Esfuerzos principalesy eigenvalores

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Published on September 26, 2014

Author: asfmandres

Source: slideshare.net

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producto de esfuerzos en un punto

Esfuerzos Principales y Eigenvalores. Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E. 1 Introducci´on. Una aplicaci´on inmediata e interesante de los m´etodos num´ericos, en particular de los m´etodos para la deter-minaci ´on num´erica de eigenvalores y eigenvectores, es la determinaci´on de los esfuerzos principales, y de las direcciones principales asociadas al estado de esfuerzo en un punto. Estas notas muestran los fundamentos de la determinaci´on del estado de esfuerzos en un punto y ejemplifican el c´alculo de los esfuerzos y direcciones principales asociados al estado de esfuerzo en un punto. 2 Estado de Esfuerzos en un Punto. Una de las tareas mas importantes en la mec´anica de s´olidos es la determinaci´on de los esfuerzos en un punto arbitrario de un elemento de m´aquina sujeto a fuerzas arbitrarias. Si es posible determinar el estado de esfuerzos en un punto arbitrario del elemento de m´aquina, ser´a posible determinar si el elemento de m´aquina puede soportar las fuerzas a las que est´a sujeto. Esta determinaci´on involucra la selecci´on y aplicaci´on de una teor´ıa de falla apropiada al material de que est´a formado el elemento de m´aquina, sea d´uctil o fr´agil, y el tipo de carga, sea est´atica o din´amica. El estado de esfuerzos en un punto, P, representa los esfuerzos a los que est´a sujeto el punto en tres planos —que usualmente se seleccionan mutuamente perpendiculares— que pasan por el punto. El estado de esfuerzos en un punto, P, se representa como un cubo en cuyas caras aparecen los esfuerzos a los cuales est´a sujeto el punto. Es importante notar que los planos pasan por el mismo punto P, y que por lo tanto, las dimensiones del cubo son infinitamente peque˜nas. Los esfuerzos que aparecen en cada una de las caras pueden representarse de manera matricial como S = ⎡ ⎣ σxx τxy τxz τyx σyy τyz τzx τzy σzz ⎤ ⎦ (1) De las ecuaciones de equilibrio, puede probarse que τxy = τyx τxz = τzx τyz = τzy (2) Sustituyendo los resultados indicados en la ecuaci´on (2) en la ecuaci´on (1) se tiene que el estado de esfuerzos S est´a dado por una matriz sim´etrica, es decir S = ⎡ ⎣ σxx τxy τxz τxy σyy τyz τxz τyz σzz ⎤ ⎦ (3) Mas a´un, puede probarse que el estado de esfuerzos S est´a sujeto a reglas espec´ıficas de transformaci´on y constituye lo que se llama un tensor sim´etrico de segundo orden. 1

Figure 1: Estado de Esfuerzos en un Punto. 3 Determinaci´on de los Esfuerzos y Direcciones Principales. Considere que se desea obtener los esfuerzos en el punto P en un plano, que pasa por el mismo punto P tal que la normal al plano est´a dada por el vector unitario ˆn = (nx, ny, nz), puede entonces probarse, vea [1], que las componentes cartesianas del esfuerzo T que aparece en el plano est´an dadas por Tnx = σxx nx + τxy ny + τxz nz Tny = τxy nx + σyy ny + τyz nz (4) Tnz = τxz nx + τyz ny + σzz nz Figure 2: Esfuerzos en un Plano Arbitrario. 2

