Eo meec-2011-2012-1-teste

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lei

Published on March 9, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Problema 1 L V R1 R2 1-a) Para determinar os campos vamos usar a Lei de Gauss para superfícies cilíndricas r de raio r e altura h L, com eixos coincidentes com o do condensador, e em regiões afastadas das extremidades do condensador (ou seja, onde para todos os efeitos o condensador pode ser considerado infinitamente comprido). Para as regiões onde r R 1 ou r R 2 nas condições descritas e pela simetria cilíndrica do problema, E r Er r , z e r Θ (em coordenadas cilíndricas r , Θ, z num referencial com o eixo e z também coincidente com o do condensador) pelo que os fluxos nas superfícies de Gauss r são © EO/MEEC-IST -1- 11/15/11

2 Para 1º Teste as regiões onde r R 1 ou r R 2 nas condições descritas e pela simetria cilíndrica do problema, E r Er r , z e r Θ (em coordenadas cilíndricas r , Θ, z num referencial com o eixo e z também coincidente com o do condensador) pelo que os fluxos nas superfícies de Gauss r são E r S Q int Er r 2 Π r h o r Uma vez que dentro da armadura interior não existem cargas, Q int r e E Er r e r Θ 0; D Μo E 0; para r R1 0, donde Er r 0 R1 Para superfícies de Gauss com r R 2 também se tem Q int r R 2 0, mas agora porque toda a carga Λ h da armadura interior dentro da superfície de Gauss é compensada por uma carga Λ h na armadura exterior (devido ao facto que todas as linhas de campo que começam na armadura interior acabarem na armadura exterior dentro da mesma superfície de Gauss). Assim também se tem Er r 0e E Er r e r Θ 0; D Μo E 0; para r R2 Para uma superfície de Gauss de altura h dentro do dielétrico, com R 1 simetria cilíndrica D r existe fluxo) D D r r e r Θ enquanto S e r Θ na superfície lateral (a única onde Dr r 2 Π r h Λh D r 2 Πr r D r R 2 , e dado que pela C Λ livre Q int S S r er Θ m2 V Λ E r 2Π r er Θ m 1-b) Para determinar a relação entre carga e diferença de potencial é necessário relacionar E com o potencial. Λ E r Λ – 2Π r er Θ r Λ V R1 R2 log 2Π o Σpol r 1 log 1 Χe deduz-se que P r2 Χe © 11/15/11 P o donde r 1 er Θ , o er Θ 2Π 2Π V R 1 log o er Θ 2Π R2 er Θ e r V R2 R 2 log R1 o Χe D o C o R 1 log R1 2Π V R 2 log V R2 m2 R2 R1 r 2 er Θ , o C R2 m2 R1 Dentro do dielétrico não existem cargas livres, pelo que aí Ρpol r m R1 P obtém-se, na superfície interior do dielétrico Na superfície exterior do dielétrico onde n Σpol r 2 o R2 m2 P n e que Ρpol R1 C C er Θ 2Π r er Θ e r P r1 2Π V Λ o Χe E r Sabendo que Σpol onde n o V 2Π Λ R1 1-c) Para uma permitividade P r R2 log r o D Ρlivre 0 C Χe Ρlivre r -2- 0 m3 © EO/MEEC-IST

1º Teste 3 1-d) A energia armazenada no condensador é, usando a idéia de que para o carregar é necessário 2 Q Qq 1 Q 1 dispender energia Ucond V q q q QV, 2 2 0 0 C C 1 Ucond Π LV2 1 QV L ΛV 2 2 J R2 log R1 Em alternativa, poder-se-ia considerar que a densidade de energia no campo eléctrico dentro do 1 condensador é we r E r 2 2 e integrar esta densidade no volume entre as armaduras. Usando coordenadas cilíndricas com e z alinhado com o eixo do conjunto, e relembrando que V r r Θ z nestas coordenadas, obtém-se também Ucond we r L 0 2Π V R2 0 1 Er2 2 R1 Λ R2 r r r Θ z 2 LΠ L Λ2 r r 4Π Π LV2 R1 log 2Π r R1 R2 log R2 R1 1-e) Considerando o sistema Dielétrico+Condensador+Bateria como isolado, a sua energia total Etot deve ser constante. Assim, qualquer trabalho mecânico dielétricos deve verificar Etot Wmec Ucond Ubat Wmec F r realizado sobre os 0 Como o condensador está ligado à fonte de tensão constante V , a sua energia varia de 1 Ucond V Q quando recebe uma carga Q (o que acontece porque a capacidade C se 2 altera). A capacidade do condensador cilíndrico de comprimento L cheio com dielétrico de permitividade é Q ΛL 2Π L V V log C F R2 R1 Quando temos dois dielétricos dentro do condensador, com comprimentos x (para permitividade ) e x L x (para a permitividade ), então a capacidade total é a de dois condensadores cilíndricos em paralelo: 2Π x C C1 C2 log 2Π R2 L log R1 x 2Π x R2 L log R1 F R2 R1 Uma variação C da capacidade implica uma variação da carga nas armaduras do condensador quando estas são mantidas a potenciais constantes. Quando essa variação resulta de um aumento x da componente de dielétrico então C Q V C 2Π V x x log V R2 x C R1 A carga Q vem da bateria, que assim perde energia energia total Etot do sistema resulta que 1 Wmec © EO/MEEC-IST V 1 V 2 Ubat Q V Q 0 Wmec -3- F r V2 Π V 2 Q . Da conservação de Q log R2 x J R1 11/15/11

