Derivatives

67 %
33 %
Information about Derivatives

Published on January 26, 2009

Author: azourna

Source: slideshare.net

Ζουρνά Άννας Εισαγωγή στις Παραγώγους

Στιγμιαία ταχύτητα Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t. H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού.

Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t.

H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού.

Στιγμιαία ταχύτητα Κάποια χρονική στιγμή το κινητό βρίσκεται στη θέση Μ 0 και ότι μετά από παρέλευση χρόνου h, δηλαδή τη χρονική στιγμή t = t 0 + h , βρίσκεται στη θέση Μ.

Κάποια χρονική στιγμή το κινητό βρίσκεται στη θέση Μ 0 και ότι μετά από παρέλευση χρόνου h, δηλαδή τη χρονική στιγμή t = t 0 + h , βρίσκεται στη θέση Μ.

Στιγμιαία ταχύτητα Στο χρονικό διάστημα από t έως t 0 η μετατόπιση του κινητού είναι ίση με S(t) – S(t 0 ). H μέση ταχύτητα του κινητού σ’ αυτό το χρονικό διάστημα είναι S(t) – S(t 0 ) t – t 0

Στο χρονικό διάστημα από t έως t 0 η μετατόπιση του κινητού είναι ίση με S(t) – S(t 0 ).

H μέση ταχύτητα του κινητού σ’ αυτό το χρονικό διάστημα είναι

Στιγμιαία ταχύτητα Όσο το t είναι πλησιέστερα στο t 0 , τόσο η μέση ταχύτητα του κινητού δίνει με καλύτερη προσέγγιση το ρ υ θ μ ό α λ λ α γ ή ς της θέσης του κινητού κοντά στο t 0 . Για το λόγο αυτό το όριο της μέσης ταχύτητας, καθώς το t τείνει στο t 0 , το ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και τη συμβολίζουμε με: S(t) – S(t 0 ) t – t 0 υ (t 0 ) = lim t  t 0

Όσο το t είναι πλησιέστερα στο t 0 , τόσο η μέση ταχύτητα του κινητού δίνει με καλύτερη προσέγγιση το ρ υ θ μ ό α λ λ α γ ή ς της θέσης του κινητού κοντά στο t 0 . Για το λόγο αυτό το όριο της μέσης ταχύτητας, καθώς το t τείνει στο t 0 , το ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και τη συμβολίζουμε με:

Σχόλιο Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t 0 ισχύει : Άρα και S(t) – S(t 0 ) t – t 0 > 0 ≥ 0 υ (t 0 )

Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t 0 ισχύει :

Σχόλιο Όταν ένα κινητό κινείται προς τα αριστερά, τότε κοντά στο t 0 ισχύει: Άρα και S(t) – S(t 0 ) t – t 0 < 0 ≤ 0 υ (t 0 )

Όταν ένα κινητό κινείται προς τα αριστερά, τότε κοντά στο t 0 ισχύει:

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης Γνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο. Α O

Γνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο.

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης Γνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο. εφαπτομένη στο Α Α Μ 2 Μ 1 O Μ 3

Γνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο.

Γνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης O Α (ε)

Γνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο.

x O y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f (x 0 ) A C f x 0

x O C f x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης

(ε) x O C f x 0 A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης M(x, f(x))

(ε) x O C f x x 0 M (x, f(x)) A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x)

(ε) x O C f x x 0 M (x, f(x)) A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x)

(ε) x O C f x x 0 M A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x) To Α συμπίπτει με το Μ Η (ε) εφάπτεται της C f

x O C f x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης 0 M x f(x) (ε) Αντίστοιχα εργαζόμαστε όταν το x -> x 0 –

x O C f x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης 0 M x f(x) (ε) To Α συμπίπτει με το Μ Η (ε) εφάπτεται της C f Αντίστοιχα εργαζόμαστε όταν το x -> x 0 –

Έστω f μια συνάρτηση και ένα σημείο της A (x 0 , f(x 0 )). Αν υπάρχει το και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ( ε ) : που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0

Έστω f μια συνάρτηση και ένα σημείο της A (x 0 , f(x 0 )).

Αν υπάρχει το

και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ,

τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ( ε ) :

που διέρχεται από το Α και

έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

Εξίσωση εφαπτομένης Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) είναι: λ = f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0

Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) είναι:

Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1). Υπολογίζουμε το όριο: = = = = = f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x  1 x 2 – 1 x – 1 lim x  1 (x – 1 )(x + 1) x – 1 lim x  1 (x + 1 ) = lim x  1

Έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1).

Υπολογίζουμε το όριο:

Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1). Υπολογίζουμε το όριο: = = = = (x + 1 ) = 2 lim x  1 = f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x  1 x 2 – 1 x – 1 lim x  1 (x – 1 )(x + 1) x – 1 lim x  1

Έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1).

Υπολογίζουμε το όριο:

Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1). Υπολογίσαμε το όριο: = 2 Επειδή το όριο είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε ορίζεται η εφαπτομένη στο Α (1, 1) και έχει εξίσωση την: y – f(1) = λ (x – 1)  y – 1 = 2 (x – 1)   y – 1 = 2 x – 2  y = 2 x – 1 f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x  1

Έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1).

Υπολογίσαμε το όριο:

Ορισμός Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός. f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το

Ορισμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και συμβολίζεται με f ΄( x 0 ). f ΄( x 0 ) = f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0

Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και συμβολίζεται με f ΄( x 0 ).

