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Aula de Fasores para Circuitos Elétricos

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Information about Aula de Fasores para Circuitos Elétricos
Education

Published on March 12, 2014

Author: FilipeRibeiro

Source: slideshare.net

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17/04/2013 1 Análise do Regime Estacionário (Permanente) em Circuitos AC Prof. Leonardo Menezes Circuito Elétricos 2 ENE-FT-UnB Sumário • Senóides • Funções de Forçamento (forçantes) Senoidais e Complexas • Fasores • Relações entre os Fasores dos Elementos de um Circuito • Impedância e Admitância • Diagramas de Fasores • Análise Básica utilizando as Leis de Kirchoff • Procedimentos de Análise Senóides • As senoides são funções trigonométricas com a propriedade de periodicidade: • Onde T e chamado de período da função – No caso do seno e do cosseno )()( Ttxtx  )cos()( )sen()( 2 1 ttx ttx  

17/04/2013 2 Senóides • Naturalmente para isto: • Isto implica que • Portanto o período da função e 2p )sen()sen()cos()cos()cos()( )sen()cos()cos()sen()sen()( 2 1 TtTtTtTtx TtTtTtTtx   1)cos( & 0)(   T Tsen p p kTT nTT 21)cos( 0)sen(   Senóides • De um modo genérico • Logo )cos()( )sen()( 2 1 ttx ttx             )sen()sen()cos()cos()(cos)( )sen()cos()cos()sen()(sen)( 2 1 TtTtTtTtx TtTtTtTtx     Senóides • Deste modo • Portanto • Esta permite a definição da freqüência de repetição p   2 1)cos( 0)sen(       T T T T p  2  T ff T 1 2 2  p p 

17/04/2013 3 Senóides • Um função senoidal com amplitude XM e freqüência  será descrita por: tXtx M sin)(  Senóides • Algumas identidades úteis     cos)cos( sin)sin( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin(     )cos( 2 1 )cos( 2 1 coscos )sin( 2 1 )sin( 2 1 cossin sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin(         Senóides • Argumento de senóides • Notação aceita em engenharia elétrica (graus) 180 (rads) graus360radianos2  p  p   )90sin() 2 sin(  tt  p 

17/04/2013 4 Senóides • Um ponto interessante é que a circunferência tem um perímetro de 2pr • Se desenharmos uma circunferência de raio unitário )sen(y )cos(x  Senóides • Podemos representar o seno como: • Copyright: Mike Coombes Senóides • Esta é chamada de representação fasorial. – Entraremos em mais detalhes sobre ela mais adiante. • A função mostrada anteriormente é melhor caracterizada com uma notação genérica de função senoidal    tXtx M sin)(1

17/04/2013 5 Senóides • Neste caso haverá um atraso de x (t) em relação a x1(t)    tXtx M sin)(1  tXtx M sin)(  Senóides • Do ponto de vista do diagrama anterior • Copyright: Mike Coombes – Azul -x1(t), Vermelho x(t) Senóides • Exemplos )cos( t )45cos( t )18045cos()45cos(  tt 

17/04/2013 6 Funções de Forçamento Senoidais e Complexas • Se as fontes independentes são senóidais de mesma freqüência então: – todas as variáveis no circuito linear e invariável no tempo (LIT) também serão senóidais com a mesma freqüência )sin()()sin()(   tBtitAtv SS , parâmetrososdeterminar precisamossóioestacionárestadoemsoluçãoaencontrarPara B Funções de Forçamento Senoidais e Complexas • Como isto é possível? Circuito linear invariável com o tempo (LIT) vf(t) Fonte independente de tensão ou de corrente + _ if(t) Entrada: x(t) = vf(t) ou if(t) Saída: y(t) : qualquer tensão ou corrente do circuito      )( 011 1 1 011 1 1 )( )()()( )( )()()( tf m m mm m m n n nn n n txb dt tdx b dt txd b dt txd b tya dt tdy a dt tyd a dt tyd a for çante,função         )()()( tytyty pc  solução complementar ou resposta natural solução particular ou resposta forçada Funções de Forçamento Senoidais e Complexas entãoSe ),cos()( xm tXtx   )cos( )( )()()( )( 011 1 1 fm m m mm m m tF txb dt tdx b dt txd b dt txd btf        )cos()sen()cos()( ymp tYtBtAty   Portanto, Supondo que todas as freqüências naturais do circuito estão no s.e.a, tem-se que  ttytytty pc qdoeqdo ),()(,0)( Portanto, )cos()()( ymprp tYtyty   cossenóide que tem a mesma freqüência da excitação, o circuito modifica apenas a amplitude e a fase ymY , )cos()( ymrp tYty  

