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CM - elaborato BELTRAMI DI MARCO

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Published on February 22, 2014

Author: franco_bontempi_org_didattica

Source: slideshare.net

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Elaborato corso di Costruzioni Metalliche
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE CORSO DI COSTRUZIONI METALLICHE A.A. 2012 - 2013 CONCETTI DI PROGETTAZIONE DI STRUTTURE IN ACCIAIO STUDENTI: Enrico Beltrami Nico Di Marco DOCENTE: Prof. Ing. Franco Bontempi ASSISTENTI: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati

SOMMARIO 1) Introduzione ....................................................................................................................... 7 2) Basi di Comportamento Strutturale .................................................................................... 9 2.1) Concetti di base .............................................................................................................. 9 2.1.1) Semplicità ed affidabilità strutturali......................................................................... 9 2.1.2) Comportamenti elementari ..................................................................................... 9 2.1.3) Percorso dei carichi ................................................................................................12 2.1.4) Conclusioni ............................................................................................................12 2.2) Performance strutturali .................................................................................................14 2.2.1) Stato Limite di Esercizio..........................................................................................14 2.2.2) Stato Limite Ultimo ................................................................................................16 2.2.3) Comportamento ciclico ..........................................................................................18 2.3) 3) Shear Lag .......................................................................................................................20 Ottimizzazione Strutturale .................................................................................................23 3.1) Ottimizzazione dimensionale (sizing) .............................................................................23 3.2) Ottimizzazione topologica ..............................................................................................24 3.3) Ottimizzazione morfologica ...........................................................................................25 3.4) Introduzione sottostrutture: gli OUTRIGGERS.................................................................25 4) Concezione Strutturale ......................................................................................................27 4.1) Strutture interne ............................................................................................................29 4.1.1) Moment Resistant Frames (MRF) ...........................................................................29 4.1.2) Concentric Braced Frames (CBF) .............................................................................31 4.1.3) Eccentric Braced Frames (EBF) ...............................................................................33 4.1.4) Pareti di taglio ........................................................................................................34 4.1.5) Sistema ibrido ........................................................................................................34 4.1.6) Outrigger ...............................................................................................................35 4.2) Strutture esterne ...........................................................................................................36 4.2.1) Soluzioni tubolari ...................................................................................................37 Pagina | 1

4.2.2) Traliccio spaziale .................................................................................................... 39 4.2.3) Super telaio ........................................................................................................... 40 4.2.4) Esoscheletro .......................................................................................................... 40 5) Zone Nodali ....................................................................................................................... 41 6) Teoria della plasticità......................................................................................................... 45 6.1) Livello di materiale ........................................................................................................ 46 6.2) Livello di sezione – elemento ......................................................................................... 52 6.2.1) Elementi semplicemente inflessi: teoria elasto-plastica della trave inflessa ............ 52 6.2.2) Elementi presso-inflessi ......................................................................................... 59 6.2.3) Elementi soggetti a flessione e taglio ..................................................................... 62 6.3) Livello di sistema strutturale .......................................................................................... 63 6.3.1) Iperstaticità............................................................................................................ 63 6.3.2) Distribuzione dei carichi ......................................................................................... 63 6.3.3) Distribuzione delle rigidezze................................................................................... 64 6.3.4) Ridistribuzione delle energie immesse ................................................................... 64 6.3.5) Meccanismi di collasso locale e globale .................................................................. 66 6.4) 7) Comportamento ciclico di una sezione inflessa .............................................................. 66 Analisi plastica ................................................................................................................... 69 7.1) Metodo incrementale (push-over) ................................................................................. 69 7.2) Metodo semi-analitico ................................................................................................... 72 7.3) Analisi limite .................................................................................................................. 75 7.3.1) Teorema statico ..................................................................................................... 75 7.3.2) Teorema cinematico .............................................................................................. 77 7.3.3) Teorema di unicità ................................................................................................. 78 7.3.4) Spazio delle azioni esterne ..................................................................................... 79 8) Progettazione in zona sismica ............................................................................................ 81 8.1) Metodo semplificato di progetto ................................................................................... 82 8.1.1) Fattore di struttura ................................................................................................ 82 8.1.2) Gerarchia delle resistenze ...................................................................................... 87 Pagina | 2

9) Instabilità ..........................................................................................................................89 9.1) Trattazione ....................................................................................................................89 9.1.1) Formulazione continua...........................................................................................90 9.1.2) Formulazione energetica ........................................................................................91 9.2) 10) Interazione tra instabilità e plasticità .............................................................................92 Fatica.................................................................................................................................93 10.1) Curve di Wöhler e Metodo del serbatoio ....................................................................94 Pagina | 3

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Corso di COSTRUZIONI METALLICHE Prof. Franco Bontempi Studenti: Enrico Beltrami Nico Di Marco Pagina | 5

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1) INTRODUZIONE Nel presente lavoro si vogliono affrontare i concetti e alcune problematiche alla base della progettazione delle strutture in acciaio, riportando inoltre alcuni approfondimenti su argomenti specifici, talvolta supportati da modellazioni agli elementi finiti. Lo scopo è quello di presentare una “guida ai concetti”, sintetica ed esaustiva. Risulta utile far riferimento ad una mappa concettuale che presenta il flusso di lavoro da seguire nel concepimento e nella successiva progettazione di una struttura in acciaio. I processi di analisi e di sintesi strutturale sono due processi concettualmente distinti. Mentre per il primo ci si affida a modelli di calcolo più o meno complessi e si segue un processo lineare, utilizzando in ogni step successivo i dati ottenuti nello step precedente, il secondo è un processo iterativo, nel quale entra direttamente in gioco la capacità del progettista di fornire soluzioni adeguate alle necessità: si parla di ottimizzazione strutturale. Basandosi sulla conoscenza dei concetti base alla base del comportamento strutturale, il progettista è in grado di prevedere diverse tipologie di intervento. Pagina | 7

A monte di questo lavoro di progressiva ottimizzazione, vi è una fase di concezione strutturale, che delinea le linee guida all’interno delle quali dovrà muoversi l’intero processo, definendo lo schema strutturale in grado di sopportare i carichi. Le due fasi sono comunque fortemente interconnesse, poiché in entrambi i processi si fa riferimento alle medesime conoscenze ed agli stessi comportamenti elementari alla base del comportamento di una struttura. Con riferimento dal digramma di flusso precedentemente riportato, meritano un approfondimento almeno due tra i blocchi presenti. In particolare con dati del problema strutturale si intende l’insieme delle informazioni che concorrono nel definire il sistema strutturale e che risultano indispensabili per affrontare la fase di calcolo. Per quanto riguarda la modifica della soluzione di tentativo, questa si può esplicare intervenendo sul complesso dei dati, a livello di dominio strutturale o di condizioni al contorno, ovvero sui limiti di accettabilità; quest’ultima possibilità comporta un coinvolgimento dell’intero team di lavoro, dagli architetti ai committenti dell’opera. In generale, la soluzione del problema strutturale non è detto che esista e, anche quando esistesse, non necessariamente è unica. Pagina | 8

