ESTUDIO DE CONCEPTOS PROBABILISTICOS

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Published on September 15, 2008

Author: calidonauta

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Slide 1: Tema Nº 04: TEORIA BASICA DE PROBABILIDADES Facultad de Química e Ingeniería Química Ing. José Manuel García Pantigozo 2008 - II UNMSM ESTADISTICA A Slide 2: Tema Nº 04: TEORIA BASICA DE PROBABILIDADES Facultad de Química e Ingeniería Química Ing. José Manuel García Pantigozo 2008 - II UNMSM ESTADISTICA A Slide 3: ¿Por qué una encuesta de 1000 o 1500 personas permite predecir bastante bien el resultado de la elección con 8 millones de votantes ¿Cómo se logra este resultado? ¿Cómo se mide la precisión del resultado? Slide 4: 4 En un estudio de control de calidad de una fábrica de focos, sería muy costoso examinar cada una. Se usa una muestra de 500 focos. Las normas de calidad exigen que a lo más 3% de los focos pueden durar menos de 1000 horas en un lote de 5000 focos. Si obtenemos 3,2% de focos defectuosos en una muestra de 500 focos, ¿podemos declarar el lote completo defectuoso? ¿Cómo se usa este resultado obtenido de una muestra? Slide 5: 5 La afición al juego fue lo que impulsó el desarrollo de la probabilidad. En un esfuerzo por aumentar sus ganancias pidieron a los matemáticos que les proporcionaran las estrategias óptimas para varios juegos de azar. Como resultado de este primer desarrollo de la teoría de la probabilidad, se extiende junto con la estadística a muchos campos, como la política, los negocios, la predicción del clima, y la investigación científica. EAI04 Objetivos de Aprendizaje : 6 Objetivos de Aprendizaje Definir lo que es probabilidad. Describir los enfoques clásicos. Calcular las probabilidades aplicando las reglas de adición y multiplicación. Determinar el número de permutaciones. Determinar el número de combinaciones Calcular la probabilidad utilizando el Teorema de Bayes. Slide 7: 7 ¿QUE ES PROBABILIDAD? Slide 8: Probabilidad. Una medición de la posibilidad de que un evento ocurra en el futuro, esta puede asumir solamente valores entre 0 y 1. Existe un 1% de probabilidad de que la Tierra sea golpeada por un NEO de 300 metros de diámetro durante el siglo XXI. Slide 9: Experimento. La observación de alguna actividad o el acto de realizar alguna medición. El lanzamiento de una moneda equilibrada es un experimento estadístico. Slide 10: Evento. Un conjunto de uno o más resultados del experimento. El resultado de la TINKA es un evento estadístico. Slide 11: Espacio Muestral. Es el conjunto de todos los resultados de un experimento. Se simboliza con “S”. Slide 12: Probabilidad de que el sol desaparezca: 0.00 Probabilidad de que el Sport Boys campeone: 0.01 Probabilidad de que una moneda salga sello: 0.5 Probabilidad de que el petróleo baje de precio: 0.10 Probabilidad de aprobar Estadística A: 0.80 PROBABILIDAD Slide 13: 13 CONCEPTOS DE LA PROBABILIDAD Slide 14: 14 CONCEPTO CLÁSICO DE LA PROBABILIDAD El enfoque clásico o a priori de la probabilidad está basado en la suposición de que todos los resultados del experimento son igualmente posibles. La probabilidad se calcula de la siguiente manera: = Probabilidad del evento número de posibles resultados del evento número total de resultados posibles del experimento Slide 15: 15 Ejemplo El experimento es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos hacia arriba? P( caiga 2 ) = 1= 0.166 Cuando solo puede ocurrir un evento a la vez se dice que son eventos mutuamente exclusivos. 6 Slide 16: 16 CONCEPTO FRECUENTISTA DE PROBABILIDAD La probabilidad de que suceda un evento es determinada observando como sucede el evento en el pasado. En términos de fórmula: = Probabilidad de que suceda un evento número de veces que sucedió el evento en el pasado número total de observaciones EAI04 Slide 17: 17 Ejemplo Se sabe que una moneda está cargada. Para determinar la probabilidad de que caiga águila se lanza 60 veces la moneda al aire, de las cuales 25 veces cayó águila. Si aplicamos la fórmula: P(cae águila ) 25 = 0.41 60 EAI04 Slide 18: 18 CONCEPTO SUBJETIVO DE LA PROBABILIDAD Si no hay experiencia anterior o hay muy poca sobre la cual basar una probabilidad, esta se fundamenta en la intuición, opiniones, creencias personales y otra información indirecta. Este tipo de probabilidad es el enfoque subjetivo de la probabilidad. Concepto subjetivo de probabilidad.La probabilidad de que un evento en particular suceda es asignada por un individuo basado en cualquier información disponible, como intuición, opiniones etc. EAI04 Slide 19: 19 Ejemplo: Hay una probabilidad del 0.05 de que la Selección del Chemo se clasifique al Mundial de Sudáfrica 2010. Slide 20: 20 Ejemplo: Hay una probabilidad del 90% de que las ventas de autos mejoren el año próximo. Slide 21: 21 Ejemplo: Hay una alta probabilidad de sacarme un 11. Slide 22: 22 TEOREMAS DE PROBABILIDAD Slide 23: 23 Intersección