Curso de algebra lineal

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Published on January 14, 2014

Author: lobezno81

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Curso de repeticion de algebra lineal para la carrera de Ing. Ambiental

ITESI PLANTEL ABASOLO Curso de algebra lineal Ingeniería ambiental M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza. 2014 ABASOLO, GTO. M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 1|P á gin a

Presentación del curso. Curso de repetición de Algebra lineal. Carrera: Ingeniería Ambiental Docente: M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx, erick_lopez02@yahoo.com Aportación de la asignatura al perfil del egresado: El álgebra lineal aporta, al perfil del ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas. Muchos fenómenos de la naturaleza, que se presentan en la ingeniería, se pueden aproximar a través de un modelo lineal. Esta materia nos sirve para caracterizar estos fenómenos y convertirlos en un modelo lineal ya que es más sencillo de manejar, graficar y resolver que uno no lineal, de allí la importancia de estudiar álgebra lineal. OBJETIVO GENERAL(ES) DEL CURSO: Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas. Temario M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 2|P á gin a

Bibliografía recomendada: • Lay, David C., Algebra lineal y sus aplicaciones.-- 3a. ed. -- México: Pearson, Educación, 2006. • Grossman, Stanley I., Algebra lineal. -- 6a. Ed.-- México: McGraw-Hill, 2008. Williams, Gareth, Algebra lineal con aplicaciones.-- 4a. ed. -- México: McGraw-Hill, 2007. • Anton, Howard, Introducción al álgebra lineal.-- 4a.ed.-- México: Limusa, 2008. M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 3|P á gin a

Ponderación de la materia Reglas del curso • Cualquier duda con respecto a un tema comunicarse a mis correos: erlopez@itesi.edu.mx, erick_lopez02@yahoo.com • Cualquier duda con la calificación, deberá de resolverse mínimo 1 día después de entregado el examen. • Pasar lista en la sección de comentarios los días que tenemos clase. • Pasar los apuntes a la libreta. • Entregar las tareas los días y las horas indicadas en el curso. • Los apuntes se revisaran el día del examen, si hacen falta apuntes la calificación del indicador asistencia se irá reduciendo. M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 4|P á gin a

Contenido Presentación del curso ......................................................................................... 2 Temario ................................................................................................................. 2 Bibliografía recomendada .................................................................................... 3 Ponderación de la materia .................................................................................... 4 Reglas del curso.................................................................................................... 4 1.- Números complejos………………………………………………………………....6 1.1- Definición y origen de los Números complejos……………………..……….…....6 1.2- Potencias de i, modulo o valor absoluto de un numero complejo..……….…....9 1.3- Operaciones fundamentales con números complejos…………….……….…..13 M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 5|P á gin a

I.- Números complejos 1.1 Definición y origen de los números complejos. Los números complejos son el siguiente eslabón o paso en la cadena numérica que a través de su historia el hombre pensante ha ido creando, comenzando con los números naturales, continuando con los enteros y así sucesivamente hasta llegar a los complejos, como se describe a continuación. Números naturales: Los números naturales surgieron por la necesidad del hombre de contar inicialmente cosas enteras. El primer sistema de numeración que el hombre inventó fue el de los números naturales, o sea los enteros positivos: N = {1, 2, 3, 4, 5,..., ∞}. Donde N representa al conjunto de todos los números enteros positivos. Resulta elemental que no pudo suceder de otra manera, ya que, por una parte, los demás sistemas de numeración tienen como base a éste o a otros antecesores, pero el sistema de números naturales no tiene antecesor; por otra parte, resulta también muy obvio que lo primero que tuvo necesidad de contar el hombre fueron cosas enteras, como, por ejemplo, cuántas vacas tenía, o cuántos dedos había en su mano, o cuántos hijos tenía, etc. Por esa razón, ya que el invento de estos números se dio en forma natural o espontánea, su sistema ha sido bautizado como el de "los naturales". La primera operación inventada fue la suma. El gran problema del hombre en todas las épocas frente a sus números, o sea con los números hasta entonces conocidos, ha sido que al inventar operaciones con ellos a veces se pueden efectuar y a veces no, lo que indica que la deficiencia está en el sistema de números, no en la operación misma. Cuando el hombre apenas había inventado los números naturales y las operaciones básicas, se topó con que ciertas cuentas no podía efectuarlas porque no había números, dentro de los que conocía, que fueran su solución. Así, por ejemplo, para hacer 3 + 5 no había problema, pues el resultado era uno de los números que conocía, en este caso el 8. De igual forma, para hacer la resta 14 - 10 fácilmente encontraba en el número 4 (que era parte de su numeración) la respuesta. Sin embargo, cuando por primera vez se planteó 2 - 9 se encontró en serios aprietos para dar contestación, pues ninguno de los números que hasta entonces manejaba, eran la solución a esa operación. Ténganse en cuenta que hoy sabemos que 2 − 9 es -7 porque conocemos los números negativos, pero cuando hablamos de que la humanidad apenas iba en los números naturales, ese número negativo no existía, por lo tanto no se podía ni siquiera pensar en él. Inventó entonces el hombre más números: ¿cuáles?, aquellos que solucionaran las restas a las que no podía hallarles respuesta. De manera que a los números conocidos les agregó los negativos llegando históricamente al sistema de los números enteros M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 6|P á gin a