2) BASI DI COMPORTAMENTO STRUTTURALE Per affrontare qualunque attività di concezione ed ottimizzazione strutturale è necessario avere chiari alcuni concetti, derivanti dalla conoscenza degli aspetti strutturali di base, dei comportamenti e delle performance delle strutture. Tali conoscenze costituiscono la base comune per un corretto sviluppo delle successive attività di progettazione, nel senso più ampio del termine. Questo studio viene articolato in due parti, introducendo dapprima i concetti di base e trattando in seguito le performance strutturali richieste. Si riporta inoltre un comportamento strutturale tipico degli edifici alti, lo shear lag. 2.1) Concetti di base Le nozioni sulle quali si vuole porre l’accento sono: 1. Semplicità ed affidabilità strutturali; 2. Comportamenti elementari; 3. Percorso dei carichi. 2.1.1) Semplicità ed affidabilità strutturali Il concepimento di un sistema strutturale adatto a sopportare i carichi verticali ed orizzontali non è solitamente un’operazione semplice. Per far ciò ci si può riferire a comportamenti elementari noti e a schemi di comprovata affidabilità, ovvero prendere spunto dalle forme naturali, evolutesi per sostenere le medesime azioni. Si parla in quest’ultimo caso di evolutionary optimization. In questo processo si deve comunque tenere presente che un eccessivo incremento delle parti strutturali produce una diminuzione dell’affidabilità della struttura stessa. Si dimostra infatti che all’aumentare del numero degli elementi strutturali, aumenta la probabilità che qualcuna di questi collassi. 2.1.2) Comportamenti elementari Si trattano brevemente i diversi tipi di comportamento strutturale coinvolti per resistere ad azioni orizzontali e verticali, seguendo lo schema logico riportato nel diagramma. Pagina | 9

o Azioni verticali Il sistema resistente alle azioni verticali raccoglie i carichi agenti e li trasferisce alle strutture di fondazione. Risultano quindi coinvolti due comportamenti elementari: Distribuzione tensioni Elementi strutturali coinvolti 1D 2D Tipo di comportamento Funzione strutturale FLESSIONALE raccolta carichi Travi ASSIALE trasferimento sollecitazioni Colonne Cavi o funi Comportamento SLE SLU Piastre flessibile duttile Lastre rigido fragile Per quanto riguarda il comportamento assiale è necessario distinguere le sollecitazioni di trazione e di compressione. Nel primo caso è possibile infatti impiegare elementi strutturali quali cavi o funi, non resistenti a compressione ma di proprietà meccaniche decisamente migliori; nel caso di aste compresse si deve invece considerare la possibilità di fenomeni di instabilità. Un esempio pratico permette di evidenziare un ulteriore aspetto. Consideriamo una massa, vincolata ad un supporto rigido per mezzo di un numero variabile di bielle, sollecitate con sforzi assiali di trazione o di compressione. (a) Aste tese Nel caso (a.1), l’asta, di area A, è sollecitata da uno sforzo di trazione N dovuto al peso proprio della massa, che induce nell’elemento uno stato di sollecitazione ⁄ . È possibile disporre un numero maggiore di elementi, in modo da aumentare la robustezza del sistema, ognuno dei quali potrà avere un’area della sezione trasversale pari ad ⁄ , come mostrato in figura (a.2). Risulta quindi vantaggioso suddividere la trazione in più elementi, incrementando la robustezza della struttura. Pagina | 10

(b) Aste compresse Nel caso di assenza di instabilità, le due soluzioni con aste tese o compresse, sarebbero del tutto identiche; tuttavia quando le aste sono compresse, si deve considerare la possibilità che le aste si instabilizzino. Consideriamo ancora i due casi, con la massa sostenuta da un unico elemento di area A o da tre aste ognuna di area ⁄ , e calcoliamo il momento d’inerzia di ogni asta ed il relativo carico critico. Le grandezze calcolate sono riferite al singolo elemento compresso. carico critico euleriano Schema (b.1) – 1 elemento (b.2) – 3 elementi Area elemento Momento d’inerzia ( Carico critico euleriano ( ) ( ) ( ) ( ) [ ) [ ] ] Nel caso di compressione è quindi nocivo suddividere l’elemento in più parti, poiché elementi più piccoli sono caratterizzati da un carico critico nettamente minore (funzione del cubo del lato). Si cerca quindi di convogliare la compressione in pochi elementi di dimensioni maggiori. o Azioni orizzontali Il comportamento di una struttura sotto carichi orizzontali può essere di tipo flessionale o tagliante. Nel primo caso il comportamento della struttura è quello di una mensola incastrata alla base, nella quale vale la teoria di Bernoulli-Navier e si ipotizza che le sezioni ruotino restando piane. Nel secondo caso invece non sono trascurabili gli scorrimenti dovuti al taglio (teoria della trave di Timoshenko), le sezioni restano rettilinee, ma non più perpendicolari alla linea d’asse; il comportamento è quello di un telaio shear-type. Pagina | 11

I due comportamenti presentati rappresentano le due situazioni estreme di edifici con comportamento flessionale puro e comportamento tagliante puro. In questi casi si osserva che: comportamento flessionale puro più flessibile in testa più rigido alla base comportamento tagliante puro più rigido in testa più flessibile alla base È possibile accoppiare i due comportamenti, pervenendo ad uno schema ibrido in cui si sfrutti la rigidezza del comportamento flessionale ai piani bassi e la rigidezza del comportamento tagliante ai piani alti. Si presenterà questa possibilità in seguito, parlando di sistemi ibridi. 2.1.3) Percorso dei carichi Il percorso dei carichi all’interno di una struttura può essere di vario tipo, coinvolgendo diversi elementi strutturali. Una regola generale suggerisce di limitare tale percorso, rendendo più immediata e diretta possibile la trasmissione del carico alle strutture di fondazione. 2.1.4) Conclusioni Quelli presentati sono i concetti fondamentali di cui tener conto nel processo di progettazione di una struttura, in particolare di una struttura in acciaio. Tali requisiti posso tuttavia condurre ad esigenze di progettazione tra di loro contrastanti: è quindi necessario valutare il caso in esame pesando ogni esigenza in funzione degli scopi cui si intende pervenire. Alla pagina seguente si propone un esempio. Pagina | 12

Esempio Consideriamo due possibili schemi strutturali per sopportare i carichi verticali:   Schema (a): carichi raccolti da elementi orizzontali inflessi e trasferiti a terra direttamente mediante elementi verticali compressi; Schema (b): carichi raccolti da elementi orizzontali inflessi, trasferiti ad elementi verticali tesi e, attraverso una struttura a traliccio, trasmessi ad un nucleo centrale compresso. Analizzando il comportamento delle due strutture mediante i criteri precedentemente illustrati possiamo delineare vantaggi e svantaggi di entrambe: Schema Vantaggi Svantaggi Percorso dei carichi più breve (a) (b) Instabilità membrature compresse Semplicità strutturale   affidabilità Elementi tesi: assenza instabilità  elementi più snelli  suddivisione della sollecitazione in più parti Elementi compressi:  concentrazione compressione Percorso dei carichi più lungo Struttura complessa  minore affidabilità Maggiore sensibilità al danneggiamento  propagazione del collasso Si è accennato alla sensibilità al danneggiamento nelle strutture con schema di tipo (b). Ciò deriva dal fatto che, nel caso di collasso di un elemento verticale teso, in particolare se di bordo, la parte di struttura al di sotto di esso perde la sospensione e il collasso si propaga. Questo comportamento può essere corretto posizionando diversi outrigger, che permettono di suddividere adeguatamente la struttura. Pagina | 13