de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a los dos eventos dados. El operador de la intersección es ∩ Unión de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a alguno de los dos eventos dados. El operador de la unión es U. REGLA DE ADICIÓN EAI04 Slide 24: 24 La probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuación: P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ) Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Si el evento A es cae un número par A = { 2, 4, 6 } Si el evento B es cae un número menor de 3 B = { 1, 2 } EAI04 Slide 25: 25 ¿Cuál será la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos? Entonces la probabilidad de A y la probabilidad de B es: P(A) =3= 0.50 P(B) =2= 0.3366 Para aplicar el teorema es necesario conocer la probabilidad de la intersección de estos dos eventos, es decir, la probabilidad de que caiga un número par y menor de 3. A ∩ B = { 2 }P(A ∩ B) =1= 0 .166 Si aplicamos la regla de adición: P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ) P( A U B ) = 0.50 + 0.33 – 0.16 EAI04 Slide 26: 26 ¿Cual en la probabilidad de que una carta elegida al azar de una baraja de 52 naipes sea un rey o una de corazones? Solución: Resolviendo: P(AoB)=P(A)+P(B)- P(AyB) = 4/52 + 13/52 + 1/52 = 0.3077 Slide 27: 27 REGLA DE ADICIÓN ESPECIAL Para dos eventos: P(AoB)=P(A)+P(B) Para tres eventos: P(AoBoC)=P(A)+P(B) + P(C) EAI04 Slide 28: 28 ¿Una máquina llena bolsas de plástico con mezcla de frijoles, brócolis y legumbres. La mayoría tiene pesos correctos, pero debido a ligeras variaciones en el tamaño de los frijoles y de las otras legumbres, un paquete puede tener un peso ligeramente menor o mayor. Una verificación anterior de muchos paquetes indico: Slide 29: 29 P(AoC)=P(A) + P(C) P(AoC)= 0.025 + 0.07 P(AoC)= 0.10 Slide 30: 30 La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento dado ocurra dado que otro evento ocurre. El operador de la probabilidad condicional es el signo │. REGLA DE MULTIPLICACION EAI04 Slide 31:  La probabilidad de obtener un 5 es: 1 6 y la probabilidad de obtener águila en un volado es: 1 2 Supóngase que se arrojan simultáneamente un dado y una moneda, y se quiere calcular la probabilidad de obtener un 5 y un águila. Slide 32: Entonces la probabilidad de obtener un 5 y águila al lanzar simultáneamente un dado y una moneda es: El razonamiento aplicado se conoce como el teorema de multiplicación de probabilidades (Regla de la Multiplicación). Slide 33: 33 La probabilidad de que dos eventos dados ocurran si uno de ellos depende de que ocurra el otro es: P(A∩B) = P(A) ∙ P(A│B) Ejemplo: El experimento es extraer aleatoriamente dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas canicas sean rojas? P(A) = {la primer canica es roja} P(B) = {la segunda canica es roja} EAI04 Slide 34: 34 La probabilidad de que dos eventos dados ocurran si uno de ellos depende de que ocurra el otro es: P(A∩B) = P(A) ∙ P(A│B) Ejemplo: El experimento es extraer aleatoriamente dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas canicas sean rojas? P(A) = {la primer canica es roja} P(B) = {la segunda canica es roja} EAI04 Slide 35: 35 La probabilidad de que dos eventos dados ocurran si uno de ellos depende de que ocurra el otro es: P(A∩B) = P(A) ∙ P(A│B) Ejemplo: El experimento es extraer aleatoriamente dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas canicas sean rojas? P(A) = {la primer canica es roja} P(B) = {la segunda canica es roja} EAI04 Slide 36: 36 P(B│A) = {la segunda canica es roja dado que la primer canica es roja} P(A∩B) ={las dos canicas son rojas} Al extraer la primer canica hay en la urna 5 canicas rojas de un total de 10, por lo que la probabilidad es: P(A) =5= 0.5010 Al extraer la segunda canica hay en la urna 4 canicas rojas de un total de 9, por lo que la probabilidad de que la segunda sea roja dado que la primera fue roja es: EAI04 Slide 37: 37 REGLA DE MULTIPLICACION ESPECIAL Para dos eventos: P(AyB)=P(A)*P(B) Para tres eventos: P(AyByC)=P(A)*P(B)* P(C) EAI04 Slide 38: 38 Ejemplo Se lanzan dos monedas ¿Cuál es la probabilidad de que ambas caigan cara? Solución: P(AyB) = P(A) * (P(B) = (1/2)*(1/2) = 0.25 PROBLEMA 01 : PROBLEMA 01 La probabilidad de que una industria peruana, se ubique en Munich es 0.7, la probabilidad de que se ubique en Bruselas es 0.4 y la probabilidad de que se ubique en Munich o Bruselas o en ambas es de 0.8 ¿Cuál es la probabilidad de que la industria se ubique en ? a. ¿en ambas ciudades? b. ¿En ninguna de las ciudades? SOLUCION P (M) = 0.7 P (B) = 0.4 P (M u B) = 0.8 P ((M u B)c) = 0.2 P (M n B) = P(M) + P(B) – P(M u B) = 0.7 + 0.4 - 0.8 = 0.3 PROBLEMA 01 : PROBLEMA 01 M B 0.4 0.3 0.1 0.2 ¿En ambas ciudades? : P (M u B) = 0.8 ¿En ninguna de las ciudades? : P ((M u B)c) = 0.2 S PROBLEMA 02 : Suponga que en un grupo de ultimo año de la Facultad de Ingeniería Civil de 500 estudiantes se encuentra que 210 fuman, 258 consumen