Números enteros: Los números enteros surgieron por la necesidad de y para dar solución a las restas de un número natural menos otro mayor que el primero. El sistema de los números enteros es E= {− ∞,..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,...∞}, donde E representa al conjunto de los números enteros desde menos infinito (− ∞) hasta mas infinito (∞). Con los números enteros ya se podía efectuar cualquier resta, pues ahora 4 - 20 encontraba su solución en el número - 16 ya conocido. Sin embargo, volvieron a aparecer deficiencias al haber operaciones que mientras unas sí podían efectuarse, otras no. Era el caso, por ejemplo, de la división 30 ÷ 5 que tenía solución en el número 6 ya conocido; pero en cambio divisiones del tipo 26 ÷ 7 eran insolubles, ya que ningún número de los conocidos hasta ese momento eran su respuesta. Volvió a repetirse el proceso: aquello era un indicativo de que el sistema de numeración conocido o empleado era deficiente, o sea, le faltaban números. Se inventaron entonces aquellos que dieran respuesta a las divisiones del tipo del ejemplo anterior. Así se llegó al sistema de los números racionales (aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros). De manera que la división 26 ÷ 7 encontró solución. Números racionales: Los números racionales surgieron por la necesidad de y para dar solución a las divisiones de un número entero entre otro entero no submúltiplo del primero. Los números racionales son . Debe entenderse que "inventar números" en este proceso histórico significa -o significóagregarle otros a los ya conocidos, pero nunca eliminar los conocidos para sustituirlos por otros nuevos. Y ese "agregar" fue siempre en función de la operación que no podía dar solución. Algo que no se ha vuelto a mencionar es que junto con los números el hombre fue creando operaciones que realizar con ellos. De manera que al seguir inventando cuentas algún día se le ocurrió la raíz cuadrada. Su definición apareció a partir del inverso de la multiplicación de un número por sí mismo. De manera que si de 6 × 6 obtenía 36, resultaba inicialmente muy simple que la raíz cuadrada de 36 fuese 6. Sin embargo, de manera semejante a las operaciones descritas en los párrafos anteriores, algún día debió preguntarse: ¿Y la raíz cuadrada de 32 cuánto es?. Y no halló respuesta, porque dentro de los números conocidos hasta ese momento (los racionales, o sea los escritos como el cociente dos enteros), no había ninguno que elevado al cuadrado diera 32. Y volvió a repetirse la historia: faltaban números a su sistema conocido. M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 7|P á gin a

