να μετρήσουμε σπείρες που το πλήθος τους είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί της σειράς Fibonacci.

Φτιάχνοντας μία σπείρα

Ο ναυτίλος και οι σπείρες

Ο ναυτίλος και οι σπείρες

Οι γαλαξίες και οι σπείρες

Οι κυκλώνες και οι σπείρες

Οι ρουφήχτρες και οι σπείρες Αυτό είναι ένα καράβι…

Και το φ πως συνδέεται με τους αριθμούς Fibonacci ;

Αν πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους της σειράς Fibonacci, τότε το πηλίκο τους είναι τόσο κοντά στον αριθμό φ όσο πιο μεγάλοι είναι οι αριθμοί αυτοί. Δηλαδή;

3 1,619 Αριθμοί Fibonacci και φ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … 2 1,5 5 3 1,67 8 5 1,6 13 8 1,625 21 13 1,615 34 21 55 34 1,6179 Και όσο προχωράμε τα πηλίκα θα προσεγγίζουν ακόμη περισσότερο τον αριθμό φ y x φ 1,618

3

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci Έχουμε μία ευθεία με εξίσωση y= φ  x 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … Είναι πολύ κοντά στην ευθεία

Έχουμε μία ευθεία με εξίσωση

y= φ  x

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci Στην ευθεία αυτή σε όλα τα σημεία ( x, y) ισχύει ότι: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … Είναι σχεδόν πάνω στην ευθεία y x φ 1,618

Στην ευθεία αυτή σε όλα τα σημεία ( x, y) ισχύει ότι:

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci Στην ευθεία αυτή σε όλα τα σημεία ( x, y) ισχύει ότι: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … y x φ 1,618 Είναι σημείο της ευθείας

Στην ευθεία αυτή σε όλα τα σημεία ( x, y) ισχύει ότι:

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci Στην ευθεία αυτή σε όλα τα σημεία ( x, y) ισχύει ότι: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … y x φ 1,618

Στην ευθεία αυτή σε όλα τα σημεία ( x, y) ισχύει ότι:

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci Παρατηρούμε ότι τα σημεία με συντεταγμένες διαδοχικούς αριθμούς της σειράς Fibonacci ανήκουν στην ίδια ευθεία (για x > 3). 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … y x φ 1,618

Παρατηρούμε ότι τα σημεία με συντεταγμένες διαδοχικούς αριθμούς της σειράς Fibonacci ανήκουν στην ίδια ευθεία

(για x > 3).

Το τρίγωνο του Pascal και οι αριθμοί Fibonacci (1623 – 1662) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … Blaise Pascal Αναλυτική βιογραφία στα αγγλικά Ένα περιεκτικό site για τους αριθμούς που μπορούμε να βρούμε στο τρίγωνο του Pascal.

(1623 – 1662)

Το τρίγωνο του Pascal και οι αριθμοί Fibonacci Αν προσθέσουμε διαγώνια τους αριθμούς στο τρίγωνο, προκύπτουν οι αριθμοί Fibonacci. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … 1 2 3 5 8 1 13 21 34 55 89 Το τρίγωνο συνεχώς μεγαλώνει και τα αθροίσματα συνεχίζονται.

Αν προσθέσουμε διαγώνια τους αριθμούς στο τρίγωνο, προκύπτουν οι αριθμοί Fibonacci.

Και το συμπέρασμα ποιο είναι;

Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί… Αλλά αυτή η φράση μας παραπέμπει σε έναν άλλο σπουδαίο αριθμό για τον οποίο θα μιλήσουμε λίγο πιο μετά…

Γεωμετρία των φυτών

Add a comment

Related presentations

Related pages

The sheep analogy extended - Metrics - Physics Education ...

Metrics for the article The sheep analogy extended. ... Jennie McKelvie 2003 Phys. Educ. 38 477 doi:10.1088/0031-9120/38/6/F02. The sheep analogy extended
Read more

The sheep analogy extended - IOPscience

The sheep analogy extended View the table of contents for this issue, or go to the journal homepage for more
Read more

Analogies and Other Regimes of International Law by ...

The starting point of this chapter is that investment law partly borrows and partly diverges from pre-existing regimes of international law, and an interpreter
Read more

NS4H HE1 F02 Study Guide - California State University, Fresno

NS4H Fall 2002 HE1 Study Guide. The following Informal Fallacies from Weird Things, ... Faulty Analogy Appeal to Authority Appeal to the Masses
Read more

Ancient & Medieval Philosophy - FirstPaper_f08

Ancient & Medieval Philosophy First Paper Assignment. ... The analogies are stated as examples of the more general claims you are to include in your summary.
Read more

NS4 Fall 2002 HE1 Study Guide

NS4 Fall 2002 HE1 Study Guide. The following Informal Fallacies from Weird Things, ... Faulty Analogy Appeal to Authority Appeal to the Masses
Read more

The Observable Universe and Beyond

Note that contrary to the balloon analogy, it is the space itself that is expanding.
Read more

Review Topics for Exam 2

cube analogies; how to pass from a cube in a lesser dimension to one in the next higher dimension; the faces of an n-dimensional cube as (n - 1) ...
Read more