2.2) Performance strutturali Nelle fasi di concezione e sintesi strutturale si devono considerare i requisiti che si intende soddisfare. Consideriamo una generica struttura soggetta ad una forza orizzontale H in sommità e misuriamo lo spostamento  in testa. Possiamo tracciare su un piano ,H una curva che rappresenti il comportamento della struttura. I requisiti legati al comportamento in esercizio e al comportamento ultimo dell’opera sono differenti e saranno affrontati separatamente. 2.2.1) Stato Limite di Esercizio Nello Stato Limite di Esercizio il requisito principale è quello di garantire una buona rigidezza della struttura al fine di assicurare un adeguato confort agli utenti. Quest’obiettivo può essere raggiunto controllando i diversi parametri riportati nel diagramma seguente. Pagina | 14

o Spostamenti: indipendentemente dalla tipologia, per ottenere una rigidezza adeguata occorre limitare gli spostamenti; spostamenti   rigidezza  o Frequenze: la rigidezza della struttura o di una sua parte possono essere controllate monitorando una caratteristica dinamica come la frequenza di vibrazione (o il suo inverso, il periodo proprio di vibrazione ⁄ ); in particolare per garantire una rigidezza adeguata occorre che la frequenza sia elevata; frequenza   rigidezza  o Tensioni: modo indiretto per assicurare una adeguata rigidezza è quello di limitare lo stato tensionale nelle membrature e negli orizzontamenti; difatti: tensioni   deformazioni   spostamenti   rigidezza  Si nota come il controllo delle frequenze sia uno strumento più potente e versatile, poiché permette di superare problemi specifici ed ambiguità che potrebbero presentarsi controllando direttamente gli spostamenti ed è più affidabile del controllo indiretto delle tensioni. La frequenza propria di vibrazione è determinata effettuando un’analisi modale, ovvero risolvendo un problema agli autovalori. Una volta individuato il parametro dimensionante nelle condizioni di esercizio, ci si pone il problema di come raggiungere tale obiettivo. Ricordando che la rigidezza assiale è maggiore della rigidezza flessionale, si cerca di coinvolgere elementi che siano sollecitati da azioni di compressione o trazione introducendo elementi diagonali nei telai. L’introduzione di elementi diagonali permette di ancorare direttamente il nodo ad un vincolo esterno, individuando un sistema reticolare nel quale il comportamento meccanico coinvolto è di tipo assiale (concetto di triangolazione). Pagina | 15

Introducendo due diagonali, si deve considerare la possibilità che quello compresso sia soggetto ad instabilità. Se i diagonali sono dimensionati in modo da resistere anche alle sollecitazioni di compressione si può ulteriormente ridurre lo spostamento f, realizzando una doppia triangolazione. Maglie triangolari possono essere individuate con diverse disposizioni degli elementi diagonali. 2.2.2) Stato Limite Ultimo Nelle condizioni ultime i requisiti da tenere in considerazione sono molteplici: Si trascura in questa sede il primo punto. o Instabilità Il fenomeno dell’instabilità, per quanto riguardi condizioni ultime, è determinata da grandezze proprie del comportamento in esercizio (rigidezza flessionale membrature) e non da caratteristiche ultime come la resistenza del materiale. Dalla definizione del carico critico euleriano si evince come la stabilità della struttura sia direttamente proporzionale alla rigidezza della stessa, sia in termini di rigidezza della membratura, sia in funzione delle condizioni di vincolo (attraverso la lunghezza libera di inflessione). Si conclude quindi che più la struttura è rigida o è rigidamente vincolata, più il carico critico è alto e la struttura è stabile. Pagina | 16

o Duttilità Con il termine duttilità si indica la capacità di un corpo di deformarsi plasticamente prima di arrivare a rottura. Le proprietà duttili del materiale possono essere studiate e definite in campo statico o in termini ciclici; per la trattazione del comportamento ciclico si rimanda ad un successivo paragrafo. In campo statico, ovvero fin tanto che la forza applicata cresce in modo monotono, si possono fornire diverse definizioni di duttilità. In particolare la si definisce in termini cinematici ed energetici con riferimento al comportamento di un elemento teso. (a) Considerazioni CINEMATICHE La duttilità è definita in questo caso come il rapporto tra lo spostamento ultimo e quello relativo alla fine del tratto elastico. Nel caso in cui nella curva forza-spostamento non sia facilmente individuabile la fine del ramo elastico, si procede ad un’approssimazione della curva stessa con una bilatera. (b) Considerazioni ENERGETICHE Facendo riferimento a criteri energetici, si può definire la duttilità come il rapporto tra il lavoro necessario ad arrivare fino a rottura e il lavoro elastico (ovvero l’energia elastica immagazzinata). Pagina | 17

La duttilità, a differenza dell’instabilità, risulta avere una correlazione negativa con la rigidezza. Difatti più la struttura è rigida meno è duttile, ovvero il lavoro che devo spendere per portarla a collasso è più basso. Quindi, riassumendo: instabilità k   Pcr  duttilità k     2.2.3) Comportamento ciclico Consideriamo ora il medesimo schema di trave appoggiata, soggetta questa volta ad una forza o ad uno spostamento ciclici. Il comportamento ciclico è definito da due aspetti: il profilo della risposta strutturale (skyline) e la modalità di scarico. o Profilo della risposta strutturale Il profilo è ottenuto sottoponendo il sistema ad un carico monotono crescente, positivo o negativo. Nel caso dell’acciaio si possono considerare profili di tipo elastico perfettamente plastico o elasto-plastico incrudente. Mentre la pendenza del ramo elastico è definita dal modulo elastico E, l’eventuale incrudimento assume valori . Pagina | 18

o Modalità di scarico Nei materiali metallici, ed in particolare per l’acciaio, si assume che il ramo che si percorre nella fase di scarico sia caratterizzato da una pendenza pari a quella del materiale vergine (E). Si possono individuare due modelli di comportamento: (a) Incrudimento di tipo CINEMATICO: la distanza tra i punti di snervamento in direzioni di carico opposte rimane costante; si segue quindi un comportamento di carico e scarico sempre con pendenza E all’interno del range definito da . Questo modello simula con sufficiente approssimazione il comportamento degli acciai ed in particolare coglie bene l’effetto Bauschinger. (b) Incrudimento di tipo ISOTROPO: modello appropriato per gli acciai ad alta resistenza, lavorati a freddo (trafilati), prevede un incremento delle caratteristiche meccaniche del materiale di ciclo in ciclo. Limitandoci al tratto di ciclo riportato in figura (b.1), si osserva che lo snervamento a compressione è raggiunto per il valore di tensione massimo raggiunto nella direzione di carico opposta. Gli acciai il cui comportamento è descritto da questo modello generalmente sopportano un numero minore di cicli. Per entrambi i casi perde di significato la definizione cinematica di duttilità, poiché non è possibile individuare spostamenti ultimi, mentre resta sempre valida la definizione energetica, legata all’area compresa nel ciclo. Pagina | 19

2.3) Shear Lag Nello studio delle strutture si fa sovente riferimento a modelli semplificati per interpretare e descrivere il comportamento strutturale, tanto a livello di elemento (locale) che a livello di struttura (globale). Uno dei modelli più semplici e potenti è quello di considerare, in un elemento inflesso, che una generica sezione ruoti restando piana e perpendicolare all’asse dell’elemento. Tale ipotesi può essere applicata anche ad un’intera struttura, a patto però che tale sezione piana sia materializzata mediante l’inserimento di outrigger, dei quali si dirà in seguito. Diversamente infatti, tale ipotesi non risulta soddisfatta. Consideriamo una struttura soggetta ad un’azione orizzontale che viene sopportata da più colonne che lavorano in parallelo. Tra queste le colonne di spigolo, essendo le più rigide, assorbono una aliquota di carico maggiore: la deformazione risulta esaltata nelle colonne di spigolo e l’ipotesi si sezione che ruota restando piana decade. Questo fenomeno, che tiene conto della deformabilità delle sezioni trasversali, è noto come shear lag. Pagina | 20