Números irracionales: Los números irracionales surgieron por la necesidad de y para dar solución a las raíces no exactas. Inventó ahora los irracionales, entre los que están principalmente todas las raíces (cuadradas, cúbicas, cuartas, etc.) no exactas. Con esos nuevos números ya se tenían respuestas a √17 o bien √88. La unión de los números racionales con los irracionales dio como resultado el sistema de numeración de los números reales, los que representados geométricamente en la recta numérica la ocupaban totalmente, sin dejar ya ningún espacio vacío. Pero nuevamente se cae a lo mismo: al seguir inventando cuentas se llega a que mientras unas sí tienen solución, otras no, lo que significa que el sistema de numeración conocido está incompleto. Por ejemplo, la ecuación de segundo grado x2 − 25 = 0 significa ¿qué numero al cuadrado menos 25 da cero?, la cual tiene fácil solución: x = ±5. Demostración: (5)2 – 25 = 0 (-5)2 – 25 = 0 25-25= 0 25-25= 0 Sin embargo, las hay que carecen de solución en los números reales, como por ejemplo x2 + 25 = 0. Ningún número (real) elevado al cuadrado más 25 da cero, porque dos números positivos sumados jamás dan cero (todo número real elevado al cuadrado es positivo). Debe entenderse que el hecho de que una ecuación del tipo x2 + 25 = 0 carezca de solución, no lo es porque la ecuación en sí misma no la tenga, sino porque no se conocen números que al elevarse al cuadrado y sumarse con 25 den cero. O sea, el problema no radica en la cuenta misma, sino en el sistema de numeración conocido. Faltan números. Esos números que faltan son precisamente los números complejos. Números complejos: Los números complejos surgieron por la necesidad de y para dar solución a las raíces cuadradas negativas. El origen de los números complejos está en la imposibilidad de sacar raíces cuadradas a números negativos dentro del sistema de números hasta entonces conocido, el de los reales. Por lo que continuando con el mismo proceso histórico que ha llevado al hombre a inventar números, la invención de más números a partir de los reales es para darle solución a las raíces cuadradas negativas. En otras palabras, en el sistema de los números complejos ya se pueden obtener raíces cuadradas a números negativos. Todo el problema de obtener un resultado de raíces cuadradas de números negativos se concentra en la raíz cuadrada de menos uno, √−1, como puede verse en los siguientes ejemplos: M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 8|P á gin a

Por esta razón, a √−1 se le llama i (de imaginaria), es decir que i = √−1 De donde se obtienen las siguientes igualdades: Puede verse que a partir de i5 se repiten cíclicamente los 4 valores iniciales de las primeras cuatro potencias de i. Regla para dividir i a cualquier potencia. Hay que dividir la potencia de i por 4, y luego elevamos i al resto de la división. Ejemplo: i322 = i resto de la división = i 2 = -1 ¿Cómo se llego a este resultado? Dividimos la potencia 322 entre 4 Y como vimos anteriormente: M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 9|P á gin a

Por lo tanto La unidad imaginaria, i, es el número que elevado al cuadrado da -1. Una expresión de la forma a + b i, en la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina número complejo. Si escribimos la siguiente ecuación: z=a+bi a es la parte real del número complejo z y b es la parte imaginaria de z. La expresión a + bi recibe el nombre de forma binómica del número complejo z. Si la parte imaginaria es cero, tenemos un número real. z=a+bi z = a + (0) i = a Si la parte real es cero, entonces tenemos un número imaginario puro. z=a+bi z=0+bi=bi Representación grafica de los números complejos. Los números complejos se representan en un plano infinito que llamaremos plano complejo, de modo que la parte real se represente en el eje de abscisas (eje X), llamado EJE REAL, y la parte imaginaria en el eje de ordenadas (eje Y), llamado EJE IMAGINARIO. Ejemplos: Graficar los siguientes números complejos: z 1 = -2 + 3i z 2 = 3 + 2i z 3 = -3 - 2i z 4 = 2 - 3i En el caso de la primera ecuación (z 1 ), graficamos en primer lugar la parte real (-2) en el eje de las X, enseguida graficamos la parte imaginaria (3i) en el eje de las Y, posteriormente interceptamos mediante una línea horizontal y una línea vertical (trazándolas desde los puntos reales e imaginarios de los ejes de la X y de la Y) y el punto M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 10 | P á g i n a

donde se interceptan es la representación grafica del numero complejo, de igual forma se sigue el mismo procedimiento para las ecuaciones z 2 , z 3 y z 4 . Nota: hay que tener en cuenta los signos de la parte real y de la parte imaginaria al momento de graficar, ya que nos indicaran la posición en los cuadrantes del plano complejo que tendrá el número complejo. M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 11 | P á g i n a

