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Apostila processos estocásticos

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Published on March 9, 2014

Author: matheusgaldino355

Source: slideshare.net

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Universidade Federal Fluminense Mestrado em Engenharia de Telecomunica¸˜es co Processos Estoc´sticos I a apostila usada no curso Prof. Edson Cataldo

Contents 1 Modelos 1.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.2 Modelos matem´ticos . . . . . . . . . . . a 1.3 Simula¸˜o computacional . . . . . . . . . ca 1.4 Modelos determin´ ısticos . . . . . . . . . 1.5 Modelos probabil´ ısticos . . . . . . . . . . 1.6 Regularidade estat´ ıstica . . . . . . . . . 1.7 Propriedades de freq¨ˆncia relativa . . . ue 1.8 Constru¸˜o de um modelo probabil´ ca ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 4 4 5 5 6 2 Conceitos b´sicos da Teoria de Probabilidade a 2.1 Especifica¸˜o de experimentos aleat´rios . . . ca o 2.2 O espa¸o amostral . . . . . . . . . . . . . . . c 2.3 Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Axiomas de probabilidade . . . . . . . . . . . 2.5 Espa¸os amostrais discretos e cont´ c ınuos . . . . 2.6 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . 2.6.1 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.6.2 Teorema da Probabilidade total . . . . 2.6.3 Regra de Bayes . . . . . . . . . . . . . 2.7 Eventos independentes . . . . . . . . . . . . . 2.8 A lei de probabilidade binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 9 10 10 10 12 12 14 14 3 Vari´veis Aleat´rias a o 3.1 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . ca 3.2 Fun¸˜o distribui¸˜o de probabilidade ca ca 3.3 Tipos de vari´veis aleat´rias . . . . . a o 3.3.1 Vari´vel aleat´ria discreta . . a o 3.3.2 Vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua . . 3.3.3 Vari´vel aleat´ria mista . . . a o 3.4 Fun¸˜o densidade de probabilidade . ca 3.5 Exemplos de vari´veis aleat´rias . . . a o 3.5.1 Vari´veis aleat´rias discretas . a o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 16 19 19 19 20 21 23 23 . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.2 Vari´veis aleat´rias cont´ a o ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Vetores de vari´veis aleat´rias a o 4.1 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 4.2 Eventos associados a vetores aleat´rios . . . . . . . o 4.3 Independˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4 Fun¸˜o distribui¸˜o de probabilidade conjunta . . . ca ca 4.4.1 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 4.4.2 Propriedades da F.D.P. conjunta . . . . . . 4.5 Fun¸˜o densidade de probabilidade conjunta . . . . ca 4.5.1 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 4.5.2 Propriedades da f.d.p. conjunta . . . . . . . 4.6 Fun¸˜es distribui¸˜o e densidade condicionais . . . co ca 4.6.1 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 4.6.2 Independˆncia entre duas vari´veis aleat´rias e a o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 27 28 28 28 29 30 30 30 32 32 33 5 Fun¸˜es de vari´veis aleat´rias co a o 37 5.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ca 5.2 Fun¸˜o densidade de probabilidade de Y = g(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ca 6 Valor esperado, variˆncia e desvio padr˜o de vari´veis aleat´rias a a a o 6.1 Valor esperado (ou m´dia) de um v.a . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.2 Variˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Momentos de ordem k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Momento central de ordem k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Valor esperado de um vetor aleat´rio . . . . . . . . . . . . . o 6.4 Matriz Covariˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.5 Momentos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Defini¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 6.5.2 Coeficiente de correla¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Processos Estoc´sticos a 7.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 7.2 Especifica¸˜o de um processo estoc´stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca a 7.3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 M´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.3.2 Autocorrela¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 7.3.3 Autocovariˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7.4 Processos estoc´sticos (estritamente) estacion´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 7.5 Processos estoc´sticos estacion´rios no sentido amplo ou fracamente estacion´rios a a a 7.5.1 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 7.5.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Estat´ ısticas conjuntas de processos estoc´sticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2 41 41 42 43 43 43 43 44 45 45 45 47 47 48 50 50 50 50 52 52 52 53 53

7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 Especifica¸˜o conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Momentos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Processos estoc´sticos conjuntamente estacion´rios . . . . . . . . . . . . a a Propriedades da fun¸˜o correla¸˜o cruzada de dois processos estoc´sticos ca ca a conjuntamente estacion´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7.6.5 Independˆncia, n˜o-correla¸˜o e ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . e a ca 7.6.6 Processos Erg´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7.7 Processos estoc´sticos gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 8 Revis˜o de an´lise de Fourier a a 8.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . ca 8.2 S´rie de Fourier . . . . . . . e 8.3 Transformada de Fourier . . 8.4 Convolu¸˜o . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 An´lise e processamento de sinais aleat´rios a o 9.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 9.2 Alguns conceitos sobre sinais determin´ ısticos . . . . . . . . . . 9.2.1 Energia e Potˆncia de um sinal . . . . . . . . . . . . . e 9.2.2 Algumas f´rmulas relacionadas a sinais determin´ o ısticos 9.2.3 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Densidade espectral de energia e de potˆncia . . . . . . e 9.3 Correla¸˜o cruzada e autocorrela¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . ca ca 9.3.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 9.3.2 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 9.4 Densidade espectral de potˆncia para sinais aleat´rios . . . . . e o 9.5 Teorema - Sx (ω) = F {Rx (τ )} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Resposta de sistemas lineares a sinais aleat´rios . . . . . . . . o 10 Referˆncias e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 54 54 54 55 55 . . . . 57 57 57 63 68 . . . . . . . . . . . . 70 70 70 70 71 71 72 72 72 73 73 74 77 80 3

