Apresentação 2

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Science-Technology

Published on October 14, 2008

Author: Helenaodete

Source: authorstream.com

Soluções em Série, Sistemas e Estabilidade de Equações Diferenciais Ordinárias. : Soluções em Série, Sistemas e Estabilidade de Equações Diferenciais Ordinárias. Odete Pereira dos Santos Orientador: Marcio Demetrius Martinez UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MATO GROSSO DO SUL Soluções em Séries para Equações Diferenciais Lineares : Soluções em Séries para Equações Diferenciais Lineares Encontrar a solução geral de uma (E.D.O) de segunda ordem com coeficientes constantes requer a determinação de um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea. Para tratar a classe muito maior de equações com coeficientes variáveis é necessário estender a nossa procura além de das funções elementares do calculo. Métodos de Soluções das E.D.O. : Métodos de Soluções das E.D.O. Uma técnica padrão para resolver equações lineares de coeficientes variáveis é tentar encontrar uma solução na forma de série infinita, por exemplo, série de potências. Uma equação diferencial linear de segunda ordem, por exemplo, procuramos soluções da forma: Soluções em Séries : Soluções em Séries Encontramos duas seqüências de coeficientes para termos duas séries de potências distintas e ,ambas desenvolvidas em torno do mesmo ponto ordinário . A solução geral para a equação diferencial é: , Sistemas Lineares : Sistemas Lineares Sistemas de equações diferenciais ordinárias simultâneas aparecem naturalmente em problemas envolvendo diversas variáveis dependentes, cada uma das quais sendo uma função de uma única variável independente. Existem muitos problemas físicos que tem esta característica, por exemplo, circuitos elétricos, sistema de massa-mola, e em outros campos. Sistemas Autônomos : Sistemas Autônomos Como muitas equações diferenciais, especialmente as não-lineares, não podem ser resolvidas de maneira conveniente por métodos analíticos, é importante considerar que tipo de informação qualitativa pode ser obtido sobre suas soluções sem resolver, de fato, as equações. Estudamos a estabilidade de uma solução e os métodos utilizados foram, basicamente, geométricos. Aplicações dos Sistemas Autônomos : Aplicações dos Sistemas Autônomos Os sistemas autônomos planos podem servir de modelo matemático para diversos fenômenos físicos, que incluem problemas na dinâmica dos fluidos em estado estacionário, oscilações mecânicas, circuitos contendo capacitores não-lineares, interações do tipo predador-presa e competição em ecologia e cinética de remédios. Equações Predador-Presa : Equações Predador-Presa Ocorre uma interação do tipo predador-presa entre duas espécies quando uma espécie (predador) se alimenta de uma segunda espécie (presa). No exemplo a seguir, consideraremos modelos mais realistas que levam em consideração a interação de duas espécies no mesmo ambiente. Veremos a seguir que esses modelos tomam a forma de um par de equações diferenciais acopladas. Interações do tipo Predador-presa : Interações do tipo Predador-presa Suponha que as populações de lobos e coelhos são descritas pelas equações de Lotka-Volterra (a) com Encontre as soluções constantes (chamadas de soluções de equilíbrio) Solução: Com os valores de , as equações Solução do Sistema : Solução do Sistema de Lotka-Volterra se torna: Tanto como serão constantes se ambas as derivadas forem zero, isto é, Soluções de Equilíbrio : Soluções de Equilíbrio Uma solução é dada por e A outra solução constante é e Slide 12: (b) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial resultante no plano E use o campo de direção para esboçar algumas curvas de solução. Se pensarmos em como função de teremos a equação diferencial Referências Bibliográficas : Referências Bibliográficas [1] Boyce, W.E.e Diprima, R.C,.Equações Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, 7 edição,2002. [2] Zill, D.G.e Cullem, M.R.,Equações Diferenciais ,Makron Books,Volumes 1,2 e 3 edição, 2001. [3] Matos, M. Series e Equações Diferenciais,Prentice Hall,1ª edição ,2001. [4] Ruggiero, M.A.G e Lopes, V.L.R., Cálculo Numérico- Apectos Teóricos e Computacionais, Makron Books, 2ª edição,1996. [5] Santos,A.R.e Bianchini,W., Aprendendo Cálculo com MAPLE,LTC,2002. [6] Hanselman,D.e Littlefield,B.,MATLAB 6 –Curso Completo,Prentice Hall,2003.

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