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Aula Revisão Circuitos Eletricos 1

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Published on March 12, 2014

Author: FilipeRibeiro

Source: slideshare.net

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21/08/2013 1 Revisão de Circuitos Elétricos 1 Disciplina: Circuitos Elétricos 2 Prof. Leonardo R.A.X de Menezes ENE-FT-UnB Sumário • Conceitos Básicos • Componentes de Circuito • Leis de Kirchoff • Circuitos Resistivos • Técnicas de Resolução • Teoremas de Circuito • Circuitos com Elementos Reativos Conceitos Básicos • Nossos circuitos serão: – Lineares – Invariantes no Tempo • Além disto teremos com objetivo em Circuitos Elétricos 2 utilizar álgebra para resolução de circuitos – Evitar resolver Equações Diferenciais Ordinárias

21/08/2013 2 Conceitos Básicos • Elemento linear – Satisfaz duas propriedades • Superposição – Se – Então • Homogeneidade – Se – Então )( 11 ifv  )( 22 ifv  )()()( 212121 ififiifvv  )( 11 ifv  )()( 111 ikfkifkv  Conceitos Básicos • Elemento invariante no tempo – Tem sua relação constitutiva (relação entre as variáveis de circuito) invariante a uma translação no tempo – qualquer t. Ou seja, este dispositivo apresenta o mesmo comportamento ao ser ligado agora ou daqui a quinze minutos. ))(()( tt  tiftv Conceitos Básicos • Elementos de circuito mais utilizados são: • resistor, capacitor, indutor, fontes dependentes e independentes. – Este elementos são descritos por: – Símbolos: é a representação gráfica do elemento em questão – Relações Constitutivas: é a representação matemática do elemento em questão. Descreve o relacionamento entre corrente e tensão no elemento – Convenção de sinal: indica se o elemento é passivo ou ativo. É fundamental para a resolução correta do circuito.

21/08/2013 3 Componentes de Circuito • Resistor – Ligação direta entre as variáveis de corrente e tensão de circuito • código de cores para leitura Componentes de Circuito • Resistor – Este elemento tem como efeito fundamental a dissipação térmica de energia. • A corrente que flui pelo elemento é unicamente definida pela tensão dissipada entre seus terminais. • Símbolo: • Relação constitutiva: – Caso genérico – Caso linear ))(()( tirtv  )()( tRitv  Componentes de Circuito • Resistor – Convenção: – Convenção passiva: corrente flui do terminal positivo para o negativo.

21/08/2013 4 Componentes de Circuito • Capacitor – Ligação direta entre as variáveis de carga e tensão de circuito Componentes de Circuito • Capacitor – Este elemento tem como efeito fundamental o armazenamento de carga elétrica. • A tensão nos terminais do elemento é definida unicamente pela carga acumulada no elemento • Símbolo: • • Relação constitutiva: – Caso genérico – Caso linear dt tdv tvc dt tdv dv vdc titvctq )( ))((' )()( )())(()(  dt tdv CtitCvtq )( )()()(  Componentes de Circuito • Capacitor – Convenção: – Convenção passiva: corrente flui do terminal positivo para o negativo.

21/08/2013 5 Componentes de Circuito • Indutor – Ligação direta entre as variáveis de corrente e fluxo magnético de circuito Componentes de Circuito • Indutor – Este elemento tem como efeito fundamental o armazenamento de fluxo magnético. • A corrente que flui pelo elemento é definida unicamente pelo fluxo magnético do elemento. • Símbolo: • • Relação constitutiva: – Caso genérico – Caso linear dt tdi til dt tdi di idl tvtilt )( ))((' )()( )())(()(  dt tdi LtvtLit )( )()()(  Componentes de Circuito • Indutor – Convenção: – Convenção passiva: corrente flui do terminal positivo para o negativo.