Possiamo spiegare questo comportamento con riferimento ad una trave a doppio T incastrata ad un estremo e sollecitata con forze concentrate all’altro estremo come in figura. Si considera un profilo sottile, per il quale la generica sezione non ruota restando piana. Si nota come i punti in cui sono applicate le forze concentrate risentono maggiormente del carico, mentre il punto centrale subisce uno spostamento minore: la deformazione non risulta costante sullo spessore (in figura è rappresentata mediante una spezzata, a rigore l’andamento sarebbe continuo). Il trasferimento del carico alle fibre interne avviene per taglio (da cui la definizione shear); tali fibre, come detto, ne risentono con un certo ritardo (lag). Pagina | 21

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3) OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE Il processo di progettazione di una struttura o di un oggetto è un insieme di operazioni che collegano la fase di concezione a quella di realizzazione del prodotto. In questa fase assumo rilevanza i processi di ottimizzazione, che consentono la ricerca della migliore configurazione, tra una serie di configurazioni ammissibili, in funzione delle esigenze progettuali. Si possono individuare diversi livelli di ottimizzazione, propri di diverse fasi o di diverse esigenze progettuali. Inoltre devono essere presi in considerazione gli aspetti relativi ai costi di realizzazione, ovvero ai profitti, che spesso possono condizionare ed indirizzare le scelte progettuali. Nella definizione dell’obiettivo del processo di ottimizzazione di devono quindi contemplare le seguenti proprietà strutturali:    Economicità: costo dei materiali, costo di fabbricazione, costo di manutenzione e utilizzo; Proprietà meccaniche: globali e locali; Esigenze estetiche. 3.1) Ottimizzazione dimensionale (sizing) L’ottimizzazione dimensionale consiste nella determinazione delle sezioni ottimali delle membrature, una volta che siano state individuate configurazione, forma, condizioni di carico e di vincolo della struttura. Si prenda ad esempio il dimensionamento di una delle colonne di un edificio in acciaio. L’obiettivo è quello di realizzare un elemento in grado di assicurare una adeguata resistenza nei confronti delle sollecitazioni cui è sottoposto, senza però porre in opera materiale in eccesso. Tale fine è raggiunto rastremando la sezione della colonna, impiegando profili più grandi in basso, dove le sollecitazioni sono maggiori, e profili più snelli ai piani alti, dove la colonna è meno sollecitata. Idealizzando tale concetto si potrebbe pensare ad una colonna che assicuri in ogni sezione solamente la quantità di materiale strettamente necessario. Tuttavia le colonne sono realizzate impiegando profili commerciali, ed ad ogni cambiamento di sezione corrisponde la realizzazione di una unione. Minimizzando il costo relativo al materiale si incrementa il costo relativo alla realizzazione delle giunzioni, che presentano un onere non trascurabile. Rappresentando tali funzioni su un medesimo piano cartesiano, si può determinare una funzione somma Costo Totale, sulla quale individuare il punto di minimo, che consente di ottimizzare il dimensionamento. Pagina | 23

La struttura conserva quindi una topologia fissata, ovvero i percorsi dei carichi rimangono i medesimi, indipendentemente dalle dimensioni degli elementi. 3.2) Ottimizzazione topologica Per ottimizzazione topologica si intende un processo che consente, una volta definiti dominio strutturale, condizioni di carico e condizioni di vincolo, di determinare il grado di connessione e la configurazione strutturale. Per definire il grado di connessione (o grado di ottimizzazione topologica) ci si riferisce al concetto di classe topologica: una classe topologica è detta n-volte connessa se si rendono necessari n-1 tagli per continuare a collegare due punti dello stesso dominio, trasformando un dato dominio molteplicemente connesso in un altro semplicemente connesso. Classe topologica Dominio e tagli Grado di connessione Dominio semplicemente connesso 1 Dominio doppiamente connesso 2 Dominio tre volte connesso 3 Avendo definito il grado di connessione come la capacità di unire due punti di un dominio seguendo percorsi diversi (ovvero la possibilità di unire due punti del dominio a seguito di un certo numero di tagli), risulta intuitivo giungere alla conclusione che l’ottimizzazione topologica, applicata ad una struttura, modifica il percorso dei carichi. Nel processo di ottimizzazione topologica si inseriscono e si eliminano elementi, cambiando le connessioni tra varie parti della struttura, in modo che il carico possa fluire seguendo percorsi differenti. Pagina | 24

3.3) Ottimizzazione morfologica Quest’ultimo livello di ottimizzazione riguarda la forma dell’oggetto ed è il più generale tra i livelli di ottimizzazione finora presentati e li coinvolge entrambi. L’ottimizzazione morfologica consente infatti di intervenire sulla disposizione degli elementi e sullo spessore degli stessi (rispettivamente ottimozzazione topologica e sizing). 3.4) Introduzione sottostrutture: gli OUTRIGGERS Il problema della scelta dello schema resistente i carichi è affrontato nel capitolo relativo alla concezione strutturale; si vuole fornire in questo paragrafo un esempio di ottimizzazione del comportamento strutturale. A tal fine in alcuni casi può risultare conveniente introdurre sottostrutture, come nel caso degli ouriggers, ovvero lame di controvento orizzontali che ripristinano la planarità della sezione. In questa sede si vuole presentare la ricerca della posizione ottimale di tali sottostrutture al fine di limitare lo spostamento della struttura in sommità. Si considera un generico edificio alto in acciaio (50 piani) e si sceglie inizialmente di posizionare un unico outrigger. Si nota come l’effetto di questa sottostruttura dipenda dalla posizione di inserimento dalla stessa; in particolare l’efficienza maggiore è raggiunta posizionando l’outrigger intorno al 32° piano. Non sembra invece essere conveniente introdurre un secondo outrigger, almeno nella configurazione presentata. Infatti, a fronte di un raddoppio dei costi, si ottiene una modesta diminuzione dello spostamento in sommità della struttura. Pagina | 25

