advertisement

CURVAS CÓNICAS. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

67 %
33 %
advertisement
Information about CURVAS CÓNICAS. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO
Education

Published on March 10, 2014

Author: jdalmagro

Source: slideshare.net

Description

Documento que muestra ejercicios resueltos de curvas cónicas destinado especialmente al alumnado de 2º de Bachillerato que cursa la asignatura de Dibujo Técnico II.
advertisement

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO T7. CURVAS CÓNICAS ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA F1-M F1 C T M A F O D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF´= 42 mm. Determina el eje mayor AB así como las tangentes desde un punto P, que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF´= 42 mm. Determina el eje mayor AB así como las tangentes desde un punto P, que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm 1. Dibujamos los datos dados para realizar el problema 42 mm C 50 mm F´ F P 44 mm D

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF´= 42 mm. Determina el eje mayor AB así como las tangentes desde un punto P, que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm 2. La distancia CF es el semieje mayor AB. Trazando CF desde O sobre el eje mayor, obtenemos AB C a A F a O P D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF´= 42 mm. Determina el eje mayor AB así como las tangentes desde un punto P, que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm al 2 a circ u nfe ren ci a fo c 3. Trazamos la circunferencia focal de centro F´y radio 2a C a A F a O P D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF´= 42 mm. Determina el eje mayor AB así como las tangentes desde un punto P, que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm 4. Se traza la circunferencia de centro P y radio PF, que corta a la anterior en los puntos G y H 2 a C G a A F a O P H D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF´= 42 mm. Determina el eje mayor AB así como las tangentes desde un punto P, que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm 5. Las mediatrices r y s de los segmentos GF y HF son las tangentes a la elipse desde el punto P 2 a C G a A F a O P H D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF´= 42 mm. Determina el eje mayor AB así como las tangentes desde un punto P, que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm 5. Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos GF y HF son las tangentes a la elipse desde el punto P 2 a t1 C G a A F a O P H t2 D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF´= 42 mm. Determina el eje mayor AB así como las tangentes desde un punto P, que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm 6. Si unimos G y H con F´ obtendremos los puntos de tangencia T1 y T2 2 a t1 G C T1 A F a a O P H T2 t2 D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 1. El eje menor de una elipse es el segmento CD = 41 mm y la distancia focal, el segmento FF´= 42 mm. Determina el eje mayor AB así como las tangentes desde un punto P, que se encuentra del punto C a 50 mm y del punto D a 44 mm 1. Dibujamos los datos dados para realizar el problema 2. La distancia CF es el semieje mayor AB. Trazando CF desde O sobre el eje mayor, obtenemos AB al 2 ci a fo c 3. Trazamos la circunferencia focal de centro F´y radio 2a a C C 50 circ u nfe ren 42 mm C a mm F´ F P A F a a O F´ B D 5. Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos GF y HF son las tangentes a la elipse desde el punto P 2 a C 2 a a O P F´ B a O D F´ A F B C T1 a a O P P H G a A F a t1 C G a A F B 6. Si unimos G y H con F´ obtendremos los puntos de tangencia T1 y T2 t1 G F´ D D 4. Se traza la circunferencia de centro P y radio PF, que corta a la anterior en los puntos G y H 2 O P P 44 mm a A F H t2 D H T2 t2 D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 2. Desde un punto P traza las rectas tangentes a la elipse de ejes AB = 70 mm y CD = 53 mm. El punto P se encuentra sobre la prolongación de AB y a 25 mm de B C A O D B P

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 2. Desde un punto P traza las rectas tangentes a la elipse de ejes AB = 70 mm y CD = 53 mm. El punto P se encuentra sobre la prolongación de AB y a 25 mm de B 1. Se trazan los datos dados, y con radio AO se traza un arco desde C que cortará al eje mayor en los focos F1 y F´. C AO O A F B F´ D P

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 2. Desde un punto P traza las rectas tangentes a la elipse de ejes AB = 70 mm y CD = 53 mm. El punto P se encuentra sobre la prolongación de AB y a 25 mm de B 2. Se traza un arco con centro en F y radio 2AO C AO O A B F F´ D 2A O P

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 2. Desde un punto P traza las rectas tangentes a la elipse de ejes AB = 70 mm y CD = 53 mm. El punto P se encuentra sobre la prolongación de AB y a 25 mm de B 3. Se traza un arco con centro en P y radio PF´, que corta al arco anterior en los puntos G y H. G C AO O A B F P PF ´ F´ D 2A O H

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 2. Desde un punto P traza las rectas tangentes a la elipse de ejes AB = 70 mm y CD = 53 mm. El punto P se encuentra sobre la prolongación de AB y a 25 mm de B 4. Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos GF´y HF´ son las tangentes a la elipse desde el punto P G C t1 AO O P B F F´ t2 D 2A O H PF ´ A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 2. Desde un punto P traza las rectas tangentes a la elipse de ejes AB = 70 mm y CD = 53 mm. El punto P se encuentra sobre la prolongación de AB y a 25 mm de B 5. Para calcular los puntos de tangencia con la elipse, unimos G y H con F. G C t1 T1 AO O P B F F´ t2 D T2 2A O H PF ´ A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 2. Desde un punto P traza las rectas tangentes a la elipse de ejes AB = 70 mm y CD = 53 mm. El punto P se encuentra sobre la prolongación de AB y a 25 mm de B 2. Se traza un arco con centro en A y radio 2AO 1. Se trazan los datos dados, y con radio AO se traza un arco desde C que cortará al eje mayor en los focos F1 y F´. C C C AO O P B O A O A F´ D D 4. Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos GF´y HF´ son las tangentes a la elipse desde el punto P 3. Se traza un arco con centro en P y radio PF´, que corta al arco anterior en los puntos G y H. C C G C t1 P O t2 D 2A H H P B F´ t2 D 2A O O A F F´ PF ´ D P B F F´ T1 AO O A t1 ´ B F O 5. Para calcular los puntos de tangencia con la elipse, unimos G y H con F. AO AO O 2A G G P B F F´ D A P B F PF A AO T2 2A O H PF ´ DATOS:

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias Para resolver este ejercicio aplicaremos el método de afinidad. r C B A D

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias 1. Se traza la circunferencia de centro O y radio a (a=distancia AO). Si prolongamos el eje CD conseguiremos C´, afín de C C´ r C B A D

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias 2. Tomamos un punto cualquiera E de la recta r, y se une con C mediante la recta m. La recta m corta al eje de afinidad AB en el punto E´´. C´ r C B m E´´ A D E

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias 3. Al unir E´´ con C´obtenemos la recta m´, afín a la recta m C´ r C m´ B m E´´ A D E

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias 4. Teniendo m y m´podemos hallar E¨, que es el punto afín de E C´ r C m´ B m E´´ A D E E´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias 5. Donde la recta r corta al eje de afinidad AB, tenemos el punto doble HH´. Si unimos E´con HH´, obtenemos r´, afín de r. C´ r C m´ B m H H´ E´´ A D E r´ E´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias 6. Donde r´ corta a la circunferencia, se obtienen los puntos G´y F´. C´ G´ r C m´ B m H H´ E´´ A D E F´ r´ E´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias 7. Los puntos G y F, afines a G´ y F´, son los puntos de intersección de la recta r con la elipse C´ G´ r C G m´ B m H H´ E´´ A F E D F´ r´ E´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 3. Halla los puntos de intersección de la recta r con la elipse de ejes AB y CD, sin realizar el trazado de la curva. Deja indicadas todas las construcciones auxiliares necesarias Para resolver este ejercicio aplicaremos el método de afinidad. 1. Se traza la circunferencia de centro O y radio a (a=distancia AO). Si prolongamos el eje CD conseguiremos C´ , afín de C 2. Tomamos un punto cualquiera E de la recta r, y se une con C mediante la recta m. La recta m corta al eje de afinidad AB en el punto E´´. C´ C´ r C 3. Al unir E´´ con C´obtenemos la recta m´, afín a la recta m r C C´ r C r C m´ B B B m E´´ E´´ A A A A D D D D E E 4. Teniendo m y m´podemos hallar E¨, que es el punto afín de E 5. Donde la recta r corta al eje de afinidad AB, tenemos el punto doble HH´. Si unimos E´con HH´, obtenemos r´, afín de r. C´ 6. Donde r´ corta a la circunferencia, se obtienen los puntos G´y F´. C´ G´ r r C m´ E E E´ F D F´ r´ E´ E´´ A D E H H´ E´´ A D B m H H´ E´´ A G m´ B m H H´ A r C m´ B m E´´ G´ r C m´ B m 7. Los puntos G y F, afines a G´ y F´, son los puntos de intersección de la recta r con la elipse C´ C´ C B m E F´ r´ r´ E´ D E´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros C A O D B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros 1. Se traza el arco de centro O y radio OA, que corta a la prolongación del eje menor CD en el punto M M C A O D B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros 2. Se unen los puntos A y C, y se traza el arco con centro en C y radio CM hasta cortar a AC en el punto N M C N A O D B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros 3. Trazamos la mediatriz AN, la cual corta a los ejes mayor y menor o a su prolongación en los puntos O1 y O2, centros del óvalo M C N A O O2 D O1 B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros 4. Los otros dos centros son simétricos a los anteriores en relación a los ejes O4 M C N A O O2 D O1 O3 B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros 5. Los puntos de tangencia se obtienen uniendo los centros O1O2, O1O3, y O3O4 para obtener T1T2T3T4 O4 M C N A O O2 D O1 O3 B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros 6. Trazando los arcos O2A y O3B obtenemos T1T2T3T4 O4 M C T1 T3 N O O2 A O3 B T4 T2 D O1

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros 7. Haciendo centro en O1 hasta T1 y en O4 hasta T4 trazamos los arcos que faltan para completar el óvalo de 4 centros O4 M C T1 T3 N O O2 A O3 B T4 T2 D O1

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 4. Obtén la curva elíptica de ejes AB y CD, sustituyéndola por el trazado de un óvalo de cuatro centros 1. Se traza el arco de centro O y radio OA, que corta a la prolongación del eje menor CD en el punto M 3. Trazamos la mediatriz AN, la cual corta a los ejes mayor y menor o a su prolongación en los puntos O1 y O2, centros del óvalo 2. Se unen los puntos A y C, y se traza el arco con centro en C y radio CM hasta cortar a AC en el punto N M M C C M C C N N O A B O A B O A D D B O O2 A D B D O2 5. Los puntos de tangencia se obtienen uniendo los centros O1O2, O1O4, y O3O4 para obtener T1T2T3T4 6. Trazando los arcos O2A y O3B obtenemos T1T2T3T4 7. Haciendo centro en O1 hasta T1 y en O4 hasta T4 trazamos los arcos que faltan para completar el óvalo de 4 centros O4 M O4 M O4 M O4 M C C C C 4. Los otros dos centros son simétricos a los anteriore sen relación a los ejes T1 N A O O2 O3 B A O O2 O3 B O O2 A O1 D O1 O3 T3 N B T4 T2 D T1 T3 N N O O2 A B T4 T2 D D O1 O3 O1

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 5. Determina los ejes de una elipse, conociendo los focos F y F´, y un punto E de la misma. Traza las tangentes desde un punto exterior P P E F F´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 5. Determina los ejes de una elipse, conociendo los focos F y F´, y un punto E de la misma. Traza las tangentes desde un punto exterior P 1. Por definición de la elipse, la distancia EF + EF´= 2a. Por tanto, podemos obtener el eje mayor AB P 2a A F E F´ B FE + EF´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 5. Determina los ejes de una elipse, conociendo los focos F y F´, y un punto E de la misma. Traza las tangentes desde un punto exterior P 2. Con centro en F´ o F y radio AO, trazamos un arco para obtener el eje menor CD P C AO E O A F F´ B FE + EF´ D