Chapter 1 Modelos 1.1 Introdu¸˜o ca Podemos dizer que um modelo (matem´tico, f´ a ısico, probabil´ ıstico, econˆmico,...) ´ uma repo e resenta¸˜o de uma situa¸˜o existente. Seu objetivo ´ explicar um determinado comportamento ca ca e prevendo o resultado de experimentos envolvendo a tal situa¸˜o. ca 1.2 Modelos matem´ticos a Modelos matem´ticos s˜o usados quando o fenˆmeno observado tem propriedades mena a o sur´veis e consiste de um conjunto de considera¸˜es e rela¸˜es matem´ticas sobre o funcionaa co co a mento do sistema em observa¸˜o. ca 1.3 Simula¸˜o computacional ca A simula¸˜o computacional ´ realizada atrav´s de programas que ir˜o gerar os resultados ca e e a previstos pelo modelo. 1.4 Modelos determin´ ısticos Em modelos determin´ ısticos, as condi¸˜es sob as quais um experimento ´ realizado determina co e o exato resultado desse experimento. Nesses modelos, a solu¸˜o de um conjunto de equa¸˜es especifica o exato resultado do ca co experimento. 1.5 Modelos probabil´ ısticos Definimos um experimento aleat´rio como aquele no qual os resultados variam, embora o o experimento seja repetido sob as mesmas condi¸˜es. Os modelos probabil´ co ısticos ir˜o prever a 4

poss´ ıveis resultados ou faixa de resultados para os sistemas em que os resultados s˜o aleat´rios; a o isto ´, embora as entradas sejam as mesmas, as sa´ e ıdas s˜o diferentes. a 1.6 Regularidade estat´ ıstica Muitos modelos probabil´ ısticos s˜o baseados no fato de que m´dias obtidas em longas a e seq¨ˆncias de repeti¸˜es de experimentos aleat´rios tˆm o mesmo valor. Esta propriedade ue co o e ´ chamada de regularidade estat´ e ıstica. Considere o seguinte exemplo: “Uma bola ´ selecionada de uma urna contendo trˆs bolas idˆnticas numeradas com os e e e n´ meros 0,1 e 2. O n´ mero da bola ´ anotado e a bola ´ retornada ` urna.” u u e e a O resultado deste experimento ´ um n´ mero do conjunto S = {0, 1, 2}. e u Suponha que o experimento seja repetido n vezes sob condi¸˜es idˆnticas. Sejam N0 (n), co e N1 (n) e N2 (n) o n´ mero de vezes no qual os resultados s˜o as bolas 0, 1 e 2, respectivamente. u a Nk (n) Definimos a freq¨ˆncia relativa do resultado k, k = 0, 1 ou 2, por: fk (n) = ue . n De acordo com o que chamamos de regularidade estat´ ıstica, fk (n) varia menos, em torno de uma constante, ` medida que n ´ tomado grande; isto ´, lim fk (n) = pk . A constante pk ´ a e e e n→+∞ chamada de probabilidade do resultado k. Em modelos probabil´ ısticos, as condi¸˜es sob as quais um experimento aleat´rio ´ realizado co o e determina as probabilidades dos resultados do experimento. 1.7 Propriedades de freq¨ˆncia relativa ue Suponha que um experimento aleat´rio tenha K poss´ o ıveis resultados; isto ´, S = {1, 2, . . . , K}. e Suponha que o experimento tenha sido repetido n vezes e considere que Nk (n) ´ o n´ mero de e u vezes em que o resultado obtido foi k, sendo k = 1, 2, . . . , K. Temos, 0 ≤ Nk (n) ≤ n , k = 1, 2, . . . , K. Assim, 0 ≤ fk (n) ≤ 1 , k = 1, 2, . . . , K. K Tamb´m, e k=1 K Nk (n) = n ⇒ fk (n) = 1. k=1 Algumas vezes estamos interessados na ocorrˆncia de eventos associados com os resultados e de um experimento. Por exemplo, considere o exemplo da se¸˜o anterior e o caso em que “uma bola de n´ mero ca u diferente de 1 ´ selecionada”. e Se uma bola de n´ mero diferente de 1 ´ selecionada, ent˜o uma bola de n´ mero 0 ou 2 foi u e a u selecionada. Logo, a freq¨ˆncia relativa, neste caso, ser´ obtida fazendo: ue a Ncaso (n) = N0 (n) + N2 (n) ⇒ fcaso (n) = 5 N0 (n) + N2 (n) = f0 (n) + f2 (n). n

1.8 Constru¸˜o de um modelo probabil´ ca ıstico Podemos, portanto, dizer que para a constru¸˜o de um modelo probabil´ ca ıstico devemos: (i) definir o experimento aleat´rio correspondente; o (ii) especificar o conjunto S de todos os poss´ ıveis resultados. Chamaremos esse conjunto de espa¸o amostral; c (iii) especificar uma associa¸˜o de probabilidades para todos os casos de interesse. Definiremos ca mais adiante esses casos atrav´s do que chamaremos de eventos. e H´ uma infinidade de aplica¸˜es de modelos probabil´ a co ısticos. Em Telecomunica¸˜es, podemos co citar, sistemas de transmiss˜o de voz, tr´fego telefˆnico, desvanecimento de sinais radioel´tricos. a a o e 6

Chapter 2 Conceitos b´sicos da Teoria de a Probabilidade 2.1 Especifica¸˜o de experimentos aleat´rios ca o Um experimento aleat´rio ´ um experimento no qual o resultado varia de forma, digamos, o e imprevis´ quando o experimento ´ repetido sob as mesmas condi¸˜es. Podemos dizer, de ıvel e co maneira informal, que um experimento aleat´rio ser´ especificado pela implementa¸˜o de um o a ca procedimento experimental e por um conjunto de uma ou mais medidas de observa¸˜es. co Exemplos de experimentos aleat´rios: o Consideremos os seguintes experimentos: (a) E1 : Selecione uma bola de uma urna contendo bolas numeradas de 1 a 50. Anote o n´ mero da bola. u (b) E2 : Lance uma moeda trˆs vezes. Anote o n´ mero de caras. e u (c) E3 : Transmita um bloco de informa¸˜es atrav´s de um canal ruidoso, repetidamente, co e at´ que um bloco livre de erros chegue ao receptor. Conte o n´mero de transmiss˜es e u o requeridas. (d) E4 : Escolha um n´ mero real ao acaso entre zero e um. Anote esse n´ mero. u u 2.2 O espa¸o amostral c Embora os resultados em experimentos aleat´rios sejam imprevis´ o ıveis, ´ necess´rio determie a nar o conjunto de poss´ ıveis resultados. Definimos resultado ou ponto amostra ou simplesmente amostra de um experimento aleat´rio o como um resultado que n˜o pode ser decomposto em outros resultados. Dessa forma, quando a realizamos um experimento aleat´rio um, e somente um, resultado ocorre. Assim, os resultados o 7