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4) CONCEZIONE STRUTTURALE Per la trattazione degli aspetti relativi alla concezione del sistema resistente i carichi si segue la classificazione presentata nell’articolo “Structural Developments in Tall Buildings: Current Trends and Future Prospects” (Mir M. Ali e Kyoung Sun Moon). La scelta di uno schema strutturale dipende da molteplici fattori, dalle esigenze architettoniche e ingegneristiche a quelle economiche; si ritiene pertanto conveniente presentare e commentare le diverse soluzioni adottabili. A partire dalla fine del 1800 lo sviluppo economico ed industriale ha portato all’edificazione di edifici adibiti ad uso uffici. L’impiego dell’acciaio in campo strutturale ha peraltro permesso di realizzare edifici alti minimizzando le dimensioni delle membrature e garantendo pertanto ampi spazi interni. Nella maggior parte delle strutture in questo periodo sono impiegati sistemi di telai rigidi con controventature. Per assistere all’introduzione di innovazioni tecnologiche che permettano un’ottimizzazione del materiale strutturale impiegato e il raggiungimento di altezze più elevate, si deve aspettare la seconda metà del 1900, quando, sotto la spinta di un nuovo sviluppo economico e tecnologico, si introducono innovazioni quali l’inserimento di sottostrutture orizzontali (outriggers), forme tubolari resistenti ai carichi, strutture artificialmente smorzate o miste acciaio-calcestruzzo. La maggiore conoscenza della meccanica dei materiali e del comportamento delle membrature e il progressivo affermarsi del calcolo automatico, hanno permesso di sviluppare un approccio globale all’analisi strutturale, con simulazioni tridimensionali piuttosto che lo studio di sistemi piani. Negli edifici multipiano, il parametro che controlla il progetto è solitamente l’azione laterale del vento; ciò dipende dal fatto che quando l’altezza della struttura supera i dieci piani lo spostamento laterale diventa importante e la rigidezza, più che la resistenza, assume carattere vincolante. L’ingegnere bengalese Fazlur Khan dimostrò che aumentare l’altezza della struttura produce un aumento di materiale impiegato per resistere ai carichi orizzontali maggiore rispetto all’incremento di materiale necessario per sopportare i carichi verticali. Egli chiamò la differenza tra queste due quantità di materiale “structural height premium” ed osservò come tale scarto fosse differente per ogni altezza prevista per l’edificio. Pagina | 27

Lo stesso Khan riconobbe quindi la necessità di sviluppare schemi strutturali adeguati a soddisfare i requisiti propri di ogni range di altezza raggiunta; nel 1969 classificò quindi i sistemi strutturali di edifici alti in funzione della loro altezza e con riferimento alla loro efficienza. Si riporta un grafico relativo alle strutture in acciaio. I sistemi strutturali possono essere suddivisi in base alla distribuzione dei componenti del sistema resistente primario ai carichi orizzontali. In quest’ottica si distinguono strutture interne, nella quali la maggior parte del sistema resistente è posizionata all’interno della struttura, e strutture esterne, nella quali il sistema resistente è dislocato lungo il perimetro dell’edificio o addirittura all’esterno della struttura. Pagina | 28

4.1) Strutture interne 4.1.1) Moment Resistant Frames (MRF) Sono i telai con comportamento flessionale, nei quali travi e colonne sono rigidamente collegate tra di loro, in modo da ripristinare la continuità flessionale. Difatti resistono alla azioni orizzontali principalmente mediante la rigidezza flessionale delle membrature. Pagina | 29

Consideriamo una mensola, la cui deformabilità sia tutta concentrata in un concio prossimo all’incastro, mentre il resto sia rigido. Si nota come gli spostamenti dovuti ad una deformazione flessionale del concio si esaltino al crescere della distanza dal concio stesso. Si deduce che il comportamento flessionale non sia particolarmente rigido. Le membrature soggette a flessione, a fronte di una scarsa rigidezza, offrono una buona duttilità, sia in termini monotoni che ciclici. Ciò dipende tuttavia dalle caratteristiche di duttilità della sezione degli elementi. Possiamo classificare le sezioni delle membrature in acciaio in quattro classi, in funzione della zona in cui queste collassano (presentando una brusca caduta di resistenza in un piano momento-curvatura normalizzati). Classe I duttile Classe II duttile, impiegabile con limitazioni Classe III non duttili Classe IV non duttili, neanche in campo statico Pagina | 30

I telai con comportamento flessionale presentano quindi: MRF rigidezza K (SLE) Duttilità  (SLU)   4.1.2) Concentric Braced Frames (CBF) L’introduzione di controventi concentrici e nodi che non trasferiscano momento flettente permette di realizzare strutture reticolari che resistono ai carichi laterali principalmente attraverso la rigidezza assiale delle membrature. Considerando la medesima mensola soggetta ad un’azione assiale, vediamo come lo spostamento della parte rigida sia uguale alla deformazione del concio. A parità di carico P, coinvolgendo un comportamento assiale si ottengono spostamenti ridotti rispetto al caso flessionale; conseguentemente la rigidezza assiale risulta essere maggiore. Per quanto riguarda il comportamento ultimo, è necessario distinguere una sollecitazione assiale monotona crescente da una storia di carico ciclica (propria peraltro di un elemento diagonale in un sistema CBF). Mentre nel primo caso il materiale assicura un comportamento duttile, nel secondo si ha un rapido deterioramento dello stesso. Per studiare il comportamento ciclico del materiale si considera un elemento soggetto ad una prova sperimentale a controllo di spostamenti assiali. Si riportano la storia di spostamenti imposta al sistema e si rappresentano i valori delle forze assiali misurate. I risultati sono riportati su un piano Forza – Spostamento. Pagina | 31

tratto OA A tratto AB B tratto BC C tratto CD D tratto DE E tratto EF F Comportamento elastico lineare Snervamento del materiale Comportamento plastico perfetto: scorrimento a forza costante Termina la fase di carico, inizia lo scarico Scarico, stessa pendenza del ramo di carico, recupero la deformazione elastica Forza nulla, spostamento plastico residuo (allungamento) Compressione nell’asta, ma spostamenti ancora positivi Si è riportata l’asta alla sua configurazione iniziale; stato caratterizzato da tensioni di compressione non nulle per via dell’allungamento plastico subito nella fase di trazione Compressione, parte elastica Insorgono fenomeni di instabilità Asta instabilizzata, formazione di una cerniera plastica (kink) Termina la fase di compressione, si ricomincia a allungare l’asta  Tratto F   Seguo un percorso rettilineo con pendenza minore rispetto al ramo elastico iniziale, la rigidezza è minore; Per la presenza della cerniera plastica precedentemente formatasi non si ha più una distribuzione uniforme di sforzi: anche la soglia in corrispondenza della quale entro nuovamente in campo plastico è più bassa, la resistenza è minore. Se rappresentiamo un certo numero di cicli notiamo come questa combinazione tra plasticità ed instabilità conduca rapidamente ad una notevole perdita di rigidezza e resistenza del sistema. Quando è coinvolto Il comportamento assiale delle membrature, il sistema strutturale presenta quindi le caratteristiche: CBF rigidezza K (SLE) Duttilità  (SLU)   Pagina | 32

o Soluzioni progettuali Possibili soluzioni progettuali per di ovviare al problema dell’instabilità dei diagonali (ovvero al degrado che ne consegue) possono essere:   Aumento sezione dei diagonali; Contenimento dell’instabilità. È senz’altro possibile aumentare la dimensione dei controventi in modo che questi non si instabilizzino affatto. Tuttavia, in questo modo tali membrature rimarrebbero in campo elastico, alterando il comportamento della struttura in quanto provvedendo alla dissipazione di energia. Ciò si riflette inoltre in una diminuzione del fattore di struttura e quindi in un aumento dell’azione sismica. Viceversa, è possibile contenere l’instabilità dei diagonali all’interno di una camicia, nella quale si possano formare tanti ondeggiamenti, cui corrisponde un incremento del carico critico euleriano. Confinando l’instabilità si riesce ad avere un comportamento abbastanza duttile, evitando inoltre la formazione di plasticizzazioni localizzate (kink). 4.1.3) Eccentric Braced Frames (EBF) Posizionando un diagonale eccentrico che insista sul traverso e non direttamente sul nodo, si possono cogliere i benefici di entrambi i sistemi MRF e CBF, realizzando una struttura reticolare imperfetta, che introduca perturbazioni flessionali che migliorano il comportamento ciclico del telaio.   Comportamento in campo lineare (SLE) molto simile a quello delle strutture reticolari, assicura una buona rigidezza; Concentrazione negli elementi di tipo link del comportamento duttile sotto carico ciclico (SLU), concentrando le plasticizzazioni e lasciando il resto della struttura in campo elastico lineare. In funzione dei rapporti geometrici tra altezza e lunghezza dell’elemento e degli spessori di anima e piattabande della trave, si possono distinguere elementi caratterizzati da due diversi comportamenti: (a) Link flessionali o link lunghi: l’elemento è sottoposto ad un regime tensionale flessionale, il comportamento legato al momento è preponderante; (b) Link taglianti o link corti: elemento tozzo, il regime tensionale preponderante è quello tagliante. Pagina | 33