17/04/2013 7 Funções de Forçamento Senoidais e Complexas • Exemplo • Substituindo • Resulta nas equações • Com solução )()()( tvtRit dt di L :KVL tAtAt dt di tAtAtAti   cossin)( sincos)cos()( ioestacionárestadoEm 21 21   tVtRAALtRAAL M  coscos)(sin)( 1221  MVRAAL RAAL   12 21 0   222221 )( , )( LR LV A LR RV A MM        Funções de Forçamento Senoidais e Complexas • Com auxílio das identidades trigonométricas isto pode ser simplificado  sin,cos 21 AAAA  222221 )( , )( LR LV A LR RV A MM        1 22 2 2 1 tan, A A AAA   R L LR V A M    1 22 tan, )(     )tancos( )( )( 1 22 R L t LR V ti M        Funções de Forçamento Senoidais e Complexas • Portanto resolver um circuito desta forma é complicado – Mais simples é utilizar números complexos – Desta forma sincos  jej  )sin()(sin)( )cos()(cos)(     tAtytVtv tAtytVtv M M tjjtjtj M eAeAeeV    )(

17/04/2013 8 Funções de Forçamento Senoidais e Complexas • Mesmo exemplo anterior tj MeVtv  )( )()()( tvtRit dt di L :KVL )( )(Assumir    tj M eIti tjj M tj M tj M tj M eeIRLj eIRLj eRIeLIjtRit dt di L       )( )( )()( )( )()(      tj M tjj M eVeeIRLj    )( RLj V eI Mj M     R L Mj M e LR V eI    1 tan 22 )(     Funções de Forçamento Senoidais e Complexas • Devido a TODAS as fontes terem a mesma freqüência: )( )()( )(      tj eYtyeUtu M tj M }Re{}Re{ )( )(     tj eYeU M tj M GRAUSEMSERPODEMÂNGULOSOSE... USAMOSDEINVÉSAO :NOTAÇÃONOVA   M j M UueUu )}cos(Re{)()cos()(   tYtyYYUUtUtu MMMM Funções de Forçamento Senoidais e Complexas • Portanto podemos utilizar esta nova notação para resolver as equações diferenciais para estado estacionário senóidal • No entanto existe outra possibilidade – Modificarmos os elementos dos circuitos utilizando esta notação. • Mas antes vamos apresentar esta notação como notação fasorial – A razão do nome está ligada a representação da senóide no plano complexo

17/04/2013 9 Fasores • Relembrando a representação no plano complexo Fasores • O vetor roda devido ao termo da exponencial complexa que varia no tempo • Como sabemos a freqüência de rotação (e é a mesma em todo circuito) podemos deixá-la de lado tjjtjtj M eAeAeeV    )(   j M tjjtj M AeV eAeeV   Fasores • Assim a representação terá somente o vetor (sem girar) Re Im xθ  0t tj eX   p  2 t tj eX  p  t tj eX mX mX mX mX Re Im xθ xj meXX   mX mX mX mX Fasor girante Fasor

17/04/2013 10 Fasores • Exemplo • Deste modo o uso de fasores pode eliminar a montagem da EDO tj M Vev VV    0 tj M Iei II     tjtjtj VeRIeIejL vtRit dt di L     )( )()( LjR V I VRILIj      :fasoresdetermosEm Fasores • Fasores podem ser combinados utilizando as regras de álgebra complexa )())(( 21212211   VVVV )( 21 2 1 22 11       V V V V Relações entre os Fasores dos Elementos de um Circuito • Mas o melhor de fasores é que podem eliminar a necessidade de montagem da EDO – Com a introdução dos conceitos de impedância e admitância é possível determinar o fasor Y – ou H(j) – diretamente do circuito, sem a determinação da equação diferencial que relaciona y(t) e x(t).