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 5. Determina los ejes de una elipse, conociendo los focos F y F´, y un punto E de la misma. Traza las tangentes desde un punto exterior P G 2a 3. Trazamos la circunferencia focal de F´ (AB desde F´) y la circunferencia PF. Así obtenemos los puntos G y H. P C H AO E O A F F´ B FE + EF´ D

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 5. Determina los ejes de una elipse, conociendo los focos F y F´, y un punto E de la misma. Traza las tangentes desde un punto exterior P G 2a 4. Trazando las mediatrices de GF y HF obtenemos las rectas tangentes a la elipse desde el punto P P C H AO E O F´ B AF FE + EF´ D

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 5. Determina los ejes de una elipse, conociendo los focos F y F´, y un punto E de la misma. Traza las tangentes desde un punto exterior P 5. Para calcular los puntos de tangencia unimos G y H con F´. Los puntos de intersección entre dichas rectas y las rectas tangentes serán los puntos T1 y T2 G 2a P C H AO E T2 T1 O F´ B AF FE + EF´ D

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 5. Determina los ejes de una elipse, conociendo los focos F y F´, y un punto E de la misma. Traza las tangentes desde un punto exterior P 1. Por definición de la elipse, la distancia EF + EF´= 2a. Por tanto, podemos obtener el eje mayor AB P P E E A F F´ F F´ B FE + EF´ 2. Con centro en F´ o F y radio AO, trazamos un arco para obtener el eje menor CD 3. Trazamos la circunferencia focal de F´(AB desde F´) y la circunferencia PF. Así obtenemos los puntos G y H. 4. Trazando las mediatrices de GF y HF obtenemos las rectas tangentes a la elipse desde el punto P G G P P P C AO E C H O A F F´ B FE + EF´ D AO E C H O A F F´ B FE + EF´ D AO E O F´ B AF FE + EF´ D

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 6. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F1 y F2, y la recta t a la que es tangente t F1 F2

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 6. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F1 y F2, y la recta t a la que es tangente 1. Las proyecciones ortogonales F´1 y F´2 de los focos sobre la recta tangente t pertenecen a la circunferencia principal. Trazando la mediatriz de F1 F2 podemos calcular el centro de dicha circunferencia t F1 F´1 O F2 F´2

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 6. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F1 y F2, y la recta t a la que es tangente 2. Trazamos la circunferencia OF´1 (= Of´2) y obtenemos A y B t A F1 F´1 O F2 F´2 B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 6. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F1 y F2, y la recta t a la que es tangente 3. Con centro en un foco y radio AO se obtienen los puntos C y D del eje menor al interceptar en la recta perpendicular a AB que pasa por O t A C F1 F´1 O F2 F´2 D B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 6. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F1 y F2, y la recta t a la que es tangente 4. Conociendo los ejes y los focos, podemos trazar la elipse por uno de los métodos estudiados t A C F1 F´1 O F2 F´2 D B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 6. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F1 y F2, y la recta t a la que es tangente 5. Para calcular el punto de tangencia hallamos el simétrico de F2 y lo unimos con F1. En la intersección de dicha recta con t estará T t A C F1 F´1 O F2 F´2 D B F´´2

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 6. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F1 y F2, y la recta t a la que es tangente 5. Para calcular el punto de tangencia hallamos el simétrico de F2 y lo unimos con F1. En la intersección de dicha recta con t estará T t A C F1 F´1 O T F2 F´2 D B F´´2

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 6. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F1 y F2, y la recta t a la que es tangente 5. Para calcular el punto de tangencia hallamos el simétrico de F2 y lo unimos con F1. En la intersección de dicha recta con t estará T t A C F1 F´1 O T F2 F´2 D B F´´2

