ELE2611 Classe 9 - Notions d'électrotechnique

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Published on January 10, 2016

Author: jleny

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1. Introduction ELE2611 - Circuits Actifs 3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5 https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756 Cours 9 - Notions d’´electrotechnique Instructeur: Jerome Le Ny jerome.le-ny@polymtl.ca Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/48

2. Introduction Motivation pour ce cours Dans le cours 9, nous introduisons des notions de base pour l’analyse des r´eseaux ´electriques (´electrotechnique), que vous poursuivrez dans le cours ELE3400. Un r´eseau ´electrique est un syst`eme, g´en´eralement complexe, fonctionnant normalement en r´egime permanent sinuso¨ıdal (RPS), `a une fr´equence fixe. Nous discutons tout d’abord le concept de puissance en RPS, qui est la quantit´e fondamentale pour l’analyse des r´eseaux ´electriques. Puis nous introduisons un nouveau composant de base, les bobines (magn´etiquement) coupl´ees. Ce composant est utilis´e couramment en communications et dans les ´equipements de mesure. Mais surtout, les transformateurs sont des types de bobines coupl´ees cruciaux dans les r´eseaux ´electriques pour changer le niveau de tension, par exemple pour faire le lien entre les stations et les consommateurs. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/48

3. Introduction Les R´eseaux ´Electriques Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/48

4. Introduction Le cas d’Hydro-Qu´ebec Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/48

5. Introduction Outline Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/48

6. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Outline Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/48

7. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Grandeurs pour les signaux p´eriodiques (rappel du cours 5) Signal p´eriodique de p´eriode T : f (t) = f (t + T) pour tout t Valeur maximale fmax, Valeur crˆete `a crˆete Valeur moyenne (constante) : fm = 1 T t0+T t0 f (τ)dτ Exercice : montrer que la d´efinition ne d´epend pas du choix de t0 Exercice : valeur moyenne de sin(ωt + φ), cos(ωt + φ) ? Valeur efficace (ou moyenne quadratique, ou RMS = Root Mean Square) feff = 1 T t0+T t0 f 2(τ)dτ Exercice : montrer que la d´efinition ne d´epend pas du choix de t0 Applications : Intensit´e et tension efficaces (ex : 120V RMS `a la prise). Pourquoi pas moyennes ? Puissance moyenne. On ne parle pas de puissance efficace. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/48

8. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Relations entre fmax et feff (rappel du cours 5) Soit un signal f de p´eriode T, sym´etrique par rapport `a l’axe du temps f (t) = fmax g(t), g T-p´eriodique, symm´etrique, gmax = 1. On a feff = 1 T T 0 f 2 max g2(τ)dτ = fmax geff Applications (calculs de geff en exercice) : g(t) sinuso¨ıde (g(t) = sin(ωt + φ)) → feff = fmax √ 2 C’est le cas qui nous int´eresse pour le RPS g(t) signal triangulaire → feff = fmax / √ 3. g(t) signal carr´e → feff = fmax . Exemple : Calculer Vmax si Veff = 120V en RPS. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/48

9. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Motivation pour les tension et courants effectifs (rappel du cours 5) Soit une r´esistance R parcourue par : cas 1) un courant continu I et cas 2) un courant alternatif i(t). Puissance moyenne dissip´ee dans la r´esistance : cas 1 : Pcc = RI2 cas 2 : Pca = 1 T T 0 Ri(t)2 dt = RI2 eff Ieff est donc la valeur de l’intensit´e continue qui contribuerait `a la mˆeme puissance dissip´ee dans la r´esistance. Idem pour Veff . Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/48

10. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Outline Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/48

11. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Phaseurs sinuso¨ıdaux (rappels) Pour l’´etude d’un circuit lin´eaire stable, en r´egime permanent sinuso¨ıdal Dur´ee des transients ≈ 4/| [pˆole le plus `a droite]—. En RPS, tous les signaux oscillent `a la mˆeme fr´equence que la source. Choix d’un signal de r´ef´erence par rapport auquel on mesure les phases, par ex. la source vs (t) = Vs cos(ωt) (choix d’un temps t = 0) Phaseur : x(t) = X cos(ωt + φ) = Re[X ejωt+jφ ] ↔ X = X ejφ Utilit´e pour les calculs pratiques en RPS : imp´edances complexes Z = V I L’amplitude et phase des signaux aux bornes d’un composant (en RPS) sont des fonctions de la fr´equence M(ω), φ(ω) Dans l’analyse des circuits d´edi´es `a la manipulation d’information (ex : filtrage) on s’int´eresse g´en´eralement `a la r´eponse en fr´equence d’un circuit. Dans les circuits d´edi´es au transport de l’´energie ´electrique, on travaille normalement avec une fr´equence unique (50 Hz ou 60 Hz), qui peut alors ˆetre omise de la notation des phaseurs et des imp´edances complexes. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/48

12. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Diagramme de phaseurs (rappels) Un phaseur est un nombre complexe, ou de mani`ere ´equivalente un vecteur dans R2 Application : addition de sinuso¨ıdes de mˆeme fr´equence v3(t) = V1 cos(ωt + φ1) + V2 cos(ωt + φ2) v3(t) = Re[(V1 + V2)ejωt ] = Re[V3ejωt ] = Re[|V3|ej(ωt+∠V3) ] v3(t) = |V3| cos(ωt + ∠V3), avec V3 = V1 + V2 → Il suffit d’additioner les phaseurs < = !t 1 V1 V2 V3 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/48

13. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Puissance moyenne en RPS + - V I Z = V/I Situation typique : source alimentant un circuit d’imp´edance Z Puissance instantan´ee (en RPS) fournie `a la charge p(t) = v(t)i(t) = Vmax cos(ωt + φV ) Imax cos(ωt + φI ) = VmaxImax 2 (cos(2ωt + φV + φI ) + cos(φV − φI )) ⇒ Puissance moyenne P ou puissance r´eelle ou puissance active : P = VmaxImax 2 cos(φV − φI ) = Veff Ieff cos(φV − φI ) cos(φV − φI ) : facteur de puissance. Pour les calculs de puissance en RPS, il est aussi pratique de d´efinir les phaseurs RMS ou effectif : Xeff = X √ 2 ↔ Xeff ejφ → P = Re[Veff I∗ eff ] Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/48

14. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Puissance complexe Les phaseurs sont utiles pour calculer les ´echanges de puissance en RPS D´efinition : puissance complexe S = V I∗ 2 = Veff I∗ eff = VmaxImax 2 e(j(φV −φI )) = Veff Ieff e(j(φV −φI )) Puissance moyenne : P = Re[S] = Veff Ieff cos(φV − φI ). Unit´es de P : le watt (W). Puissance r´eactive : Q = Im[S] = Veff Ieff sin(φV − φI ). Due `a l’´echange d’´energie entre source et charge, uniquement pr´esente si la charge est capacitive ou inductive. Unit´es de Q : le volt-amp`ere-r´eactif (VAR). Puissance apparente : |S| = Veff Ieff = √ P2 + Q2. Unit´es de |S| : le volt-amp`ere (VA). Les unit´es diff´erentes pour ces puissances mettent en valeur leurs impacts physiques diff´erents. Par exemple, la puissance instantan´ee maximale dans le r´eseau est ≤ 2|S| donc la puissance apparente peut aider `a dimensionner les ´equipements comme transformateurs. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/48

15. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Somme des puissances dans un circuit Propri´et´e : La somme des puissances complexes d´elivr´ees aux composants d’un circuit est 0 (en incluant les sources) : k∈composants Vk I∗ k 2 = 0. Mˆeme chose donc pour les puissances moyennes et les puissances r´eactives (en prenant la partie r´eelle et imaginaire). Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/48

16. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Triangles des imp´edances et des puissances Imp´edance complexe Z = R + jX, avec R = r´esistance, X = r´eactance. Z = V I = VmaxejφV ImaxejφI = Vmax Imax exp (j(φV − φI )) = Vmax Imax (cos(φV − φI ) + j sin(φV − φI )) = R + jX, Comparant avec S = Veff Ieff e(j(φV −φI )) , on a ∠Z = ∠S = θ = φV − φI . φV − φI est l’angle de phase ou angle d’imp´edance, d´ephasage entre tension et courant. Z |Z| R X S |S| P Q < < == ✓ = V I ✓ ✓ Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/48

17. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Calculs de puissance et imp´edances complexes Imp´edance complexe Z = R + jX, avec R = r´esistance, X = r´eactance. Admittance complexe Y = 1/Z = G + jB, avec G = conductance, B = susceptance. La puissance complexe d´elivr´ee `a Z peut s’exprimer en termes de l’imp´edance S = V I∗ 2 = Z I I∗ 2 = Z |I|2 2 = ZI2 eff = I2 eff (R + jX). ou S = V I∗ 2 = V V∗ 2Z∗ = Y ∗ V 2 eff = V 2 eff (G − jB). Puissance moyenne P = RI2 eff = GV 2 eff . Puissance r´eactive Q = XI2 eff = −BV 2 eff . Puissance apparente |S| = √ R2 + X2I2 eff = √ G2 + B2V 2 eff . Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/48

18. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Exemples d’´echange de puissance R´esistance : Z = R∠0 ⇒ θ = 0. P = V 2 eff /R > 0, Q = 0. Consomme de la puissance active seulement, pas r´eactive. Bobine : Z = jωL = ωL∠π/2 ⇒ θ = π/2. P = 0, Q = ωLI2 eff = V 2 eff ωL > 0. La bobine restitue toute l’´energie qu’elle re¸coit en moyenne. Elle consomme en moyenne de la puissance r´eactive. Condensateur : Z = 1 jCω = 1 Cω ∠ − π/2 ⇒ θ = −π/2. P = 0, Q = −ωCV 2 eff < 0. Le condensateur restitue toute l’´energie qu’il re¸coit en moyenne. Il produit en moyenne de la puissance r´eactive. R´esistance et bobine en s´erie : Z = R + jLω → θ = tan−1 (Lω/R) > 0, P = RI2 eff , Q = ωLI2 eff . R´esistance et condensateur en parall`ele : Y = G + jCω, θ = − tan−1 (Cω/G) < 0, P = GV 2 eff , Q = −ωCV 2 eff . Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/48

19. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Plan pour ce cours Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/48

20. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Consid´erations sur la puissance r´eactive Dans un r´eseaux ´electrique, il y a `a la fois des moteurs (mettant en jeux des inductances) et des lignes de transmission (r´esistances et inductances). Il y a donc beaucoup de puissance r´eactive consomm´ee dans le r´eseau. Par la conservation de la puissance r´eactive, celle-ci doit ˆetre g´en´er´ee quelque part. Si cette puissance r´eactive est g´en´er´ee loin du lieu de consommation, elle doit ˆetre transport´ee, ce qui augmente la puissance apparente, et ainsi la taille des courants dans les lignes de transmission → pertes ohmiques accrues et chutes de tension en allant vers les centres de consommation. Deux actions sont g´en´eralement prises pour corriger cette situation : Exiger des gros consommateurs industriels de “corriger leur facteur de puissance”, i.e., mettre en parall`ele de leurs charges des capacit´es de taille ad´equate pour g´en´erer la puissance r´eactive n´ecessaire. Ces capacit´es ne tirent pas de puissance active et ne changent donc pas la consommation factur´ee `a l’industriel, mais ajustent l’angle d’imp´edance per¸cu par la compagnie d’´electricit´e. Introduire p´eriodiquement le long des lignes de transmission/distribution des capacit´es pour la compensation. Nous mettons maintenant ce probl`eme en ´equations. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/48

21. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Facteur de puissance et angle de phase (rappels) Facteur de puissance (f ) d’un composant d’imp´edance Z f = Puissance moyenne Puissance apparente = P |S| = cos(φV − φI ) ⇒ P = f |S|. Angle de phase θ = φV − φI . θ et −θ donnent le mˆeme facteur de puissance. Pour θ > 0 (composant inductif) : on dit que le f.p. est en retard (lagging power factor). Le courant est en retard sur la tension. Pour θ < 0 (composant capacitif) : on dit que le f.p. est en avance (leading power factor). Le courant est en avance sur la tension. Exemple : un f.p. de 0.8 en retard correspond `a θ = cos−1 (0.8) = 36.87◦ . un f.p. de 0.8 en avance correspond `a θ = − cos−1 (0.8) = −36.87◦ . Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/48

22. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Facteur de puissance et fourniture d’´electricit´e = + H.Q. vs(t) = A cos !t charge du client / abonné Z = R + j X Ligne de transmission R1/2 R1/2 L1/2 L1/2 v(t) = Vm cos(!t + V ) + - i(t) = Im cos(!t + I) Sont fix´es : R1, L1 pour la ligne de transmission. Tension Veff (ou Vm) et puissance active P requises par le client. Ligne : Imp´edance Z1 = R1 + jωL1. Puissance active absorb´ee P1 = I2 eff R1. On a P = Veff Ieff f ⇒ Ieff = P/(fVeff ), requise par le client. Donc P1 = R1P2 V 2 eff 1 f 2 Il faut donc avoir f le plus proche possible de 1 (φV = φI , charge purement r´esistive) pour limiter les pertes P1 pour H.Q. H.Q. impose aux consommateurs (industriels) un facteur de puissance suffisamment ´elev´e, ou p´enalise sur la facture. Permet de diminuer Ieff . Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/48

23. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Correction du facteur de puissance Probl`eme de correction du f.p. pour le client : diminuer |Q| (et donc |S|), sans changer P. Solution : Mettre une imp´edance en parall`ele de la charge pour compenser sa r´eactance. = + H.Q. vs(t) = A cos !t charge du client / abonné Z = R + j X Ligne de transmission R1/2 R1/2 L1/2 L1/2 v(t) = Vm cos(!t + V ) + - i(t) = Im cos(!t + I) compensation Z |Z| R X S |S| P Q < < == ✓ = V I ✓ ✓ f.p. f = cos θ ≈ 1 d´esir´e (i.e., charge ∼ r´esistive) Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/48

24. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Correction du facteur de puissance : analyse Charge initiale : Z = R + jX = |Z|ejθ ↔ Y = 1 |Z| e−jθ = G + jB. N.B. : − tan θ = B G . Compensation Z1 ↔ Y1 = 1 Z1 . Charge totale : Yc = Y + Y1. Pour maintenir P constant, il faut Y1 = jB1 ↔ Z1 = jX1 (compensation purement capacitive ou inductive). f ↔ θ : p.f. initial. fc ↔ θc : p.f. d´esir´e apr`es correction. On veut Yc = G + j(B + B1) ⇒ B + B1 G = − tan θc B1 = −G tan θc − B = G(tan θ − tan θc ) = R R2 + X2 (tan θ − tan θc ) Typiquement B1 = ωC1 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/48

25. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Exemple On consid`ere une charge industrielle consommant 300 kVA, avec un facteur de puissance de 0.75 en retard. Cette charge est aliment´ee par une source alternative de tension de 600 V rms `a 60 Hz. Calculer S, I et Z pour cette charge. Calculer la valeur du condensateur n´ecessaire pour ramener le facteur de puissante `a 0.9 en retard. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/48

26. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Transfert maximal de puissance Plan pour ce cours Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/48

27. Introduction Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Transfert maximal de puissance Transfert maximal de puissance = + Zs ZL + - V + - VL I Puissance d´elivr´ee `a la charge P = Re[VL,eff I∗ eff ] = Re ZL Zs + ZL Veff 1 Z∗ s + Z∗ L V∗ eff = Re[ZL] |Zs + ZL|2 V 2 eff P = RL (Rs + RL)2 + (Xs + XL)2 V 2 eff . Maximum de puissance transf´er´ee atteint pour XL = −Xs ⇒ P = RL (Rs + RL)2 V 2 eff dP dRL = 0 ⇒ RL = Rs donc ZL = Z∗ s et Pmax = V 2 eff 4Rs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/48

28. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Outline Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/48

29. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Outline Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/48

30. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Bobine simple (rappel) the change in flux linkage, λ, which produces it (Lenz’s Law). T between the voltage and the changing flux linkage is Faraday’s La I1 φ V1 + - B Rs Rsh C L (a) (b) (c) Fig. 7.1. (a) A simple coil of wire wound about a closed magnetic me typical BH curve for an iron core. (c) Circuit model representation for Si on enroule un fil conducteur autour d’un tore ferromagn´etique, en faisant N1 tours, et qu’on fait passer un courant i1 dans ce fil : Le courant produit un flux magn´etique φ = KN1 i1, qui circule dans le tore dans le sens compatible avec la “r`egle de la main droite”, avec K une constante. Si le flux φ (et donc i1) varie, il apparaˆıt une tension v1 telle que v1 = dN1φ dt = L1 di1 dt , avec L1 = KN2 1 . Donc si i1 augmente, la tension v1 est positive avec la convention de signe utilis´ee sur la figure (i1 entrant dans le terminal +). L1 est l’inductance propre de la bobine. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/48

31. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Inductance mutuelle 184 7 Transformers I2 V2V1 + - + - I1 V2 φ V1 + - + - (a) (b) Fig. 7.2. (a) Two coils of wire wound on a core. (b) Two windings arranged same side of the core. V2 = dN2φ dt A different turns number N2 is assumed for the output winding. The r between the flux and the input current is next applied as in Equatio leading to V2 = KN1N2 dI1 dt The product KN1N2 is defined as the mutual inductance M of the c coils. I1 ɸ On enroule maintenant un deuxi`eme fil, avec N2 tours. Pour l’instant on laisse ce cˆot´e du circuit ouvert, c’est-`a-dire i2=0. On a toujours le courant i1 qui cr´ee un flux magn´etique φ dans le tore. On choisit la convention de signes pour v2, i2 qui est compatible avec la “r`egle de la main droite”, ´etant donn´e le sens du flux φ. Si φ (et donc i1) varie, il s’´etablit aussi une tension v2 aux bornes du deuxi`eme enroulement (en n´egligeant ici les pertes de flux) v2 = dN2φ dt = KN1N2 di1 dt = M12 di1 dt , avec M12 = KN1N2. Si φ (ou i1) augmente, la tension v2 est positive avec la convention de signe utilis´ee sur la figure. M s’appelle l’inductance mutuelle. Notons aussi que v1 v2 = N1 N2 , mais seulement en supposant qu’il n’y a pas de perte de flux dans le tore. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 31/48

32. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Bobines coupl´ees (ou circuits coupl´es) [Svoboda et Dorf p. 532] Ni nombre de tours de la bobine i position du point d´epend du sens de l’enroulement Si on ferme le deuxi`eme circuit, c’est-`a-dire i2 = 0, en supposant la lin´earit´e : v2 = M12 di1 dt + L2 di2 dt Similairement v1 = L1 di1 dt + M21 di2 dt . L’expression Mij = KNi Nj = Li Nj Ni n’est pas toujours valable, mais la relation M12 = M21 = M oui : inductance mutuelle des bobines coupl´ees. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 32/48

33. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Bobines coupl´ees : conventions de signe Les bobines coupl´ees forment un quadripˆole. Convention standard des quadripˆoles pour les signes de v, i `a chaque port : i rentre dans le terminal +. Syst`eme de points pour marquer les sens d’enroulement compatible avec la r`egle de la main droite. Permet la convention M > 0 : si i1 augmente, cela contribue un terme positif M di1 dt `a v2. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 33/48

34. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Relations courant-tension pour les bobines coupl´ees : r´ecapitulatif En notation vectorielle (v = v1, v2 T i = i1, i2 T ) v = L di dt , avec L = L1 M M L2 ou di dt = Γv (si det L = 0). L est la matrice d’inductance, Li est l’inductance propre de la bobine i, et M est l’inductance mutuelle des bobines coupl´ees. Γ = L−1 est la matrice d’inductance r´eciproque. Le syst`eme de points permet de repr´esenter symboliquement le sens d’enroulement des bobines, pour avoir la convention M > 0 Symbole et directions de r´ef´erence : Mi1 i2 + - v1 + - v2 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 34/48

35. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Directions de r´ef´erence et position des points : r´ecapitulatif Le syst`eme de point indique que pour le port 2 ouvert, v1 = L1 di1 dt et v2 = M di1 dt ont le mˆeme signe. Pour un des ports (disons port 1), on fixe la position du point au choix. On fait rentrer la direction de i1 positif dans le terminal avec le point. Cela d´etermine le sens positif du flux dans le tore par la r`egle de la main droite. Pour avoir M > 0, la r`egle de la main droite doit ˆetre compatible dans l’autre bobine avec le mˆeme sens positif de flux → fixe la direction positive du courant 2. On place le point du cˆot´e ou ce courant positif rentre. Les directions de r´ef´erences pour les tensions sont prises suivant la convention passive pour chaque port. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 35/48

36. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Energie emmagasin´ee dans les bobines coupl´ees Puissance instantan´ee d´elivr´ee : p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) = L1 di1 dt + M di2 dt i1 + L2 di2 dt + M di1 dt i2 = 1 2 d dt L1i2 1 + L2i2 2 + 2Mi1i2 Energie emmagasin´ee : E(t) = t 0 p(τ)dτ = 1 2 i(t)T Li(t). Comme ce composant est passif, on doit avoir 1 2 iT Li ≥ 0, pour tout i = i1 i2 . Ainsi, L est une matrice symm´etrique qui doit ˆetre (semi-definie) positive. Cela implique : L1 ≥ 0, L2 ≥ 0, et det L = L1L2 − M2 ≥ 0 ⇒ M ≤ √ L1L2. k := M√ L1L2 , avec 0 ≤ k ≤ 1, s’appelle le coefficient de couplage. k = 0 → pas de couplage. k = 1 → couplage parfait (M = √ L1L2) : cas suppos´e si M n’est pas indiqu´e sur le symbole (pas exactement r´ealisable physiquement), pas de perte de flux magn´etique. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 36/48

37. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Exemples d’analyse de circuits coupl´es 0.6H 1.6H0.4H 2Ω vs(t) = 100 p 2 cos(100t) 200Ω i1 i2 + - v2 + - Question : calculer V2,rms en RPS. On a, en omettant rms de la notation Vs = 100 = 2I1 + 0.4jωI1 + 0.6jωI2, V2 = −200I2 = 1.6jωI2 + 0.6jωI1 i.e., 1 + 20j 30j 3j 10 + 8j I1 I2 = 50 0 ⇒ I2 = 1 + 20j 50 3j 0 1 + 20j 30j 3j 10 + 8j I2 = −150j 10 + 8j + 200j − 160 + 90 = 150j 60 − 208j = 150∠90◦ 216∠ − 74 = 0.694∠164◦ ⇒ V2 = −200I2 = 139∠164◦ (i.e., v2(t) = 139 cos(100t + 0.9π)) Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 37/48

38. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Exemples d’analyse de circuits coupl´es = + = + M I1 I2 Loi des mailles: L1 L2 Vs1 Vs2R  sL1 + R sM R R + sM R sL2  I1 I2 =  Vs1 Vs2 = + L1 L2 I1 I2 R M   I1 I2 =  Vs1 0 Vs = +Vs L1 L2 R I2 I1 C M   I1 I2 =  Vs1 0 sL1 + R −sM − R R + sM −R − sL2 I1 I2 = Vs1 Vs2 I1 I2 = Vs 0 I1 I2 = Vs 0 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 38/48

39. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Exemples d’analyse de circuits coupl´es = + = + M I1 I2 Loi des mailles: L1 L2 Vs1 Vs2R  sL1 + R sM R R + sM R sL2  I1 I2 =  Vs1 Vs2 = + L1 L2 I1 I2 R M   I1 I2 =  Vs1 0 Vs = +Vs L1 L2 R I2 I1 C M   I1 I2 =  Vs1 0 sL1 + R −sM − R R + sM −R − sL2 I1 I2 = Vs1 Vs2 (L1 − M + L2 − M)s s(M − L2) s(M − L2) R + sL2 I1 I2 = Vs 0 1 sC + s(L1 + L2 − 2M) s(2M − L1 − L2) s(2M − L1 − L2) R + s(L1 + L2 − 2M) I1 I2 = Vs 0 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 38/48

40. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es G´en´eralisation `a plus de 2 bobines coupl´ees Ex. pour 3 : v = L di dt , L =   L1 M12 M13 M12 L2 M23 M13 M23 L3   semi-definie positive Figure 1.5 Three inductors wound on the &me core: the mutual inductances are not all positive. Exercise Consider the three mutually coupled inductors shown in Fig. 1.5. Show that M,, >0, M,, <0, and M,,<Q. Equation (1.15a) is of the form v(t) = L i(t). As before we can calculate the magnetic energy stored and we find the same formula as Eq. (l.lO), namely, 8,(i) = f i T ~ i (1.15b) Mˆeme circuit magn´etique, M12 > 0, M13, M23 < 0, ou bien syst`eme de points unique ok en inversant le port 3 ELE2611 – Circuits Actifs Cours 10 – Inductances Mutuelles Détermination de la position des points – système non uniforme Dans ces situations, on définit des marques de polarités distinctes pour chacune des paires de bobines couplées Cours 10 - 11© C. Morin 2013 Cas o`u on ne peut pas d´efinir un seul syst`eme de points On peut utiliser soit choisir les directions de r´ef´erence arbitrairement pour chaque port et autoriser Mij > 0 ou Mij < 0, soit utiliser un ou plusieurs syst`emes de points pour forcer Mij > 0 et mettre les bons signes devant les variables pour chaque paire de ports. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 39/48

41. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Insuffisance d’un syst`eme de points unique Cours 10 – Inductances Mutuelles Détermination de la position des points – système non uniforme Selon la topologie du circuit magnétique, il se peut que les points soient incompatibles Par exemple, pour la construction suivante, On pose le premier point, puis les deux autres conséquemment Pour ensuite constater que la règle de courants entrants par le point du second ne produit pas un flux dans le même sens que celui produit par un courant entrant dans les autres pointsque celui produit par un courant entrant dans les autres points Cours 10 - 10© C. Morin 2013 Le choix du premier point, puis des deux autres en cons´equence aboutit `a une contradiction ELE2611 – Circuits Actifs Cours 10 – Inductances Mutuelles Détermination de la position des points – système non uniforme Dans ces situations, on définit des marques de polarités distinctes pour chacune des paires de bobines couplées Cours 10© C. Morin 2013 Pour ne pas compliquer le mod`ele, on peut autoriser Mij < 0. Dans tous les cas on a L 0 (semi-definie positive). Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 40/48

42. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Transformateurs Outline Puissance dans les circuits monophas´es alternatifs Grandeurs pour les signaux sinuso¨ıdaux Phaseurs sinuso¨ıdaux et puissance complexe Fourniture d’´electricit´e et correction du facteur de puissance Transfert maximal de puissance Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Analyse des circuits coupl´es Transformateurs Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 41/48

43. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Transformateurs Transformateur id´eal N1 : N2 n : 1 ou + - V1 I1 + - V2 I2 (n = N1 / N2) Symbole: idéal Le transformateur id´eal est un quadripˆole tr`es utile pour la mod´elisation (au mˆeme titre que les sources contrˆol´ees et le gyrateur par exemple) Ses ´equations sont les contraintes lin´eaires statiques suivantes : v1(t) = n v2(t) ou v1(t) = N1 N2 v2(t) i2(t) = −n i1(t) soit v1 i1 = n 0 0 1/n v2 −i2 n est appel´e le rapport de transformation Puissance instantan´ee absorb´ee : p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) = nv2(t)i1(t) − nv2(t)i1(t) = 0 Idem : pas de puissance complexe, active, ou r´eactive absorb´ee Le transformateur id´eal est un composant sans pertes Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 42/48

44. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Transformateurs Remarque sur le mod`ele du transformateur id´eal Pour les bobines parfaitement coupl´ees (sans perte de flux), on avait aussi obtenu sur la diapositive 31 que v1 = N1 N2 v2. Toutefois le transformateur id´eal est un mod`ele th´eorique distinct, les contraintes v1 = nv2 et i2 = −ni1 sont v´erifi´ees pour tout t, tout signal, toute fr´equence, mˆeme DC, alors que les bobines coupl´ees n´ecessitent des variations de courant pour donner v = 0. Pour des bobines parfaitement coupl´ees, la matrice d’imp´edance et les param`etres (A,B,C,D) sont Z(s) = L1s √ L1L2s√ L1L2s L2s ⇒ T(s) = n 0 1√ L1L2s 1 n T(s) n’est pas d´efinie pour s = 0. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 43/48

45. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Transformateurs Connection d’une source `a une charge Pour transf´erer de la puissance `a une charge en changeant le niveau de tension dans un r´eseau ´electrique, on utilise des circuits coupl´es qui s’approchent le plus possible d’un transformateur id´eal (donc sans perte de puissance) en RPS n : 1 + - V1 I1 + - V2 I2 idéal Zs ZL circuit primaire circuit secondaire + - Vs source charge Zeq Zs + - Vs Zeq Comme le transformateur id´eal est sans perte, toute la puissance d´elivr´ee par la source au transformateur id´eal est ensuite d´elivr´ee `a la charge. Imp´edance du secondaire r´efl´echie au primaire : Zeq = V1 I1 = −n2 V2 I2 = n2 ZL. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 44/48

46. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Transformateurs Des bobines coupl´ees aux transformateurs id´eaux + - V1 I1 + - V2 I2 Zs ZL circuit primaire circuit secondaire + - Vs source chargeM L1 L2 Un transformateur r´eel est r´ealis´e en RPS par des bobines coupl´ees et ne peut qu’approcher un transformateur id´eal. Equations du circuit : V1 = jωL1I1 + jωMI2, V2 = −ZLI2 = jωL2I2 + jωMI1 ⇒ I1 = − jωL2 + ZL jωM I2 ⇒ V1 = − L1 M (jωL2 + ZL) + jωM I2 V1 = L1 M V2 + jω L1L2 − M2 M V2 ZL Si le couplage est parfait, M2 = L1L2 et V1 = L1 L2 V2 Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 45/48

47. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Transformateurs Des bobines coupl´ees aux transformateurs id´eaux (suite) + - V1 I1 + - V2 I2 Zs ZL circuit primaire circuit secondaire + - Vs source chargeM L1 L2 Si le couplage est parfait, M2 = L1L2 et V1 = L1 L2 V2 De plus, Li = ci N2 i , i = 1, 2, o`u ci d´epend des propri´et´es magn´etiques et g´eom´etriques du noyau, et Ni est le nombre de tours de la bobine i. Pour c1 = c2, on obtient V1 = nV2 avec n = N1/N2, i.e., n est le rapport du nombre de tours des deux bobines. Finalement I2 = − jω √ L1L2 jωL2 + ZL I1 donne I2 ≈ −nI1 si ωL2 |ZL|. On obtient donc un transformateur id´eal dans la limite k = 1 (couplage parfait) et ωL2 |ZL|. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 46/48

48. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Transformateurs Du transformateur id´eal aux bobines coupl´ees 1 : nI1' + - V2 I2 idéal I1 + - V1 La Lm Montrer que pour le circuit ci-dessus, on a v = L di dt , avec L = La + Lm nLm nLm n2 Lm En d´eduire qu’on peut mod´eliser des bobines coupl´ees par ce circuit avec n = L2 M , Lm = M2 L2 , La = L1 − M2 L2 La est l’inductance de fuite (mod´elise les pertes de flux), Lm est l’inductance magn´etisante (mod´elise le flux commun aux deux bobines). On retrouve le transformateur id´eal pour La → 0, Lm → ∞. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 47/48

49. Introduction Circuits magn´etiquement coupl´es et transformateurs Transformateurs Conclusions Un r´eseau ´electrique est un grand circuit fonctionnant normalement en r´egime permanent sinuso¨ıdal. Pour les r´eseaux ´electrique, la grandeur principale `a laquelle on s’int´eresse est la puissance. Les notions de puissance complexe, apparente, active, r´eactive, jouent toutes un rˆole dans la conception des ´el´ements d’un r´eseau ´electrique. Les calculs de puissance sont facilit´es par l’emploi des phaseurs sinuso¨ıdaux. Les transformateurs permettent de transf´erer de la puissance des sources vers les charges tout en changeant le niveau de tension. Un transformateur id´eal ne consomme pas de puissance active ou r´eactive. Les transformateurs sont r´ealis´es physiquement par des circuits magn´etiquement coupl´es. Les notions introduites dans ce cours seront approfondies dans ELE3400, Electrotechnique. Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 48/48

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