equação de terceiro grau

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Information about equação de terceiro grau
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Published on January 5, 2009

Author: renanmetzker

Source: slideshare.net

Description

Este trabalho foi desenvolvido por alunos do primeiro ano de gradução em matematica.

Introdução

A escolha do tema se deu principalmente pelo fato da maioria dos alunos desconhecer o método de resolução de uma equação de terceiro grau. Desde a antiguidade, as dificuldades para se encontrar as raízes de tal equação motiva os matemáticos.
Fizemos uma reconstrução histórica, mais precisamente na antiguidade, com os babilônios até o Renascimento Italiano, onde o estudo das equações de terceiro grau atinge seu ápice. Neste período daremos enfoque nos principais personagens responsáveis pela descoberta das fórmulas gerais, em meio a disputas, brigas e traições. Entre eles estão Girolamo Cardano e Tartaglia.
O mundo conhece o método de resolução de uma equação cúbica no século XVI através de Cardano com a publicação de ARS MAGNA.
Objetivo:Mostrar a demonstração teórica do método de Cardano-Tartaglia.

Equações do 3º grau Grupo: Aline Dutra Guilherme Ponesi Renan Metzker Orientadora: Miriam Penteado Contato: renan_metzker_@hotmail.com

Introdução A escolha pelo tema se deu principalmente pelo fato da maioria dos alunos desconhecerem o método de resolução de uma equação de terceiro grau. Fizemos um estudo histórico pesquisando os métodos de resolução de uma equação de terceiro grau desenvolvidos através dos tempos, enfatizando as necessidades que geraram sua descoberta e os principais matemáticos envolvidos no processo.

A escolha pelo tema se deu principalmente pelo fato da maioria dos alunos desconhecerem o método de resolução de uma equação de terceiro grau.

Fizemos um estudo histórico pesquisando os métodos de resolução de uma equação de terceiro grau desenvolvidos através dos tempos, enfatizando as necessidades que geraram sua descoberta e os principais matemáticos envolvidos no processo.

Objetivos Este trabalho tem por finalidade demonstrar a resolução de uma equação de terceiro grau utilizando o método Cardano-Tartaglia e relatar os principais fatos históricos relacionados ao tema.

Este trabalho tem por finalidade demonstrar a resolução de uma equação de terceiro grau utilizando o método Cardano-Tartaglia e relatar os principais fatos históricos relacionados ao tema.

Processo Histórico Desenvolvimento Problemas gerados na Grécia Antiga Contribuições dos Matemáticos Árabes ... Renascimento Italiano ( Cardano e Tartaglia) Início na Babilônia (1800 a 1600 A.C.)

Estudo das cúbicas na Babilônia Os babilônios fazem tabelas de quadrados e cubos para auxiliar na resolução de uma equação cúbica da forma Equações do tipo ax³+ bx²=c podem ser transformadas na forma conhecida dos babilônios se multiplicada por N N² N³ N²+N³ 1 1 1 2 2 4 8 12 3 9 27 36 4 16 64 80 5 25 125 150 6 36 216 252

Os babilônios fazem tabelas de quadrados e cubos para auxiliar na resolução de uma equação cúbica da forma

Equações do tipo ax³+ bx²=c podem ser transformadas na forma conhecida dos babilônios se multiplicada por

Estudo das cúbicas na Grécia e na Arábia. Os problemas relacionados a volumes de sólidos levam os matemáticos ao estudo de equações de terceiro grau.O que teve mais destaque foi o problema da duplicação do cubo. Transportando para Arábia , vemos um rico conhecimento matemático herdado dos gregos.O matemático Omar Khayyam inicia um estudo geométrico para a resolução de uma cúbica. Ele acreditava que era impossível resolver uma cúbica algebricamente.

Os problemas relacionados a volumes de sólidos levam os matemáticos ao estudo de equações de terceiro grau.O que teve mais destaque foi o problema da duplicação do cubo.

Transportando para Arábia , vemos um rico conhecimento matemático herdado dos gregos.O matemático Omar Khayyam inicia um estudo geométrico para a resolução de uma cúbica. Ele acreditava que era impossível resolver uma cúbica algebricamente.

Nicoló Fontana(Tartaglia) Nascido em Bréscia, em 1500, desde a infância teve a vida marcada pelo infortúnio, pelas lutas e dificuldades, morreu em 1557.