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 6. Dibuja la elipse de la que se conocen los focos F1 y F2, y la recta t a la que es tangente 1. Las proyecciones ortogonales F´1 y F´2 de los focos sobre la recta tangente t pertenecen a la circunferencia principal.Trazando la mediatriz de F1 F2 podemos calcular el centro de dicha circunferencia t t F1 F1 F´1 O F2 2. Trazamos la circunferencia OF´1 (= Of´2) y obtenemos A y B F2 3. Con centro en un foco y radio AO se obtienen los puntos C y D del eje menor al interceptar en la recta perpendicular a AB que pasa por O t A F1 4. Conociendo los ejes y los focos, podemos trazar la elipse por uno de los métodos estudiados t A O t A C F1 F´1 F2 F´2 F´2 D D B F´1 O F2 F´2 C F1 F´1 O F2 F´2 B B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 7. Una elipse está definida por sus ejes AB y CD. Traza la tangente en el punto M de la misma. Dibuja la mitad inferior de la elipse aplicando la definición C M A O D B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 7. Una elipse está definida por sus ejes AB y CD. Traza la tangente en el punto M de la misma. Dibuja la mitad inferior de la elipse aplicando la definición 1. Se determinan los focos F y F´ tomando la distancia a (AO) sobre C o D C M A F O D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 7. Una elipse está definida por sus ejes AB y CD. Traza la tangente en el punto M de la misma. Dibuja la mitad inferior de la elipse aplicando la definición 2. La tangente de una elipse es la bisectriz del ángulo que forman uno de los radios vectores de dicho punto y la prolongación del otro. Para ello unimos F y F´con M C M A F O D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 7. Una elipse está definida por sus ejes AB y CD. Traza la tangente en el punto M de la misma. Dibuja la mitad inferior de la elipse aplicando la definición 3. Haciendo la bisectriz de dichas rectas, obtenemos t, la recta tangente t C M A F O D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 7. Una elipse está definida por sus ejes AB y CD. Traza la tangente en el punto M de la misma. Dibuja la mitad inferior de la elipse aplicando la definición t C 4. Para trazar la mitad de la curva se determinan una serie de puntos mediante el método de las circunferencias concéntricas, es decir, por afinidad. Comenzamos por trazar las circunferencias concéntricas de diámetros AB y CD M A F O D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 7. Una elipse está definida por sus ejes AB y CD. Traza la tangente en el punto M de la misma. Dibuja la mitad inferior de la elipse aplicando la definición 5. Trazamos radios auxiliares arbitrarios en la parte inferior de las circunferencias concéntricas t C M A F O D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 7. Una elipse está definida por sus ejes AB y CD. Traza la tangente en el punto M de la misma. Dibuja la mitad inferior de la elipse aplicando la definición 5. Trazamos radios auxiliares arbitrarios en la parte inferior de las circunferencias concéntricas t C M A O F F´ S N Q P D B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 8. Se desea construir una piscina elíptica tangente al muro representado cuyos focos son los puntos F y F´. a) Halla el punto de tangencia de la piscina con el muro. b) Calcula los ejes de la elipse. c) Traza la elipse. o mur F F´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 8. Se desea construir una piscina elíptica tangente al muro representado cuyos focos son los puntos F y F´. a) Halla el punto de tangencia de la piscina con el muro. b) Calcula los ejes de la elipse. c) Traza la elipse. o mur F1 1. Aplicando la propiedad de las tangentes, el simétrico F1 del foco F respecto al muro (tangente) pertenece a la circunferencia focal del otro foco F´. F F´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 8. Se desea construir una piscina elíptica tangente al muro representado cuyos focos son los puntos F y F´. a) Halla el punto de tangencia de la piscina con el muro. b) Calcula los ejes de la elipse. c) Traza la elipse. o mur F1 2. En la recta F´F1 se encuentra el punto de tangencia T de la elipse con el muro T F F´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 8. Se desea construir una piscina elíptica tangente al muro representado cuyos focos son los puntos F y F´. a) Halla el punto de tangencia de la piscina con el muro. b) Calcula los ejes de la elipse. c) Traza la elipse. o F1-M F1 mur C T M F O D 3. Calculamos el punto medio de FF´y determinamos los ejes. El semieje mayor a= OA=OB=1/2 F´F1. Calculamos la mediatriz de F´F1 y trazamos el arco F1M desde F. Así obtenemos los extremos C y D F´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 8. Se desea construir una piscina elíptica tangente al muro representado cuyos focos son los puntos F y F´. a) Halla el punto de tangencia de la piscina con el muro. b) Calcula los ejes de la elipse. c) Traza la elipse. o F1-M F1 mur C 4. Trazando un arco en O con la distancia CF conseguimos A y B T M A F O D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 8. Se desea construir una piscina elíptica tangente al muro representado cuyos focos son los puntos F y F´. a) Halla el punto de tangencia de la piscina con el muro. b) Calcula los ejes de la elipse. c) Traza la elipse. o F1-M F1 mur C 5. Realizamos la elipse por cualquiera de los métodos aprendidos T M A F O D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 9. El punto F es uno de los focos de una elipse y las rectas t1, t2 y t3 son tangentes de la misma. Determina, sin trazar la curva: a) El otro foco; b) Los ejes de la elipse; 3) Los puntos de tangencia con la elipse de las tres rectas dadas t2 t3 t1 F

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 9. El punto F es uno de los focos de una elipse y las rectas t1, t2 y t3 son tangentes de la misma. Determina, sin trazar la curva: a) El otro foco; b) Los ejes de la elipse; 3) Los puntos de tangencia con la elipse de las tres rectas dadas 1. El otro foco F´es el centro de la circunferencia focal que pasa por tres puntos S1, S2 y S3, simétricos de F respecto a cada una de las tangentes dadas. Por tanto, lo primero que hacemos es calcular los respectivos simétricos de F. S2 t2 t3 t1 S3 F S1

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 9. El punto F es uno de los focos de una elipse y las rectas t1, t2 y t3 son tangentes de la misma. Determina, sin trazar la curva: a) El otro foco; b) Los ejes de la elipse; 3) Los puntos de tangencia con la elipse de las tres rectas dadas 2. Hallamos el centro de la circunferencia que forman S1, S2 y S3, que será F´ (el foco que buscamos), mediante las mediatrices de S1-S2 y S2-S3 S2 t2 circ t3 t1 un fer en cia fo ca l S3 F S1 F´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 9. El punto F es uno de los focos de una elipse y las rectas t1, t2 y t3 son tangentes de la misma. Determina, sin trazar la curva: a) El otro foco; b) Los ejes de la elipse; 3) Los puntos de tangencia con la elipse de las tres rectas dadas 3. Conocidos los focos situamos el eje mayor, que sabemos que mide 2a = Radio circunferencia focal S2 t2 t3 t1 S3 A F S1 O F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 9. El punto F es uno de los focos de una elipse y las rectas t1, t2 y t3 son tangentes de la misma. Determina, sin trazar la curva: a) El otro foco; b) Los ejes de la elipse; 3) Los puntos de tangencia con la elipse de las tres rectas dadas 4. Conocidos los focos y el eje mayor, podemos trazar el eje menor CD trazando un arco desde F o F´con la distancia AO S2 t2 t3 t1 S3 A C F S1 O D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 9. El punto F es uno de los focos de una elipse y las rectas t1, t2 y t3 son tangentes de la misma. Determina, sin trazar la curva: a) El otro foco; b) Los ejes de la elipse; 3) Los puntos de tangencia con la elipse de las tres rectas dadas 5. Los puntos de tangencia T1, T2, y T3 se encuentran donde las rectas F´S1, F´S2 y F´S3 cortan a las correspondientes tangentes t1, t2 y t3 S2 t2 t3 t1 S3 A C F T2 S1 O T1 T3 D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 9. El punto F es uno de los focos de una elipse y las rectas t1, t2 y t3 son tangentes de la misma. Determina, sin trazar la curva: a) El otro foco; b) Los ejes de la elipse; 3) Los puntos de tangencia con la elipse de las tres rectas dadas 6. Si trazamos la elipse comprobaremos que pasa por los tres puntos de tangencia S2 t2 t3 t1 S3 A C F T2 S1 O T1 T3 D F´ B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 10. El punto F es uno de los focos de una elipse. P es un punto de la misma y O su centro. Halla, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse r P F O