s˜o mutuamente exclusivos no sentido de que eles n˜o podem ocorrer simultaneamente. a a Definimos o espa¸o amostral S de um experimento aleat´rio como o conjunto de todos os c o resultados poss´ ıveis. Denotaremos um resultado de um experimento aleat´rio por ξ. Assim, ξ o ´ um elemento de S. e Exemplos: A seguir est˜o exemplos de espa¸os amostrais, relacionados com os experimentos E1 , E2 , a c E3 e E4 , respectivamente. (a) S1 = {1, 2, . . . , 50} (b) S2 = {0, 1, 2, 3} (c) S3 = {1, 2, 3, . . .} (d) S4 = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} = [0, 1] Chamaremos S de espa¸o amostral discreto se S for cont´vel e chamaremos S de espa¸o c a c amostral cont´ ınuo, se S n˜o for cont´vel. Nos exemplos, S1 , S2 e S3 s˜o discretos e S4 ´ cont´ a a a e ınuo. 2.3 Eventos Normalmente, n˜o estamos interessados apenas nos resultados de um experimento, mas se a o resultado desse experimento satisfaz certas condi¸˜es. As condi¸˜es de interesse definem um co co subconjunto do espa¸o amostral; ou melhor, o conjunto de resultados ξ de S que satisfazem as c condi¸˜es dadas. co Definimos evento como um subconjunto de S. O evento chamado evento certo ´ o e pr´prio conjunto S e consiste de todos os resultados poss´ o ıveis e o evento nulo ou imposs´ ıvel n˜o cont´m nenhum resultado poss´ a e ıvel. Exemplos de eventos: A seguir est˜o exemplos de eventos relacionados com os experimentos E1 , E2 , E3 e E4 , a respectivamente. (a) e1 : “um n´ mero par ´ selecionado” - e1 = {2, 4, . . . , 48, 50}. u e (b) e2 : “o n´ mero de caras ´ igual ao n´ mero de coroas” - e2 = ∅. u e u (c) e3 : “menos que dez transmiss˜es s˜o requeridas” - e3 = {1, 2, . . . , 9}. o a (d) e4 : “o n´ mero selecionado ´ n˜o-negativo” - e4 = S4 . u e a 8

2.4 Axiomas de probabilidade Probabilidades s˜o n´ meros associados a eventos que indicam qu˜o “prov´vel” ´ a ocorrˆncia a u a a e e de um evento quando um experimento ´ realizado e uma “lei” de probabilidade ´ uma fun¸˜o e e ca que associa um n´ mero a um evento. u Seja E um experimento aleat´rio com espa¸o amostral S. Uma lei de probabilidade para o c o experimento E ´ uma “regra” que associa a cada evento A um n´ mero P [A], chamado de e u probabilidade de A. A lei de probabilidade deve satisfazer os seguintes axiomas: (i) P [A] ≥ 0 (ii) P [S] = 1 (iii) Se A ∩ B = ∅ ⇒ P [A ∪ B] = P [A] + P [B] (iii)’ Se A1 , A2 , . . . ´ uma sequˆncia de eventos tais que Ai ∩ Aj = ∅, para todos i = j, ent˜o e e a P [∪∞ Ak ] = k=1 ∞ P [Ak ] k=1 Corol´rios: a (i) P [Ac ] = 1 − P [A] (ii) P [A] ≤ 1 (iii) P [∅] = 0 (iv) Se A1 , A2 , . . . , An s˜o mutuamente exclusivos 2 a 2 ent˜o a a n P [∪n Ak ] k=1 = k=1 P [Ak ] , n ≥ 2 (v) P [A ∪ B] = P [A] + P [B] − P [A ∩ B] (vi) P [A ∪ B ∪ C] = P [A] + P [B] + P [C] − P [A ∩ B] − P [A ∩ C] − P [B ∩ C] + P [A ∩ B ∩ C] n (vii) P [∪n Ak ] = k=1 j=1 P [Aj ] − j<k P [Aj ∩ Ak ] + . . . + (−1)n+1 P [A1 ∩ . . . ∩ An ] (viii) P [A ∪ B] ≤ P [A] + P [B] (ix) Se A ⊂ B ⇒ P [A] ≤ P [B] 9

2.5 Espa¸os amostrais discretos e cont´ c ınuos Considere S = {a1 , a2 , . . . , an } um espa¸o amostral finito, sendo todos os eventos elec mentares s˜o mutuamente exclusivos. Assim, a probabilidade de qualquer evento B = {a′1 , a′2 , . . . , a′n } a ´ dada por P [B] = P [{a′1 , a′2 , . . . , a′m }] = P [{a′1 }] + P [{a′2 }] + . . . + P [{a′m }]. e Considerando S um espa¸o amostral infinitamente cont´vel, digamos S = {b1 , b2 , . . . , bn }, a c a probabilidade do evento D = {b′1 , b′2 , . . .} ´ dada por P [D] = P [{b′1 }] + P [{b′2 }] + . . .. e Se os resultados do espa¸o amostral discreto S s˜o igualmente prov´veis ent˜o a probabilic a a a dade de um evento ´ igual ` raz˜o entre o n´ mero de elementos do evento e o n´ mero total de e a a u u elementos do espa¸o amostral. c Espa¸os amostrais cont´ c ınuos aparecem em experimentos nos quais os resultados s˜o n´ meros a u reais. Os eventos de interesse nesses experimentos consistem de intervalos da reta real e de complementos, uni˜es e interse¸˜es desses eventos. Por esta raz˜o, leis de probabilidade em o co a experimentos com espa¸os amostrais cont´ c ınuos especificam uma regra para associar n´ meros a u intervalos da reta real. Considere o seguinte exemplo: “Tome um n´ mero x ao acaso entre zero e um”. u O espa¸o amostral S para esse experimento ´ o intervalo [0, 1], que n˜o ´ cont´vel. c e a e a Se n´s supomos que todos os resultados de S s˜o igualmente prov´veis, ent˜o podemos o a a a pensar que a probabilidade de o resultado estar no intervalo [0, 1/2] ´ a mesma de o resultado e 1 estar no intervalo [1/2, 1] e seria igual a . Por´m, como h´ infinitos n´ meros (incont´veis) e a u a 2 1 neste intervalo, a probabilidade de o resultado ser exatamente igual a , por exemplo, seria 2 1 zero. Da mesma forma, a probabilidade de o resultado ser exatamente igual a , por exemplo, 4 tamb´m seria zero. e 2.6 2.6.1 Probabilidade Condicional Defini¸˜o ca Muitas vezes estamos interessados em determinar se dois eventos, digamos A e B, est˜o a relacionados, no sentido de que o conhecimento da probabilidade associada a um deles altera a probabilidade associada ao outro. Queremos encontrar a probabilidade P [A|B], isto ´, a probabilidade do evento A, conhecida e a probabilidade do evento B. Em outras palavras, de uma maneira informal, queremos encontrar a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu. A probabilidade condicional P [A|B] ´ definida por: e P [A|B] = P [A ∩ B] , P [B] > 0 . P [B] 10