17/04/2013 11 Relações entre os Fasores dos Elementos de um Circuito • Objetivo: obter a relação entre o fasor-tensão V e o fasor-corrente I para cada um dos seguintes elementos de dois terminais: resistor, indutor e capacitor. Circuito LIT em RPS Elemento de 2 terminais separado para análise   _ Re)( tj Vetv     tj Ieti  Re)(    )cos(Re)( VtVVetv tj     )cos(Re)( ItIIeti tj   Relações entre os Fasores dos Elementos de um Circuito • Resistor Circuito LIT em RPS _ )()( tiRtv   )(ti        tjtj tjtj IeRVe IeRVe tiRtv   ReRe ReRe )()(       IRV  Circuito LIT em RPS _ IRV   I R R VGI ou Relações entre os Fasores dos Elementos de um Circuito • Capacitor Circuito LIT em RPS _ )(tv  )(ti C Circuito LIT em RPS _ 1 I Cj V    I Cj 1        tjtj tj tj VeCjIe dt Ved CIe dt tvd Cti    ReRe Re Re )( )(    VCjI  I Cj V  1 ou

17/04/2013 12 Relações entre os Fasores dos Elementos de um Circuito • Capacitor )cos()( VtVtv   )2cos( )cos()( p    VtVC ItItiVCjI  Em um capacitor, a corrente está adiantada em relação à tensão de ¼ de ciclo (ou período) Em um capacitor, o fasor- corrente está adiantado em relação ao fasor-tensão de 90o Relações entre os Fasores dos Elementos de um Circuito • Exemplo ?)().15314cos(100)(,100 tittvFC   CVjI V      15100 314  15100901CI  )(10510010100314 6 AI   ))(105314cos(14.3)( Atti  Relações entre os Fasores dos Elementos de um Circuito • Indutor Circuito LIT em RPS _ )(tv  )(ti        tjtj tj tj IeLjVe dt Ied LVe dt tid Ltv    ReRe Re Re )( )(    ILjV  L V Lj I  1 ou Circuito LIT em RPS _ ILjV   I Lj  902  LeLLj I V j  p depende de 

17/04/2013 13 Relações entre os Fasores dos Elementos de um Circuito • Indutor )cos()( VtVtv   )2cos( )cos()( p     Vt L V ItIti Em um Indutor, a corrente está atrasada em relação à tensão de ¼ de ciclo (ou período) Em um indutor, o fasor- corrente está atrasado em relação ao fasor-tensão de 90o V Lj I  1 Relações entre os Fasores dos Elementos de um Circuito • Exemplo ?)().20377cos(12)(,20 tittvmHL  Lj V I V      2012 377 )( 90 2012 A L I     )(70 1020377 12 3 AI     )70377cos( 1020377 12 )( 3     tti Impedância e Admitância • Da mesma forma que temos uma relação entre os fasores de tensão e corrente – Podemos ter uma relação entre os fasores de corrente e tensão na entrada de um ciruito ziv M M iM vM Z I V I V I V Z        ||)( Impedância de Entrada ReativoComponente)( ResistivoComponente)( )()()(       X R jXRZ

17/04/2013 14 Impedância e Admitância • Impedância não é um fasor Circuito LIT em RPS (sem fontes independentes)  Circuito LIT em RPS I V + _ Semelhante a lei de Ohm, só que as grandezas envolvidas são complexas. I VjZ )(  I V jZ )(  IVjZ  )(  )( jZ e      )(cos)()(ReRe)(   jZItIjZeIjZVetv tjtj  Retorno para o domínio do tempo:    ohm ampère volt ][ ][ )( I V jZ Unidade de medida: Impedância e Admitância )()()(  XjRjZ  )()()(  BjGjY  R : resistência X : reatância G : condutância B : susceptância Imitância : designação genérica para impedância e admitância )( 1)(   jZ jY  )()( 1)()(   XjR BjG   22 XR RG   22 XR XB   22 BG GR   22 BG BX   Atenção: Denominações: Impedância e Admitância  ZRXarctgXRXjRZ )(22 Triângulos de impedância e admitância:  YGBarctgBGBjGY )(22    Z Y 1 θ X Z  B Y

17/04/2013 15 Impedância e Admitância • Impedância e Admitância de Elementos Básicos Elemento Impedância Admitância Resistor Capacitor Indutor RjZ )(    90111)(  CC j Cj jZ CX     90)( LLjjZ LX     90)( CCjjY CB     90111)(  LL j Lj jY LB   G R jY  1)(  Impedância e Admitância • Tanto KCL quanto KVL funcionam com fasores - KVL  tj eVtv  44 Re)(  _   tj eVtv  22 Re)(  _   tj eVtv  11 Re)(  _   tj eVtv  55 Re)(     tj eVtv  53 Re)(    Impedância e Admitância • KVL 0)()()()()( 54321  tvtvtvtvtv:LTK           0ReReReReRe 54321  tjtjtjtjtj eVeVeVeVeV     tjtj eeVVVVV   0Re0)(Re 54321 054321  VVVVV os fasores-tensão satisfazem a LTK