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 10. El punto F es uno de los focos de una elipse. P es un punto de la misma y O su centro. Halla, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse 1. Calculamos el foco F´, simétrico de F respecto de O r P F O F´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 10. El punto F es uno de los focos de una elipse. P es un punto de la misma y O su centro. Halla, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse l c ir c un fer en ci a fo ca 2. Se traza la circunferencia focal de centro F, cuyo radio es la suma de los radios vectores del punto P dado ( PF + PF´) r P F O F´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 10. El punto F es uno de los focos de una elipse. P es un punto de la misma y O su centro. Halla, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse l c ir c un fer en ci a fo ca 3. para resolver el ejercicio lo hacemos mediante un procedimiento de tangencias. Los puntos de intersección de la recta r con la elipse definida son los centros de las circunferencias tangentes a la focal de centro F que pasan por el otro foco F´y por su simétrico F´1 respecto de la recta r. Primero calculamos el simétrico de F´, F´1 r P F´1 F O F´

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 10. El punto F es uno de los focos de una elipse. P es un punto de la misma y O su centro. Halla, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse l c ir c un fer en ci a fo ca 4. Trazamos una circunferencia auxiliar con centro en la recta r que pase por F´y F´1. Esta circunferencia corta a la focal trazada anteriormente en M y N r P M F´1 F O1 O F´ N

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 10. El punto F es uno de los focos de una elipse. P es un punto de la misma y O su centro. Halla, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse l Cr c ir c un fer en ci a fo ca 5. Hallamos el centro radical de las dos circunferencias en la intersección de F´F´1 con MN r P M F´1 F O1 O F´ N

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 10. El punto F es uno de los focos de una elipse. P es un punto de la misma y O su centro. Halla, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse T1 l Cr c ir c un fer en ci a fo ca 6. Trazamos las tangentes del Cr a la circunferencia focal. En las intersecciónes de T1F y T2F están los puntos de intersección de r con la elipse: I1 e I2 r I1 P M F´1 I2 F T2 O1 O F´ N

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 10. El punto F es uno de los focos de una elipse. P es un punto de la misma y O su centro. Halla, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse T1 l Cr c ir c un fer en ci a fo ca 6. Trazamos las tangentes del Cr a la circunferencia focal. En las intersecciónes de T1F y T2F están los puntos de intersección de r con la elipse: I1 e I2 r I2 P C M F´1 A I2 F T2 O1 O F´ B N D

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 11. De una hipérbola se sabe que 2a=29 mm, y la distancia focal 2c=44 mm. Obtén uno de sus puntos P, y traza por él la tangente y la normal a la cónica F2 F1 V1 V2 A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 11. De una hipérbola se sabe que 2a=29 mm, y la distancia focal 2c=44 mm. Obtén uno de sus puntos P, y traza por él la tangente y la normal a la cónica RECUERDA: 2a : V1V2 2c: F1F2 1. Se dibujan los datos y se toma un punto cualquiera A del eje real F2 F1 V1 V2 A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 11. De una hipérbola se sabe que 2a=29 mm, y la distancia focal 2c=44 mm. Obtén uno de sus puntos P, y traza por él la tangente y la normal a la cónica RECUERDA: 2a : V1V2 2c: F1F2 2. Se traza un arco con centro en F1 y radioV1A, y otro arco con centro en F2 y radio V2A. El punto P de corte de los dos arcos es un punto de la hipérbola P V1 A F2 F1 V1 V2 V2 A A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 11. De una hipérbola se sabe que 2a=29 mm, y la distancia focal 2c=44 mm. Obtén uno de sus puntos P, y traza por él la tangente y la normal a la cónica RECUERDA: 2a : V1V2 2c: F1F2 3. Las bisectrices de los ángulos formados por los radios vectores PF1 y PF2 son la recta tangente t y normal n t P n F2 F1 V1 V2 A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA 11. De una hipérbola se sabe que 2a=29 mm, y la distancia focal 2c=44 mm. Obtén uno de sus puntos P, y traza por él la tangente y la normal a la cónica LA NORMAL ES LA PERPENDICULAR A LA TANGENTE EN EL PUNTO DE TANGENCIA 1. Se dibujan los datos y se toma un punto cualquiera A del eje real 2. Se traza un arco con centro en F1 y radioV1A, y otro arco con centro en F2 y radio V2A. El punto P de corte de los dos arcos es un punto de la hipérbola 3. Las bisectrices de los ángulos formados por los radios vectores Pf1 y Pf2 son la recta tangente t y normal n t P P V1 F2 F1 V1 V2 A A F2 F1 V1 V2 V n 2A A F2 F1 V1 V2 A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 12. El punto F es uno de los focos de una hipérbola y el segmento CD su eje imaginario. Traza las tangentes a la curva paralelas a la dirección d y halla sus puntos de tangencia, sin trazar la curva C d F O D

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 12. El punto F es uno de los focos de una hipérbola y el segmento CD su eje imaginario. Traza las tangentes a la curva paralelas a la dirección d y halla sus puntos de tangencia, sin trazar la curva C d F O F´ D 1. Determinamos el otro foco F´, simétrico de F respecto del eje CD

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 12. El punto F es uno de los focos de una hipérbola y el segmento CD su eje imaginario. Traza las tangentes a la curva paralelas a la dirección d y halla sus puntos de tangencia, sin trazar la curva C OF d F =c F´ O A B D 2. Hallamos los extremos A y B del eje real que distan de C o D la magnitud OF = c

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA ia c fo al circ u nfe re nc 12. El punto F es uno de los focos de una hipérbola y el segmento CD su eje imaginario. Traza las tangentes a la curva paralelas a la dirección d y halla sus puntos de tangencia, sin trazar la curva C OF d F =c F´ O A AB B D 3. Trazamos la circunferencia focal (radio AB) desde F

