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Axiome Von Neumann Morgenstern

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Published on November 19, 2007

Author: funnyside

Source: authorstream.com

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Die Ableitung der Wert-Erwartungstheorie aus den Axiomen von von Neumann und Morgenstern für rationale Präferenzen:  Die Ableitung der Wert-Erwartungstheorie aus den Axiomen von von Neumann und Morgenstern für rationale Präferenzen Msc Heiko Rauhut Leipzig, 2.Nov. 2004 Seminar: Anwendungen, Paradoxien und Anomalien der Theorie rationalen Handelns Slide2:  John von Neumann und Oskar Morgenstern (1944): The Theory of Games and Economic Behavior. Princeton. New York: Princeton University Press. John Von Neumann Oskar Morgenstern Von Neumann und Morgenstern definierten drei Axiome für rationale Präferenzen, aus denen die Wert-Erwartungstheorie abgeleitet werden kann Weitere Literaturhinweise für diese Präsentation: Eisenführ, Franz & Weber, Martin (2003): Rationales Entscheiden. Berlin, Heidelberg, New York: Springer. S. 207 – 221. Ken Binmore (1992): Fun and Games Lexington, Mass.: D. C. Heath., Kap. 3 (S. 95-125). 1. Axiom: Vollständige Ordnung:  1. Axiom: Vollständige Ordnung 1. Vollständigkeit: Für jedes Paar von Lotterien a,b,c  A gilt: a  b oder b  a Intuitiv: Der Entscheider muss Alternativen nach seinen Präferenzen ordnen können. 2. Transititivät: Für alle Lotterien a,b,c  A gilt: aus a  b und b  c folgt a  c Wieso sinnvolles Kriterium? Z.B. Ausschluss der „Geld-Pumpe“ (Binmore, 1992, 95) Was passiert bei intransitiven Präferenzen? Gegeben sei ein Akteur X mit der Präferenzordung a  b  c  a Dieser Akteur würde a gegen b tauschen und b gegen c. Da er jedoch wiederum a strikt c vorzieht, wäre er bereit gegen eine (beliebig kleine) Einheit von Geld oder einem anderen Gut a wiederum gegen c zu tauschen. Man kann diesen Prozess so lange wiederholen, bis seine Geldbörse leer ist! 2. Axiom: Stetigkeit:  2. Axiom: Stetigkeit Stetigkeit: Sind Lotterien a, b, c mit a  b  c gegeben, dann gibt es eine Wahrscheinlichkeit p, bei der b  p  a + (1 - p)  c Intuitiv: Es kann für jede Lotterie b immer eine Kombination von a und c gefunden werden, die genauso attraktiv wie b ist. Beispiel: Problematisch z.B. bei extremen Ereignissen: Sei a mit Sicherheit 2 € und b mit Sicherheit 1 €, und erleidet man bei c einen schweren Autounfall, so fällt es wohl schwer, eine Wahrscheinlichkeit p zu finden, die gewichtet mit dem Leid des Autounfalls zwischen a und b liegt. 3. Axiom: Unabhängkeit:  3. Axiom: Unabhängkeit Das Unabhängigkeitsaxiom gibt der daraus abgeleiteten Wert-Erwartungstheorie erst seine spezielle Form des einfachen additiven Modells Unabhängigkeitsaxiom: Gilt für zwei Lotterien a  b, so muss auch für alle Lotterien c und alle Wahrscheinlichkeiten p gelten, dass p  a + (1- p)  c  p  b + (1 - p)  c Intuitiv: Eine Präferenzordung zwischen zwei Alternativen soll sich nicht dadurch verändern, dass eine dritte Alternative hinzukommt. Beispiel: Wenn ich bei der Wahl zwischen einem BMW und einem Mercedes einen BMW vorziehen würde, so darf sich diese Reihenfolge nicht ändern, wenn zusätzlich noch eine dritte Alternative hinzukommt, z.B. ein Jaguar. Ich darf dann z.B. nicht den Jaguar dem Mercedes vorziehen und den Mercedes dem BMW. Das Unabhängigkeitsaxiom wird auch als Substitutionsaxiom bezeichnet: Eine Lotterie darf dann durch eine andere Lotterie ersetzt werden, wenn der Entscheider zwischen beiden Lotterien indifferent ist. Die Ableitung der Wert-Erwartungstheorie aus den Axiomen:  Die Ableitung der Wert-Erwartungstheorie aus den Axiomen Gegeben sei folgende Lotterie: a : Aus dem Stetigkeitsaxiom folgt, dass es für jede Konsequenz ai eine Lotterie gibt, so dass der Entscheider zwischen Konsequenz und Lotterie indifferent ist. Seien Xmin und xmax die schlechteste und die beste Konsequenz aus der Alternative ai. Nach dem Stetigkeitsaxiom ist der Entscheider indifferent zwischen einer jeweiligen Alternative ai und einer Lotterie aus qi und xmax und 1- qi und Xmin . Aus dem Unabhängigkeitsaxiom folgt nun, dass ich die jeweiligen Alternativen durch die jeweiligen Kombinationen von qi und xmax und 1- qi und Xmin ersetzen darf. Es folgt, dass a = a‘. a‘ : Diese Darstellung folgt Eisenführ & Weber, 2003, 217 f. Die Ableitung der Wert-Erwartungstheorie aus den Axiomen 2:  Die Ableitung der Wert-Erwartungstheorie aus den Axiomen 2 Aus einer weiteren Anwendung des Unabhängigkeitsaxioms folgt nun wiederum, dass ich die Lotterien so umstellen darf, dass ich die Summe bilden kann aus Wahrscheinlichkeiten pi mal qi mal xmax auf der einen Seite, sowie die Summe pi mal 1-qi mal xmin auf der anderen Seite. Hieraus folgt a‘‘. Aus a‘‘ ist die additive Struktur der Wert-Erwartungstheorie erkennbar mit der Summation von Wahrscheinlichkeiten mit Werten der jeweiligen Konsequenzen. a‘‘ : Diese Umstrukturierung von a zu a‘‘ kann man auch mit einer anderen Alternative b zu b‘‘ vollziehen. Somit sollte eine Lotterie a‘‘ dann einer Lotterie b‘‘ vorgezogen werden, wenn Wahrscheinlichkeit, xmax zu erzielen, in a‘‘ größer ist, als in b‘‘. Die Gewinnwahrscheinlichkeiten ordnen dementsprechend die Präferenzen der Entscheider. Definiert man nun u(ai) = qi, so wird deutlich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Wahrscheinlichkeit, xmax zu erzielen gleich dem erwarteten Nutzen der Alternative ist.

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