21/08/2013 6 Componentes de Circuito • Fontes Independentes – Este elemento tem como efeito fundamental o fornecimento de energia ao circuito em que está ligado. • Dois tipos: tensão e corrente. • As fontes são independentes quando a variável de circuito gerada é independente da variável restante. – Exemplo: uma fonte de corrente independente gera somente corrente. A tensão que irá surgir nos seus terminais depende do circuito a que está ligada. Componentes de Circuito • Fontes Independentes – Podem ser reais ou ideais. • As fontes reais incluem outros elementos de circuito para modelar de forma mais adequada seu funcionamento • As fontes ideais tem somente os elementos geradores sem outros elementos de circuito Componentes de Circuito • Fontes independentes – Fonte de tensão ideal • Símbolo: • Relação constitutiva: • Convenção: • Convenção ativa: corrente flui do terminal negativo para o positivo. )()( 0 tvtv 

21/08/2013 7 Componentes de Circuito • Fontes independentes – Fonte de tensão real • Símbolo: • Relação constitutiva: • Convenção: – Mesma da fonte ideal )()()( 0 tritvtv  Componentes de Circuito • Fontes independentes – Fonte de corrente ideal • Símbolo: • Relação constitutiva: • Convenção: • Convenção ativa: corrente flui do terminal negativo para o positivo. )()( 0 titi  Componentes de Circuito • Fontes independentes – Fonte de corrente real • Símbolo: • Relação constitutiva: • Convenção: – Mesma da fonte ideal r tv titi )( )()( 0 

21/08/2013 8 Componentes de Circuito • Fontes dependentes – Fonte de tensão controlada a corrente – Fonte de tensão controlada a tensão – Fonte de corrente controlada a corrente – Fonte de corrente controlada a tensão Leis de Kirchoff • Para resolvermos um circuito genérico temos de definir suas ligações. Vamos considerar o seguinte arranjo de fios 1 2 3 Leis de Kirchoff • O elemento 1 (verde) e chamado de ramo (note que ele conecta um elemento a somente outro elemento) • O elemento 2 (vermelho) e chamado de nó (note que ele conecta vários ramos) • O elemento 3 (laranja) e chamado de laço (note que ele realiza um percurso fechado)

21/08/2013 9 Leis de Kirchoff • Na realidade podemos descrever da seguinte forma: – O nó conecta diversos ramos em um único ponto – O laço conecta diversos ramos fazendo um percurso fechado e não percorrendo o mesmo nó mais de uma vez – O ramo contem somente um elemento de circuito e e conectado aos nós Leis de Kirchoff • Portanto, podemos descrever qualquer circuito utilizando esta nomenclatura – Quando descrevemos os nós dos circuito e os elementos entre cada nó, estamos descrevendo o circuito • Esta descrição fornece a topologia do circuito. • De posse da topologia e das relações constitutivas estamos quase prontos. Leis de Kirchoff • Vamos fazer um exemplo simples: – Considere o circuito – Temos o nó 1 e o nó 2 • Entre o nó 1 e o nó 2 temos uma fonte (ramo A) • Entre o nó 1 e o nó 2 temos um resistor (ramo B)

21/08/2013 10 Leis de Kirchoff • Para estarmos prontos só falta saber como e que as tensões e correntes se comportam nos nós e laços. • Já sabemos como se comportam nos ramos - relações constitutivas • Na realidade só precisamos saber como – A corrente se comporta nos nós – A tensão se comporta nos laços Leis de Kirchoff • Das equações de Maxwell obtemos as Leis de Kirchoff generalizadas dt dq i dt d v      Leis de Kirchoff • Estas leis são genéricas e valem para qualquer tipo de circuito em qualquer freqüência. • No entanto, elas podem ser simplificadas para o caso que as freqüências são baixas os suficiente para desprezarmos os termos do lado direito

