Euler

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Published on February 16, 2014

Author: AnnaM22

Source: slideshare.net

Eulero Princeps Mathematicorum Ritratto a pastello di J. E. Handmann, 1753

Leonhard Euler nasce a Basilea il 15 aprile 1707 Da ragazzo studiò filosofia e si iscrisse alla facoltà di teologia, ma l’abbandonò per dedicarsi completamente alla matematica. Allievo di Johann Bernoulli, all’età di 20 anni lasciò Basilea per andare a lavorare a San Pietroburgo, dove ottenne le cattedre di medicina e fisica e poi quella di matematica

Gli studi • Calcolo delle variazioni (a 18 anni) • A 19 anni completò il dottorato sulla propagazione del suono e concorse alla cattedra di fisica, ma gli fu negata forse a causa della sua giovane età. • Vinse per dodici volte il grand prix dell’Accademia delle Scienze di Parigi. • Teoria dei grafi • Topologia • La formula per i poliedri • Equazioni differenziali • Teoria dei numeri • Calcolo combinatorio • Analisi • Meccanica

Il calcolo delle variazioni A 18 anni Eulero scrisse Constructio linearum isochronarum in medio quocumque resistente. Nello stesso periodo cominciò a studiare problemi relativi al campo della matematica che in seguito sarà chiamato calcolo delle variazioni, che si occupa della ricerca dei massimi e dei minimi di funzioni definite su un insieme di funzioni e che ha avuto innumerevoli applicazioni, oltre che in fisica, anche in economia

I ponti di Kӧnigsberg Kӧnigsberg, già facente parte della Prussia Orientale, è una città che attualmente si chiama Kaliningrad e che si trova in Russia. Oltre ad aver dato i natali a Immanuel Kant, il 22 aprile del 1724, è famosa per il problema dei sette ponti. La città è attraversata dal fiume Pregel e dai suoi affluenti, che la dividono in quattro zone che al tempo di Eulero erano collegate tra loro da sette ponti. Il problema consisteva nel capire se era possibile partire da un punto delle quattro zone e tornare al punto di partenza percorrendo una e una sola volta tutti i ponti.

La teoria dei grafi La storia dei ponti permise a Eulero di gettare le basi di quella che sarebbe diventata la teoria dei grafi. Capì che la possibilità di trovare un percorsosoluzione non dipendeva dalla capacità umana di trovarlo o dalla distanza tra i punti o dagli angoli tra le linee, ma dalle caratteristiche geometriche del percorso stesso. Schematizzò la situazione con una rappresentazione che utilizzava solo punti, o nodi, e linee. Un nodo può essere pari o dispari a seconda che sia pari o dispari il numero delle linee che vi convergono.

Eulero notò che un qualsiasi grafo è percorribile passando sulle linee una sola volta se e soltanto se ha tutti i nodi di ordine pari o se solo due di essi sono dispari; per percorrere un grafo di questo tipo è necessario partire da uno di questi nodi dispari e terminare il percorso nell’altro nodo dispari. Il problema dei ponti, di cui qui sotto sono rappresentate schematizzazioni equivalenti, ha 4 connessioni dispari, quindi non ha soluzione. Questo grafo ha 3 nodi pari e due dispari, quindi è percorribile passando sulle linee una sola volta Questo grafo ha 4 nodi dispari e uno pari, quindi non è percorribile passando sulle linee una sola volta

Topologia Eulero notò che i grafi hanno un’altra caratteristica, oltre ai nodi e alle linee, che resta inalterata per deformazioni e torsioni: il numero delle facce di un grafo, compresa quella che circonda il grafo, più il numero dei vertici meno il numero delle linee è sempre 2, sia che il grafo sia rappresentato su un foglio che su una superficie ottenuta piegando in qualsiasi modo il foglio.