4 1º Teste V2 Π F log Quando R2 ex N R1 a componente Fx V2 Π log R2 0, fazendo assim aumentar x e atraindo para R1 dentro do condensador o dielétrico original de permitividade . Ou seja, se a força atractiva sobre o dielétrico original é mais forte que a força atractiva que o condensador exerce sobre o novo dielétrico de permitividade , resultando em que este seja empurrado para fora do condensador. Problema 2 R1 Σc z1 I d I2 R1 I R3 R2 2-a) Dada a conductividade Σc a Lei de Ohm afirma que J cabo © 11/15/11 -4- Σc E , donde, para qualquer secção do © EO/MEEC-IST

1º Teste I J S Σc Eo ez 2-b) Para o campo constante E z o Eo z S 2 Σc Eo Π R 1 A Eo e z é preciso existir um potencial V z o Eo 5 tal que E I 2 Π R1 z , ou seja V m Σc Assim a queda de potencial para um comprimento do cabo é 1 V I 2 Π R 1 Σc I Ohm 2 Π R 1 Σc R m 2-c) A potência dissipada por unidade de comprimento será pela lei de Joule 1 R I2 2 2 Σc Eo Π R 1 2 Π R 1 Σc Watt 2 Σc Π R 1 Eo2 m 2-d) Para o cálculo do campo magnético usa-se a Lei de Ampère com a intensidade do campo magnético H B Μ para um círculo de raio r centrado no eixo do cabo e num plano perpendicular a este H l Icond onde I I Icond se r R2 1 R1 r 2 se r R1 A Dadas as simetrias cilíndricas, o campo será tangente aos círculos concêntricos com o eixo, e terá magnitude apenas dependente da distância ao eixo do cabo, pelo que a circulação de H H Θ r e Θ Θ ao longo de um destes círculos de raio r é, usando coordenadas cilíndricas, I se r H l HΘ r 2 Π r HΘ r 2 ΠR2 1 Μo I B r eΘ Θ 2 Πr Μo 1 BΘ r e Θ Θ A r se r se r 2-e) Na região supercondutora z m R1 R1 T a Ir 2 ΠR2 1 R1 2 Πr I eΘ Θ se r R1 z 1 a resistividade é nula Ρc 0, o significa uma condutibilidade Σc . Teóricamente o campo pode ser E 0 e ainda assim J 0, pelo que na transição para a região z z 1 vai existir uma descontinuidade no campo eléctrico, só possível com a existência de uma distribuição superficial de carga Σ z 1 na secção de transição. Assim, pela lei de Gauss aplicada a uma caixa com bases de área S em cada lado da superfície z z 1 (dentro do condutor) e paredes paralelas a E o , obtemos E S Eo Sez Σ z1 S Σ z1 o o Eo o 2 Π R1 I Σc C m2 2-f) Usando mais uma vez a Lei de Ampère , a corrente I2 deve ser tal que para um circuito envolvendo os dois cabos na região exterior onde B © EO/MEEC-IST -5- 0 11/15/11

6 1º Teste B l 0 Μo I2 I I2 I 2-g) A força realizada sobre um segmento condutor exterior é F F z I l B r Μo I 2 I 2Π d 3 R1 I z ez l Μo I2 2Π d 3 R1 A z e z do filamento com corrente I à distância d do eΘ Π Μo I 2 I 2Π d z 3 R1 er Π N N er Π m A força por unidade de comprimento que o filamento exerce sobre o cabo exterior é simétrica desta. © 11/15/11 -6- © EO/MEEC-IST

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