Possiamo calibrare i momenti secondari che si sviluppano in modo da ottenere una buona duttilità regolando l’inclinazione del diagonale, ovvero la lunghezza dell’elemento link. L’introduzione di questo sistema consente di assorbire in modo proficuo le azioni cicliche (strutture in zona sismica) e consente una agevole manutenzione. EBF rigidezza K (SLE) Duttilità  (SLU)   4.1.4) Pareti di taglio Sono pareti in calcestruzzo armato e possono essere trattate come mensole incastrate alla base. Nel caso in cui sia necessario conferire una rigidezza notevole si può ricorrere ad un sistema costituito da due o più pareti accoppiate: in questo caso la rigidezza del sistema supera la rigidezza delle singola pareti. Questi elementi strutturali sono dislocati nel nucleo centrale dell’edificio. 4.1.5) Sistema ibrido Si può pensare ad un sistema ibrido che consenta di sfruttare i punti di forza di pareti di taglio (o analoghi tralicci) da un lato e dei sistemi intelaiati (MRF) dall’altro. Difatti la seconda soluzione non risulta efficiente oltre i 30 piani poiché la componente della deformazione a taglio dovuta alla flessione di travi e colonne implica una eccessiva deformazione della struttura; viceversa le pareti a taglio assicurano una rigidezza adeguata in questo range di altezze. Quando i due sistemi sono collegati mediante orizzontamenti rigidi, i due componenti sono obbligati ad assumere la medesima deformata: ne risulta che nella parte superiore il nucleo centrale è sostenuto dai telai, mentre nella parte inferiore dell’edificio è la parete di taglio a trattenere il sistema intelaiato, come mostrato in figura. Pagina | 34

4.1.6) Outrigger Nelle strutture con sistema resistente ai carichi orizzontali localizzato nel nucleo centrale, questo si comporta come una mensola incastrata a terra; il resto della struttura risulta trascinato dal nucleo. Inoltre, per grandi altezze, la resistenza a flessione del nucleo risulta essere inefficiente. La soluzione risiede nel coinvolgere anche le colonne più esterne nel sistema resistente, introducendo strutture reticolari disposte orizzontalmente: gli outriggers. Il comportamento di una struttura con nucleo resistente interno ed outrigger, è analogo al sistema di albero, crocette e sartie che permettono ad una imbarcazione a vela di sopportare l’azione del vento sulle vele. Pagina | 35

L’introduzione di questi elementi consente inoltre di:      Ripristinare l’ipotesi di sezione che ruota restando piana: l’intera struttura si comporta come un’unica mensola; Coinvolgere le colonne più esterne, che offrono un braccio maggiore nei confronti del momento ribaltante; Il sistema di telai perimetrali non necessita di connessioni rigide; Evitare picchi di sollecitazione nei punti più esterni (vedi shear lag); Pregio estetico. 4.2) Strutture esterne Pagina | 36

4.2.1) Soluzioni tubolari Una soluzione tubolare sfrutta un sistema strutturale tridimensionale che impegna l’intero perimetro dell’edificio per resistere alle azioni orizzontali. Questo tipo di schemi resistenti permettono di sfruttare esplicitamente per la prima volta la risposta tridimensionale delle strutture. Una scelta di questo tipo condiziona fortemente l’estetica della facciata, poiché implica il posizionamento, a seconda della tipologia, di elementi diagonali, nodi resistenti a momento, colonne molto vicine tra loro. Le forme tubolari possono essere di diversi tipi in funzione dell’efficacia strutturale che possono fornire per le diverse altezze, come rappresentato nella figura precedentemente riportata. (a) Sistema tubolare intelaiato Prevede il dimensionamento di telai a nodi rigidi sull’intero perimetro della struttura. Ciò comporta un notevole vincolo architettonico sulla facciata, poiché inevitabilmente si perviene a colonne tra loro vicine e travi alte, e l’insorgere del fenomeno dello shear lag. (b) Sistema tubolare controventato Per garantire una adeguata rigidezza si può far ricorso ad elementi sollecitati assialmente, disponendo controventi diagonali. Questa soluzione porta quindi i seguenti benefici:     Irrigidimento dei telai nel loro piano; I diagonali possono essere impiegati non solo come sistema di stabilizzazione per la azioni orizzontali, bensì possono comportarsi anche come colonne inclinate, raccogliendo i carichi verticali dagli orizzontamenti; Eliminazione degli effetti del fenomeno dello shear lag; Possibilità di spaziare maggiormente le colonne e ridurre le sezioni delle travi e delle colonne stesse. Si è individuata una inclinazione ottimale dei diagonali di approssimativamente 45°. Questa soluzione è stata sviluppata per il John Hancock Center di Chicago dall’ingegnere Fazlur Khan, e successivamente adottata in altre strutture. Khan dimostrò che in questo modo era possibile raggiungere un comportamento a mensola puro per tutta la struttura; diversamente, nel caso di un sistema tubolare intelaiato, solo il 30% dello spostamento orizzontale totale sarebbe stato attribuibile a questo comportamento, mentre il restante 70% sarebbe stato dovuto ad un comportamento a telaio. Il sistema intelaiato inoltre avrebbe sviluppato del fenomeno dello shear lag, mentre il sistema controventato permette di ridistribuire gli sforzi dovuti ad azioni Pagina | 37

verticali ed orizzontali attraverso i diagonali, consentendo alla struttura di rispondere in modo unico. Come accennato, i diagonali provvedono ad una ridistribuzione dei carichi gravitazionali. Fazlur Khan dimostrò che il sistema di controventamento del John Hancock consente ai carichi verticali di diffondersi tra le colonne, seguendo percorsi diversi rispetto ad un sistema intelaiato, nel quale il percorso dei carichi verticali è prevalentemente verticale. In figura si nota come, caricando direttamente anche solo due delle cinque colonne, alla base risultino tutte ugualmente sollecitate. Si nota inoltre come questa configurazione permetta di realizzare una migliore triangolazione di più nodi direttamente a terra, con percorsi di carico per le forze orizzontali conseguentemente più diretti. (c) Sistema tubolare in fascio Sistema costituito da una serie di tubi indipendenti collegati insieme in modo da formare una singola entità. Una sezione pluricellulare consente una migliore distribuzione delle rigidezze, riducendo e frazionando il fenomeno dello shear lag. Ciò consente di:   Raggiungere altezze maggiori; Colonne perimetrali più spaziate tra loro consentono di disporre le linee dei telai interni (di bordo per ogni tubo) senza compromettere l’utilizzabilità degli spazi; Questa soluzione consente inoltre di realizzare architetture innovative, come nel caso della Sears Tower a Chicago. Osservando il diagramma delle tensioni su una sezione alla base dell’edificio riportata di lato e replicata alla pagina seguente, si osserva come l’introduzione del fascio di tubi consenta di avvicinare l’andamento reale delle tensioni a quello ideale di una sezione che ruoti restando piana. Pagina | 38