17/04/2013 16 Impedância e Admitância • KCL 0)()()( 321  tititi:LCK       0ReReRe 321  tjtjtj eIeIeI   tj eIti  11 Re)(   tj eIti  22 Re)(   tj eIti  33 Re)(     tjtj eeIII   0Re0)(Re 321 0321  III os fasores-corrente satisfazem a LCK Impedância e Admitância • Portanto Impedâncias e Admitâncias podem ser combinadas da mesma forma que em circuitos resistivos – Exemplo        077.1384.12 13 1418 2 46 124 2 2422 2422 2 j j Z j j jj jj Z I I          Impedância e Admitância 24 464 1 1 jZ jjZ   222 jZ   565.26472.4)( 1ZPR  565.26224.01Y  45828.2)( 2ZPR  45354.02Y 100.0200.0)( 1 jYRP  250.0250.0)( 2 jYRP  35.045.02112 jYYY   875.37570.0)( 12YPR  875.37754.112Z 077.1384.1)( 12 jZRP  222 )2()2( 22 22 1      j j Y 077.1383.3)1077384.1(2 jjZT  221 )2()4( 24 24 1      j j Y 325.0 35.045.0 35.045.0 11 12 12 j jY Z     12 12 2112 1 Y Z YYY  

17/04/2013 17 Diagramas de Fasores • Criado inicialmente para simplificar o cálculo de circuitos com números complexos – Permite trocar o problema algébrico por um geométrico • Hoje em dia é um recurso utilizado em determinados tópicos – Máquinas, transmissão de energia Diagramas de Fasores • Permite visualizar alguns efeitos de freqüência Qualquer variável pode ser referência. Consideremos a tensão V CVj Lj V R V IS   :KCL |||| CL II  CASO INDUTIVO |||| CL II  CASO CAPACITIVO o)(capacitiv (indutivo) CVjIC  lj V IL   Diagramas de Fasores • Ressonância CLRS IIII   90VVVI  CCjC  entãoSe LC 1 V VVI  RRR  90V VVI  LLjL   90VVVI  L C L CjL  90VVVI  L C L CjC VIIIII, RRCLRS  V RS II  CI LI RI LCI 0I0I 0III   CL CLLC emas,

17/04/2013 18 Diagramas de Fasores • Construindo um diagrama fasorial I)44(VVVV I2I 1 V I6IV I4IV j j Cj jLj R CLRS C L R       É conveniente selecionar I como referência, ou seja, vamos assumir que I = IM0o     4524V 902V 906V 04V     MS MC ML MR I I I I srad377 Diagramas de Fasores  90212VSPARADIAGRAMA Todos os fasores devem ser “adiantados” de 45o )( )(4512V Pitágoras R V )(453I A )(456V VC )(13518V VL     4524V 902V 906V 04V     MS MC ML MR I I I I Diagramas de Fasores        454 435,63472,4 904 I 42 4 I1 j j )(435,18578,3I1 A Divisor de corrente       454 435,63472,4 02 I 42 2 I2 j )(435,108789,1I2 A )(435,18156,7I2V 1 V Todos os fasores são conhecidos, não é necessário escolher um referência V16,7V  A4I  A79,1I2  A58,3I1 

17/04/2013 19 Análise Básica utilizando as Leis de Kirchoff • Para circuitos mais simples – Podemos utilizar combinação de impedâncias – Divisor de corrente e tensão – Leis de Kirchoff Análise Básica utilizando as Leis de Kirchoff • Exemplo: – Procedimento: • Calcula-se Zeq na entrada • Utiliza-se divisor de tensão • Depois divisor de corrente Análise Básica utilizando as Leis de Kirchoff )48||6(4 jjZeq  28 4824832 28 4824 4 j jj j j Zeq       )(964.30604.9 036.14246.8 45196.79 28 5656        j j Zeq )(036.29498.2 964.30604.9 6024 1 A Z V I eq S     )(036.29498.2 036.14246.8 906 28 6 13 AI j j I       )(036.29498.2 036.14246.8 565.26944.8 28 48 12 AI j j I        3221 904906 IVIV   10582.158.1171.206.295.2 321 III )(1528.7 )(42.7826.16 2 1 VV VV   21 32 1 V,VparaOhmdeLei I,IparacorrentededivisorUse ICalcule