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 12. El punto F es uno de los focos de una hipérbola y el segmento CD su eje imaginario. Traza las tangentes a la curva paralelas a la dirección d y halla sus puntos de tangencia, sin trazar la curva ia c fo al circ u nfe re nc M C N c F= O d F F´ O A B D 4. Se traza la perpendicular a la distancia d por F´, que cortará a la circunferencia focal en los puntos M y N

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 12. El punto F es uno de los focos de una hipérbola y el segmento CD su eje imaginario. Traza las tangentes a la curva paralelas a la dirección d y halla sus puntos de tangencia, sin trazar la curva ia c fo al t1 t2 circ u nfe re nc M C N c F= O d F F´ O A B D 5. Las mediatrices de los segmentos MF´y NF´ son, respectivamente, las tangentes t1 y t2. Si la perpendicular por F´a d fuera exterior a la circunferencia focal de centro F, significaría que no habría tangentes paralelas a dicha dirección y si dicha recta y la circunferencia focal fueran tangentes, habría una sola tangente a la curva paralela a d

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 12. El punto F es uno de los focos de una hipérbola y el segmento CD su eje imaginario. Traza las tangentes a la curva paralelas a la dirección d y halla sus puntos de tangencia, sin trazar la curva ia c fo al t1 t2 circ u nfe re nc M C N c F= O d F T1 A T2 F´ O B D 6. Los puntos de tangencia estarán en las intersecciones de FM y FN con las tangentes t1 y t2, respectivamente

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 13. De una hipérbola se conoce uno de sus focos, F, la tangente t con su punto de tangencia T y 2a = 34 mm. Traza las tangentes a la curva desde el punto P y determina sus puntos de tangencia, sin dibujar la curva t T P F

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 13. De una hipérbola se conoce uno de sus focos, F, la tangente t con su punto de tangencia T y 2a = 34 mm. Traza las tangentes a la curva desde el punto P y determina sus puntos de tangencia, sin dibujar la curva t T 1. Hallamos F1, simétrico de F respecto a la recta t P F F1

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 13. De una hipérbola se conoce uno de sus focos, F, la tangente t con su punto de tangencia T y 2a = 34 mm. Traza las tangentes a la curva desde el punto P y determina sus puntos de tangencia, sin dibujar la curva t T 2. El foco F´estará en la recta que une T con F1, a una distancia 2a = 34 mm de F1 P F´ F m 4m 3 a= 2 F1

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 13. De una hipérbola se conoce uno de sus focos, F, la tangente t con su punto de tangencia T y 2a = 34 mm. Traza las tangentes a la curva desde el punto P y determina sus puntos de tangencia, sin dibujar la curva circ t un fer en c ia ca fo T l 3. Trazamos la circunferencia focal de F´ (radio 2A = 34) P F´ F m 4m 3 a= 2 F1

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 13. De una hipérbola se conoce uno de sus focos, F, la tangente t con su punto de tangencia T y 2a = 34 mm. Traza las tangentes a la curva desde el punto P y determina sus puntos de tangencia, sin dibujar la curva M circ t un fer en c ia ca fo T l 4. Trazamos la circunferencia de centro P y radio PF, que corta a la focal en los puntos M y N P F´ F N m 4m 3 a= 2 F1

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 13. De una hipérbola se conoce uno de sus focos, F, la tangente t con su punto de tangencia T y 2a = 34 mm. Traza las tangentes a la curva desde el punto P y determina sus puntos de tangencia, sin dibujar la curva M t un fer en c ia t1 circ ca fo T l 5. Las tangentes por P a la hipérbola son las mediatrices de los segmentos FM Y FN P F´ F N m 4m 3 a= 2 t2 F1

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 13. De una hipérbola se conoce uno de sus focos, F, la tangente t con su punto de tangencia T y 2a = 34 mm. Traza las tangentes a la curva desde el punto P y determina sus puntos de tangencia, sin dibujar la curva M un fer en c ia t1 t circ ca fo T l 6. Uniendo F´con M y con N obtendremos los puntos de tangencia T1 y T2 P F´ F N T1 T2 t2 F1

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 14. Determina los puntos de intersección de la recta r con la hipérbola definida por el foco F y las asíntotas a y a´, sin trazar la curva. a´ a F r

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 14. Determina los puntos de intersección de la recta r con la hipérbola definida por el foco F y las asíntotas a y a´, sin trazar la curva. a´ 1. Hallamos el foco F´, que es simétrico de F respecto de la intersección de las asíntotas O a F´ F r O

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 14. Determina los puntos de intersección de la recta r con la hipérbola definida por el foco F y las asíntotas a y a´, sin trazar la curva. a´ 2. Hallamos el punto S, simétrico de F respecto de una de las asíntotas, en este caso la recta a. La distancia F´T1 es la distancia 2A S 2a a F´ F r O

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 14. Determina los puntos de intersección de la recta r con la hipérbola definida por el foco F y las asíntotas a y a´, sin trazar la curva. a´ 3. Trazamos la circunferencia focal de centro F´y radio F´S. S 2a a F´ F r O

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 14. Determina los puntos de intersección de la recta r con la hipérbola definida por el foco F y las asíntotas a y a´, sin trazar la curva. a´ 4. Trazamos el simétrico de F respecto a r, el punto R S 2a a F´ F r R O

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 14. Determina los puntos de intersección de la recta r con la hipérbola definida por el foco F y las asíntotas a y a´, sin trazar la curva. a´ 5. Trazamos la circunferencia auxiliar de centro O1 y radio O1F (o O1R). dicha circunferencia corta a la focal en los puntos M y N S 2a a F´ N O F r O1 R M

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 14. Determina los puntos de intersección de la recta r con la hipérbola definida por el foco F y las asíntotas a y a´, sin trazar la curva. a´ 6. Sacamos el centro radical entre el eje radical de las dos circunferencias (recta MN) y la recta que une RF S 2a a Cr F´ N O F r O1 R M

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 14. Determina los puntos de intersección de la recta r con la hipérbola definida por el foco F y las asíntotas a y a´, sin trazar la curva. T1 a´ S 2a a Cr F´ N O F T2 r O1 R M 7. Trazamos, desde Cr, las tangentes a la circunferencia focal (para ello calculamos los puntos de tangencia T1 t T2 - ver trazado de tangentes de un punto a una circunferencia)