21/08/2013 11 Leis de Kirchoff • Desta forma temos as Leis de Kirchoff simplificadas – Lei de Kirchoff das tensões (KVL) – Lei de Kirchoff das correntes (KCL)   0v 0i Leis de Kirchoff • Em termos das definições anteriores as leis dizem o seguinte – KVL (LKT): • A soma das tensões em um laço (percurso fechado) é zero – KCL (LKC): • A soma das correntes que entram e saem de um nó é zero Circuitos Resistivos • Sumarizando: – Circuitos DC são analisados a partir das Leis de Kirchoff simplificadas – Circuitos DC não tem capacitores (aberto) e indutores (curto) – Circuitos DC lineares são circuitos resistivos lineares – Circuitos resistivos lineares de baixas frequências tem resposta proporcional para AC e DC

21/08/2013 12 Técnicas de Resolução • Para resolver circuitos temos duas técnicas principais: – Análise Nodal – Baseado em KCL (lei de Kirchoff das Correntes) – Método dos Laços – Baseado em KVL (lei de Kirchoff das Tensões) • Não são as únicas possíveis, mas são as mais usadas – Principalmente para simplificar Analise Nodal • Como o próprio nome diz: – A analise nodal se concentra em resolver circuitos baseados nas equações dos nós • Portanto a Lei de Kirchoff utilizada na análise nodal é KCL • De forma bem simples – Aplica-se KCL nos nós – Substituem-se as correntes pelas relações constitutivas – Resolve-se o circuito para as tensões Analise Nodal • Repetindo: – KCL (aplica-se KCL em todos os nós menos um - este será o chamado no de referencia - terá a tensão arbitraria de zero) – Utilizam-se as relações constitutivas (as correntes conhecidas são substituídas por seus valores e as desconhecidas pela Lei de Ohm) – Resolve-se o sistema de equações para a tensão

21/08/2013 13 Analise Nodal • Um exemplo fala mais do que mil palavras: Considere o caso a seguir Analise Nodal • A diagonal principal da a soma de todas as condutâncias associadas ao no em questão – Por exemplo • No 1: temos três condutâncias associadas G1, G2 e G3 • O primeiro elemento e a soma destas condutâncias                         02 1 433 3321 0 iv v GGG GGGG Analise Nodal • No 2: O elemento da diagonal principal e a soma das condutâncias ligadas ao no 2 – Por exemplo: • No 2: Condutâncias G3 e G4                         02 1 433 3321 0 iv v GGG GGGG

21/08/2013 14 Analise Nodal • Os elementos restantes negativo das condutâncias entre o no em questão e outro no – Por exemplo • Entre o no 1 e o no 2 tem a condutância G3                         02 1 433 3321 0 iv v GGG GGGG Analise de Laços • A analise dos nós consiste – Aplicação do KCL e substituição das relações constitutivas – Resolução do sistema para as tensões nodais • E a analise dos laços consiste – Aplicação de KVL e substituição das relações constitutivas – Resolução do sistema para as correntes de laço Analise de Laços • A analise dos laços merece um exemplo bem explicado – Considere o circuito a seguir

21/08/2013 15 Analise de Laços • Para aplicar a analise dos laços vamos primeiro numerar os laços que vemos 1 2 Analise de Laços • Depois vamos considerar o sentido do KVL (horário) 1 2 Analise de Laços • No primeiro KVL temos • No segundo KVL temos • Vamos considerar agora que o KVL do laço 1 e causado por uma corrente I1 indo no sentido horário e o KVL do laço 2 e causado por uma corrente I2 no mesmo sentido 02311  RRR VVVV 05423  RRR VVVV

21/08/2013 16 Analise de Laços • Neste caso teremos as relações constitutivas   255 244 2133 122 111 iRV iRV iiRV iRV iRV R R R R R      Analise de Laços • Note que VR3 e causado por duas corrente circulando sobre o resistor R3 (uma no sentido positivo da corrente (i1) e outra no sentido negativo da corrente (i2) – Portanto o KVL se torna   012213111  iRiiRiRV   025242213  iRiRViiR Analise de Laços • Rearranjando as equações temos – Primeiro laço – Segundo laço   1231321 ViRiRRR    2254313 ViRRRiR 