Σχόλιο Αν στο όριο αυτό όπου x , θέσουμε x 0 + h τότε: h = x – x 0 για x -> x 0 το h -> x 0 – x 0 = 0 και το όριο γράφεται: f ΄( x 0 ) = f(x 0 + h) – f(x 0 ) h lim h  0

Αν στο όριο αυτό όπου x , θέσουμε x 0 + h τότε:

h = x – x 0

για x -> x 0 το h -> x 0 – x 0 = 0

και το όριο γράφεται:

Σχόλιο Αν στο όριο αυτό όπου x , θέσουμε x 0 h τότε: h = για x -> x 0 το h -> και το όριο γράφεται: f ΄( x 0 ) = = 1 f(x 0 h) – f(x 0 ) x 0 (h – 1) lim h  1 x x 0 x 0 x 0

Αν στο όριο αυτό όπου x , θέσουμε x 0 h τότε:

h =

για x -> x 0 το h ->

και το όριο γράφεται:

Στιγμιαία ταχύτητα Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0 είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης x = S(t) τη χρονική στιγμή t 0 . υ (t 0 ) = S ΄ (t 0 )

Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0 είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης x = S(t) τη χρονική στιγμή t 0 .

Στιγμιαία επιτάχυνση Η στιγμιαία επιτάχυνση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0 είναι η παράγωγος της συνάρτησης ταχύτητα υ( t) τη χρονική στιγμή t 0 . α (t 0 ) = υ΄ (t 0 )

Η στιγμιαία επιτάχυνση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0 είναι η παράγωγος της συνάρτησης ταχύτητα υ( t) τη χρονική στιγμή t 0 .

Εξίσωση εφαπτομένης Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) γράφεται: Ο συντελεστής διεύθυνσης f ΄ (x 0 ) λέγεται και κλίση της f στο x 0 .

Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) γράφεται:

Ορισμός Μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα x o του πεδίου ορισμού της αν:

Μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα x o του πεδίου ορισμού της αν:

Θεώρημα Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα x 0 είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Για έχουμε:

Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα x 0 είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Θεώρημα Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα x 0 είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Άρα: Δηλαδή η f είναι συνεχής στο x 0 .

Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα x 0 είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Σταθερή συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη

Σταθερή συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Σταθερή συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη

Σταθερή συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Σταθερή συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη

Σταθερή συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Παράγωγος Απόδειξη Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη

Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη

Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη

Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη

Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη

Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη ν – στο πλήθος

Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη

Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος Απόδειξη

Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Παράγωγος Συνάρτηση Παράγωγος Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Παράγωγος Συνάρτηση Παράγωγος Συνάρτηση

Κανόνες Παραγώγισης Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 , τότε η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 , τότε η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:

Κανόνες Παραγώγισης Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 , τότε η συνάρτηση f • g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 , τότε η συνάρτηση f • g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:

Κανόνες Παραγώγισης Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 , τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 ,

τότε η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:

Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων

Παράγωγος Σύνθεσης συναρτήσεων κανόνας της αλυσίδας.

Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων

Ασκήσεις Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων

Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων

Άσκηση Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f με f(x) = x 3 – 5x 2 –2x +3 για x 0 = – 2 .

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f με f(x) = x 3 – 5x 2 –2x +3 για x 0 = – 2 .

Add a comment

Related presentations

Related pages

Derivative (finance) - Wikipedia, the free encyclopedia

Derivatives allow risk related to the price of the underlying asset to be transferred from one party to another. For example, a wheat farmer and a miller ...
Read more

Derivat (Wirtschaft) – Wikipedia

Ein derivatives Finanzinstrument oder kurz Derivat (lateinisch derivare ‚ableiten‘) ist ein gegenseitiger Vertrag, der seinen wirtschaftlichen Wert vom ...
Read more

Duden | de­ri­va­tiv | Rechtschreibung, Bedeutung ...

derivatives-derivative: Schwache Beugung (mit bestimmtem Artikel) Singular Plural; Maskulinum Femininum Neutrum Maskulinum/ Femininum/ Neutrum; Artikel ...
Read more

Derivative - Wikipedia, the free encyclopedia

The relation between the total derivative and the partial derivatives of a function is paralleled in the relation between the kth order jet of a function ...
Read more

dict.cc | derivative | Wörterbuch Englisch-Deutsch

derivativer | derivative | derivatives derivativster | derivativste | derivativstes edit . derivative {adj} 280. abgeleitet: derivative {adj} 158 ...
Read more

dict.cc | derivatives | Wörterbuch Englisch-Deutsch

Übersetzung für derivatives im Englisch-Deutsch-Wörterbuch dict.cc.
Read more

Derivative Definition | Investopedia

BREAKING DOWN 'Derivative' Originally, derivatives were used to ensure balanced exchange rates for goods traded internationally.
Read more

Online Derivative Calculator • Shows All Steps!

An online symbolic derivative calculator that supports partial derivatives and shows the input as a graphical formula.
Read more

Introduction to Derivatives - mathsisfun.com

Have a play with it using the Derivative Plotter. Derivatives of Other Functions. We can use the same method to work out derivatives of other functions ...
Read more

Derivatives

Euronext derivatives: Knowledge center and discovery portal to Euronext's portfolio of stock, indices, currency and commodity futures and options products
Read more