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA HIPÉRBOLA 14. Determina los puntos de intersección de la recta r con la hipérbola definida por el foco F y las asíntotas a y a´, sin trazar la curva. T1 a´ S 8. Trazando las rectas T1F´y T2F´obtenemos los puntos de intersección I1 e I2 en la recta r 2a a Cr F´ N O F I1 I2 T2 r O1 R M

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 15. El punto V es el vértice de una parábola y F su foco. Dibuja la mitad izquierda de esta curva. Traza la tangente a la parábola en el punto que dista 28 mm de la directriz y pertenece a la parte no dibujada. F V

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 15. El punto V es el vértice de una parábola y F su foco. Dibuja la mitad izquierda de esta curva. Traza la tangente a la parábola en el punto que dista 28 mm de la directriz y pertenece a la parte no dibujada. 1. Trazamos la directriz d, perpendicular al eje (recta FV), que dista de V la magnitud VF F V d A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 15. El punto V es el vértice de una parábola y F su foco. Dibuja la mitad izquierda de esta curva. Traza la tangente a la parábola en el punto que dista 28 mm de la directriz y pertenece a la parte no dibujada. 2. Para trazar la mitad izquierda de la curva se hallan una serie de puntos de la misma aplicando la propiedad de que equidistan del foco y de la directriz 5 4 3 2 F 1 V d A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 15. El punto V es el vértice de una parábola y F su foco. Dibuja la mitad izquierda de esta curva. Traza la tangente a la parábola en el punto que dista 28 mm de la directriz y pertenece a la parte no dibujada. 3. Trazamos paralelas a la directriz por cada uno de los puntos 5 4 3 2 F 1 V d A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 15. El punto V es el vértice de una parábola y F su foco. Dibuja la mitad izquierda de esta curva. Traza la tangente a la parábola en el punto que dista 28 mm de la directriz y pertenece a la parte no dibujada. 4. Vamos realizando arcos: A1 desde F, A2 desde F, A3 desde F, así sucesivamente. Estos puntos cortarán a las paralelas a la directriz en los puntos que utilizaremos para trazar la parábola 5 A5 4 A4 3 A3 A2 2 F 1 A1 V d A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 15. El punto V es el vértice de una parábola y F su foco. Dibuja la mitad izquierda de esta curva. Traza la tangente a la parábola en el punto que dista 28 mm de la directriz y pertenece a la parte no dibujada. 4. Vamos realizando arcos: A1 desde F, A2 desde F, A3 desde F, así sucesivamente. Estos puntos cortarán a las paralelas trazadas en los puntos que utilizaremos para trazar la parábola 5 A5 4 A4 3 A3 A2 2 F 1 A1 V d A

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 15. El punto V es el vértice de una parábola y F su foco. Dibuja la mitad izquierda de esta curva. Traza la tangente a la parábola en el punto que dista 28 mm de la directriz y pertenece a la parte no dibujada. 5. El punto que buscamos (M) para trazar la tangente se encuentra a 28 mm de F y de d. Procedemos a ubicarlo 5 4 3 m 28 2 m M 1 V d A 28 mm F

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 15. El punto V es el vértice de una parábola y F su foco. Dibuja la mitad izquierda de esta curva. Traza la tangente a la parábola en el punto que dista 28 mm de la directriz y pertenece a la parte no dibujada. 6. La tangente es la bisectriz del ángulo que forma la recta MF y la perpendicular por M a la directriz 5 4 3 m 28 M´ 2 m M 1 V d A 28 mm F

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 16. Los puntos M y N pertenecen a una parábola y la recta d es la directriz de la misma. Determina el foco, el eje y el vértice de la curva. sin trazar la parábola, traza las tangentes desde el punto simétrico de M respecto de la directriz d M N

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 16. Los puntos M y N pertenecen a una parábola y la recta d es la directriz de la misma. Determina el foco, el eje y el vértice de la curva. sin trazar la parábola, traza las tangentes desde el punto simétrico de M respecto de la directriz 1. Si M pertenece a la parábola, el foco F ha de ser un punto de la circunferencia de centro M tangente a la directriz d d M N

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 16. Los puntos M y N pertenecen a una parábola y la recta d es la directriz de la misma. Determina el foco, el eje y el vértice de la curva. sin trazar la parábola, traza las tangentes desde el punto simétrico de M respecto de la directriz 2. Como N también pertenece a la parábola, F también es común a la circunferencia que tiene centro en dicho punto N y es tangente a d. Es decir, F es el punto común a ambas circunferencias. En este caso son tangentes, por lo que sólo hay un foco. Si hubieran sido secantes habría dos parábolas posibles para los dos focos d M F N

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 16. Los puntos M y N pertenecen a una parábola y la recta d es la directriz de la misma. Determina el foco, el eje y el vértice de la curva. sin trazar la parábola, traza las tangentes desde el punto simétrico de M respecto de la directriz 3. El eje es la perpendicular a la directriz por F. El Vértice V de la parábola pertenece al eje y equidista de F y d V d M F N eje

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 16. Los puntos M y N pertenecen a una parábola y la recta d es la directriz de la misma. Determina el foco, el eje y el vértice de la curva. sin trazar la parábola, traza las tangentes desde el punto simétrico de M respecto de la directriz 4.Hallamos M´, simétrico a M desde d, y con centro en M´ trazamos una circunferencia que pase por F y corte a d en los puntos s1 y s2 S1 M´ d S2 V M F N eje

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 16. Los puntos M y N pertenecen a una parábola y la recta d es la directriz de la misma. Determina el foco, el eje y el vértice de la curva. sin trazar la parábola, traza las tangentes desde el punto simétrico de M respecto de la directriz 5. Las mediatrices de los segmentos FS1 y FS2 son las tangentes t1 y t2 S1 M´ d V S2 M F t1 t2 N eje