bebidas alcohólicas, 216 comen entre comidas, 122 fuman y consumen bebidas alcohólicas, 83 comen entre comidas y consumen bebidas alcohólicas ,97 fuman y comen entre comidas y 52 tienen estos tres hábitos nocivos para la salud. Si se selecciona al azar un miembro de este grupo, encuentre la probabilidad de que el estudiante: a. Fume pero no consuma bebidas alcohólicas b. Coma entre comidas y consuma bebidas alcohólicas pero no fume c. Ni fume ni coma entre comidas. PROBLEMA 02 PROBLEMA 02 : A = FUMADORES B = BEBEDORES C = COMIDAS S TIENE 500 ELEMENTOS. P (A) = 210 / 500 P (B) = 258 / 500 P (C) = 216 / 500 P (A n B) = 122 / 500 P (B n C) = 83 / 500 P (A n C) = 97 / 500 P (A n B n C) = 52 / 500 P (A u B u C) = P (A) + P (B) +P (C) – P (A n B) – P (A n C) – P(B n C) + P (A n B n C) = (210 + 258+ 216 – 122 –97 –83 +52) / 500 = 434 / 500 P ((A U B U C)c) = 66 / 500 PROBLEMA 02 PROBLEMA 02 : PROBLEMA 02 S B 66 105 43 52 Fume pero no consuma bebidas alcohólicas: P (A - B) = 88 / 500 Coma entre comidas y consuma bebidas alcohólicas pero no fume: P ((B n C) - A) = 31 / 500 Ni fume, ni coma entre comidas: P ((A U C )c) = 105 / 500 C 31 82 A 70 45 PROBLEMA 03 : Si cada artículo codificado en un catálogo comienza con tres letras distintas seguidas por cuatro dígitos distintos de cero, encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de estos artículos codificados que tenga como primera letra una vocal y el último digito sea par. Operando: A B C 1ERO 2DO 3ERO 4TO 27 * 26 * 25 * 9 * 9 * 9 * 9 = 115145550 S TIENE 115145550 ELEMENTOS. A B C 1ERO 2DO 3ERO 4TO 5 * 26 * 25 * 9 * 9 * 9 * 4 = 9477000/115145550 PROBLEMA 03 PROBLEMA 04 : En el último año de una clase de graduados de preparatoria con 100 alumnos, 42 cursaron matemáticas, 68 psicología, 54 historia, 22 matemáticas e historia, 25 matemáticas y psicología, 7 historia pero ni matemáticas ni psicología, 10 cursaron las tres materias y 8 no cursaron ninguna de las tres. Si se selecciona al azar un miembro de este grupo, encuentre la probabilidad de que el estudiante: a. esté inscrito en psicología o curse las tres materias. b. no se inscribió en psicología pero curse historia y matemáticas. PROBLEMA 04 PROBLEMA 04 : S tiene 100 elementos A = Matemáticas. B = Psicología. C = Historia. P (A) = 42 / 100 P (B) = 68 / 100 P (C) = 54 / 100 P (A n C) = 22 / 100 P (A n B) = 25 / 100 P (A n B n C) = 10 / 100 P ((A n B n C)c) = 8 / 100 PROBLEMA 04 PROBLEMA 04 : PROBLEMA 04 S B 8 18 5 10 Esté inscrito en psicología o curse las tres materias: P ((B) U (A n B n C)) = 68 / 100 No se inscribió en psicología pero curse historia y matemáticas: P ((A n C)-B) =12 / 100 C 25 7 A 15 12 PROBLEMA 05 : En una clase de 100 estudiantes de pregrado, 36 viven en Lince, 45 son de estrato uno y 56 provienen de colegios parroquiales. Además se sabe que 82 cumplen al menos una de estas características y que 15 viven en Lince y son de estrato uno, 25 viven en Lince y provienen de colegios parroquiales y 25 son de estrato uno y provienen de colegios parroquiales. Si se selecciona al azar un miembro de este grupo, encuentre la probabilidad de que el estudiante a. Viva en Lince pero no sea de estrato uno ni provenga de colegios parroquiales. b. Viva en Lince y provenga de colegios parroquiales, pero no sea de estrato uno. c. Sea de estrato uno, pero no viva en Lince. d. Provenga de colegios parroquiales, pero no sea de estrato uno. e. No cumpla ninguna de tres características PROBLEMA 05 PROBLEMA 05 : S TIENE 100 ELEMENTOS A = Viven en Lince; B = Estrato uno; y C = Colegios parroquiales P (A) = 36 / 100 P (B) = 45 / 100 P (C) = 56 / 100 P ((A U B U C)c) = 18 / 100 P ((A U B U C ) n (A n B)) = 82/100 + 15/100 = 97/100 P ((A n B) n (B n C)) = 25/100 + 25/100 = 50/100 P (A n B n C) = P (A U B U C) – P (A) – P (B) – P(C) + P(A n C) + P (A n B) + P (C n B) = 82/100 – 36/100 – 45/100 – 56/100 + 25 /100 + 15/100 + 25/100 = 10/100 PROBLEMA 05 PROBLEMA 06 : PROBLEMA 06 PROBLEMA 05 : Viva en Lince pero no sea de estrato uno ni provenga de colegios parroquiales: P (A – (B U C)) = 6 / 100 Viva en Lince y provenga de colegios`parroquiales, pero no sea de estrato uno: P ((A n B) - C) = 15 / 100 Sea de estrato uno, pero no viva en Lince: P (B - A) = 30 / 100 Provenga de colegios parrquiales, pero no sea de estrato uno: P (C - B) = 31 / 100 No cumpla ninguna de tres características: P((A U B U C)c) = 18 / 100 PROBLEMA 05 PROBLEMA 06 : Si se toman cuatro libros al azar de la Biblioteca de Química que contiene, 4 libros de Algebra, 5 de Probabilidad, 2 de Geometría y una Biblia. Determine la probabilidad de que: a. Se seleccione la Biblia b. Se seleccione un libro de Probabilidad y dos de Algebra c. Se seleccione un libro de Algebra, dos de Probabilidad y uno de Geometría. d. Se seleccione un libro de Geometría y la Biblia. PROBLEMA 06 PROBLEMA 06 : S TIENE 12 C 4 = 495 ELEMENTOS. Se seleccione la Biblia. P (B) = P(B A P G) + p (B A A