Expansão em caos polinomial

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Published on October 22, 2008

Author: wfreitas

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Slides presented at my doctorate qualification exam.

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Expans˜o em caos polinomial a Wilson N. de Freitas Departamento de Engenharia El´trica — PUC–Rio e 31 de Agosto de 2007

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e 1 Introdu¸˜o e toolbox ca Expans˜o em Caos Polinomial (ECP) a Espa¸o de Hilbert c Expans˜es ortogonais o Espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis L2 (D) c co a Polinˆmios ortogonais o Defini¸˜o de Caos Polinomial ca 2 ECP em EDE Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas co a M´todo de Galerkin e 3 Estudo de caso: EDO estoc´stica a EDO com termo aleat´rio o 4 Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Oscilador aleat´rio de segunda ordem o 5 Referˆncias e

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Expans˜o em Caos Polinomial (ECP) a Caos Polinomial Proposo por Norbert Wiener em 1938 Emprega polinˆmios de Hermite em termos de vari´veis o a aleat´rias Gaussianas para descrever vari´veis aleat´rias. o a o E como ´ que isso acontece? e

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Espa¸o de Hilbert c Espa¸o de Hilbert H c ´ um espa¸o vetorial sobre um corpo F (que pode ser R ou C) e c possui produto interno ·, · ´ completo como espa¸o m´trico, com rela¸˜o ` m´trica (d(·, ·)) e c e ca a e gerada pela norma ( · ) induzida pelo produto interno v = v, v , onde v ∈ H e d(u, v) = u − v , onde u, v ∈ H Espa¸os de Hilbert populares c (Rn ; ·, · ) (C n ; ·, · ) (L2 (D); ·, · )

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Expans˜es ortogonais o Definition Um conjunto de vetores Φ ∈ H ´ um conjunto ortonormal se qualquer e par de vetores distintos φi , φj ∈ Φ s˜o ortogonais, isto ´, φi , φj = 0 a e sempre que i = j e adicionalmente, φi = 1 para cada φi ∈ Φ Theorem Teorema das s´ries de Fourier: Seja Φ = {φn }n∈N um conjunto e ortonormal cont´vel em um espa¸o de Hilbert H, ent˜o, Φ ´ uma base a c a e ortonormal de H. Cada y ∈ H tem uma unica expans˜o em Φ ´ a y= y, φn φn n∈N

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis L2 (D) c co a L2 (D) L2 (D) ´ o espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis em um e c co a dom´ D ınio f ∈ L2 (D) se |f (x)|2 dx < ∞ D O produto interno em L2 (D) ´ e f, g = f (x)g(x)dx D Vari´veis aleat´rias com variˆncia finita tamb´m pertencem ` L2 (D) a o a e a E |X|2 = |x|2 dP (x) = |x|2 f (x)dx < ∞ D D Nesse caso o produto interno ´ e X, Y = E XY = xydP (x, y) = xyf (x, y)dxdy D D

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Polinˆmios ortogonais o Polinˆmios ortogonais o Seja {Qn (x)}∞ um conjunto de polinˆmios e n ´ o grau do polinˆmio n=0 o e o Quando os polinˆmios s˜o fun¸˜es de uma vari´vel aleat´ria X temos a o a co a o seguinte rela¸˜o ca E Qn (X)Qm (X) = Qn (x)Qm (x)dP (x) D = Qn (x)Qm (x)f (x)dx D = hn δnm Vari´veis aleat´rias a o Polinˆmios o Dom´ ınio Gaussiana Hermite (−∞, ∞) Gama Laguerre [0, ∞) Beta Jacobi [a, b] Uniform Legendre [a, b] Poisson Charlier {0, 1, . . . } Binomial Krawtchouk {0, 1, . . . , N }

