Exame 2 1011_2 (soluções)

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Published on March 11, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 2o exame – 30 de Junho de 2011 Dura¸c˜ao da prova: 3 horas N´umero: Nome: Parte I A prova tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resposta m´ultipla as respostas tˆem cota¸c˜oes tais que o valor m´edio da cota¸c˜ao de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema n˜ao for respondido tem cota¸c˜ao de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cota¸c˜ao ser´a a soma das cota¸c˜oes das respostas escolhidas. Problema 1 (1.5 val): Seja y(t) = sin(3t) x 1 π t . (0.5 val) a) Sabendo que x(t) ´e um sinal ´ımpar, classifique y(t) quanto `a paridade. i) par 2 ii) ´ımpar 2 iii) nem par nem ´ımpar 21/2 −1/4 −1/4 (1 val) b) Sabendo que o sinal x(t) ´e peri´odico com per´ıodo fundamental Tx0 = 3 s, classifique y(t) quanto `a periodicidade. i) N˜ao peri´odico 2−1/2 ii) Peri´odico, com per´ıodo fundamental ii.1) T0y = 3 s 2 ii.2) T0y = 3π s 2 ii.3) T0y = 6π s 2−1/4 −1/4 1 Problema 2 (1.5 val): Sejam x(n) e y(n), respectivamente, os sinais de entrada e de sa´ıda de um sistema discreto, cujas transformadas de Fourier se relacionam pela seguinte equa¸c˜ao: Y (ejΩ ) = e−j5(Ω−3) X(e−j(Ω−3) ) . No dom´ınio do tempo, qual ´e a rela¸c˜ao entre os sinais de entrada e de sa´ıda do sistema? i) y(n) = ej3(n−5) x(−n + 5) 2 ii) y(n) = ej3(n−5) x(−n) 2−1/2 −1/2 iii) y(n) = ej3n x(−n + 5) 2 iv) y(n) = ej3n x(−n) 23/2 −1/2 Problema 3 (1 val): Seja H(s) = 100 s + 2.04 (s + 2)(s + 3)(s2 + 16s + 100) a fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema linear, invariante no tempo e causal. Utilizando o conceito de polo n˜ao dominante aproxime o sistema dado por outro de ordem inferior. i) n˜ao ´e poss´ıvel 2 ii) H(s) = 100 1 (s + 3)(s2 + 16s + 100) 2−2/9 −1/9 iii) H(s) = 100 s + 2.04 (s + 2)(s + 3) 2 iv) H(s) = 102 1 (s + 3)(s2 + 16s + 100) 2−2/9 1 v) H(s) = 104 s + 2.04 (s + 2)(s + 3) 2 vi) H(s) = 50 s + 2.04 (s + 3)(s2 + 16s + 100) 2−2/9 −2/9 v.s.f.f. 1

Problema 4 (2.5 val): Seja y(t) = − 1 3 1 − 1 4 e−3t u−1(t) − 1 4 et u−1(−t) a resposta no tempo de um SLIT cont´ınuo ao sinal de entrada escal˜ao unit´ario. (1 val) a) Qual ´e a resposta impulsional do sistema? i) h(t) = − 1 4 e−3t u−1(t) − 1 4 et u−1(−t) 2 ii) h(t) = − 1 3 1 − 1 4 e−3t u−1(t) − 1 4 et u−1(−t) 21 −1/2 iii) h(t) = 1 12 e−3t u−1(t) − 1 4 et u−1(−t) 2 iv) h(t) = − 1 2 δ(t) − 1 4 e−3t u−1(t) − 1 4 et u−1(−t) 2−1/4 −1/4 (1 val) b) Qual ´e a fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema? i) H(s) = 1 s(s + 3)(s − 1) ; 0 < e(s) < 1 2 ii) H(s) = 1 (s + 3)(s − 1) ; −3 < e(s) < 1 2−2/5 1 iii) H(s) = 1 s(s + 3)(s − 1) ; −3 < e(s) < 0 2 iv) H(s) = 1 (s + 3)(s − 1) ; e(s) > 1 2−2/5 −1/5 (0.5 val) c) Qual ´e a resposta em regime estacion´ario do sistema ao sinal de entrada escal˜ao unit´ario? i) yest(t) = − 1 3 u−1(t) 21/2 ii) yest(t) = − 1 3 1 − 1 4 e−3t u−1(t) 2 iii) yest(t) = − 1 3 1 − 1 4 e−3t u−1(t) − 1 4 et u−1(−t) 2−1/4 −1/4 Problema 5 (2.5 val): Na Figura 1 representa-se a resposta impulsional de um SLIT cont´ınuo. - 6 −1 +1 −2 −1 0 T    d d dd    t h(t) Figura 1: (0.5 val) a) Classifique o sistema quanto `a mem´oria. com mem´oria 2 sem mem´oria 21/2 −1/2 (0.5 val) b) Classifique o sistema quanto `a causalidade. causal 2 n˜ao causal 2−1/2 1/2 (0.5 val) c) Classifique o sistema quanto `a estabilidade. est´avel 2 criticamente est´avel 2 inst´avel 21/2 −1/4 −1/4 (1 val) d) Qual ´e a resposta do sistema ao sinal de entrada x(t) = tδ(t + 1) ? i) - 6 −1 +1 −3 −2 −1 0 c d d      d d t y(t) 2 ii) - 6 −1 +1 −1 0 1 t y(t) 21 −3/8 iii) - 6 −1 +1 −3 −2 −1 0 t y(t) 2 iv) - 6 −1 +1 −1 0 1 T    d d dd    t y(t) 2−3/8 −1/4 2