P) + P (B P P G) + P (B A G G) + P (B A A A) + P (B P P P) + P (B A A G) + P (B P P A) + P (B P G G) = 1 / 495 1C1 * 4C1 * 5C1 *2C1 + 1C1 * 4C2*5C1 + 1C1* 5C2 *2C1 + 1C1 * 4C1 * 2C2 +1C1* 4C3 + 1C1* 5C3 + 1C1 * 4C2 *2C1 + 1C1 * 5C2 * 4C1 + 1C1* 5C1 *2C2 = 1*4*5*2 + 1*6*5 + 1*10*2 + 1*4*1 + 1*4 + 1*10 + 1*6*2 + 1*10*4 + 1*5*1 = 40 + 30 + 20 + 4 + 4 + 10 + 12 + 40 + 5 = 165 / 495 PROBLEMA 06 PROBLEMA 06 : Se seleccione un libro de probabilidad y dos de álgebra. P (P A A) = P (P A A A) + P (P A A B) + P (P A A P) + p (P A A G) = 5C1 * 4C3 + 5C1 * 4C2 * 1C1 + 5C2 * 4C2 + 5C1 * 4C2 * 2C1 = 5*4 + 5*6*1 + 10* 6 + 5*6*2 = 20 + 30 + 60 +60 =170 / 495 Se seleccione un libro de álgebra, dos de probabilidad y uno de geometría. P (A P P G) = P(A P P G) = 4C1 * 5C2* 2C1 = 4*10*2 = 80 / 495 PROBLEMA 06 PROBLEMA 06 : Se seleccione un libro de geometría y la Biblia. P (G B) = P (G B P A) + P(G B A A) + P (G B P P) + P (G B A G) + P (G B P G ) = 2C1 * 1C1* 5C1 * 4C1 + 2C1* 1C1 * 4C2 + 2C1 * 1C1 * 5C2 + 2C2 * 1C1 * 4C1 + 2C2 * 1C1 * 5C1 =2*1*5*4 + 2*1*6 + 2*1*10 + 1*1*4 + 1*1*5 = 40 + 12 + 20 + 4 + 5 =81 / 495 PROBLEMA 06 Slide 57: 57 Suponga que de un grupo de 500 estudiantes universitarios se encuentra que 300 fuman, que 350 consumen bebidas alcohólicas y que 250 tienen estos dos hábitos nocivos para la salud. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente tenga alguno de estos dos malos hábitos? no tenga ninguno de estos dos pésimos hábitos? fume pero no tome? tome pero no fume? No fume? Fume dado que toma? Toma dado que fuma? No tenga alguno de estos nefastos hábitos? PROBLEMA 07 Slide 58: 58 La probabilidad de que una compañía norteamericana ubique una de sus plantas en Juárez es 0.7, la probabilidad de que instale una planta en Chihuahua es 0.4, la probabilidad de que no se ubique ni en Juárez ni en Chihuahua es .20. ¿Cuál es la probabilidad de que Se ubique en alguna de estas dos ciudades? Se ubique en ambas ciudades? No se ubique en alguna de estas dos ciudades? Se ubique en Chihuahua pero no en Juárez? Se ubique en Juárez pero no en Chihuahua? Ubique una planta en Juárez dado que ya se ubicó en Chihuahua? Ubique una planta en Chihuahua dado que ya se ubicó en Juárez? PROBLEMA 08 Slide 59: 59 En cierta escuela de 45 estudiantes que reprobaron Estadísticas I, 32 dijeron que reprobaron por no estudiar, 18 porque no le entienden al maestro, 9 por causas diferentes a estas dos. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos: Reprobó porque no estudió o porque no le entiende al maestro. Reprobó porque no estudió y porque no le entiende al maestro. Reprobó porque no estudió y no porque no le entiende al maestro. Reprobó porque no le entiende al maestro y no porque no estudió. EAI04 PROBLEMA 09 Slide 60: 60 Se realizó una encuesta sobre preferencias en materia de periódicos, de 350 personas entrevistadas, 200 leen el Heraldo, 140 leen el Diario y 105 leen los dos periódicos. Encontrar la probabilidad de los siguientes eventos: Lee alguno de estos dos periódicos No lee ninguno de estos dos periódicos Lee el Diario pero el Heraldo no Lee el Heraldo pero el Diario no Lee el Heraldo dado que lee el Diario Lee el Diario dado que lee el Heraldo No lee alguno de estos dos Periódicos PROBLEMA 10 Slide 61: 61 La probabilidad de que en un matrimonio, el esposo vea cierto programa de TV es 0.4, la probabilidad de que la esposa lo haga es de 0.5. La probabilidad de que el esposo vea el programa de TV dado que la esposa lo hace es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que: Ambos vean el programa de TV Alguno de los dos vea el programa de TV Ninguno vea el programa de TV El esposo vea el programa pero la esposa no La esposa vea el programa pero el esposo no La esposa vea el programa dado que el esposo lo hace Alguno de los dos no ve el programa PROBLEMA 11 DIAGRAMA DE ÁRBOL(arborigrama) : 62 DIAGRAMA DE ÁRBOL(arborigrama) EAI04 DIAGRAMA DE ÁRBOL : 63 DIAGRAMA DE ÁRBOL Es una técnica en la que se determinan y despliegan sistemáticamente los medios necesarios para alcanzar un objetivo hasta llegar al nivel de acciones concretas (Plan de Implementación). EAI04 Slide 64: 64 1. Escriba el objetivo básico (Meta) 2. Elabore tarjetas con las primeras medidas y despliéguelas. 3. Elabore tarjetas con las segundas medidas y despliéguelas. 4. Desarrollo de terceras y mas medidas. 5. Confirme la relación de las tarjetas de medidas. 6. Conecte con líneas la meta y sus medidas. PASOS BÁSICOS PARA CREAR UN DIAGRAMA DE ÁRBOL EAI04 DIAGRAMA DE ÁRBOL DIAGRAMAS DE ÁRBOL : DIAGRAMAS DE ÁRBOL EXTRACCIONES SIN DEVOLUCIÓN (Sucesos Dependientes) Slide 67: Primera Extracción Segunda Extracción = = = = = = = = = DIAGRAMAS DE ÁRBOL : DIAGRAMAS DE ÁRBOL EXTRACCIONES CON DEVOLUCIÓN (Sucesos Independientes) Slide 69: Primera Extracción Segunda Extracción = = = = = = = = = DIAGRAMAS DE ÁRBOL : DIAGRAMAS DE ÁRBOL OTROS PROBLEMAS .... Probabilidad TOTAL Probabilidad “a posteriori” Teorema de BAYES Slide 71: M B T T = TARDE = NO TARDE = TARDE = NO TARDE Para ir al trabajo un individuo toma el bus, el 30% de las veces, o el metro (el 70% restante), y llega tarde el 40% de las veces que va en el bus y el 20% de las que va en el metro. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde al trabajo? Slide 72: Para ir al trabajo un individuo toma el bus, el 30% de las veces, o el metro (el 70% restante), y llega tarde el 40% de las veces que va en el bus y el 20% de las que va en el metro. Sabiendo que ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que tomara el bus? Llega TARDE BUS 0,12 METRO 0,14 Slide 73: RM UE Un estudio sobre los créditos concedidos por un banco multinacional el pasado año revela que el 42% de dichos créditos se han concedido a clientes españoles, el 33% a clientes del resto de la Unión Europea y el 25% a clientes del resto del mundo. De esos créditos, los créditos hipotecarios suponen, respectivamente, el 30%, el 24% y el 14%. Elegido un cliente al azar que ha recibido un crédito, ¿cuál es la probabilidad de que el crédito concedido sea hipotecario?. E 42% 33% 25% 30% 24% 14% 70% 76% 86% P(H)= 0,42 · 0,3 = 0,126 P(H)= 0,33 · 0,24 = 0,079 P(H)= 0,25 · 0,14 = 0,035 P(H)= 0,42 · 0,7 = 0,294 P(H)= 0,33 · 0,76 = 0,250 P(H)= 0,25 · 0,86 = 0,215 P( Crédito Hipotecario)= 0,126 + 0,079 + 0,035 = 0,24 Slide 74: Un estudio sobre los créditos concedidos por un banco multinacional el pasado año revela que el 42% de dichos créditos se han concedido a clientes españoles, el 33% a clientes del resto de la Unión Europea y el 25% a clientes del resto del mundo. De esos créditos, los créditos hipotecarios suponen, respectivamente, el 30%, el 24% y el 14%. Elegido un cliente al azar que ha recibido un crédito, ¿cuál es la probabilidad de que el crédito concedido sea hipotecario?. PROBABILIDAD “a posteriori” Si sabemos que a un cliente se le ha concedido un crédito hipotecario, ¿qué probabilidad hay de que sea español?. E UE RM Crédito Hipotecario 0,126 0,079 0,035 Solución: Slide 75: Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) =0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7 = 0,13 =13% ¿Se elije a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0x2 x 0,3 / 0,13 = 0,46 = 46% Mujeres Varones fumadores T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman Un Sist. Exh. Excl. De sucesos T. Bayes Expresión del problema en forma de arbol : Expresión del problema en forma de arbol Estudiante Mujer No fuma Hombre Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2 P(H | F) = 0,3x0,2/P(F) Los caminos a través de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones re-presentan uniones dis-juntas. Podéis resolver los problemas usando la técnica de vuestrapreferencia. Slide 77: Veamos otro ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas puede Laura efectuar el viaje? Representemos con un diagrama de árbol Laura se ganó un viaje para dos personas, al entregárselo le presentaron las siguientes opciones: * Lugar: Acapulco o Cancún * Transporte: Autobús o Avión * Acompañante: Papá, mamá o hermano Slide 78: Diagrama de Árbol Acapulco Autobús Avión Papá Mamá Hermano Papá Mamá Hermano Cancún Autobús Avión Papá Mamá Hermano Papá Mamá Hermano Slide 79: Contamos ahora, todas las opciones de la última columna solamente y tendremos el total de formas posibles en las que Laura puede efectuar su viaje. Por lo tanto, Laura puede viajar de 12 maneras diferentes. Esto corresponde a: Slide 80: 80 META MEDIDA 1 MEDIDA 2 MEDIDA 1 MEDIDA 2 MEDIDA 3 MEDIDA 1 MEDIDA 2 EAI04 DIAGRAMA DE ÁRBOL Slide 81: 81 EAI04 DIAGRAMA DE ÁRBOL Slide 82: 82 EAI04 DIAGRAMA DE ÁRBOL Slide 83: 83 Desarrollo de ideas para resolver problemas . Desarrollo de metas, políticas y programas. Desarrollo de requisitos de calidad. CAMPOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA DEL DIAGRAMA DE ÁRBOL EAI04 DIAGRAMA DE ÁRBOL Slide 84: 84 Diagrama de árbol: Ejemplo ¿Cómo disminuir los costes de calidad? Disminuir costes de calidad Slide 85: 85 TEOREMA DE BAYES Slide 86: Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres. Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es: "Reverendo Thomas Bayes. Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo". Teorema de Bayes : Teorema de Bayes A1 A2 A3 A4 Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los n componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai, (i = 1, 2, ..,n): donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: Slide 88: Teorema de Bayes P(B|A)P(A) P(A|B) = P(B|A) P(A)/P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac) de lo que se deduce (aunque resulta filosóficamente controvertido), P(H|X) α P(X|H) P(H) Función posterior Función de probabilidad Función a priori Éste es el fundamento de la inferencia bayesiana, que deriva la probabilidad de que una hipótesis H sea cierta, dado un conjunto de observaciones X. Ejemplo: Supongamos que el 90% de las estrellas de un cúmulo estelar se encuentran en la secuencia principal. Hemos diseñado un método de clasificación estelar, según el cual, el 95% de las estrellas de secuencia principal son reconocidas como tales, y el 93% de las estrellas que no lo son, también son reconocidas como no pertenecientes a la secuencia principal. ¿Cuál es la probabilidad de que nuestra clasificación reconozca una estrella como de secuencia principal, y que ésta realmente lo sea? P(X|H) = 0.95 P(Xc|Hc) = 0.93 P(H)=0.90 P(H|X) = 0.95 x 0.90 / (0.95 x 0.90 + 0.07 x 0.10) = 0.9919, es decir, 99.2% Slide 89: P(M) = 0,3, P(F) = 0,13 P(M|F) = P(F ∩ M)/P(F) = P(F|M) P(M) / P(F) = 0,2·0,3 / 0,13 = 0,46 Estudiante Hombre No fuma Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 Mujer En el problema anterior: Se elige a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer? TEOREMA DE BAYES : TEOREMA DE BAYES EJERCICIOS EJERCICIO 01 : EJERCICIO 01 Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? SOLUCION DEL EJERCICIO 01 : SOLUCION DEL EJERCICIO 01 Sea: D= "la pieza es defectuosa“ N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto. SOLUCION DEL EJERCICIO 01 : SOLUCION DEL EJERCICIO 01 Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 SOLUCION DEL EJERCICIO 01 : SOLUCION DEL EJERCICIO 01 Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes, SOLUCION DEL EJERCICIO 01 : SOLUCION DEL EJERCICIO 01 Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos: La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A EJERCICIO 02 : EJERCICIO 02 Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? SOLUCION DEL EJERCICIO 02 : SOLUCION DEL EJERCICIO 02 Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. SOLUCION DEL EJERCICIO 02 : SOLUCION DEL EJERCICIO 02 La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos: EJERCICIO 03 : EJERCICIO 03 Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja. ¿Cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? SOLUCION DEL EJERCICIO 03 : SOLUCION DEL EJERCICIO 03 Sea R al suceso "sacar bola roja" y N al suceso "sacar bola negra" de una urna. Como se desconoce la probabilidad de ocurrencia de cada estado de la naturaleza, la probabilidad de cualquiera de las urnas es 1/3 (las tres son equiprobables) El ejercicio en concreto pide: p(urna=A |color= Rojo). Utilizando el teorema de Bayes, se tiene: Slide 104: En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde? (b) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde? (c) ¿Y azul? Nota: Realiza un árbol de sucesos. Llama (A1 y A2), al suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes: (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2). EJERCICIO 04 Slide 105: SOLUCION DEL EJERCICIO 04 Slide 106: Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde). Aplicamos el teorema de Bayes y resulta: Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul). Aplicamos el teorema de Bayes y resulta: SOLUCION DEL EJERCICIO 04 Slide 107: Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul). Aplicamos el teorema de Bayes y resulta: SOLUCION DEL EJERCICIO 04 Slide 108: Supongamos que la incidencia del consumo de drogas en la población es del 5%. Hacemos una prueba de drogas, que tiene una fiabilidad del 95%, a un sujeto escogido al azar y el resultado es positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que consuma drogas? SOLUCION DEL EJERCICIO 05 EJERCICIO 05 Slide 109: MAS PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS Slide 118: 2/ Se lanza una moneda si sale cara se saca una canica de la caja I que contiene 3 rojas y 2 azules, si sale cruz se saca una canica de la caja II que contiene 2 rojas y 8 azules. a) Determinar la probabilidad de que se saque una canica roja. b) Habiendo sacado bola roja, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido cara? Caja I Caja II a) b) Slide 119: 8/ Un ladrón es perseguido por un coche de policía y al llegar a un determinado cruce se encuentra tres posibles calles por las que huir (A, B y C), de tal manera que las dos ultimas son tan estrechas que por ellas no cabe el coche de policía, de lo cual el ladrón no se da cuenta Si huye por la calle A le atrapan seguro puesto que la final de la misma hay otra patrulla de policía. Si huye por la calle C se escapa seguro puesto que no está vigilada. Si huye por la calle B se encontrará que esta se bifurca en dos callejuelas: la BA, que conduce a A y la BC que conduce a C- a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ladrón sea atrapado? b) Sabiendo que escapó, ¿cuál es la probabilidad de que huyera por la C entrando por la B y llegando a C por la callejuela BC? Ladrón A B C Policía BA BC Policía Vía libre A B C BA BC a) Atrapado Atrapado Escapa Escapa Slide 120: b) Slide 128: Sean tres urnas con las siguientes posiciones de bolas blancas y negras: U1: (3 blancas y 2 negras); U2: (4 blancas y 2 