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Polinˆmios ortogonais o Polinˆmios ortogonais o Polinˆmios de Hermite Hn (x) o 2 n 2 Defini¸˜o ca e−x Hn (x) = (−1)n dxn e−x d ∞ −x2 Ortogonalidade √1 −∞ e Hm (x)Hn (x)dx = 2n n!δmn π (α) Polinˆmios de Laguerre Ln (x) o Defini¸˜o ca e−x xα Ln (α) 1 dn (x) = n! dxn e−x xn+α , α > −1 ∞ −x α (α) (α) Γ(n+α+1) Ortogonalidade 0 e x Lm (x)Ln (x)dx = n! δmn Polinˆmios de Charlier Cn (x; a) o Defini¸˜o ca ax C (x; a) = n ax ,a>0 x! n x! Ortogonalidade ∞ ax C (x; a)C (x; a) = a−n ea n!δmn x=0 x! m n

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Defini¸˜o de Caos Polinomial ca Defini¸˜o de Caos Polinomial ca Considere Θ o conjunto de todas as vari´veis aleat´rias com variˆncia a o a finita relacionadas ao espa¸o amostral Ω. Se ξ ∈ Θ ent˜o ξ : Ω → R. c a Para cada ξ ∈ Θ ent˜o a D |ξ|2 dP (ξ) < ∞ e portanto Θ ´ um espa¸o de e c Hilbert. Seja {Φp }∞ um conjunto de polinˆmios ortogonais em Θ, logo, p=0 o Φp : Θ → Θ. Pelo teorema de s´ries de Fourier pode-se expandir qualquer elemento de e Θ em {Φp }∞p=0 ∞ X(ω) = xi Φi (ξ(ω)) i=0 O conjunto {Φp }∞ ´ o Caos Polinomial p=0 e

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Defini¸˜o de Caos Polinomial ca O que foi visto at´ agora? e Defini¸˜o de espa¸os de Hilbert ca c Teorema de s´ries de Fourier e L2 (D) Polinˆmios ortogonais o E o que fazer com tudo isso ?

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas co a Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas co a Considere a equa¸˜o diferencial estoc´stica: ca a Λu = f Λ ≡ Λ(x, t, ω) ´ um operador diferencial estoc´stico com e a derivadas em t e x e com um termo aleat´rio ω o u ≡ u(x, t; ω) ´ a fun¸˜o inc´gnita e ca o x e t s˜o as vari´veis independentes a a f ≡ f (x, t; ω) ´ o termo de excita¸˜o, aleat´ria ou n˜o e ca o a

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas co a Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas co a A solu¸˜o u pode ser expandida em caos polinomial ca ∞ u(x, t; ω) = ui (x, t)Φi (ξ(ω)) i=0 Para obter uma aproxima¸˜o anal´ ca ıtica da solu¸˜o ´ necess´rio truncar a ca e a s´rie em um n´mero P finito de termos. e u P u(x, t; ω) = ui (x, t)Φi (ξ(ω)) i=0 O truncamento introduz um erro de aproxima¸˜o na solu¸˜o u. ca ca Considere o erro r(x, t) de aproxima¸˜o como ca r(x, t) = Λu − f quando u ´ representado pela s´rie truncada. e e

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e M´todo de Galerkin e M´todo de Galerkin e Exigindo que o erro r seja ortogonal ao subespa¸o gerado pelo c conjunto {Φi }P temos que: i=0 r(x, t), Φi = 0 onde i = 0, 1, . . . , P Com isso Λu − f, Φi = 0 Λu, Φi = f, Φi Λ( j uj Φj ), Φi = f, Φi j Λuj Φj , Φi = f, Φi Λui = f, Φi temos um conjunto de P equa¸˜es diferenciais deterministicas. co Esta abordagem ´ conhecida como m´todo de Galerkin. e e