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 2o exame – 30 de Junho de 2011 Dura¸c˜ao da prova: 3 horas N´umero: Nome: Parte II A prova tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resolu¸c˜ao livre justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os c´alculos efectuados. Problema 6 (7 val): Na figura 2 representa-se a s´erie de 2 sistemas. sistema cont´ınuo E H(jω) E   × E T amostragem   × E T x(t) r(t) y(t) w(t) yp(t) p(t) Figura 2: O primeiro bloco, com sinais de entrada e de sa´ıda, respectivamente, x(t) e y(t), representa um sistema cont´ınuo em que w(t) = ejω0t e H(jω) = A ; ωmin < ω < ωmax 0 ; caso contr´ario . Nas express˜oes anteriores ω0, A, ωmin e ωmax s˜ao n´umeros reais. No segundo bloco, em que p(t) = +∞ k=−∞ δ t − π 4 k , realiza-se a amostragem do sinal y(t) utilizando o m´etodo do impulso invariante. - 6 −12 −8 −4 0 4 8 12 ω 1 3 X(jω) ¨ ¨¨rrr rrr¨ ¨¨ T Figura 3: Na Figura 3 representa-se o espectro, X(jω), do sinal x(t) `a entrada do primeiro bloco. (0.5 val) a) O sinal x(t) ´e real? Justifique a resposta. (1 val) b) O sinal x(t) tem componente cont´ınua? Em caso afirmativo, indique a sua amplitude no dom´ınio do tempo. Justifique a resposta. - 6 −2 2 ω 2 Y (jω)   dd Figura 4: (2 val) c) Dimensione ω0, ωmin, ωmax e A de modo a que o espectro do sinal `a sa´ıda do primeiro bloco, Y (jω), seja o representado na Figura 4. Justifique a resposta. (0.5 val) d) Qual ´e o intervalo de tempo com que o segundo bloco est´a a amostrar o sinal y(t)? Justifique a resposta. (2 val) e) Esboce os espectros do sinal amostrado, Yp(jω), e do correspondente sinal digital, Yd ejΩ . Justifique a resposta. (1 val) f) A partir do sinal amostrado yp(t) ´e possivel reconstruir o sinal y(t)? Justifique a resposta. v.s.f.f. 3

Problema 7 (4 val): Na Figura 5 representa-se o diagrama de Bode de um sistema cont´ınuo linear, invariante no tempo e causal. PSfrag ω ω |H(jω)|dB argH(jω) 10−2 10−2 10−1 10−1 100 100 101 101 102 102 103 103 104 104 0 0 40 80 − π 2 −π Figura 5: (0.5 val) a) O sistema tem polos ou zeros na origem? Justifique a resposta. (0.5 val) b) Em unidades lineares, qual ´e o ganho est´atico do sistema? Justifique a resposta. (2 val) c) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema. Justifique a resposta. (1 val) d) Qual ´e a resposta em regime estacion´ario do sistema ao sinal de entrada x(t) = [1 + sin(t) + 2 sin(40t)] u−1(t) ? Justifique a resposta. 4

Solu¸c˜oes: Problema 6: a) N˜ao. b) Sim, de amplitude 3 2π . c) ω0 = 8 rad/s, ωmin = −10 rad/s, ωmax = −6 rad/s; A = 2. d) T = π 4 s. e) - 6 −16 −8 0 8 16 ω 8 π Yp(jω) . . . . . .  t t  t t  t t  t t  t t - 6 −4π −2π 0 2π 4π Ω 8 π Yd ejΩ . . . . . . ¡ ¡e e ¡ ¡e e ¡ ¡e e ¡ ¡e e ¡ ¡e e f) Sim. Problema 7: a) N˜ao. b) K0 = 1000. c) H(s) = 0.1 (s + 100)2 s2 + 0.1s + 1 . d) yest(t) = 103 + 104 sin t − π 2 + 2 sin 40t − 3π 4 u−1(t). 5

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