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico La topologia è la parte della matematica che studia le caratteristiche delle figure che restano invariate durante questo tipo di trasformazioni. Due figure sono topologicamente equivalenti se si possono deformare in modo continuo, cioè senza tagli, l’una nell’altra. Una faccia è equivalente a un cerchio. Un ragionamento analogo si applica a superfici in tre dimensioni, riconducendo la superficie a un grafo e calcolandone la caratteristica di Eulero, cioè il numero delle facce più il numero dei vertici meno il numero delle linee. In questo caso il risultato non è sempre due, la superficie sferica non è ad esempio equivalente a quella di una ciambella, detta anche toro.

La formula di Eulero per i poliedri V+F-S=2 Eulero osservò che questa formula vale per tutti i poliedri semplicemente connessi, cioè senza buchi. In un cubo, ad esempio, si hanno 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli. In una piramide a base quadrata, che non è un poliedro regolare, ci sono 5 facce, 5 vertici e 8 spigoli.

Il problema di Basilea Fu proposto per la prima volta da Pietro Mengoli nel 1644 e fu risolto da Eulero nel 1735, suscitando stupore e ammirazione. Il problema consisteva nel determinare la somma dell’inverso di tutti i quadrati dei numeri naturali, cioè la somma della serie infinita: Eulero scoprì che la serie aveva come somma pi-greco alla seconda diviso 6:

Lettere a una principessa Nel 1741 Eulero venne chiamato dal re di Prussia Federico il Grande all’Accademia delle Scienze di Berlino. Qui rimase fino al 1766, poi tornò a San Pietroburgo. A Berlino dette lezioni alla figlia del Margravio. Durante la guerra dei Sette Anni la famiglia della ragazza si trasferì a Magdeburgo e Eulero continuò l’istruzione della principessa in fisica, matematica, filosofia e francese scrivendole 234 lettere, tra il 1760 e il 1762. Pur non essendo un’opera scientifica ebbe molto successo, grazie alla chiarezza con la quale Eulero vi presentò i principali temi scientifici dell’epoca.

I diagrammi di Eulero In una delle lettere, per spiegare alla allieva i sillogismi aristotelici, Eulero utilizzò la rappresentazione grafica oggi conosciuta come DIAGRAMMA DI EULERO-VENN.

L’identità di Eulero In un sondaggio condotto nel 2004 dalla rivista Physics World, questa equazione è risultata ai primi posti nella classifica delle equazioni più belle di tutti i tempi. Nella sua semplicità contiene i cinque numeri più importanti della matematica. Si ottiene dalla formula generale ponendo x=p

Eulero ebbe 13 figli di cui solo 5 sopravvissero Fu cieco per 17 anni «Scrisse le sue famose dissertazioni con la facilità con cui uno scrittore dall’agile penna scrive una lettera per un amico. La cecità totale che lo afflisse durante gli ultimi diciassette anni di vita non rallentò il ritmo della sua attività; al contrario, la perdita della vista affinò le sue percezioni nel mondo interno della sua immaginazione». Eric Bell

18 settembre 1783 Il cessa de calculer et de vivre (Jean Antoine-Nicolas de Caritat, marchese di Condorcet)

Bibliografia Eulero – Lettere a una principessa tedesca – Bollati Boringhieri C. B. Boyer – Storia della matematica - Mondadori www.fondazionetonolini.org www.wikipedia.org http://www.math.dartmouth.edu/~euler/ http://www.euler-2007.ch/en/index.htm www.dm.unibo.it/rsddm/it/articoli/damore/618%20Trecento%20anni%20Eulero.pdf www.syllogismos.it/history/Bellezza.pdf www.syllogismos.it/2007-Lugano-Euler-PDF.pdf www.syllogismos.it/history/Euler.pdf http://www.matematicamente.it http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Euler_elogium.html http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2007/Euler300/ www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/DOCUMENT/.../Bottazzini%20-%20L'Analisi%20nell'et%E0%20della%20ragio... www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/DOCUMENT/.../Caparrini%20-20La%20vita%20di%20Leonhard%20Euler.p... www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/lezioni/viareggio-2008.pdf

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