Exemplos: (a) Uma urna cont´m duas bolas pretas numeradas (1 e 2) e duas bolas brancas, tamb´m e e numeradas (3 e 4). Retira-se uma bola da urna e anota-se seu n´mero e sua cor. Assim, O u espa¸o amostral desse experimento ´ S = {(1, p), (2, p), (3, b), (4, b)}. Considere que os quatro c e resultados s˜o igualmente prov´veis e os seguintes eventos: a a A = {(1, p), (2, p)} - bola preta selecionada B = {(2, p), (4, b)} - bola com n´ mero par selecionada u C = {(3, b), (4, b)} - n´ mero da bola ´ maior que 2 u e Determine: (i) P [A|B] Solu¸˜o: ca P [A|B] = P [A ∩ B] 1/4 1 = = = P [A] P [B] 2/4 2 (ii) P [A|C] Solu¸˜o: ca P [A|C] = P [A ∩ C] 0/4 = = 0 = P [A] P [C] 2/4 Observe que em (i) o conhecimento de B n˜o alterou a probabilidade de A P [A] = a 2 1 = . 4 2 Por´m, no segundo caso, o conhecimento de C implicou que A n˜o tinha ocorrido. e a OBS: Em alguns problemas ´ conveniente usar a f´rmula P [A ∩ B] = P [B|A]P [A] ou e o P [A ∩ B] = P [A|B]P [B]. (b) Uma urna cont´m duas bolas pretas e trˆs bolas brancas. Duas bolas s˜o selecionadas e e a ao acaso, sem reposi¸˜o, e a sequˆncia das bolas ´ anotada. Encontre a probabilidade de as ca e e duas bolas selecionadas serem pretas. Solu¸˜o: ca Considere os eventos: B1 - a primeira bola ´ preta e preta. Queremos calcular P [B1 ∩ B2 ]. e B2 - a segunda bola ´ e 2 1 Temos que, P [B1 ∩ B2 ] = P [B2 |B1 ]P [B1 ]. Mas, P [B2 |B1 ] = e P [B1 ] = . 4 5 2 1 1 Logo, P [B1 ∩ B2 ] = × = . 5 4 10 11

2.6.2 Teorema da Probabilidade total Sejam B1 , B2 , . . . , Bn eventos mutuamente exclusivos cuja uni˜o ´ igual ao espa¸o amostral a e c S. Nos referimos a esses conjuntos como uma parti¸˜o do conjunto S. ca Qualquer evento A pode ser representado como a uni˜o de eventos mutuamente exclusivos. a Temos, A = A ∩ S = A ∩ (B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn ) = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ . . . ∪ (A ∩ Bn ). E, P [A] = P [A ∩ B1 ] + P [A ∩ B2 ] + . . . + P [A ∩ Bn ] ou P [A] = P [A|B1 ]P [B1 ] + P [A|B2 ]P [B2 ] + . . . + P [A|Bn ]P [Bn ]. Exemplo: Considere uma urna contendo duas bolas pretas e trˆs bolas brancas. Encontre a probabie lidade de ao retirarmos duas bolas, ao acaso, sem reposi¸˜o, a segunda ser branca. ca Solu¸˜o: ca Para usar o Teorema da Probabilidade Total, devemos encontrar uma parti¸˜o do espa¸o ca c amostral S. Consideremos os dois seguintes eventos: A1 - a primeira bola ´ preta e e B1 - a primeira bola ´ branca. e Observamos que S = A1 ∪ B1 . Consideremos, ent˜o, o seguinte evento: C - a segunda bola ´ branca. a e Queremos calcular P [C]. Assim, P [C] = P [C|A1 ]P [A1 ] + P [C|B1 ]P [B1 ]. Portanto, P [C] = 2.6.3 3 3 2 2 3 × + × = . 4 5 4 5 5 Regra de Bayes Considere B1 , B2 , . . . , Bn a parti¸˜o de um espa¸o amostral S. Queremos calcular a probaca c bilidade do evento Bj , dado que o evento A ocorreu, sendo A um evento qualquer. Pela defini¸˜o de probabilidade condicional temos: ca 12

P [Bj |A] = P [A ∩ Bj ] P [A] Mas, P [A|Bj ] = P [A ∩ Bj ] ⇒ P [A ∩ Bj ] = P [A|Bj ]P [Bj ] P [Bj ] Assim, P [Bj |A] = P [A|Bj ]P [Bj ] P [A ∩ Bj ] = = P [A] P [A] P [A|Bj ]P [Bj ] n P [A|Bj ]P [Bj ] j=1 conhecida como Regra de Bayes. Exemplo: Considere quatro caixas contendo componentes eletrˆnicos. A caixa 1 cont´m 2000 compoo e nentes, sendo 5% defeituosos. A caixa 2 cont´m 500 componentes, sendo 40% defeituosos. As e caixas 3 e 4 contˆm 1000 componentes cada, com 10% defeituosos. e Selecionamos uma caixa, ao acaso, e retiramos um componente, tamb´m ao acaso. e (a) Qual ´ a probabilidade de o componente retirado ser defeituoso? e Solu¸˜o: ca Seja D o evento “componente defeituoso” e seja Bi o evento “componente da i-´sima e caixa”. Queremos P [D]. Assim, P [D] = P [D|B1 ]P [B1 ] + P [D|B2 ]P [B2 ] + P [D|B3]P [B3 ] + P [D|B4]P [B4 ]. 100 1 200 1 100 1 100 1 E, P [D] = × + × + × + × = 0, 1625. 2000 4 500 4 1000 4 1000 4 (b) Examinamos o componente selecionado e comprovamos que ´ defeituoso. Qual ´ a probe e abilidade de ser da caixa 2? Solu¸˜o: ca 200 1 × P [D|B2 ]P [B2 ] = 500 4 = 0, 615. P [B2 |D] = P [D] 0, 1625 13

