Ejercicio resuelto de ecd lineal de primer orden

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Published on March 16, 2014

Author: juanb101

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Presentación relacionado a como resolver un ejercicio de Ecuaciones diferenciales, así como contenido adicional

Msc. Juan Carlos Briceño Asignatura: Matemática III Ejercicio Resuelto de Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden y’ + P(x)y = Q(x)

Msc. Juan Carlos Briceño Ejercicio Resuelto Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden TEOREMA: La solución general de la ecuación diferencial viene dada por: y’ + P(x)y = Q(x) La forma anterior, por lo general no viene dada de manera directa en las integrales, esa es la parte que le corresponde a usted realizar. ( )P x dx ey : es el factor de integración Veamos un ejemplo donde debamos aplicar diversos pasos para llegar a esa expresión.

Msc. Juan Carlos Briceño Sugerencia Presta atención a los siguientes pasos y trata en lo posible de indagar en cada uno, es recomendable que al final realices el ejercicio sin ninguna ayuda, recuerda que más que aprenderte el mismo, lo importante es comprender cual es el procedimiento aplicar. Al final de la presentación, adjunte una serie de teoremas y propiedades que son indispensable para la resolución de este tipo de ejercicios. Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

Msc. Juan Carlos Briceño Ejercicio Resuelto Dada la siguiente integral, xy’ + 2y = 3x determinar la función “ y ” Por tal motivo, es necesario multiplicar por 1/x en ambos miembros Recuerde que debemos llevarlo a la forma: y’ + P(x)y = Q(x) 1 1 .( ' 2 ) .3xy y x x x   Esto es: Resolviendo queda: 1 ' 2 3y y x  Por lo tanto: 1 1 1 . ' 2 .3xy y x x x x   Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

Msc. Juan Carlos Briceño Ejercicio Resuelto Como vez, el coeficiente que acompaña a y’, es uno y además la expresión anterior tiene la forma: y’ + P(x)y = Q(x) Donde P(x) = y Q(x) = 3 , ahora es necesario determinar: 2 x El factor de integración: , esto es ( )P x dx e 2 1 2dx dx x x e e  2 2 ln 2 lnx x e e x    ln x e x Recuerde que: Esto por propiedad de logaritmo, ver pagina de anexo. ln x e x El factor de integración queda: ( ) 2P x dx e x  Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

Msc. Juan Carlos Briceño Ejercicio Resuelto Ahora bien una vez determinado el factor de integración, multiplicamos por la integral de los pasos iniciales: Esto es: 1 ' 2 3y y x   Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden  2 21 . ' 2 . 3x y y x x        2 2 21 . ' 2. 3x y x y x x   Simplificando: 2 2 21 . ' 2. 3x y x y x x   2 2 . ' 2. 3x y xy x 

Msc. Juan Carlos Briceño Ejercicio Resuelto Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden 2 2 . ' 2. 3x y xy x Esto es: 2 2 . ' 2. 3x y xy x Luego Nota: Para este paso, que es regresar la derivada, se toma el termino que acompañe a y’, junto con el coeficiente de y. Quedando:  2 2 . 3 d x y x dx  Integrando En ambos lados: 2 2 2 ( . ) 3 3d x y x dx x dx   

Msc. Juan Carlos Briceño Ejercicio Resuelto Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden Esto es: Quedando: 2 1 2 . 3. 2 1 x x y c        3 2 . 3. 3 3 x x y c  2 3 . 3x y x c  3 2 3x c y x   3 2 2 2 3 3 x c x x x cx     Aplicando propiedad distributiva a la derecha de la igualdad Pasando a dividir el termino que acompaña a y Separando la fracción en dos Aplicando la propiedad de potenciación 5 (Ver anexo)

Msc. Juan Carlos Briceño Ejercicio Resuelto Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden Por lo tanto, la ECD lineal de primer orden: con la que iniciamos, se reduce a la función: 2 3y x cx   xy’ + 2y = 3x

Msc. Juan Carlos Briceño Es fundamental que recuerdes muchas de estas propiedades ya que son utilizadas con mucha frecuencia: 1) a0 = 1 2) a1 = a 3) Productos de potencia de igual base: an · am = a n + m 4) Potencia de un Producto: (a · b)n = an · bn 5) Cociente de potencias de igual base: donde n ≥ m ; a ≠ 0 6) Potencia de un cociente: ; b ≠ 0 , n 7) Potencia de una potencia: (an)m = an. m n n m m a a a   n n n a a b b       N Propiedades de las potencias Pagina de Anexo

Msc. Juan Carlos Briceño Pagina de Anexo 1) ; 2) 3) ; 4) 5) ; 6) 7) Propiedades de los Logaritmos

Msc. Juan Carlos Briceño FIN

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