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o EDO com termo aleat´rio o Consideremos a seguinte equa¸˜o diferencial ordin´ria com termo ca a aleat´rio o dy(t) = −ky(t) dt k ≡ k(ω) = k(ξ(ω)) ´ uma vari´vel aleat´ria com fun¸˜o de e a o ca probabilidade f (k) A solu¸˜o y(t) pode ser redefinida como y(t, ω) = y(t, ξ(ω)) e ca portanto pode ser aplicada a ECP. P y(t, ω) = yi (t)Φi (ξ(ω)) i=0 A vari´vel aleat´ria k(ω) pode ser escrita na mesma base de y(t, ω) a o P k(ω) = ki Φi (ξ(ω)) i=0

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Aplicando a ECP Substituindo as expans˜es na equa¸˜o diferencial temos: o ca P P P dy(t) Φi = − Φi Φj ki yj (t) i=0 dt i=0 j=0 Aplicando o m´todo de Galerkin ` equa¸˜o acima temos: e a ca P P dyl (t) Φl , Φl = − Φi Φj , Φl ki yj (t) dt i=0 j=0 onde l = 0, 1, . . . , P . Este sistema de equa¸˜es diferenciais deterministicas pode ser co resolvido com m´todos num´rios convencionais, como exemplo: e e m´todo de Euler ou Runge-Kutta de segunda ou quarta ordem. e Ainda faltam as condi¸˜es iniciais. co

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Valor esperado da solu¸˜o ca Tomando o valor esperado da solu¸˜o y(t, ω) na ECP ca P E y(t, ω) = yi (t)E Φi (ξ(ω)) i=0 O valor esperado est´ intimamente ligada ao produto interno na a base {Φi }∞ , logo: i=0 E Φi (ξ(ω)) = Φi (ξ(ω)), Φ0 (ξ(ω)) = 0 para todo i > 0, pois Φ0 = 1 para a maioria dos casos. O valor esperado de uma ECP sempre recai sobre o seu primeiro termo. E y(t, ω) = y0 (t)

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Condi¸˜es de contorno co As condi¸˜es de contorno recaem sobre o primeiro termo da ECP, co como foi visto no m´todo de Galerkin. e E y(0, ω) = y0 (0) = y0 = constante De posse das condi¸˜es iniciais ´ poss´ resolver o sistema de co e ıvel equa¸˜es diferenciais co P P dyl (t) Φl , Φl = − Φi Φj , Φl ki yj (t) dt i=0 j=0 para l = 0, 1, . . . , P . O objetivo ´ encontrar a y0 (t) numericamente, pois este termo e representa o valor esperado da solu¸˜o y(t, ω). ca

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Resolvendo a EDO sem a ECP A condi¸˜o inicial ca y(0, ω) = y0 constante em qualquer cen´rio. Tamb´m poderia ser uma vari´vel a e a aleat´ria, contanto que fosse ortogonal ` k para n˜o complicar nas contas. o a a O valor esperado da solu¸˜o estoc´stica ´ dado por: ca a e E y(t, ω) = y0 e−kt f (k)dk D De posse desta solu¸˜o anal´ ca ıtica pode-se comparar com a ECP. Considerando o seguinte erro yECP (t) − y(t) (t) = y(t) onde y(t) ´ o valor esperado da solu¸˜o estoc´stica e e ca a yECP (t) = y0 (t), que ´ o valor esperado da ECP. e Nas simula¸˜es foi considerado y0 (0) = 1 e o erro foi calculado em t = 1. co

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Muito bl´ bl´ bl´ . . . Mas como isso funciona na pr´tica a a a a Na pr´tica tem-se a equa¸˜o diferencial a ca dy(t) = −ky(t) dt A natureza estoc´stica da vari´vel k ≡ k(ω) ´ conhecida. Por exemplo, k a a e 2 ´ uma vari´vel aleat´ria Gaussiana com m´dia µk e variˆncia σk . e a o e a Escolhe-se o conjunto de polinˆmios {Φi }∞ da ECP. o i=0 O resto ´ conta! e ´ E importante Escolher o conjunto de polinˆmios que esteja relacionado com as vari´veis o a aleat´rias do problema. o Escolher adequadamente os polinˆmios: o facilita o c´lculo dos produtos internos e dos coeficientes; a garante convergˆncia exponencial da solu¸˜o (veja nos e ca pr´ximos slides); o