negras); U3: (1 blanca y 4 negras) Calcúlese: Probabilidad de extraer bola blanca Probabilidad de que una bola negra que se ha extraído proceda de la segunda urna. SOLUCIÓN: Suponemos que las tres urnas son equiprobables: P(U1)=P(U2)=P(U3)= 1/3. Por el teorema de la probabilidad total: P(blanca) = P(blanca/U1) P(U1) + P(blanca/U2) P(U2) + P(blanca/U3) P(U3) = 3/5 x 1/3+ 4/6 x 1/3 +1/5 x 1/3 = 22/45 = 0,48888 b) P (U2/negra) = P (negra/ U2)P (U2)/P(negra) = = (P(negra/U2)P(U2)/(P(negra/U1)P(U1)+P(negra/U2) P( U2)+P(negra/U3) P/U3) = También se podría haber obtenido con la probabilidad del complementario: P (negra) = 1 – P (blanca) = 1 – 22/45 = 23/45 Slide 129: 1. - Tres damas cerca de jubilarse escriben pedidos en la librería universitaria. Sabemos que la Sra. Eduviges escribe el 50% de los pedidos. La Sra. Clotilde el 20% y la Sra. Gertrudis,30%. Sabemos que Sra. Eduviges comete un error por cada 100 pedidos; Clotilde se equivoca el 4% de las veces. y Gertrudis la mitad de las veces que Clotilde. Un estudiante recibe un libro equivocado e inocentemente cree que hubo un error al solicitarlo. ¿Cuál es la probabilidad de que la Sra. Eduviges escribiera el pedido?. Tomemos F= {error}. Slide 130: 2.- Suponga que las dos emisoras de radio de su zona tienen la siguiente programación en porcentaje: EMISORA DE RADIO Golfo Nuevo Radio Chubut Noticias y pronósticos 2% 10% Asuntos comunitarios 8% 20% Novelas 0% 15% Música 0% 50% Deportes 10% 5% a)Si Ud. sintoniza Golfo Nuevo : cual es la probabilidad de que esté trasmitiendo música o novela. b)Un médico escucha radio mientras opera una peritonitis. estimamos que las probabilidades de que sintonice una determinada emisora son P(GN)=0.40 , P(NoGN)=0.60.A través de la puerta de la sala de operaciones se oye un partido de fútbol. ¿Cuál de las dos emisoras apostaria Ud. que escucha el Dr.? Slide 131: 3)Una empresa estudia la comercialización de un nuevo producto. Se desea que resulte superior a su mas cercano competidor. En base a evaluaciones a preliminares se determina una probabilidad del 50% que el producto sea superior al competidor, de un 30% que posea igual calidad y de un 20% que resulte inferior. Un estudio de mercado concluye que el producto es superior a la competencia. En base a la experiencia en encuestas, se sabe que si un producto es superior, la probabilidad de que la encuesta alcance igual resultado es 0.7.Si el producto es de igual calidad, la probabilidad de que la encuesta dé un producto superior es de0.4, y la probabilidad. de que la encuesta indique un producto superior siendo en realidad inferior es de 0.2. Dado el resultado de la encuesta: ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea superior?. Slide 132: 4.- Según los datos de una revista de modas “El 50% de los hombres de Canadá usa ropa interior de color, pero solo el 20% de los norteamericanos la usa”. En un hotel de Bermudas hay hospedados cuatro veces mas de norteamericanos que de canadienses. Una de las camareras descubre en una habitación un slip naranja. ¿Cuál es la probabilidad de que el ocupante sea canadiense? 5)Una planta armadora de androides recibe microcircuitos provenientes de tres fabricantes F1, F2, F3. El 50% se compra a F1 y a F2, F3 un 25% a cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos es de 5, 10 y 12% respectivamente para F1, F2, F3. Si los circuitos se almacenan en la planta sin identificar el proveedor: a)Determinar la probabilidad de que salga un androide asesino, o sea, tenga un circuito defectuoso. b)Si un circuito es bueno, ¿Cuál es la probabilidad. que provenga del fabricante F2 ?. Slide 133: 6.- Cuatro ayudantes de una estación de servicio deben limpiar los parabrisas de los clientes. Juan atiende el 20% de los clientes y cumple su cometido una vez cada 20 autos. Tomás atiende el 60% de los autos y no limpia el parabrisas una vez cada 10 autos. Jorge atiende el 20% de la clientela y no limpia una vez cada 20 autos. Si un cliente se queja de que su parabrisas no fue lavado: ¿Cuál es la probabilidad que lo haya atendido Juan ? Slide 134: 134 Tema Nº 04: INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES - CONTEO Facultad de Química e Ingeniería Química Ing. Manuel García Pantigozo 2008 - II UNMSM ESTADISTICA A Slide 135: 135 FORMULA DE MULTIPLICACION Slide 136: 136 CONTEO Si se tienen m elementos de un tipo y n de otro tipo, el número de parejas que se puede formar es: En términos de fórmula: Número total de arreglos = m * n Y para mas de dos eventos tenemos: Número total de arreglos = m * n * o Slide 137: 137 Autoexamen 5-13 Un fabricante desarrollo 5 bases para lámpara y 4 pantallas que se pueden usar juntas. ¿Cuántos arreglos distintos de base y pantalla se pueden ofrecer? Número total de arreglos = m * n = 5 * 4 = 20 Slide 138: 138 Autoexamen 5-13 Una industria fabrica 3 modelos de receptores estereo, 2 aparatos de casete, 4 bocinas y 3 tornamesas. ¿Cuántos sistemas