2.7 Eventos independentes Se o conhecimento do evento B n˜o altera a probabilidade do evento A , dizemos que o a evento A ´ independente do evento B. e P [A ∩ B] Temos, P [A] = P [A|B] = . Portanto, dizemos que A e B s˜o eventos indepena P [B] dentes se P [A ∩ B] = P [A]P [B]. Observamos que se A e B s˜o eventos independentes ent˜o P [A|B] = P [A] e P [B|A] = P [B]. a a Exemplo: Uma bola ´ selecionada de uma urna contendo duas bolas pretas numeradas (1 e 2) e duas e bolas brancas numeradas (3 e 4 ). Considere os seguintes eventos: A: “bola preta selecionada” B: “n´ mero par selecionado” u C: “n´ mero da bola maior que 2 (dois)” u (a) Verifique se os eventos A e B s˜o independentes. a (b) Verifique se os eventos A e C s˜o independentes. a Solu¸˜o: ca 1 1 (a) P [A] = P [B] = , P [A ∩ B] = , P [A ∩ B] = P [A]P [B] . 2 4 Logo, os eventos A e B s˜o independentes. a (b) P [A ∩ C] = P [∅] = 0 = P [A] = 0, 5 . Portanto, os eventos A e C n˜o s˜o independentes. a a OBS: Se dois eventos tˆm probabilidade n˜o-nula e s˜o mutuamente exclusivos ent˜o eles n˜o e a a a a podem ser independentes. Prove isso! 2.8 A lei de probabilidade binomial Considere a realiza¸˜o de um experimento e a verifica¸˜o de um evento, digamos A. Dizemos ca ca que o resultado da chamada tentativa de Bernouilli ´ um sucesso se A ocorre e uma falha caso e contr´rio. Estamos interessados em encontrar a probabilidade de k sucessos em n repeti¸˜es a co independentes de tentativas de Bernouilli. 14

Teorema: A probabilidade de k sucessos em n tentativas (independentes) de Bernouilli ´ dada pela lei e de probabilidade binomial k pn (k) = Cn pk (1 − p)n−k , k = 0, . . . , n sendo p a probabilidade de um sucesso e pn (k) a probabilidade de k sucessos em n tentativas n! k e Cn = ´ o coeficiente binomial. e k!(n − k)! Exemplo: Suponha que uma moeda seja lan¸ada trˆs vezes. Se admitirmos que os lan¸amentos s˜o inc e c a dependentes e a probabilidade de se obter cara, em um lan¸amento, ´ p, ent˜o as probabilidades c e a da sequˆncia de caras e coroas ´: e e 3 P [trˆs caras] = C3 p3 (1 − p)0 = p3 e 2 P [duas caras e uma coroa] = C3 p2 (1 − p)1 = 3p2 (1 − p) 1 P [duas coroas e uma cara] = C3 p1 (1 − p)2 = 3p(1 − p)2 0 P [trˆs coroas] = C3 p0 (1 − p)3 = (1 − p)3 e 15

Chapter 3 Vari´veis Aleat´rias a o 3.1 Defini¸˜o ca Uma vari´vel aleat´ria X ´ uma fun¸˜o que associa um n´ mero real X(ξ) a cada resultado a o e ca u ξ do espa¸o amostral de um experimento aleat´rio. c o O espa¸o amostral S ´ o dom´ c e ınio da vari´vel aleat´ria e o conjunto SX de todos os valores a o obtidos para X ´ a imagem da vari´vel aleat´ria (SX ⊂ R). e a o Assim, X : S −→ R ξ −→ X(ξ) . Exemplo: Considere o seguinte experimento: “lan¸amento de uma moeda trˆs vezes e anotar a seq¨ˆncia de caras e coroas obtida”. c e ue Temos, S = {ccc, cck, ckc, ckk, kcc, kck, kkc, kkk}. Seja X o n´ mero de caras obtidas nos trˆs lan¸amentos. u e c Temos, ξ : ccc cck ckc ckk kcc kck kkc kkk X: 3 2 2 1 2 1 1 0 Portanto, X ´ uma vari´vel aleat´ria com valores em SX = {0, 1, 2, 3}. e a o 3.2 Fun¸˜o distribui¸˜o de probabilidade ca ca A fun¸˜o distribui¸˜o de probabilidade (F.D.P.), tamb´m chamada de fun¸˜o distribui¸˜o ca ca e ca ca cumulativa, de uma vari´vel aleat´ria X, ´ definida como a probabilidade do evento {X ≤ x}. a o e Assim, FX (x) = P [X ≤ x] , x ∈ R. 16

Propriedades: (i) 0 ≤ FX (x) ≤ 1 (ii) lim FX (x) = 1 x→+∞ (iii) lim FX (x) = 0 x→−∞ (iv) FX ´ n˜o-decrescente e a (v) FX ´ cont´ e ınua ` direita a (vi) P [a < X ≤ b] = FX (b) − FX (a). OBS: {X ≤ a} ∪ {a < X ≤ b} = {X ≤ b}. Logo, FX (a) + P [a < X ≤ b] = FX (b) e P [a < X ≤ b] = FX (b) − FX (a). (vii) P [X = b] = FX (b) − FX (b− ) (viii) P [a ≤ X ≤ b] = FX (b) − FX (a− ) OBS: Se FX ´ cont´ e ınua ent˜o a P [a ≤ X ≤ b] = P [a < X < b] = P [a ≤ X < b] = P [a < X ≤ b]. (ix) P [X > x] = 1 − FX (x) OBS: Definimos fun¸˜o de massa de probabilidade (FMP) de X, pX , por pX (xk ) = P [X = xk ]. ca Exemplos: (a) Considere o lan¸amento de uma moeda trˆs vezes. Seja X a vari´vel aleat´ria que c e a o associa o resultado com o n´ mero de caras obtido. Encontre a express˜o da fun¸˜o distribui¸˜o u a ca ca de probabilidade FX . Solu¸˜o: ca A defini¸˜o da vari´vel aleat´ria X ´ dada por: ca a o e ξ −→ X(ξ) ccc −→ 3 cck −→ 2 ckc −→ 2 ckk −→ 1 kcc −→ 2 kck −→ 1 kkc −→ 1 kkk −→ 0 17

3 3 1 1 Portanto, P [X = 0] = ; P [X = 1] = ; P [X = 2] = ; P [X = 3] = . 8 8 8 8 Assim, a fun¸˜o distribui¸˜o de probabilidade FX ´ definida por: ca ca e   0, x<0       1   , 0≤x<1   8       4 1 FX (x) = = , 1≤x<2  8 2      7    , 2≤x<3   8       1, x≥3 Podemos escrever 3 3 1 1 FX (x) = 0 + u(x) + u(x − 1) + u(x − 2) + u(x − 3) 8 8 8 8 ou FX (x) = pX (0)u(x) + pX (1)u(x − 1) + pX (2)u(x − 2) + pX (3)u(x − 3). sendo u a fun¸˜o degrau unit´rio definida por u(x) = ca a 0, x<0 1, x≥0 (b) Seja T o tempo de transmiss˜o de uma mensagem atrav´s de um sistema de comua e nica¸˜o. Considere que T obedece ` seguinte lei de probabilidade: ca a P [T > t] = e−λt , λ > 0 , t ≥ 0. Tamb´m, P [T ≤ t] = 0 , t < 0. e (a) Encontre FT (t). (b) Encontre P 1 2 <T ≤ . λ λ Solu¸˜o: ca (a) FT (t) = P [T ≤ t] = (b) P 1 2 <T ≤ = FT λ λ 0, t<0 1 − P [T > t] = 1 − e−λt , t ≥ 0 . 2 λ − FT 1 λ = (1 − e−2 ) − (1 − e−1 ) ≃ 0, 233. 18