21/08/2013 17 Analise de Laços • Montando em um sistema de equações • Note a similaridade com o sistema da analise nodal – A diagonal principal e a soma das resistências no laço – Os elementos restante são as resistências entre os laços                          2 1 2 1 5433 3321 V V i i RRRR RRRR Uma forma geral • Como explicado estas não são as únicas técnicas. – Podemos utilizar KCL (LKC) e KVL (LKT) junto com as relações constitutivas e resolver mesmo assim – Para tanto temos que arbitrar algumas convenções • Exemplo: Corrente saindo é positiva e o laço de KVL (LKT) é positivo no sentido horário • Pode ser diferente, o importante é seguir a convenção Uma forma geral • Exemplo

21/08/2013 18 Uma forma geral • Exemplo – KVL KCL – Relações Constitutivas 0 0 0 04 432 21    VV VVV VV R RRR RR 0 0 043 321   iii iii RR RRR 0 0 0 0 444444 333333 222222 111111     RRRR RRRR RRRR RRRR iRViRV iRViRV iRViRV iRViRV Uma forma geral • Exemplo – Montando o sistema                                                                                       0 0 0 0 0 0 0 0000000 0100000 0010000 0001000 11100000 00110000 00001100 00000111 0 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 i V V V V i i i i R R R R R R R R R R R R Uma forma geral • Esta forma de solução pode ser utilizada tanto com fontes de corrente, quanto de tensão • É a mais genérica – Mas precisa da inversão de uma matriz bem maior que nos casos nodais ou de laço

21/08/2013 19 Teoremas de Circuito • Superposição • Dualidade • Transformação de Fonte • Teorema de Thevenin • Teorema de Norton • Maxima Transferência de Potência Superposição • O teorema da superposição e valido somente para circuitos lineares – Essencialmente ele diz: • Seja um circuito com N elementos lineares conectados em uma topologia arbitraria a K fontes de tensão e/ou corrente independentes • A resposta deste circuito a K fontes independentes e equivalente a soma das respostas de K circuitos aonde em cada um K-1 fontes diferentes foram colocadas em repouso. )(...)()()()...( 321321 kk vGvGvGvGvvvvGI  Superposição • Em português: como o circuito e linear podemos nos valer da propriedade de superposição da linearidade para resolver o circuito – Como: vamos supor um circuito com duas fontes independentes quaisquer. O que o teorema diz e que a resposta do circuito a estas duas fontes e igual a soma das respostas dos circuitos aonde cada uma das fontes foi desligada alternadamente • Exemplo

21/08/2013 20 Superposição • Podemos resolver este circuito através de superposição – Fica mais fácil de utilizar os métodos que já conhecemos – = Superposição • Portanto o principio da superposição pode ser utilizado com fontes independentes e transformar o problema de varias fontes diferentes em um problema mais simples – Sem o uso do superno ou da supermalha Superposicao • Resolvendo os dois circuitos podemos encontrar a resposta final como a soma das duas respostas!

21/08/2013 21 Dualidade • A dualidade é um resultado que diz que se as equações montadas para a tensão tem uma forma e as equações para a corrente tem a mesma forma, então os circuitos são duais. – Em outras palavras se eu substituir I por V, R por G eu terei o mesmo resultado. – Exemplo fonte de tensão real e fonte de corrente real VRiVS  iGviS  Transformação de Fonte • O que leva a outra pergunta – Sabemos que os circuitos são duais. Mas sob que condições os dois são equivalentes para uma carga genérica R • No caso da fonte de corrente - ela precisa apresentar a mesma tensão da fonte de tensão • No caso da fonte de tensão - ela precisa apresentar a mesma corrente da fonte de corrente Transformação de Fonte • A tensão que R apresenta para as fontes e: • De modo similar a corrente que R apresenta para as fontes e S x V RR R V   S y y i RR RR V   x S RR V i   S y y i RR R i  