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 16. Los puntos M y N pertenecen a una parábola y la recta d es la directriz de la misma. Determina el foco, el eje y el vértice de la curva. sin trazar la parábola, traza las tangentes desde el punto simétrico de M respecto de la directriz 6. Los puntos de tangencia T1 y T2 son las intersecciones de las perpendiculares por S1 y S2 a d con las tangentes t1 y t2 S1 M´ d V S2 M T1 F t1 t2 eje T2 N

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 17. La recta d es la directriz de una parábola, t es una de sus tangentes y su punto T el de tangencia. Calcula el foco de la curva, el eje y el vértice, y traza la parábola d T t

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 17. La recta d es la directriz de una parábola, t es una de sus tangentes y su punto T el de tangencia. Calcula el foco de la curva, el eje y el vértice, y traza la parábola 1. El pie de la perpendicular por T a d, punto S, es el simétrico de F respecto de la tangente t d S F T t

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 17. La recta d es la directriz de una parábola, t es una de sus tangentes y su punto T el de tangencia. Calcula el foco de la curva, el eje y el vértice, y traza la parábola 2. El eje es la perpendicular a la directriz por F. El Vértice V de la parábola pertenece al eje y equidista de F y d S A V F T t eje d

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 17. La recta d es la directriz de una parábola, t es una de sus tangentes y su punto T el de tangencia. Calcula el foco de la curva, el eje y el vértice, y traza la parábola 3. El trazado de la curva se realizará con el método aprendido anteriormente S A V 1 2 F T 3 4 5 6 eje d t

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 18. El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma. Halla los puntos de intersección de la recta r con la citada parábola, sin trazar la curva F r t1 t2

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 18. El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma. Halla los puntos de intersección de la recta r con la citada parábola, sin trazar la curva S1 d S2 F r t1 t2 1. Si hallamos los simétricos de F respecto a t1 y t2 obtenemos los puntos S1 y S2, pertenecientes a la directriz d. Por tanto, uniendo S1 y S2 obtenemos la directriz

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 18. El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma. Halla los puntos de intersección de la recta r con la citada parábola, sin trazar la curva S1 d S2 F r t1 t2 R 2. Hallamos el simétrico de F respecto a la recta r, el punto R.

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 18. El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma. Halla los puntos de intersección de la recta r con la citada parábola, sin trazar la curva S1 d S2 F r O t1 t2 R 3. Trazamos una circunferencia arbitraria O con centro en t y que pase por R y por F

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 18. El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma. Halla los puntos de intersección de la recta r con la citada parábola, sin trazar la curva S1 Cr d S2 F r O t1 t2 R 4. Prolongando el segmento RF hasta la d obtenemos el Cr

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 18. El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma. Halla los puntos de intersección de la recta r con la citada parábola, sin trazar la curva S1 Cr d S2 F T r O t1 t2 R 5. Desde Cr trazamos una recta tangente a la circunferencia O. el punto de tangencia será T.

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 18. El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma. Halla los puntos de intersección de la recta r con la citada parábola, sin trazar la curva A S1 Cr B d S2 F T r O t1 t2 R 6. Desde Cr trazamos la circunferencia que pasa por T y corta la directriz en A y B

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 18. El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma. Halla los puntos de intersección de la recta r con la citada parábola, sin trazar la curva A S1 Cr B d S2 F T I1 O r I2 t1 t2 R 7. desde A y B trazamos perpendiculares a d que corten a r en los puntos I1 e I2, que son los puntos de intersección que buscamos

DT II T7. CURVAS CÓNICAS. TANGENCIAS Y PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON UNA RECTA PARÁBOLA 18. El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma. Halla los puntos de intersección de la recta r con la citada parábola, sin trazar la curva A S1 Cr B d S2 F T I1 O r I2 t1 t2 R 8. I1 e I2 son los centros de las circunferencias tangentes a la directriz que pasan por el punto F y su simétrico R

Add a comment

Related presentations

Related pages

Dibujo Técnico 1º Bach.: CURVAS CÓNICAS: PARÁBOLA (ejercicios)

CURVAS CÓNICAS: PARÁBOLA ... 2º BACHILLERATO DT; APUNTES S. DIÉDRICO. ... Página Dibujo Técnico Bachillerato;
Read more

DIBUJO TÉCNICO I y II Bachillerato: Apuntes CURVAS CÓNICAS ...

Apuntes CURVAS CÓNICAS - PARÁBOLA. 1º y 2º Bachillerato. Apuntes CURVAS CÓNICAS - PARÁBOLA. Publicado por
Read more

DIBUJO TÉCNICO 2º: CURVAS CONICAS

este es blog de la asignatura de dibujo tÉcnico de 2º de bachillerato. durante el actual curso 2011/12, lo compartiremos los dos grupos, el de la sede en ...
Read more

2º Bachillerato: Dibujo Técnico II - Google Sites

2º Bachillerato: Dibujo Técnico II. 1/ Programación 1º trimestre. ... y curvas cónicas. Examen 1ª ev.: trazados en el plano, proporcionalidad, ...
Read more

2º DE BACHILLERATO. DIBUJO TÉCNICO II. PRESENCIAL ...

2º DE BACHILLERATO. DIBUJO TÉCNICO II. ... Resolver problemas geométricos relativos a las curvas cónicas en los que intervengan elementos ...
Read more

Curso gratis de Dibujo técnico 2º de bachillerato - Curvas ...

1. Definición y propiedades. Se llaman curvas cónicas a todas aquellas que se obtienen cortando un cono con un plano. Debido a su origen, las curvas ...
Read more

Dibujo Técnico 1º Bachillerato: Curvas Cónicas

Dibujo Técnico 1º Bachillerato. Hola mundo. En este blog os vamos a mostrar todo sobre el temario de dibujo técnico . Páginas. ... Curvas cónicas
Read more

Cuaderno de Dibujo Técnico

Arte y dibujo técnico UD 2. Materiales ... Curvas cónicas y técnicas ... Ejercicios 1º de bachillerato; Ejercicios 2º de bachillerato;
Read more