Esta ecuaci´on (4) puede escribirse en forma matricial como T = S ˆn = ⎡ ⎣ σxx τxy τxz τxy σyy τyz τxz τyz σzz ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ nx ny nz ⎤ ⎦. (5) A f´ın de aplicar alguna de las teorias de falla, tanto para materiales fr´agiles como d´uctiles, tanto para cuando las cargas aplicadas al elemento mec´anico son est´aticas o din´amicas, es necesario y frecuentemente indispensable determinar los esfuerzos principales que actuan sobre un punto. En la mec´anica de los s´olidos los esfuerzos principales, en un punto P, se definen como los esfuerzos que aparecen en ese punto P en planos, que se denominan principales, en los que el esfuerzo tiene la direcci´on de la normal al plano. Esta caracter´ıstica implica que en en los planos asociados a las direcciones principales, no hay esfuerzos cortantes y en esos planos T = σ ˆn. (6) En esas circunstancias, debe quedar claro que la busqueda de los esfuerzos y direcciones principales, se reduce a la determinaci´on de los eigenvalores y eigenvectores del estado de esfuerzo en un punto, pues sustituyendo la ecuaci´on (6) en la ecuaci´on (5) se tiene que T = S ˆn = ⎡ ⎣ σxx τxy τxz τxy σyy τyz τxz τyz σzz ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ nx ny nz ⎤ ⎦ = σ ˆn. (7) 4 Ejemplo. Considere un estado de esfuerzos en un punto S, dado por σxx = 1000 σyy = −2000 σzz = 3000 τxy = −200 τxz = 100 τyz = −400 el estado de esfuerzos puede expresarse en forma matricial, como S = ⎡ ⎢⎢⎣ 1000 −200 100 −200 −2000 −400 100 −400 3000 ⎤ ⎥⎥⎦ (8) A f´ın de determinar los esfuerzos principales, eigenvalores, y direcciones principales, eigenvectores, es nece-sario determinar la matriz S − λ I3, dada por S − λ I3 = ⎡ ⎢⎢⎣ 1000 − λ −200 100 −200 −2000 − λ −400 100 −400 3000 − λ ⎤ ⎥⎥⎦ (9) La ecuaci´on caracter´ıstica asociada a los eigenvalores, esfuerzos principales, est´a dada por p( λ) = −6244000000+ 5210000 λ+ 2000 λ2 − λ3 Los esfuerzos principales est´an dados por σ1 = −2043.849458, σ2 = 1005.479902, y σ3 = 3038.369556 (10) Como puede observarse, uno de los esfuerzos principales es de compresi´on, mientras que los dos esfuerzos principales restantes son de tensi´on. Los eigenvectores, o direcciones principales, asociadas a cada uno de los esfuerzos principales, est´an dadas por 3

1. Direcci´on principal asociada al esfuerzo principal σ1 = −2043.849458, est´a dada por ˆn1 = ⎡ ⎣ 0.06282617492 0.9949982146 0.07766224421 ⎤ ⎦ 2. Direcci´on principal asociada al esfuerzo principal σ2 = 1005.479902, est´a dada por ˆn2 = ⎡ ⎣ 0.9964074519 −0.05810629894 −0.06161044199 ⎤ ⎦ 3. Direcci´on principal asociada al esfuerzo principal σ3 = 3038.369556, est´a dada por ˆn2 = ⎡ ⎣ 0.05678961428 −0.08125398734 0.9950742333 ⎤ ⎦ Puede probarse que las direcciones principales, eigenvectores, de una matriz sim´etrica son mutuamente per-pendiculares. Este resultado significa que los esfuerzos principales en un punto, aparecen en planos mutuamente perpendiculares. Considere la matriz P dada por P = [ˆn1 ˆn2 ˆn3] (11) si se calcula PT I3 P = ⎡ ⎢⎢⎣ 0.9999999996 −3.2 × 10−11 2.0 × 10−11 −3.2 × 10−11 0.9999999988 1.0 × 10−11 2.0 × 10−11 1.0 × 10−11 1.000000001 ⎤ ⎥⎥⎦ (12) se muestra que las direcciones son mutuamente perpendiculares. References [1] Dally, J. W. y Riley, W. F., (2005), Experimental Stress Analysis, Fourth Edition, Knoxville, Tennessee: College House Enterprises, L.L.C. 4

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