21/08/2013 22 Transformação de Fonte • Portanto as duas fontes são iguais se e somente se: – Portanto se as resistências das fontes forem iguais e a tensão da fonte de tensão for igual ao produto da corrente da fonte de corrente pela resistência da fonte • As duas são iguais! SyS iRV  yx RR  Transformação de Fonte • Qual a vantagem deste teorema? – Podemos transformar uma fonte de tensão em uma fonte de corrente e vice-versa – Isto permite simplificar alguns dos circuitos que analisamos Teorema de Thevenin • O teorema de Thevenin e um dos mais importantes de circuito: – Qualquer circuito linear resistivo com fontes independentes pode ser substituído por uma combinação serie de uma fonte de tensão Voc e resistência Req, onde Voc e a tensão de circuito aberto entre seus terminais e Req é a resistência equivalente vista de seus terminais quando todas as fontes independentes estão em repouso

21/08/2013 23 Teorema de Thevenin • Isto e muito importante pois diz que qualquer circuito linear com fontes independentes pode ser substituído por – Onde R é Req – Onde Vs é Voc Teorema de Norton • O teorema de Norton e o dual do teorema de Thevenin e diz que: – Qualquer circuito linear resistivo com fontes independentes pode ser substituído por uma combinação paralela de uma fonte de corrente Isc e resistência Req, onde Isc é a corrente de curto circuito entre seus terminais e Req é a resistência equivalente vista de seus terminais quando todas as fontes independentes estão em repouso Teorema de Norton • Se prestarmos atenção veremos que o teorema de Norton é o dual do teorema de Thevenin – Ele explica para uma fonte de corrente o que já foi mostrado para uma fonte de tensão – O ponto mais interessante diz a respeito de como podemos calcular o equivalente de Norton e de Thevenin de um circuito

21/08/2013 24 Teorema de Norton • Da mesma forma que Thevenin, qualquer circuito linear com fontes independentes pode ser substituído por – Onde Is é Isc – Onde R é Req Teorema de Norton • A vantagem dos teoremas de Norton e Thevenin esta em simplificar o calculo de circuitos • Mas como aplicá-los na pratica Teorema de Norton • Ora sabemos que os dois são equivalentes portanto isto só e valido se e somente se • Ou seja se calcularmos a corrente de curto circuito e a tensão de circuito aberto temos a resistência equivalente SCeqOC iRV  SC OC eq i V R 

21/08/2013 25 Teorema de Norton • Vamos aplicar a uma caso prático – Qual o Thevenin em relação a terminal AB Teorema de Norton • Vamos aplicar a uma caso pratico – Passo 1 calcular tensão de circuito aberto • Divisor de tensão simples Soc V RR R V 21 2   Teorema de Norton • Vamos aplicar a uma caso pratico – Passo 2: calcular a corrente de curto-circuito • Ligamos através de um fio o terminal AB e calcularmos a corrente que passa por ele 1R V I S sc 

21/08/2013 26 Teorema de Norton • Vamos aplicar a uma caso pratico – Passo 3: calcular a resistência equivalente • Dividimos a tensão de circuito aberto pela corrente de curto circuito 21 21 1 21 2 RR RR R V V RR R I V R S S sc oc eq     Teorema de Norton • Agora podemos obter tanto Thevenin como Norton do circuito pois temos – Tensão de Circuito aberto – Corrente de Curto Circuito – Resistência equivalente Teorema de Norton • Desafio: quais são os valores da resistência de base Rb e Tensão V que fazem estes dois circuitos a seguir serem equivalentes

21/08/2013 27 Máxima Transferência de Potencia • O teorema da máxima transferência de potencia é um dos mais úteis de circuitos. – Ele diz • A máxima transferência de potencia da fonte para uma carga RL ocorre quando a carga e igual a resistência equivalente de Thevenin Req Máxima Transferência de Potencia • Para provar este teorema consideremos um circuito genérico que e substituído pelo seu equivalente de Thevenin Máxima Transferência de Potencia • Ora a tensão e corrente na carga R são • Portanto a potencia e S eq V RR R V   RR V I eq S      2 2 S eq V RR R VIP  