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Como encontrar os coeficientes da expans˜o a Os coeficientes da expans˜o veem do teorema de s´ries de Fourier, s´ que a e o na s´rie truncada. e P k(ω), Φi (ξ(ω)) k(ω) = Φi (ξ(ω)) i=0 Φi , Φi Encontrar k(ω), Φi (ξ(ω)) depende da vari´vel aleat´ria representada a o por k. Na pr´tica, esse produto interno ´ uma integral. a e k(ω), Φi (ξ(ω)) = kΦi (ξ)dP (ξ) D Formas de resolver essa integral: na ra¸a c m´todos num´ricos (quadraturas) e e Monte–Carlo

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Exemplo de como encontrar os coeficientes da expans˜o a Considere k uma vari´vel aleat´ria exponencial, logo, f (k) = e−k para a o k > 0. A inversa da sua fun¸˜o distribui¸˜o F (k) ´ ca ca e k = h(u) ≡ F −1 (u) = − ln(1 − u) onde u ∼ U (0, 1) Usando ξ ∼ Gaussiana(0, 1) tem-se que a sua inversa ´: e ξ = l(u) ≡ G−1 (u) Substituindo na integral do produto interno 1 k(ω), Φi (ξ(ω)) = h(u)Φi (l(u))du 0 E agora ´ m˜os a obra! e a

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Distribui¸˜o Gaussiana e polinˆmios de Hermite ca o k ∼ Gaussiana(k; 0, 1) Φi s˜o polinˆmios de Hermite. a o Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado. e

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Distribui¸˜o Gama e polinˆmios de Laguerre ca o k ∼ Gama(k; α) Φi s˜o polinˆmios de Laguerre. a o Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado. α = 0 distribui¸˜o exponencial (quadrados), α = 1 e ca (triˆngulos). a

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Distribui¸˜o Poisson e polinˆmios de Charlier ca o k ∼ Poisson(k; λ) Φi s˜o polinˆmios de Charlier. a o Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado. λ = 1 (quadrados), λ = 2 (triˆngulos). e a

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Distribui¸˜o Gama e polinˆmios de Hermite ca o k ∼ Exponencial(k; 1) Φi s˜o polinˆmios de Hermite e de Laguerre. a o Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado n˜o ´ exponencial. Polinˆmios de Hermite (quadrados), e a e o polinˆmios de Laguerre α = 0 (triˆngulos). o a

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e EDO com termo aleat´rio o Compara¸˜o com m´todo de Monte–Carlo ca e Com a ECP observa-se que o erro ´ da ordem de 10−3 com valores e de P = 2. Para P = 4 obtem-se erros da ordem de 10−4 (polinˆmios de o Hermite) ` 10−9 (polinˆmios de Jacobi). a o Uma simula¸˜o de Monte–Carlo na mesma equa¸˜o diferencial que ca ca considera k ∼ Gama(k; 0) (distribui¸˜o exponencial) apresenta os ca seguintes resultados: N 102 103 104 105 4.0 × 10−2 1.1 × 10−2 5.1 × 10−3 6.5 × 10−4 Tabela: Convergˆncia do erro no valor esperado para a simula¸˜o de Monte–Carlo. e ca

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o Oscilador com excita¸˜es aleat´rias co o Considere o sistema de equa¸˜es diferenciais co dx(t) = y(t) dt dy(t) dt + cy(t) + kx(t) = f (t) Assume-se que c ≡ c(ω) = c + σc ξ1 (ω) ¯ ¯ k ≡ k(ω) = k + σk ξ2 (ω) ¯ f (t) ≡ f (t, ω) = (f + σf ξ3 (ω)) cos(wt) As vari´veis aleat´rias s˜o Gaussianas com m´dia 0 e variˆncia a o a e a 1 e s˜o independentes a Tem-se portanto que x(t) ≡ x(t, ω) y(t) ≡ y(t, ω)

