Aula quinze precalcul oaluno

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Published on April 19, 2014

Author: carlosalbertoalbuquerque9

Source: slideshare.net

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Gráficos

Professor: Carlos Alberto de Albuquerque Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/ Email: Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br PRÉ-CÁLCULO

AULA QUINZE

FUNÇÕES RACIONAIS  Definição de Função Racional Uma função racional é qualquer função que pode ser especificada por uma regra escrita como f(x) = P(x) / Q(x), onde P(x) e Q(x) são funções polinomiais. Normalmente, é assumido que a expressão racional P(x) / Q(x) está na forma de termos de menor grau, ou seja, P(x) e Q(x) não tem fatores em comum.

FUNÇÕES RACIONAIS  Exemplos ( ) ( ) * , 12 ) ℜ== fDdomíniocom x xfa ( ) ( ) { }.3, 9 ) 2 2 ±≠ℜ∈= − = xxgDdomíniocom x x xgb ( ) ( )( ) ( ) ℜ= + −+ = hDdomíniocom x xx xhc , 4 41 ) 2

FUNÇÕES RACIONAIS  Gráfico de uma função Racional O gráfico de uma função racional é analisado em termos de simetria, interceptos, assíntotas e comportamento do sinal da função. 1) Se Q(x) não tem zeros reais, o gráfico de P(x)/Q(x) é uma curva suave para todo real x. 2) Se Q(x) tem zeros reais, o gráfico de P(x)/Q(x) consiste de curvas suaves em cada intervalo aberto que não inclui um zero. O gráfico tem assíntotas verticais em cada zero de Q(x).

FUNÇÕES RACIONAIS  Assíntotas Verticais A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função se, à medida que x se aproxima de a pelos valores maiores ou menores que a, o valor da função cresce acima de quaisquer valores positivos ou negativos.

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS  Exercício 1 Explique por que a reta x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico ( ) . 2 3 − = x xf

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS  Assíntotas Horizontais A reta y = a é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f se, à medida que x cresce indefinidamente para valores positivos ou negativos, f(x) se aproxima do valor a.

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS  Exemplo Encontre as assíntotas horizontais, se houver, de ( ) 5 12 − + = x x xf

SOLUÇÃO Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador (n = m), temos que a reta y=an/bm é uma assíntota horizontal do gráfico de f. Aqui an=2 e bn=1, então a reta y = 2/1 é uma assíntota horizontal y = 2

FUNÇÕES RACIONAIS  Assíntotas Oblíquas Seja Então, se n=m+1, f(x) pode ser reescrito usando a divisão longa (capítulo 14) na forma: ( ) ( ) ( ) 00 01 01 ≠≠ ++ +++ == mnm m n n beacom bxbxb axaxa xQ xP xf   ( ) ( ) ( )xQ xR baxxf ++=

FUNÇÕES RACIONAIS Onde o grau de R(x) é menor que o grau de Q(x). Logo, se é uma assíntota oblíqua do gráfico da função. ( ) baxyretaae baxxfxoux += +→−∞→∞→ ,

FUNÇÕES RACIONAIS  Exemplo Encontre a assíntota oblíqua do gráfico da função ( ) . 2 1 2 3 −+ + = xx x xf

SOLUÇÃO Usando o procedimento da divisão longa, temos: ( ) ( ) . 11 ,, . 2 13 1 2 funçãodagráficodoolíquaassíntotaumaé xyretaaexxf xouxseLogo xx x xxf −=−→ −∞→∞→ −+ − +−=

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS  Exemplo Esboce o gráfico de SOLUÇÃO 1 – O gráfico não tem interceptos x ou y. Como f(-x) = - f(x), a função é ímpar e o gráfico tem simetria em relação à origem. 2 – Já que 0 é o único zero do denominador, o eixo x, y =0, é uma assíntota horizontal. ( ) . 12 x xf −=

FUNÇÕES RACIONAIS 3 – Como o grau do denominador é maior que o grau do numerador, o eixo x, y = 0, é a assíntota horizontal. 4 – Uma vez que não há solução para a equação -12/x = 0, o gráfico não intercepta a assíntota horizontal. 5 – Se x é negativo, f(x) é positivo. Se x é positivo, f(x) é negativo. Logo, ( ) ( ) −∞=∞= + − → → xfexf x x lim0 0 lim

FUNÇÕES RACIONAIS  O gráfico fica:

FUNÇÕES RACIONAIS  Exercício 2 Encontre as assíntotas verticais do gráfico de: ( ) 42 − = x x xf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS  Exercício 3 Encontre as assíntotas verticais do gráfico de: ( ) 4 12 2 + − = x x xf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS  Exercício 4 Encontre as assíntotas verticais do gráfico de: ( ) 2 12 2 −− − = xx x xf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS  Exercício 5 Encontre as assíntotas verticais do gráfico de: ( ) 8 3 3 + = x xf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS  Exercício 6 Encontre as assíntotas horizontais do gráfico de: ( ) 4 4 2 2 + = x x xf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS  Exercício 7 Encontre as assíntotas horizontais do gráfico de: ( ) 4 2 + = x x xf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS  Exercício 8 Encontre as assíntotas horizontais do gráfico de: ( ) 4 2 2 − = x x xf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS  Exercício 9 Encontre as assíntotas horizontais do gráfico de: ( ) 14 253 2 2 + ++ = x xx xf

SOLUÇÃO

FIM DA AULA QUINZE

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