Ejercicios sobre la guia uney del tema ii solucion de sistema de ecuaciones de dos y tres variables

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Published on March 13, 2014

Author: juliobarretogarcia

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Aplicación de los sitemas de ecuaciones lineales

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL TEMA II SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES DE DOS Y TRES VARIABLES TEORÍA PREVIA: MATRIZ DE LOS COEFICIENTES Y MATRIZ AMPLIADA Sea el sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas:         lizhygx kfzeydx jczbyax La matriz de los coeficientes es la matriz A dada por:            ihg fed cba A Y la matriz ampliada es la matriz:            l k j ihg fed cba A ALGORITMO PARA DETERMINAR SI UN SISTEMA ES COMPATIBLE Podemos averiguar si un sistema es o no compatible mediante el Teorema de Rouché- Frobenius que establece que un sistema de ecuaciones lineales es compatible sólo si el rango de su matriz ampliada coincide con el de su matriz de coeficientes. Supongamos que el sistema es compatible. Si el valor común de los rangos de las matrices coincide con el número de variables, el sistema es compatible determinado; en caso contrario, es compatible indeterminado.

PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales. Esto es: 1.    ArAr  (El sistema es compatible). 2.     nArAr  (El sistema es compatible determinado). 3.     nArAr  (El sistema es compatible indeterminado). 4.    ArAr  (El sistema es incompatible). Ejemplo: Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:            622 82 0 222 yx zyx zyx zyx 1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.                     0 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 A Luego: ,022  ,01 11 12    02 121 111 212     Así, el rango de la matriz A es:   3Ar

PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL 2. Hallamos el rango de la matriz ampliada:                     6 8 0 2 0 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 A Luego: 0 6 8 0 2 0 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2       3. Así, el rango de la matriz ampliada es:   3Ar Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, tenemos que:    3Ar    3Ar  3n Y según la parte 2 del teorema tenemos que el sistema es compatible determinado. 4. Como el sistema es compatible podemos resolverlo, bien por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3 que tiene rango 3, y lo resolvemos. En este caso lo haremos por la regla de Cramer.         82 0 222 zyx zyx zyx

PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Luego, los valores de las incógnitas usando el método de Cramer, vienen dados por: 1 2 2 2 128 110 212    x 2 2 4 2 181 101 222      y 3 2 6 2 821 011 212     z Ejercicio: Discuta el sistema de ecuaciones con parámetros utilizando determinantes y el teorema Rouché−Fröbenius.         123 145 32 zyx zykx zyx APLICACIONES EN FÍSICA: LEYES DE KIRCHOFF Se emplean para resolver circuitos de una forma sistemática. Debemos definir los siguientes conceptos: Red: Conjunto de conductores, resistencias y fuerzas electromotrices y contraelectromotrices, unidos entre sí de forma arbitraria, de manera que por ellos circulan corrientes de distintas o iguales intensidades. Nudo: Se llama nudo a la unión de dos o más conductores en un circuito. Malla: Se llama malla a cada uno de los caminos cerrados posibles en un circuito.

PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL LEY DE LOS NUDOS La suma algebraica de las intensidades que concurren en un nudo de una red es igual a 0.   .021 ni IIII  Adoptaremos el siguiente criterio de signos: - Intensidades entrantes al nudo: Signo + - Intensidades salientes del nudo: Signo – Observación: La ley se basa en el principio de la conservación de la carga donde la carga en coulombs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos. Ejemplo: Dado el siguiente nudo de una red, halla la intensidad que circula por el cable .4I Asignando los signos como hemos dicho anteriormente y aplicando la ecuación arriba descrita obtenemos: A= -I=A + IA +A -+ 20123 44  Luego el valor absoluto de 4I es de A2 y su sentido es saliente. LEY DE LAS MALLAS La suma algebraica de las caídas de potencial a lo largo de una malla es igual a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices y contraelectromotrices que en ella se encuentran.   iii RI . La mejor manera de entender la aplicación de la segunda ley es con una ejemplificación como la que sigue. 2A 3A 1A I4

PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Veamos cómo aplicar las leyes de Kirchoff a un circuito en el que despreciamos la resistencia interna de los generadores. Dado el siguiente circuito: Hallense: a) Intensidades de malla. b) Intensidad por la rama A-B, IAB. c) Halla y representa todas las intensidades reales. Observacion: Antes de empezar notemos que para la dibujar las intensidades usaremos flechas en linea continua mientras que para dibujar diferencias de potencial usaremos flechas en linea discontinua . Solucion: Recordemos que en las flechas de tensión la cabeza indica el punto de mayor potencial de entre los dos considerados. a) Lo primero que haremos será pintar las intensidades de malla. No son intensidades reales sino un artificio. Podemos representarlas en un sentido o el contrario. Si al resolver, el resultado sale positivo es que está bien pintada, si sale negativo es que el sentido es el contrario al dibujado. Deberemos pintar también las flechas de tensión sobre las pilas. Recordemos que la cabeza de la flecha va en el polo positivo.

PROFESOR: JULIO BARRETO 7 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Lo siguiente que hacemos es plantear el sistema. Obsérvese que los generadores si su flecha de tensión coincide en sentido con la intensidad de malla se considera positiva; en caso contrario se considera negativa. Obsérvese también que la resistencia de 1Ω afecta a ambas mallas (está atravesada por I1 por un lado e I2 por el otro).         1222 2111 15472316 132462 IIII IIII O bien:      21 21 1021 68 II II Apliquemos el metodo de sustitucion: Despejamos 2I de la primera ecuación: 8668 1221  IIII Sustituimos en la segunda ecuación:   AI I I I IIII 1 59 59 5959 598021 806021861021 1 1 1 1 1111      

PROFESOR: JULIO BARRETO 8 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Y obtenemos:   AIII 286816 222  Obsérvese que I1 sale negativo, luego estaría mal representado. Pasamos ahora a representarlo bien de manera que la corriente circla en el sentido contrario y quedaría como sigue. b) Calculemos ahora la intensidad por la rama AB. Para ello aplicamos la ley de los nudos Fijándonos en lo obtenido en el apartado anterior podemos calcularlo facilmente: Es decir: 3021 =I=+I-- ABAB  Como nos ha salido positivo, la IAB está bien representada y efectivamente entra en el nudo. c) Representamos ahora las intensidades reales explicando lo siguiente: -En los tramos en los que sólo hay una intensidad de malla, la intensidad real coincide con la intensidad de malla.

PROFESOR: JULIO BARRETO 9 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL -En los tramos donde hay dos intensidades de malla, hay que hallarla mediante la regla de los nudos como hemos hecho en el apartado anterior. Por tanto obtendremos: Ejercicios: 1. Considere el circuito de la figura: Verifique que aplicando la ley de Kirchhoff a la malla de la izquierda obtenemos: 9 i1 – 3i2 = 42 Y para la malla derecha -3 i1 + 7 i2 = 10 Y concluya que la solución de este sistema de ecuaciones es: i1 = 6 A, i2 = 4 A

PROFESOR: JULIO BARRETO 10 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL 2. Encontrar i1 e i2 en el circuito: 3. Encontrar i1, i2 e i3 en el circuito: SISTEMAS HOMOGÉNEOS Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo. Sólo admite la solución trivial: 0.=21 n= x== xx 

PROFESOR: JULIO BARRETO 11 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Lema: La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo. r < n Observemos que esto se debe a que: De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche-Frobenius, en el que    A=rAr  y su valor es menor al número de incógnitas, siendo así el sistema compatible indeterminado. Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo:         023 0 0 zyx yx zyx Luego calculando los siguientes determinantes: ,0 231 011 111  02 11 11   Y tenemos que el rango es r 2 y n .3 Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, tenemos que de acuerdo con la parte 3, el sistema e compatible indeterminado.