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o Oscilador com excita¸˜es aleat´rias co o A ECP aplica-se ao vetor aleat´rio ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ). o A express˜o geral para os polinˆmios de Hermite ´ dada por a o e 1 T ∂n 1 T Hn (ξi1 , . . . , ξin ) = e 2 ξ ξ (−1)n e2ξ ξ ∂ξi1 . . . ∂ξin essa representa¸˜o tamb´m ´ conhecida como f´rmula de Rodriguez ca e e o Aplicando a ECP ` x(t, ω) a 3 x(t, ω) = x0 (t)H0 + x1i (t)H1 (ξi ) i=1 3 i + x2ij H2 (ξi , ξj ) i=1 j=1

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o Oscilador com excita¸˜es aleat´rias co o Como todos os termos s˜o ortogonais entre si adota-se uma nota¸˜o a ca reduzida x(t, ω) = i xi (t)Φi (ξ) = x0 (t)H0 + x1 (t)H1 (ξ1 ) + x2 (t)H1 (ξ2 ) + x3 (t)H1 (ξ3 )+ x4 (t)H2 (ξ1 , ξ1 ) + x5 (t)H2 (ξ2 , ξ2 ) + x6 (t)H2 (ξ3 , ξ3 )+ x7 (t)H2 (ξ1 , ξ2 ) + x8 (t)H2 (ξ2 , ξ3 ) + . . . esta s´rie ´ truncada em P termos. e e As vari´vais aleat´rias ξ1 , ξ2 , ξ3 , tamb´m s˜o representadas nessa a o e a base. c = i ci Φi (ξ) = c + σc H1 (ξ1 ) ¯ k = ¯ i ki Φi (ξ) = k + σk H1 (ξ2 ) ¯ c = cos(wt)( i fi Φi (ξ)) = cos(wt)(f + σf H1 (ξ3 ))

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o Oscilador com excita¸˜es aleat´rias co o Aplicando a ECP ` equa¸˜o diferencial a ca  dxi (t)  Φi = yi (t)Φi dt    i i  dyi (t)   Φi + ci yj (t)Φi Φj + ki xj (t)Φi Φj = fi (t)Φi  i dt i j i j i Aplicando o m´todo de Galerkin tem-se o sistema de equa¸˜es e co diferenciais deterministicas  dx (t)  i  dt = yi (t)   dy (t) +  i 1 (ci yj (t) + ki xj (t)) Φi Φj , Φk = fi (t)  dt Φi , Φi i j Agora ´ calcular as integrais de produto interno e rodar a maquina de e fazer salcicha.

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o Comparando o erro da ECP com a solu¸˜o esperada ca Comparando o erro entre o valor esperado da ECP (x0 (t)) com o valor esperado da solu¸˜o do sistema. ca Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado n˜o ´ exponencial. e a e

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Oscilador aleat´rio de segunda ordem o O n´mero de slides ´ finito! u e Obrigado pela paciˆncia. e

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e [Dongbiu Xiu et al] The Wiener-Askey Polynomial Chaos For Stochastic Differential Equations SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 24, no. 2, 2002 [Dongbiu Xiu et al] Stochastic Modeling of Flow-Structure Interactions using Generalized Polynomial Chaos Division of Applied Mathematics, Brown University, September, 2001 [Andrew J. Newman] Model reduction via the Karhunen-Loeve Expansion. Part I: An Expositon Institute for Systems Research and Eletrical Engineering Department, University of Maryland, April, 1996 [Carlos Kubrusly] Elements of Operator Theory

ca Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio o Referˆncias e Birkhauser, 2001 [Roger G. Ghanem et al] Stochastic finite elements Dover, 1991

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