3.3 Tipos de vari´veis aleat´rias a o 3.3.1 Vari´vel aleat´ria discreta a o A F.D.P. de uma vari´vel aleat´ria discreta pode ser escrita na forma a o K FX (x) = k=0 P [X = xk ]u(x − xk ) sendo K ∈ N. Exemplo: Uma fonte produz dois tipos de mensagens: M1 , com probabilidade p de ocorrer e M2 , com probabilidade 1 − p. Seja X a vari´vel aleat´ria definida por a o X(ξ) = 0 , ξ = M1 1 , ξ = M2 . Encontre a express˜o de FX (x). a Solu¸˜o: ca   0, x<0 p, 0≤x<1 FX (x) =  1, x≥1 Assim, FX (x) = P [X = 0]u(x) + P [X = 1]u(x − 1) = pu(x) + (1 − p)u(x − 1) . 3.3.2 Vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua Uma vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua X tem F.D.P. (FX ) cont´ ınua. OBS: P [X = x] = 0 , ∀x. Exemplo: Seja X a medida de tens˜o de ru´ em um determinado ponto de um circuito com as a ıdo seguintes probabilidades: P [| X |≤ V ] = 1 e P [| X |> V ] = 0. Encontre a express˜o da F.D.P. FX da vari´vel aleat´ria X, considerando que as probabilia a o dades das vari´vel X s˜o uniformemente distribu´ a a ıdas no intervalo [−V, V ]. Solu¸˜o: ca 19

Se x < −V ⇒ P [X ≤ x] = 0 x Se −V ≤ x ≤ V ⇒ P [X ≤ x] = V −V 1 x+V dt = 2V 2V 1 Se x > V ⇒ P [X ≤ x] = dt = 1 −V 2V Assim,   0 , x < −V  x+V FX (x) = , −V ≤ x ≤ V  2V  1, x>V . 3.3.3 Vari´vel aleat´ria mista a o Uma vari´vel aleat´ria mista tem F.D.P. descont´ a o ınua em um conjunto finito de pontos e cresce continuamente em pelo menos um intervalo. Exemplo: Seja X a medida de tens˜o de ru´ em um determinado ponto de um circuito, com as a ıdo seguintes probabilidades: 1 3 P [X = −V ] = P [X = V ] = , P [| X |< V ] = e P [| X |> V ] = 0. 8 4 Escreva a express˜o da F.D.P. (FX ) da vari´vel aleat´ria X, considerando que a vari´vel a a o a aleat´ria X ´ distribu´ uniformemente em (−V, V ). o e ıda Solu¸˜o: ca Se x < −V ⇒ FX (x) = 0. 1 Se x = −V ⇒ FX (x) = P [X ≤ x] = . 8 x 1 3 3 1 dt = (x + V ) + . Se −V < x < V ⇒ FX (x) = + 8 8V 8 −V 8V 7 Se x = V ⇒ FX (x) = . 8 Se x > V ⇒ FX (x) = 1. Assim,   0 , x < −V   3  1   x + , −V ≤ x < V 8V 2 FX (x) =  7 , x=V    8   1, x≥V 20

OBS: (i) Para v.a. cont´ ınuas: FX (x− ) = FX (x). (ii) Para v.a. discretas: FX (xi ) − FX (x− ) = P [X = xi ]. i 3.4 Fun¸˜o densidade de probabilidade ca Seja X uma vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua com F.D.P. FX . Podemos escrever FX (x + ∆x) − FX (x) ∆x . ∆x ′ Para ∆x “pequeno”, temos P [x < X ≤ x + ∆x] ≃ FX (x) ∆x. P [x < X ≤ x + ∆x] = FX (x + ∆x) − FX (x) = Logo, de modo informal, podemos dizer que a probabilidade de X estar pr´ximo de x ´ o e ′ FX (x)∆x. Definimos, ent˜o, a densidade de probabilidade da vari´vel aleat´ria X, denotada por fX , a a o pela equa¸˜o: ca ′ fX (x) = FX (x) . Tamb´m, de maneira informal, podemos interpretar a densidade de probabilidade da vari´vel e a aleat´ria X como a quantidade de probabilidade por unidade de medida. o Propriedades: (i) fX (x) ≥ 0. b (ii) P [a ≤ X ≤ b] = fX (x)dx. a x (iii) FX (x) = fX (t)dt. −∞ +∞ (iv) fX (t)dt = 1. −∞ Exemplos: (a) A f.d.p. de uma vari´vel aleat´ria X ´ dada por a o e fX (x) = 1 , a≤x≤b b−a 0, x<aex>b sendo a , b ∈ R. Encontre FX (x). 21

Solu¸˜o: ca Se x < a ⇒ FX (x) = 0 . x Se a ≤ x ≤ b ⇒ FX (x) = Se x > b ⇒ FX (x) = 1 . a 1 x−a dt = . b−a b−a Assim,   0, x<a  x−a , a≤x≤b FX (x) =  b−a  1 , x > b. (b) Seja X uma vari´vel aleat´ria com fun¸˜o densidade de probabilidade fX definida por: a o ca   A(x + 5) , −5 ≤ x ≤ −4 A , −4 < x < 4 fX (x) =  −A(x − 5) , 4 ≤ x ≤ 5 Sendo A uma constante. (i) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico de fX . c c a (ii) Determine o valor da constante A. (iii) Determine a express˜o da Fun¸˜o Distribui¸˜o de Probabilidade da vari´vel aleat´ria X. a ca ca a o (iv) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico de FX . c c a (v) Determine a probabilidade P [X > 4]. OBS: Quando FX n˜o ´ cont´ a e ınua, podemos estender a defini¸˜o de f.d.p. usando a distribui¸˜o ca ca delta de Dirac, denotada por δ. d Usamos o fato de que, no sentido das distribui¸˜es, co [u(x)] = δ(x), sendo u a distribui¸˜o ca dx degrau unit´rio e δ a distribui¸˜o delta de Dirac. a ca Assim, se X ´ uma vari´vel aleat´ria discreta, temos e a o FX (x) = k P [X = xk ]u(x − xk ) e fX (x) = k P [X = xk ]δ(x − xk ). 22

