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Ecuaciones Diferenciales Lineales

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Published on November 11, 2007

Author: josmal7

Source: slideshare.net

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Ecuaciones diferenciales de primer orden, resolución de este tipo de ecuaciones a través del factor integrante
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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja Ecuaciones Diferenciales TEMA: Ecuaciones Lineales Integrantes: Christopher Ortega Alex Gonzaga Daniel Sócola Jorge Naranjo José Miguel Maldonado

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden Definición de ecuación diferencial: Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma: dy  a0 ( x ) y  g ( x ) a1 ( x) dx es una ecuación lineal Cuando g(x)=0, la ecuación lineal es homogénea, en cualquier otro caso, es no homogénea.

Forma Estándar:  dy  P ( x) y  f ( x) dx (a) Propiedad:  y  yc  y p y c es una solución de la ecuación homogénea asociada dy (b)  P( x) y  0 dx yp es una solución particular de (a) no homogénea

Procedimiento Definir una solución particular para la ecuación  siguiendo el procedimiento llamado variación de parámetros dy  P( x) y  f ( x) Ecuación  dx Encontrar una función (u) tal que yp=u(x)y1(x)  Nuestra hipótesis de yp equivale a yc=cy1(x) 

dy  P ( x) y  f ( x) Al sustituir yp=uy1 en la ecuación:  dx obtenemos:  d  uy1   P ( x)uy1  f ( x) dx dy1 du  y1  P ( x )uy1  f ( x ) u dx dx  dy1  du  P ( x ) y1   y1  f ( x) u  dx dx  du y1 f ( x) dx

Separamos variables, integramos y llegamos a:  f ( x) du  dx y1 ( x ) f ( x)  u dx y1 x De acuerdo con la definición de y1 tenemos:    p ( x )dx e  P ( x ) dx f ( x)dx  yp  uy1  e y  yc  y p  ce  e   P ( x ) dx f ( x)dx  P ( x ) dx  P ( x ) dx  e

Método de Solución Pasos para la solución de una ecuación lineal de primer orden:  1.-Se convierte a la forma Estándar de una ecuación lineal dy  P( x) y  f ( x) dx 2.-Hay que identificar P(x) y definir el factor integrante   P ( x ) dx e 3.-La ecuación obtenida se multiplica por el factor  integrante 4.-Se integran ambos lados de la ecuación obtenida 

Solución de una Ecuación Diferencial Lineal dy  4 y  x 6e x x dx dy 4  y  x 5e x dx x 4 P( x)   x  P ( x ) dx Entonces el factor integrante es e 4  dx / x ln x 4  e  e  x 4 4 ln| x| e dy 4  4 x 5 y  xe x x dx   d x  4 y  xe x dx x  4 y  xe x  e x  c

Factor Integrante El factor integrante es una función de una  ecuación diferencial dada, al cual se lo utiliza para hallar una solución exacta de una ecuación diferencial lineal y esta dado por la formula:  P ( x ) dx e Donde a P(x) se la obtiene de la forma  estándar de una ecuación lineal.

EJEMPLO dy ye 3x dx La ecuación es claramente lineal. Podemos transformarla en una ecuación exacta utilizando el siguiente factor integrante:   ex  dx ue

Constante de Integración Podemos mencionar que tanto en la descripción general  como en algunos ejemplos no se toma en cuenta una constante de integración para evaluar la integral indefinida en el exponente:  P ( x ) dx e En este caso la constante de integración estaría dada por la  constante (c), utilizando esta constante en el factor integrante quedaría:  P ( x ) dx e Es muy importante mencionar que no es necesario escribir  el factor integrante con la constante de integración ya que el factor integrante multiplica a ambos lados de la ecuación diferencial y el utilizar una constante de integración no cambia en nada la solución de la ecuación.

Solución de una ecuación lineal de primer orden Convertir una ecuación lineal de la forma (1) a la forma i. estándar de la ecuación (2). A partir de la forma estándar, identificar a P(x) y a ii. continuación determinar el factor integrante Multiplicar la forma estándar de la ecuación por el factor iii. integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, y; esto es, d   P ( x ) dx   P ( x ) dx f ( x) y  e e dx   Se integran ambos lados de esta ecuación vii.

Solución General Es aquella solución de la ecuación que está en  la forma estándar; la cual, está definida en un intervalo I llegando a ser de esta manera miembro de la familia de soluciones. La solución general está conformada por las  constantes paramétricas, dependiendo del orden de la ecuación el número de éstas.

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