21/08/2013 28 Máxima Transferência de Potencia • Fazendo • Temos eqR R        disp eq S P R V P 2 2 2 11         Máxima Transferência de Potencia • Ora:  pode variar de zero ate infinito – O maior valor de potencia será encontrado derivando a equação em relação a  e igualando a zero. • Fazendo isto temos         0 1 121 1 4 2 2       dispdisp PP d dP      Máxima Transferência de Potencia • A solução e claro e =+1 e =-1 – A segunda solução resulta em potencia infinita e apenas indica que a carga esta gerando energia própria – A primeira solução diz que a resistência R deve ser igual a Req para que a potencia transferida seja máxima eq eq RR R R  1

21/08/2013 29 Máxima Transferência de Potencia • Outro ponto interessante e saber qual e o valor desta potencia – Substituindo   411 1 2 disp disp P PP    Circuitos com um elemento reativo • Considere o circuito a seguir: Considere que o capacitor tem uma carga inicial Q0 no instante t=0 S1 R1 C1 Circuitos com um elemento reativo • Para resolver este circuito vamos montar a equação diferencial – Sabemos que a corrente do capacitor e proporcional a derivada da tensão no mesmo – Portanto se utilizarmos KCL no nó entre o resistor e o capacitor teremos como montar a EDO

21/08/2013 30 Circuitos com um elemento reativo • Montando o KCL • Como o capacitor esta carregado, ele ira descarregar no resistor • Rearranjando 0 capacitorresistor ii 0 dt dv C R v 0 RC v dt dv Circuitos com um elemento reativo • Como o circuito não possui fontes, temos somente o capacitor descarregando no resistor – A EDO e homogênea – Portanto a resposta e – Utilizando a condição inicial (capacitor com carga Q0) RC t Betv  )( RC t e C Q tv C Q v    0 0 )( )0( Circuitos com dois elementos reativos • Considere o circuito a seguir: – A chave K1 muda de posição em t=0 – Como se comporta a tensão e a corrente neste circuito? – Este circuito possui um capacitor e um indutor. • Como se comportara?

21/08/2013 31 Circuitos com dois elementos reativos • Para resolver este circuito vamos montar a equação diferencial • Sabemos que a corrente do capacitor e proporcional a derivada da tensão no mesmo • Sabemos que a tensão no indutor e proporcional a derivada da corrente no mesmo – Portanto se utilizarmos KVL no ramo do resistor, indutor e o capacitor teremos como montar uma EDO Circuitos com dois elementos reativos • Montando o KVL • As relações constitutivas dizem 0 capacitorindutorresistor vvv dt di Lv C q v Riv indutor capacitor resistor    Circuitos com dois elementos reativos • Como o circuito não possui fontes, temos somente o indutor e o capacitor descarregando no resistor – A EDO e homogênea – Esta pode ser montada de diversas formas 0 C q dt di LRi 02 2  C q dt dq R dt qd L 02 2  C i dt di R dt id L

21/08/2013 32 Circuitos com dois elementos reativos • No entanto existe uma maneira mais interessante – Lembrando que: 2 2 2 2 dt vd LC dt qd L dt di Lv v C q v dt dv RC dt dq RRiv capacitor indutor capacitorcapacitor capacitor resistor    Circuitos com dois elementos reativos • Portanto podemos montar a EDO como • Re-arranjando • Aonde v e a tensão no capacitor 02 2  v dt dv RC dt vd LC 02 2  LC v dt dv L R dt vd Circuitos com dois elementos reativos • Antes de encontrarmos a resposta vamos dar uma olhada nas condições iniciais – Estas condições são: a tensão em t=0 e a derivada da tensão em t=0 – Note que a derivada da tensão em t=0 é igual a corrente no capacitor • Esta corrente pelas Leis de Kirchoff é igual a corrente no indutor • Portanto temos de saber a tensão no capacitor e a corrente no indutor