(d) Sistema tubolare “tube in tube” Basato sulla soluzione di un sistema tubolare intelaiato, prevede una collaborazione con il nucleo centrale per resistere alle azioni orizzontali. Le azioni sono trasferite dal tubo esterno al nucleo centrale mediante gli orizzontamenti. Questa soluzione consente inoltre una migliore difesa nei confronti di attacchi terroristici alla struttura, come l’impatto di un aeromobile. (e) Sistema tubolare “DIAGRID” Consente di portare i carichi sia verticali che orizzontali sfruttando una configurazione triangolare diagonale, distribuita in modo uniforme su tutta la struttura: le colonne verticali di facciata sono eliminate. Questa soluzione presenta un ulteriore miglioramento rispetto all’introduzione di outrigger in quanto consente di aumentare, oltre che la rigidezza flessionale, anche la rigidezza a taglio. Tale obiettivo è raggiunto poiché il taglio è portato attraverso azione assiale nei diagonali. È la soluzione adottata nella St. Mary Axe di Londra. 4.2.2) Traliccio spaziale Soluzione che consiste in un sistema tubolare controventato modificato con diagonali che connettono la facciata con l’interno della struttura. Nel caso della Bank of China Tower di Hong Kong, questo sistema è realizzato disponendo strutture tubolari controventate di forma triangolare, convergenti in un’unica colonna centrale. Pagina | 39

4.2.3) Super telaio Sistema composto da megacolonne costituite da telai, eventualmente controventati, di grandi dimensioni disposti ai vertici dell’edificio, connessi da tralicci orizzontali multipiano ogni 15-20 piani. È il caso del Parque Central Complex Towers di Caracas. 4.2.4) Esoscheletro Il sistema resistente ai carichi orizzontali può essere infine dislocato fuori dal perimetro dell’edificio, esternamente alle facciate, realizzando particolari architetture. Ne sono esempi l’Hotel de las Artes di Barcellona e l’O-14 building di Dubai Pagina | 40

5) ZONE NODALI Quando si pensa alle zone nodali di una struttura in acciaio, si fa generalmente riferimento alle due condizioni di vincolo di cerniera o di incastro. Tali condizioni rappresentano però situazioni estreme, cui raramente è possibile o è lecito ricorrere: in generale tutte le condizioni di vincolo possono essere considerate intermedie. Rappresentiamo una trave inflessa ed evidenziamo la dipendenza dell’andamento di spostamenti e sollecitazioni flettenti in funzione delle condizioni di vincolo. Nel caso di cerniera ideale la trave agli estremi è libera di ruotare ed il vincolo non offre nessun ritegno flessionale. Nel caso di trave incastrata invece la sezione terminale della trave è vincolata a rimanere verticale; ciò incrementa notevolmente la rigidezza del sistema strutturale. Queste condizioni, come detto, sono da considerarsi estreme. In generale ogni configurazione di vincolo fornisce una coppia di ritegno, che modifica la distribuzione dei momenti lungo l’asse della trave. Tale condizione può essere considerata modellando il vincolo per mezzo di una molla rotazionale, di rigidezza opportunamente calibrata. Pagina | 41

Considerando un comportamento elastico lineare del materiale, si può determinare la rigidezza della molla rotazionale come rapporto tra il momento agente nel nodo e la rotazione della sezione terminale. La rigidezza k fornisce la pendenza di una retta in un piano Momento-Rotazione. È quindi possibile posizionare su questo piano tutte le possibili configurazioni di nodi semirigidi. In letteratura sono forniti abachi di questo tipo, che legano particolari configurazioni nodali con valori delle rigidezze rotazionali. Tali abachi sono utilizzabili per un predimensionamento, mentre per una determinazione accurata della rigidezza k è consigliabile effettuare modellazioni più accurate delle regioni nodali. Si sottolinea inoltre che gli abachi, come quello riportato di seguito, sono tracciati in funzione di grandezze adimensionalizzate, in accordo a quanto definito nell’Eurocodice 3 parte2 [§ 5.2.2], che normalizza la classificazione dei nodi in funzione della rigidezza. EC3[2] – § 5.2.2.1 Pagina | 42

̅ rigidezza adimensionalizzata ̅ momento adimensionalizzato ̅ rotazione adimensionalizzata ki Mpb Ib L rigidezza rotazionale iniziale della connessione momento plastico della trave momento di inerzia della trave lunghezza della trave Classificazione: Cerniere perfette ̅ ̅ Nodi semirigidi Nodi rigidi ̅ Pagina | 43

Pagina | 44

6) TEORIA DELLA PLASTICITÀ Affrontare lo studio di una struttura in campo plastico consente di introdurre nella trattazione le non linearità che caratterizzano il comportamento strutturale. I tipi di non linearità che si possono riscontrare sono molteplici:     Di materiale: legame costitutivo del materiale di tipo elasto-plastico; Di geometria: equilibrio scritto nella configurazione deformata, regime di grandi spostamenti; Di vincolo: vincoli non bidirezionali (monolateri); Di forze: forze posizionali, che seguono la deformata. In questa sede ci si sofferma sullo studio dei primi due tipi. In termini di risoluzione del problema il considerare queste non linearità comporta:    Non validità principio di sovrapposizione degli effetti: non si ha più diretta proporzionalità tra l’aumento dell’azione esterna e l’aumento della risposta; Non validità del teorema di unicità della soluzione (Kirchoff); Equazioni risolutive del problema non lineari: le matrici di rigidezza e delle forze esterne dipendono dai gradi di libertà ( ) ( ) Affrontiamo ora lo studio della plasticità a livello di materiale, di sezione e di struttura, per poi riportare alcuni cenni di comportamento ciclico in campo elasto-plastico. Pagina | 45

6.1) Livello di materiale Per la caratterizzazione in campo plastico del materiale occorre definire la soglia a partire dalla quale si ha tale comportamento e caratterizzare lo stato post-snervamento. Si analizza successivamente il legame costitutivo dell’acciaio e si presentano alcuni legami semplificati. (a) Individuazione limite plastico In funzione del tipo di materiale strutturale impiegato il passaggio da un comportamento di tipo elastico ad un comportamento di tipo plastico può essere più o meno definito e localizzato. Tracciando i legami costitutivi si nota come per l’acciaio (a) il limite di plasticità sia ben definito, mentre il calcestruzzo (b) presenta un comportamento più graduale. In generale tuttavia gli stati di tensione non sono mai monoassiali; per definire il limite di plasticità si fa ricorso a superfici di snervamento, definite come il luogo dei punti sul piano delle tensioni che rappresentano stati di snervamento del materiale. Pagina | 46

Superfici di snervamento adottabili sono quelle fornite dai criteri di rottura di Tresca e Von Mises. Si riportano le relazioni che definiscono tali superfici limite. o Criterio di Tresca {[ ] [ ] [ ]} massima tensione tangenziale agente massima tens.tg. ammissibile in stato monoassiale o Criterio di Von Mises ̅ ̅ √ ∫ ∫ ( ) √ √( ) ( ) ( ) tens.tg. media √ Tutti i criteri di resistenza per i materiali duttili hanno nello spazio delle tensioni principali una rappresentazione cilindrica con l’asse del cilindro l’asse idrostatico (uguaglianza delle tensioni principali). La sezione del cilindro è definita dal particolare criterio considerato. Pagina | 47