3.5 3.5.1 Exemplos de vari´veis aleat´rias a o Vari´veis aleat´rias discretas a o Vari´vel aleat´ria de Bernouilli a o Seja A um evento relacionado aos resultados de algum experimento aleat´rio. A fun¸˜o o ca indicatriz do evento A, denotada por IA , ´ definida por: e 0 , se ξ ∈ A / 1 , se ξ ∈ A . IA (ξ) = Definimos uma vari´vel aleat´ria X = IA e chamamos essa vari´vel aleat´ria de vari´vel a o a o a aleat´ria de Bernouilli. Observamos que SX = {0, 1}. o Escolhendo, por exemplo P [X = 0] = p e P [X = 1] = 1 − p. temos FX (x) = pu(x) + (1 − p)u(x − 1) ⇒ fX (x) = pδ(x) + (1 − p)δ(x − 1). Vari´vel aleat´ria binomial a o Considere que um experimento aleat´rio seja repetido n vezes. Considere A um evento, ξj o o resultado para cada repeti¸˜o do experimento; isto ´, j = 1, . . . , n. SEja X o n´ mero de vezes ca e u que ξk ∈ A. Portanto, X ´ uma vari´vel aleat´ria com SX = {0, 1, . . . , n}. e a o Considerando Ij a fun¸˜o indicatriz para o evento A na j-´sima tentativa, temos X = ca e I1 + I2 + . . . + In . A vari´vel aleat´ria X ´ chamada de vari´vel aleat´ria binomial. a o e a o n pk (1 − p)n−k , k = 0, . . . , n., k sendo P [X = k] a probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas. Pelo Teorema Binominal, sabemos que P [X = k] = Temos, n FX (x) = k=0 e n fX (x) = k=0 n k pk (1 − p)n−k u(x − k) n k pk (1 − p)n−k δ(x − k). Essa vari´vel aleat´ria surge em aplica¸˜es onde h´ apenas dois tipos de resultados para a o co a cada experimento, por exemplo, cara/coroa, certo/errado, bom/defeituoso, etc. 23

Vari´vel aleat´ria geom´trica a o e Seja X a vari´vel aleat´ria correspondente ao n´ mero de tentativas de um experimento at´ a o u e a ocorrˆncia de um sucesso. A vari´vel aleat´ria X ´ chamada vari´vel aleat´ria geom´trica e e a o e a o e SX = {1, 2, . . .}. Temos, P [X = k] = (1 − p)k−1 p , k = 1, 2, . . . sendo p a probabilidade de sucesso em cada tentativa (chamada de tentativa de Bernouilli). Temos, +∞ FX (x) = k=1 (1 − p)k−1pu(x − k) e +∞ fX (x) = k=1 (1 − p)k−1 pδ(x − k). Vari´vel aleat´ria de Poisson a o A vari´vel aleat´ria de Poisson X ´ definida por a o e P [X = k] = αk −α e , k = 0, 1, 2, . . . , sendo α uma constante. k! Temos, +∞ FX (x) = k=0 αk −α e u(x − k) ⇒ fX (x) = k! +∞ k=0 αk −α e δ(x − k). k! OBS: Se n ´ grande, p pequeno e α = np, podemos usar a aproxima¸˜o e ca n k 3.5.2 pk (1 − p)n−k ≃ αk −α e . k! Vari´veis aleat´rias cont´ a o ınuas Vari´vel aleat´ria uniforme a o A f.d.p. de uma vari´vel aleat´ria uniforme ´ dada por a o e fX (x) = 1 , a≤x≤b b−a 0 , x < a ou x > b sendo a, b ∈ R e 24

  0, x<a  x−a , a≤x≤b FX (x) =  b−a  1 , x > b. Essa vari´vel aleat´ria aparece quanto todos os valores na reta real, no intervalo [a, b], s˜o a o a igualmente prov´veis. a Vari´vel aleat´ria exponencial a o A f.d.p. da vari´vel aleat´ria exponencial ´ definida por a o e fX (x) = 0, x<0 ⇒ FX (x) = λe−λx , x ≥ 0 0, x<0 1 − e−λx , x ≥ 0 . Sendo λ um n´ mero real. u Essa vari´vel aleat´ria aparecena modelagem do intervalo de tempo entre a ocorrˆncia de a o e eventos como, por exemplo, a demanda para conex˜o de chamadas telefˆnicas. a o Vari´vel aleat´ria gaussiana a o A f.d.p. de uma vari´vel aleat´ria gaussiana ´ definida por a o e fX (x) = √ (x−m)2 1 e− 2σ2 , x ∈ R , 2πσ Sendo m e σ n´ meros reais. u Para calcular a F.D.P. da vari´vel aleat´ria gaussiana X, consideremos a fun¸˜o Φ definida a o ca por: x t2 1 Φ(x) = √ e− 2 dt . 2π −∞ Observamos que a fun¸˜o Φ ´ a F.D.P. da vari´vel aleat´ria gaussiana para m = 0 e σ = 1. ca e a o Temos, ent˜o, que a F.D.P. da vari´vel aleat´ria gaussiana ´ dada por a a o e FX (x) = Φ x−m σ . Definindo, ainda, a fun¸˜o erf por ca 1 erf (x) = √ 2π Podemos escrever 0 1 1 t2 Φ(x) = √ e− 2 dt + √ 2π −∞ 2π x t2 e− 2 dt = 0 25 x t2 e− 2 dt 0 1 1 +√ 2 2π x t2 e− 2 dt = 0 1 + erf (x). 2