21/08/2013 33 Circuitos com dois elementos reativos • Ora tínhamos uma fonte Vs ligada, vamos supor que esta era uma fonte DC • Portanto, antes da chave abrir: – O capacitor se comportava como um circuito aberto – O indutor se comportava como um curto- circuito Circuitos com dois elementos reativos • Logo a tensão no capacitor e a corrente no indutor serão • Com este conhecimento vamos resolver a EDO e o circuito 0  dt dv C dt dq i Vv capacitor indutor scapacitor Circuitos com dois elementos reativos • A resposta e uma função exponencial – No entanto, a forma desta exponencial dependera da solução genérica – A solução tem a forma • Naturalmente, isto já permite encontramos a solução para parte do problema com as condições iniciais já calculadas tt eAeAtv 21 21)(  

21/08/2013 34 Circuitos com dois elementos reativos • Condição inicial: – Tensão no capacitor – Derivada da tensão no capacitor (corrente no indutor) sVAAeAeAv  21 0 2 0 1 21 )0(  0 )0( 2211 0 22 0 11 21  AAeAeA dt dv   Circuitos com dois elementos reativos • Portanto temos duas equações e duas incógnitas • O resultado e sVAA  21 02211  AA  12 2 1     sV A 12 1 2     sV A Circuitos com dois elementos reativos • Portanto a solução genérica e: • Vamos agora encontrar as raízes para esta equação – As raízes são calculadas supondo uma solução genérica  tts ee V tv 21 12 12 )(       t etv  )(

21/08/2013 35 Circuitos com dois elementos reativos • Sendo que a substituição desta solução na equação resulta em • Ou 02 2  LC e dt de L R dt ed ttt  0 12  LCL R  Circuitos com dois elementos reativos • Esta equação e conhecida como equação característica – As raízes desta equação são fatores de separação da EDO – Resolvendo: 0 12  LCL R  LCL R L R 4 2 1 2 2 1        LCL R L R 4 2 1 2 2 2        Circuitos com dois elementos reativos • Portanto temos que sempre a resposta terá um caráter exponencial decrescente LCL R L R 1 22 2        22 2 1 2             L R LCL R

21/08/2013 36 Circuitos com dois elementos reativos • No entanto existem três casos possíveis – Sobre-amortecido – Amortecimento critico – Sub-amortecido 0 1 2 2       LCL R 0 1 2 2       LCL R 0 1 2 2       LCL R Circuitos com dois elementos reativos • Vamos ver cada caso, rearranjando: – Sobre-amortecido – Amortecimento critico – Sub-amortecido C L R 2 C L R 2 C L R 2 Circuitos com dois elementos reativos • Fazendo: – Temos o caso genérico • Assim: • Logo C L R 2 0 1 2 1 2 2   LCC L LL R 1 1 22 2 00 2         LCL R L R

21/08/2013 37 Circuitos com dois elementos reativos • Reescrevendo a ultima equação temos • Assim se – >1 o circuito e sobre-amortecido –  =1 o circuito tem amortecimento-crítico –  <1 o circuito e sub-amortecido  12 01    12 02   Circuitos com dois elementos reativos • A freqüência 0 e chamada de freqüência natural ou freqüência de ressonância do circuito • Esta freqüência e inerente a todos os circuitos de segunda-ordem • Vamos ver o que acontece quando mudamos o valor de  para 2,1 e 0.5 Circuitos com dois elementos reativos • Para =2 tem-se • Note que temos duas exponenciais: – Uma rápida (2) – Uma lenta (1) – A lenta e chamada de dominante     0001 27.032142       0002 73.332142  