(b) Incrudimento: comportamento post-snervamento Il comportamento nel ramo post-snervamento è caratterizzato dall’incrudimento, ovvero dal comportamento del materiale a livello dei cristalli che lo compongono, con conseguente variazione di diverse proprietà fisico-meccaniche del materiale. Nel caso dell’acciaio, l’incrudimento si caratterizza in funzione dello stato di tensione:   Stato monoassiale: pendenza del tratto post-snervamento; Stato biassiale: isotropia e staticità. Considerando il caso biassiale, la prima caratteristica riguarda il cambiamento di dimensioni ma non di forma del dominio, mentre la seconda riguarda lo spostamento dei punti del dominio. Si ottengono quindi quattro combinazioni. ISOTROPIA STATICITA’ incrudimento isotropo incrudimento non isotropo incrudimento statico incrudimento cinematico dominio cambia di dimensioni ma non di forma 1 dominio cambia di dimensioni e di forma 2 dominio non si sposta 3 dominio si sposta 4 Pagina | 48

(c) Legame costitutivo Sottoponendo un provino di acciaio cilindrico di sezione A0 ad una prova di carico di trazione monoassiale a controllo di spostamenti, si traccia la curva tensioni-deformazioni caratteristica del materiale. Pagina | 49

Si possono individuare i seguenti tratti: 1. Fase elastica lineare: proporzionalità diretta tra tensioni e deformazioni; 2. Fase elastica non lineare: tratto leggermente curvo, in caso di scarico si recuperano queste deformazioni; 3. Decadimento: decadimento verticale della tensione a deformazioni costanti fino ad un limite di snervamento inferiore; 4. Fase di snervamento: aumento di deformazioni a tensioni costanti; 5. Hardening: aumento tensioni fino a rottura con pendenza variabile; 6. Softening (a): ramo decrescente, se 7. Softening (b): ramo crescente, se ⁄ ; ⁄ ; 8. Deformazioni residue: nel caso in cui si effettui uno scarico ed un successivo ricarico in fase plastica, le due curve sono caratterizzate da una pendenza media pari a quella che caratterizzava il materiale in fase elastica; al termine dello scarico il provino subisce una deformazione residua plastica, mentre la parte elastica è recuperata. Il legame reale, ricavato da una prova sperimentale, è evidentemente troppo complesso per essere implementato e considerato come legame costitutivo nei calcoli strutturali; si deve pertanto ricorrere a legami semplificati, introducendo necessarie approssimazioni. Si riporta di seguito un elenco di possibili legami semplificati, a complessità crescente. Legame rigido perfettamente plastico 1 o 2 parametri Legame elasto-plastico perfetto 3 parametri Legame elasto-plastico incrudente 4 parametri Legame elasto-plastico incrudente con tratto a deformazione libera 5 parametri Aggiornamento modulo tangente Sono presentati:    Forma del legame costitutivo; Modello reologico corrispondente; Legame in comportamento ciclico. Pagina | 50 ( )

Pagina | 51

Altro legame costitutivo, utilizzato prevalentemente in ambito di ricerca, è il legame MenegottoPinto. Tale legame si adatta a studi del comportamento ciclico delle strutture, quindi prevalentemente in zona sismica. È uno dei metodi più affidabili, ma i coefficienti di adimensionalizzazione 0 ed 0 ed il parametro n devono essere calibrati con riferimento ad evidenze sperimentali. ( ( ) )( ) ( ) [ ( ) ] 6.2) Livello di sezione – elemento Si distingue la trattazione in funzione dello stato di sollecitazione dell’elemento; in particolare si affronta lo studio di elementi semplicemente inflessi e di elementi presso-inflessi. 6.2.1) Elementi semplicemente inflessi: teoria elasto-plastica della trave inflessa La teoria della trave si basa su tre assunzioni, riportate di seguito, che consentono di descrivere lo stato tensionale nell’elemento in termini di caratteristiche di sollecitazione, ovvero di risultanti delle tensioni sulla sezione.    Una dimensione predominante rispetto alle altre; Validità del Principio di De Saint Venant: ad una certa distanza dagli estremi del solido si può ipotizzare che la distribuzione delle forze sulle sezioni sia ininfluente, lo stato di sollecitazione è descritto dalle risultanti; Sezioni ruotano restando piane e perpendicolari all’asse. Nello studio della teoria elasto-plastica della trave inflessa si considera inoltre:    Piccoli spostamenti: l’equilibrio è scritto nella configurazione indeformata; Assenza fenomeni di instabilità; Legame costitutivo elasto-plastico perfetto. Pagina | 52

Consideriamo la generica sezione di una trave inflessa, aumentiamo progressivamente la sollecitazione e tracciamo alcuni andamenti di tensioni e deformazioni, riferiti a situazioni tipiche o limite: (a) Limite elastico: tutte le fibre sono in campo elastico, solo le fibre estreme hanno raggiunto la tensione di snervamento;  My: momento di snervamento (b) Generica situazione in campo plastico: le deformazioni sono ancora a farfalla (la sezione ruota restando piana), mentre le tensioni non aumentano oltre la tensione di snervamento (legame elasto-plastico perfetto); (c) Completa plasticizzazione della sezione: tutte le fibre hanno raggiunto la tensione di snervamento, il diagramma delle deformazioni non è tracciabile ().  Mp: momento plastico Pagina | 53

Come mostrato in figura, si individuano due valori tipici del momento, in corrispondenza delle situazioni (a) e (c). E’ inoltre possibile individuare un valore ultimo del momento (Mu: momento ultimo), corrispondente al raggiungimento della deformazione ultima nella fibra più sollecitata. Questa situazione corrisponde al distacco di materiale per rottura delle fibre. In funzione della duttilità del materiale si può avere . Per descrivere il comportamento di una sezione di una trave inflessa in campo elasto-plastico si studia un concio di trave di lunghezza unitaria inflesso secondo un raggio di curvatura r. Lo scopo è quello di trovare la relazione tra momento sollecitante e curvatura in campo elastico ed in campo elasto-plastico. Considerando la fibra baricentrica ab e la generica fibra cd, si ricava, ricorrendo alle similitudini tra gli archi, la dipendenza della deformazione dalla curvatura. ̂ ( )) ( ( ) ̂ ( ) Essendo la curvatura, in piccoli spostamenti, pari all’inverso del raggio di curvatura , è possibile ricavare: ( ) o Campo elastico per tutte le fibre Scriviamo la relazione momento-curvatura per una trave semplicemente inflessa in campo elastico: ( ) { ( ) ( ) ( ) { ( ) Pagina | 54

e ricaviamo la curvatura al limite elastico, corrispondente al raggiungimento della tensione di snervamento nelle fibre più sollecitate: o { { { Campo elsto-plastico per tutte le fibre nel nucleo elastico, altrove Concentrando l’attenzione sul nucleo elastico, ovvero nella porzione di sezione più vicina all’asse neutro le cui fibre non hanno ancora raggiunto lo snervamento, possiamo determinare l’espressione della curvatura al limite dello stesso: ( ) Resta quindi determinato il legame tra la curvatura in campo elasto-plastico e la curvatura al limite elastico: { ⁄ ⁄ Si vuole ora determinare il legame momento-curvatura in campo elasto-plastico di una sezione inflessa. Il diagramma

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