Nascido em Bréscia, em 1500, desde a infância teve a vida marcada pelo infortúnio, pelas lutas e dificuldades, morreu em 1557.

Girolamo Cardano

Demonstração caso geral O método consiste em eliminar por meio de operações algébricas o termo de segundo grau, e obter uma equação do tipo: Seja com a, b, c, d R a equação geral de uma equação de terceiro grau. Substituindo a variável x por z+w na equação geral e agrupando os termos semelhantes teremos Igualando o termo de segundo grau a zero obteremos:

O método consiste em eliminar por meio de operações algébricas o termo de segundo grau, e obter uma equação do tipo:

Seja com a, b, c, d R a equação geral de uma equação de terceiro grau.

Substituindo a variável x por z+w na equação geral e agrupando os termos semelhantes teremos

Igualando o termo de segundo grau a zero obteremos:

Substituindo W na equação: Agora iremos obter p e q em função de a,b,c,d comparando a equação obtida com a equação Assim,chegamos que Já se sabia na época que uma raiz da equação............................ poderia ser obtida a partir das raízes da seguinte equação de segundo grau

Substituindo W na equação:

Agora iremos obter p e q em função de a,b,c,d comparando a equação obtida com a equação

Assim,chegamos que

Já se sabia na época que uma raiz da equação............................ poderia ser obtida a partir das raízes da seguinte equação de segundo grau

A maneira para se obter uma raiz da equação seria a seguinte: Resolvendo a equação do segundo grau Substituindo:

A maneira para se obter uma raiz da equação

seria a seguinte:

Resolvendo a equação do segundo grau

Substituindo:

Chamaremos q² + p³ de Se for menor do que zero, a equação terá raízes complexas. Este caso não iremos demonstrar,pois não foi descoberto por Tartaglia. A forma obtida é válida para os casos que for maior ou igual a zero. Para calcular as demais raízes basta dividirmos a equação geral (ax³+bx²+cx+d) por Assim,recairemos numa equação de grau 2, a qual podemos resolver. Seja a equação que foi obtida a partir da divisão da equação geral por x-x1 Resolvendo a equação obteremos:

Chamaremos q² + p³ de

Se for menor do que zero, a equação terá raízes complexas. Este caso não iremos demonstrar,pois não foi descoberto por Tartaglia. A forma obtida é válida para os casos que for maior ou igual a zero.

Para calcular as demais raízes basta dividirmos a equação geral (ax³+bx²+cx+d) por Assim,recairemos numa equação de grau 2, a qual podemos resolver.

Seja a equação que foi obtida a partir da divisão da equação geral por x-x1

Resolvendo a equação obteremos:

Estas raízes estão em função de a1,b1 e c1. Queremos deixá-las em função de a,b,c,d e x1.Para isto,usamos o dispositivo de Briot Ruffini a b c d x1 a ax1+b (ax1+b)x1+c (ax1+b)x1+c)x1+d A partir disto, concluímos que: a1=a b1= ax1+b c1= (ax1+b)x1+c (ax1+b)x1+c)x1+d é o resto da divisão que é 0. Então: (ax1+b)x1+c)x1+d=0 d = -(ax1+b)x1+c)x1

Estas raízes estão em função de a1,b1 e c1. Queremos deixá-las em função de a,b,c,d e x1.Para isto,usamos o dispositivo de Briot Ruffini

a b c d x1

a ax1+b (ax1+b)x1+c (ax1+b)x1+c)x1+d

A partir disto, concluímos que:

a1=a

b1= ax1+b

c1= (ax1+b)x1+c

(ax1+b)x1+c)x1+d é o resto da divisão que é 0.

Então: (ax1+b)x1+c)x1+d=0

d = -(ax1+b)x1+c)x1

Substituindo a1,b1,c1 em x2 e x3 obteremos:

Substituindo a1,b1,c1 em x2 e x3 obteremos:

Referências Garbi, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron Books,1997. Revista do Professor de Matemática, RPM-25. Dissertação apresentada por Rosana Nogueira de Lima para obtenção de Mestre em Educação Matemática à PUC-SP,1999.

Garbi, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron Books,1997.

Revista do Professor de Matemática, RPM-25.

Dissertação apresentada por Rosana Nogueira de Lima para obtenção de Mestre em Educação Matemática à PUC-SP,1999.

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