distintos puede ofrecer esta industria? Número total de arreglos = m*n*o*p Número total de arreglos = 3*2*4*3 = 72 Slide 139: 139 Autoexamen 5-13 Una tienda anuncia que por US$ 20,000.00 se puede adquirir un convertible, un dos puertas o un modelo de cuatro puertas, con elección de cubreruedas deportivos o comunes. ¿Cuántos arreglos diferentes de modelos y cubreruedas puede ofrecer la tienda? Número total de arreglos = m * n = 3 * 2 = 6 Slide 140: 140 FORMULA DE PERMUTACION Slide 141: 141 PERMUTACION Disposición en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc. hasta n. P: número de permutaciones n: número total de objetos r: número de objetos que se dispondrá Slide 142: 142 Ejemplo 1: Se desea ensamblar tres elementos electrónicos en cualquier orden. ¿de cuantas formas diferentes se pueden reunir? : = 6 Slide 143: 143 Auto examen 5-14 ¿a que es igual 6!? = 6*5*4*3*2*1= 720 ¿a que es igual 6!2!/4!3!? = 10 Un operador debe realizar 4 verificaciones de seguridad antes de activar una máquina. No importa el orden en que se realicen las verificaciones. ¿De cuantas formas diferentes se puede realizar las verificaciones el operador? Slide 144: 144 Auto examen 5-14 Utilizar 10 números del 0 al 9 para crear grupos de código de 4 cifras fin de identificar un articulo de ropa. El código 1083 podría ser una blusa azul, talla media. El grupo código 2031 podría identificar unos pantalones, talla 18,etc. No se permiten repeticiones de los números. Es decir, el mismo número no puede utilizarse dos veces o mas en una secuencia total. Por ejemplo 2256, 2562, o 5559 no se permitirán ¿Cuántos grupos de distintos códigos pueden establecerse? Slide 145: 145 Auto examen 5-15 Un músico desea escribir una partitura basada solamente en cinco notas (la, si, do, re y mi). Sin embargo, solo tres notas de las cinco se utilizarán en sucesión, como do, la y mi. No se permitirán repeticiones como la, la y mi. 1) ¿Cuantas permutaciones de las cinco notas, tomadas tres cada vez, son posibles? = 5*4*3 = 60 2) Utilizando la formula para permutaciones, ¿Cuántas permutaciones son posibles? Slide 146: 146 PERMUTACION CON REPETICION Disposición en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc. hasta n, pero que se permiten las repeticiones. P: número de permutaciones n: número total de objetos r: número de objetos que se dispondrá Slide 147: 147 Auto examen 5-16 Un músico desea escribir una partitura basada solamente en cinco notas (la, si, do, re y mi). Sin embargo, solo tres notas de las cinco se utilizarán en sucesión, como do, la y mi. Se permitirán repeticiones como la, la y mi. Hay 60 permutaciones sin repetición de tres notas ¿Cuantas permutaciones son posibles si se permiten las repeticiones? 5P3 = 53 = 125 Slide 148: 148 FORMULA DE COMBINACION Slide 149: 149 COMBINACION Dado un conjunto de n elementos, se denomina combinaciones de tamaño r a todos los conjuntos que se pueden formar con r elementos tomados de entre los n elementos, de modo que cada conjunto difiera de los demás en por lo menos un elemento. P: número de permutaciones n: número total de objetos r: número de objetos que se dispondrá Slide 150: 150 Ejemplo 2: A un Dpto. de Pinturas le han pedido que diseñe códigos de color para 42 elementos distintos. Se van a utilizar tres de cada uno. ¿serán adecuados siete colores tomados de tres cada vez para codificar las 42 partes mecánicas ? = 35 Slide 151: 151 Auto examen 5-17 Verificar las 56 combinaciones mencionadas en el párrafo anterior. Como un plan alternativo para codificar por color las 42 partes, se sugirió que se colocaran solo dos colores en cada una. ¿Serian adecuados 10 colores para codificar las 42 partes? Slide 152: 152 ESPACIO MUESTRAL Slide 153: 153 El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral y se representa con el simbolo S. Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E. Ejemplo 3: Cuando el experimento es lanzar un dado: E1={1,2,3,4,5,6} E2={par, impar} Ejemplo 4: Cuando el experimento es lanzar una moneda: E3={sello, cara} Slide 154: 154 Ejemplo 5: Cuando se seleccionan tres artículos de forma aleatoria de un proceso de fabricación y se clasifican como defectuosos (D) y no defectuosos (N): E4={DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN} Slide 155: 155 Tercer artículo Segundo artículo Primer artículo Punto muestral Diagrama de Arbol Slide 156: 156 EVENTO Slide 157: 157 Evento: subconjunto de un espacio muestral. Ejemplo 6: Evento B cuando el numero de defectuosos es mayor que 1 respecto al espacio muestral E4: E5={DDD, DDN, DND, NDD} Slide 158: 158 EJERCICIOS Slide 159: 159 Auto examen 5-17 Verificar las 56 combinaciones mencionadas en el párrafo anterior. Como un plan alternativo para codificar por color las 42 partes, se sugirió que se colocaran solo dos colores en cada una. ¿Serian adecuados 10 colores para codificar las 42 partes?

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