Tarea para entregar el lunes 20 de enero a las 10 am. : 1.- Representa los siguientes números en un plano complejo: a) -3i b) 2 - 3i c) -3 + i d) 4 e) -5 f) 4i g) 3 + 4i 2.- En el siguiente plano complejo están graficados varios números complejos representados por una letra; a partir del plano complejo establece las ecuaciones correspondientes: M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 12 | P á g i n a

1.3 Operaciones fundamentales con números complejos. Al igual que el resto de los números (reales, enteros, racionales, etc.), los números complejos poseen cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, división y multiplicación, así que una vez que revisamos que son y como están conformados los números complejos revisemos cada una de estas operaciones. Sean z = a + bi y w = c + di , donde la parte roja representa a la parte real y la parte azul a la parte imaginaria, definimos: SUMA: Para sumar dos o más números complejos se suman las partes real e imaginaria de cada uno de ellos. z = a + bi y w = c + di z + w = (a + bi) + (c + di ) = (a+c) + (bi+di) = (a+c) + (b+d)i Usemos ahora un ejemplo con números: z = 3 - 5i y w = -7 + 8i z + w = (3 - 5i) + (-7 + 8i ) = [3+(-7)] + (-5i+8i) = - 4 + 3i OJO: notaran que en la ecuación z el valor del número imaginario es negativo y en la ecuación w el valor del número real es negativo, por lo tanto se deben de respetar los signos de dichos números al momento de realizar la suma y también hay que tener en cuenta las leyes de los signos. Para la operación de la resta el procedimiento es semejante, la diferencia será obviamente que en vez de sumar se restaran los números reales e imaginarios. z - w = (a + bi) - (c + di ) = (a-c) + (bi-di) = (a-c) + (b-d)i Usemos los mismos valores para ejemplificar esto: z = 3 - 5i y w = -7 + 8i Ejercicio de comprensión: ¿Por qué razón se muestra un signo positivo si la ecuación anterior muestra claramente que es una resta? z - w = (3 - 5i) + (-7 + 8i ) = [3-(-7)] + (-5i - 8i) = 10 - 13i Vean como un simple cambio de signos modifica el resultado, a pesar de usar los mismos valores, por tal motivo hay que recordar las leyes de los signos. MULTIPLICACION: Para multiplicar números complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que i 2 = -1. (z)(w) = (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 13 | P á g i n a

Hay dos formas de realizar una multiplicación de números complejos, revisemos la primera forma, en esta se usara la ecuación tal cual se muestra en la hoja anterior, usemos un ejemplo: z = 3 - 5i y w = -7 + 8i Sustituyendo los datos y resolviendo la ecuación tenemos: (z)(w) = (3 - 5i) (-7 + 8i ) = [(3)(-7) - (-5)(8)] + [(3)(8)+(-5)( -7)]i = 19 + 59i Ahora usemos la otra forma para resolver una multiplicación de números complejos, usemos los mismos valores para demostrar que se llega al mismo resultado. Cada flecha (mostradas de color distinto) representa una multiplicación, los resultados de dicha multiplicación se muestran del mismo color que la flecha, notaran que hay un valor con i2, resultado de multiplicar los dos números imaginarios, un poco mas adelante volveremos a dicho valor. El siguiente paso es reducir la ecuación a su mínima expresión, ¿Cómo?, sumando o restando los términos semejantes; como pueden ver podemos sumar los términos 35i y 24i, con lo cual obtenemos el valor de 59i, el siguiente paso es quitar ese valor de i2, si recuerdan en la definición de la multiplicación se menciono esto “i2 = -1”, por lo tanto donde tenemos i2 lo sustituimos por el valor de -1 (recuerden en todo momento cuidar las leyes de signos), como ahora nos quedo un numero real (40) lo podemos sumar (o restar) del número real que obtuvimos de la multiplicación (-21), quedándonos el mismos resultado que usamos al comienzo de la explicación de la multiplicación. DIVISIÓN: Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo). Antes de pasar a los ejemplos primero identifiquemos quien es el numerador y quien es el denominador. M. en E. IBQ. Erick R. López Almanza erlopez@itesi.edu.mx 14 | P á g i n a

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