17/04/2013 20 Procedimentos de Análise • Para circuitos mais complexos – Temos de usar todo o arsenal de técnicas • Norton e Thevenin • Transformação de Fonte • Análise Nodal • Análise de Laços Procedimentos de Análise • Thevenin – Exemplo )sen()( ttv f + – 1 F1 1  )(2)( 12 titi  )(1 ti Procedimentos de Análise • Thevenin  1j srad1 901f     jV + – 1 1  12 I2)(I t 1I     j j j I V Z jjIIIIII IIjI jIjII CC jIjjV jIII jIjII CA CC CA TH ABCCACCB BBA ABA BCA BBA ABA                 21 2 2122122 101 1 56.26544.15352 202 00

17/04/2013 21 Procedimentos de Análise • Thevenin  5,265V ca + – 1j  1j srad1 901f     jV + – 1 1  12 I2)(I t 1I  5,265V ca  1jZeq Procedimentos de Análise • Transformação de Fonte – Exemplo Procedimentos de Análise • Transformação de Fonte 012 2  906  2j 2   0V1I 2j 2||2 jZ  eqI jZ Z I 22 1   10 2IV  jIeq 612906012 

17/04/2013 22 Procedimentos de Análise • Alternativamente j j j ZZ j j I thn      1 22 22 612 6 2 24 cc    jjjZjZ jjjIZV thf thoc   1122 1861612cc     jjjV j j V Z V oc f 1231 5 1 5 3 6 186 12 2 2 2 0 0             Procedimentos de Análise • Análise Nodal – Exemplo Procedimentos de Análise • Análise Nodal  012 :SupernódoRestriçãodeEquação 31 VV 0 11 04 SupernónoKCL 3212303         j V j VVVVVV 0 1 2 3212      VV I j VV x 2KCL@V 004 11 300    VVV 0VKCL@ 1 ControladaFonte 03 VV Ix   42 03  VV 162 12 01 31   VV VV 4003  VVV 0)42()4(2)162( 02002  VVVVVj 4)42()4()42()162( 000202  VjVVVVVj j j V 21 48 0   

17/04/2013 23 Procedimentos de Análise • Análise de Laços – Exemplo Procedimentos de Análise • Análise de Laços xII I 2 04 3 2   0)(1012 :1MALHA 311  IIjI 0)(1)(1 :4MALHA 34424  IIjIII 24 :CONTROLADAFONTE IIIx  )(1 :INTERESSEDEVARIÁVEL 40 VIV  0))4(2(4 4444  IIjII )4(2 43  II j j IjIj    2 84 )84()2( 44 j j  j j V 21 48 0    Procedimentos de Análise • Análise MATLAB – Montar as equações matriciais – Resolvê-las no MATLAB

17/04/2013 24 Procedimentos de Análise • Análise MATLAB                                                    452 0 0 0 3012 5.05.11 115.1 5.0 0 5.0 0 0 5.0 5.0015.110 5.0015.011 00001 5 4 3 2 1 V V V V V j j j jj jjj %example7p17 %define the RHS vector. ir=zeros(5,1); %initialize and define non zero values ir(1)=12*cos(30*pi/180)+j*12*sin(30*pi/180); ir(5)=2*cos(pi/4)+j*2*sin(pi/4), %echo the vector %now define the matrix y=[1,0,0,0,0; %first row -1,1+0.5j,-j,0,0.5j; %second row 0,-j,1.5+j,0,-0.5; %third row -0.5,0,0,1.5+j,-1; %fourth row 0,0.5i,-0.5,-1,1.5+0.5i] %last row and do echo v=yir %solve equations and echo the answer Procedimentos de Análise • Análise SPICE – Exemplo Procedimentos de Análise • Monte o circuito no PSPICE schematic Select and place components Wire and set correct attributes Circuit ready to be simulated Ground set, meters specified

17/04/2013 25 **** AC ANALYSIS TEMPERATURE = 27.000 DEG C ************************************************************************ ****** FREQ VM($N_0003) VP($N_0003) 6.000E+01 2.651E+00 -3.854E+01 **** 05/20/01 09:03:41 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:ECEWorkIrwinPPTACSteadyStateAnalysisSec7p9Demo.sch **** AC ANALYSIS TEMPERATURE = 27.000 DEG C ************************************************************************ ****** FREQ IM(V_PRINT2)IP(V_PRINT2) 6.000E+01 2.998E-03 5.146E+01 Conclusões • Visto a análise fasorial (cap 7) • Técnicas de resolução • Definição de Fasores • Diagramas Fasoriais • Exemplos

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