PROFESOR: JULIO BARRETO 12 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Luego, tomemos el sistema:      0yx yx  con z Y resolviendo este sistema por determinantes tenemos que: 22 10 1       x 22 01 1      y Así, haciendo ,1 z obtenemos que 2 1 x y . 2 1 y Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo:         02 023 02 zyx zyx zyx Luego, hallamos el determinante de la matriz de los coeficientes: 012 121 213 211   

PROFESOR: JULIO BARRETO 13 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Y por tanto tenemos que el rango de la matriz es máximo, es decir:  =Ar 3 con n 3 Así, de acuerdo con el teorema de Rouché-Frobenius, tenemos que de acuerdo con la parte 2, el sistema es compatible determinado. Con solución trivial: zyx 0 Ejercicio: Resolver los sistemas homogéneos: 1.         022 04 023 zx zyx zyx 2.         023 02 045 zyx zyx zyx 3. Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.         04103 03 0 zyx zyx zyax 4. Determinar para qué valores de ,k el siguiente sistema tiene infinitas soluciones.         0 0 0 zkx zyx zyx

PROFESOR: JULIO BARRETO 14 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL EJERCICIOS DE APLICACIÓN EN QUÍMICA: ECUACIÓN QUÍMICA: Es la representación gráfica o simbólica de una reacción química que muestra las sustancias, elementos o compuestos que reaccionan (llamados reactantes o reactivos) y los productos que se obtienen. La ecuación química también nos muestra la cantidad de sustancias o elementos que intervienen en la reacción, en sí es la manera de representarlas. REACCIÓN QUÍMICA: Es también llamado cambio químico y se define como todo proceso químico en el cual una o más sustancias sufren transformaciones químicas. Las sustancias llamas reactantes se combina para formar productos. En la reacción química intervienen elementos y compuestos. Un ejemplo de ello es el Cloruro de Sodio (NaCl) o comúnmente conocido como “sal de mesa” o “sal común”. La diferencia entre una ecuación y una reacción química es simple: En la ecuación es la representación simbólica lo cual utilizamos letras, símbolos y números para representarla, mientras que en la reacción química es la forma “practica” de la misma (Cuando se lleva a cabo). BALANCEO DE UNA ECUACIÓN QUÍMICA: Balancear una ecuación significa que debe de existir una equivalencia entre el número de los reactivos y el número de los productos en una ecuación. Lo cual, existen distintos métodos, como los que veremos a continuación: Para que un balanceo sea correcto: “La suma de la masa de las sustancias reaccionantes debe ser igual a la suma de las Masas de los productos”. Esta es la Ley de la conservación de las masas. BALANCEO POR TANTEO: Para balancear por este o todos los demás métodos es necesario conocer la Ley de la conservación de la materia, propuesta por Lavoisier en 1774. Dice lo siguiente: “En una reacción química, la masa de los reactantes es igual a la masa de los reactivos” por lo tanto “La materia no se crea ni se destruye, solo se transforma”. Como todo lleva un orden a seguir, éste método resulta más fácil si ordenamos a los elementos de la siguiente manera: Balancear primero: Metales y/o no metales Oxígenos Hidrógenos

PROFESOR: JULIO BARRETO 15 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL De esta manera, nos resulta más fácil, ya que el mayor conflicto que se genera durante el balanceo es causado principalmente por los oxígenos e hidrógenos. Balancear por el método de tanteo consiste en colocar números grandes denominados “Coeficientes” a la derecha del compuesto o elemento del que se trate. De manera que Tanteando, logremos una equivalencia o igualdad entre los reactivos y los productos. Ejemplo: Balancear   OHCaSOOHCaSOH 24242  consiste en hallar los valores de uzyx ,,, tal que:   OuHzCaSOOHyCaSOxH 24242  Quede balanceada analíticamente y no por simple tanteo. Solución: Se trata de balancear la ecuación por métodos matemáticos, luego por la ley de conservación de la masa, tenemos que:  Para el hidrógeno: uyx 222   Para el azufre: zx   Para el oxígeno: uzyx  424  Para el calcio: zy  Lo que nos plantea el siguiente sistema homogéneo:              0 0424 0 0:mejoro0222 zy uzyx zx uyxuyx Hallando el determinante en la segunda columna de la matriz de los coeficientes, teniendo en cuenta que allí es donde hay mayor cantidad de ceros (0) que pueden hacernos reducir las cuentas, tenemos que:

PROFESOR: JULIO BARRETO 16 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL       0333131 010 124 111 1 011 142 101 1 0110 1424 0101 1011             Esto es por los cálculos de los siguientes determinantes, de orden menor que el determinante anterior:           3212111421101 11 42 1 01 14 1 011 142 101           Y     331411 14 11 1 010 124 111      Así, tenemos que el sistema tiene solución no trivial de acuerdo con el Lema. Ahora, calculemos por Gauss con la primera, segunda y cuarta ecuación por ser más sencilla:                                             0 0 0 1 1 1 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 3212 1 ffff  Luego nos queda: zuuz 202  Sustituyendo en la ecuación anterior: zyzyzzyuzy  0020

PROFESOR: JULIO BARRETO 17 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Y por ultimo sustituyendo en la ecuación primera: zxzxzzxuyx  0020 Luego, la solución general será: tutztytx 2,,,  O sea, que nos queda:   OtHtCaSOOHtCaSOtH 24242 2 Si hacemos ,1t nos queda:   OHCaSOOHCaSOH 24242 2 Ejercicios: 1. Balancee: NOOHONH  223 usando sistemas de ecuaciones. 2. Balancee:   OHSSOCrSOKSOHSHOCrK 234242422722  usando sistemas de ecuaciones. Respuesta:   OHSSOCrSOKSOHSHOCrK 234242422722 7343  LA PROGRAMACIÓN LINEAL En general, la programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. FUNCIÓN OBJETIVO En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:   .= ax + byx,yf

PROFESOR: JULIO BARRETO 18 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL RESTRICCIONES La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:           nnn cybxa cybxa cybxa  222 111 Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano y sus soluciones: Solución factible: El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles. Solución óptima: El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según sea el caso). VALOR DEL PROGRAMA LINEAL El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

PROFESOR: JULIO BARRETO 19 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Ejemplo: Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3 . Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 Bs y el B de 40 Bs. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? Solución: Elección de las incógnitas: x = camiones de tipo A y = camiones de tipo B La función objetivo es:   .4030 yx +=x,yf Las restricciones son: A B Total Refrigerado 20 30 3 000 No refrigerado 40 30 4 000 Es decir: ., yx yx + yx + 00Con 00043040 00033020       Hallando el conjunto de soluciones factibles y graficándolos obtenemos: Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles:

PROFESOR: JULIO BARRETO 20 MATERIA: MATEMÁTICA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Calcular el valor de la función objetivo:   5004040150300150 3323335 3 400 40030 3 400 0 =·+·=,f .=·+·=,f       Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y .   =·+·=,f 4180674050306750 Mínimo Así, el coste mínimo son 4 180 Bs para A = 50 Bs y B = 67 Bs. Ejercicio: Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara 1L y .2L Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo 1L y de 30 minutos para él ;2L y un trabajo de máquina para 1L y de 10 minutos para .2L Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para 1L y ,2L respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. Ejercicio Adicional: Cuál debe ser el valor de p para que el siguiente sistema:      pyx yx 24 52 Sea compatible determinado o incompatible. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc. Sexta Edición. México D. F.  Lipschutz, S. (1993). Álgebra Lineal. Serie Schaum. Segunda Edición. The McGraw- Hill/ Interamericana de España, S. A.  Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F  Sarabia J y Barragán F. (1994). Matemáticas II año (E.M.D.P.). Primera Edición. Ediciones COBO  Taha, H. (1995). Investigación de Operaciones. Alfaomega, México. "No estoy de acuerdo con tus ideas, pero defiendo tu sagrado derecho a expresarlas.” Francois Marie Arouet Voltaire

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