21/08/2013 38 Circuitos com dois elementos reativos • Em termos gráficos 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tempo - inverso de w0 Magnitude Comportamento das duas constantes de tempo Circuitos com dois elementos reativos • No caso a resposta final será a soma das duas após a aplicação das condições iniciais – Estas condições são a tensão no capacitor (Vs) – Corrente no indutor (I=0) • Utilizando estes dados na solução  tts ee V tv 21 12 12 )(       Circuitos com dois elementos reativos • Portanto a solução para este caso será:  tt s eeVtv 00 73.327.0 077.0077.1)(    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tempo - inverso de w0 Magnitude Comportamento da resposta total

21/08/2013 39 Circuitos com dois elementos reativos • No caso de amortecimento critico =1. – Como utilizar a resposta já obtida neste caso? – Não é possível pois 1=2 !!!  tts ee V tv 21 12 12 )(       Circuitos com dois elementos reativos • Neste caso não é possível utilizar a resposta anterior e temos de fazer outra resposta. – Vamos começar com a resposta – Reescrevendo  tts ee V tv 21 12 12 )(            t t st t s e eV e eV tv         1212 12 1 12 1 )(     Circuitos com dois elementos reativos • Vamos utilizar a serie de Taylor em =0 para obter a resposta • Notem que a resposta                ... 2 1)( 22 2121 11 t tAAeeAAetf ttt                                                ......1 )( 11212 12 12 12 11 1 12 1 t eV t eV e eV e eVtv t s t s t t s t t s

21/08/2013 40 Circuitos com dois elementos reativos • Portanto • Ou fazendo a diferença =0: • Ou                     ...)( 12 22 121 12 121 12 121       tt eVtv t s  01)( 1 1  teVtv t s   teVtv t s   1)( Circuitos com dois elementos reativos • A resposta neste caso quando =1 e =- 0.  teVtv t s 01)( 0    0 2 4 6 8 10 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo - inverso de w0 Magnitude Comportamento da resposta total Circuitos com dois elementos reativos • Note que a resposta de amortecimento critico atravessa o eixo do zero. • Este comportamento vai depender naturalmente das condições de contorno.

21/08/2013 41 Circuitos com dois elementos reativos • Resta portanto somente a resposta de sub-amortecimento – Neste caso a raiz será complexa!    2 0 2 01 11   j    2 0 2 02 11   j Circuitos com dois elementos reativos • Antes de exemplificar, vamos ver o que este fato causa no nosso circuito • A resposta e:  tts ee V tv 21 12 12 )(                                 tjtj s ejej jj V tv 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 2 0 2 0 11 11 )(    Circuitos com dois elementos reativos • Reescrevendo • Esta pode ser reescrita como     tjtj t s ejej j eV tv 2 0 2 0 0 1212 2 11 12 )(                                                  2 11 2 2 11 12 1 12 )( 2 0 2 0 2 0 2 0 0       j ee j j ee eVtv tjtjtjtj t s

21/08/2013 42 Circuitos com dois elementos reativos • Se utilizarmos a identidade de Euler • Teremos        tjte tjte tj tj     sincos sincos        tjtj tjtj eetj eet         sin2 cos2 Circuitos com dois elementos reativos • Utilizando estas identidades na resposta • Reescrevendo                       tteVtv t s 2 0 2 0 2 1cos1sin 1 )( 0                          tteVtv t s 2 0 2 2 0 1sin 1 1cos)( 0     Circuitos com dois elementos reativos • A resposta gráfica será para =0.5 0 2 4 6 8 10 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo - inverso de w0 Magnitude Comportamento da resposta total

21/08/2013 43 Circuitos com dois elementos reativos • Um ponto interessante e quando a freqüência aumenta e a diminui 0 2 4 6 8 10 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo - inverso de w0 Magnitude Comportamento da resposta total Conclusão • Revisados os conceitos gerais de circuitos 1 • Métodos de resolução • Teoremas de Circuito • Circuitos com elementos reativos

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