Logo, Φ x−m σ = 1 + erf 2 x−m σ . +∞ t2 1 e− 2 dt. Ou usamos, Q(x) = 1 − Φ(x) = √ 2π x Resumindo, se X ´ a vari´vel aleat´ria gaussiana de f.d.p. fX definida por e a o fX (x) = √ (x−m)2 1 e− 2σ2 , x ∈ R , 2πσ ent˜o sua F.D.P. FX ´ definida por a e FX (x) = 1 + erf 2 x−m σ . OBS.: (a) Alguns autores definem ainda a fun¸˜o Q por Q(x) = 1 − Φ(x) ca (b) A fun¸˜o erf ´ ´ ca e ımpar; isto ´, erf (−x) = −erf (x). Devemos observar tamb´m que h´ e e a outras defini¸˜es, dadas por outros autores, para a fun¸ao erf . co c˜ Exerc´ ıcio: Esboce o gr´fico da fun¸˜o erf . a ca H´ v´rias outras vari´veis aleat´rias igualmente importantes, dependendo da ´rea de aplica¸˜o, a a a o a ca como, por exemplo, as vari´veis aleat´rias de Rayleigh, RICE, Nakagami, Gamma e outras. E, a o ainda, vari´veis aleat´rias provenientes de vari´veis aleat´rias conhecidas, como a lognormal e a o a o a logRayleigh. Discutiremos algumas dessas vari´veis aleat´rias nos exerc´ a o ıcios e nos cap´ ıtulos seguintes. 26

Chapter 4 Vetores de vari´veis aleat´rias a o 4.1 Defini¸˜o ca Um vetor de vari´veis aleat´rias (ou um vetor aleat´rio) X ´ uma fun¸˜o (vetorial) que a o o e ca associa a cada resultado ξ do espa¸o amostral S um vetor X(ξ). c Exemplos: (a) Considere o experimento de selecionar o nome de um estudante de uma urna. Seja ξ o resultado deste experimento. Definimos: A(ξ) = altura do estudante; P (ξ) = peso do estudante; I(ξ) = idade do estudante . O vetor X = (A(ξ), P (ξ), I(ξ)) ´ um vetor de vari´veis aleat´rias e, portanto, um vetor e a o aleat´rio. o (b) Considere ξ o registro de tens˜o de ru´ em um ponto de um circuito, durante um a ıdo determinado intervalo de tempo. Portanto, ξ = fξ (t). Consideremos a vari´vel aleat´ria Xk = fξ (kT ), sendo k = 1, 2, . . . , N. a o O vetor X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) ´, portanto, um vetor aleat´rio. e o 4.2 Eventos associados a vetores aleat´rios o O conjunto {X ≤ x} representa, de forma compacta, o conjunto {X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , Xn ≤ xn } . Esse conjunto ´ um evento para todo x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . e 27

4.3 Independˆncia e Dizemos que as vari´veis aleat´rias X1 , X2 , . . . , Xn s˜o independentes se a o a P [X1 ∈ A1 , . . . , Xn ∈ An ] = P [X1 ∈ A1 ] . . . P [Xn ∈ An ] onde Ak ´ um evento que envolve Xk somente. e 4.4 4.4.1 Fun¸˜o distribui¸˜o de probabilidade conjunta ca ca Defini¸˜o ca A Fun¸˜o Distribui¸˜o de Probabilidade associada a um vetor aleat´rio X, chamada de ca ca o F.D.P. conjunta, ´ definida por: e FX : Rn −→ R x −→ FX (x) = P [X ≤ x] onde FX (x) = P [X ≤ x] = P [X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , Xn ≤ xn ] . Podemos representar FX (x) por FX1 ,X2 ,...,Xn (x1 , x2 , . . . , xn ). Consideremos o caso particular, bidimensional, com a F.D.P. conjunta das vari´veis aleat´rias a o X e Y , FXY , dada por FXY (x, y) = P [X ≤ x e Y ≤ y] ou podemos escrever FXY (x, y) = P [X ≤ x ∩ Y ≤ y]. Exemplo: Bits s˜o transmitidos atrav´s de um canal de comunica¸˜es com probabilidades de erro a e co dadas de acordo com o esquema a seguir: (i) Se o bit 1 for enviado, a probabilidade de o bit 1 ser recebido ´ p e, consequentemente, e a probabilidade de o bit 0 ser recebido ´ 1 − p. e (ii) Se o bit 0 for enviado, a probabilidade de o bit 0 ser recebido ´ p e, consequentemente, e a probabilidae de o bit 1 ser recebido ´ 1 − p. e Consideremos as vari´veis aleat´rias X, representando os bits enviados, e Y , representando a o 1 os bits recebidos. Tamb´m, tomemos P [X = 0] = P [X = 1] = . e 2 Temos, P [Y = 0|X = 0] = p P [Y = 1|X = 0] = 1 − p P [Y = 0|X = 1] = 1 − p 28

P [Y = 1|X = 1] = p Lembremos que, pela regra de Bayes, P [A ∩ B] = P [A|B]P [B]. Assim, P [Y = 0 e X = 0] = P [Y = 0|X = 0]P [X = 0] = p 2 P [Y = 1 e X = 0] = P [Y = 1|X = 0]P [X = 0] = 1−p 2 1−p 2 p P [Y = 1 e X = 1] = P [Y = 1|X = 1]P [X = 1] = 2 P [X = 1 e Y = 0] = P [Y = 0|X = 1]P [X = 1] = A F.D.P. FXY ser´, ent˜o, definida por: a a Se x > 1 e y > 1 =⇒ FXY (x, y) = 1. Se x < 0 e y ∈ R =⇒ FXY (x, y) = 0. Se y < 0 e y ∈ R =⇒ FXY (x, y) = 0. Se x > 1 e y < 1 =⇒ FXY (x, y) = P [X = 1 ∩ Y = 0] + P [X = 0 ∩ Y = 0] = 1−p p 1 + = . 2 2 2 Se x > 1 e y ≥ 1 =⇒ FXY (x, y) = 1. 1 Se x < 1 e y ≥ 1 =⇒ FXY (x, y) = . 2 p Se x < 1 e y < 1 =⇒ FXY (x, y) = . 2 4.4.2 Propriedades da F.D.P. conjunta Consideremos o caso particular para a F.D.P. conjunta de duas vari´veis aleat´rias, digamos a o X e Y . Temos, (a) FXY ´ n˜o-decrescente; isto ´, se x1 ≥ x2 e y1 ≥ y2 ⇒ FXY (x1 , y1 ) ≥ FXY (x2 , y2 ). e a e (b) FXY (−∞, y1) = FXY (x1 , −∞) = 0 (c) FXY (+∞, +∞) = 1 (d) FX (x) = FXY (x, +∞) = P [X ≤ x, y < +∞] = P [X ≤ x] (e) FY (y) = FXY (+∞, y) = P [Y ≤ y] 29

4.5 Fun¸˜o densidade de probabilidade conjunta ca 4.5.1 Defini¸˜o ca Seja X um vetor aleat´rio de dimens˜o n com F.D.P. FX diferenci´vel. Definimos a f.d.p. o a a conjunta fX do vetor aleat´rio X por o fX (x) = fX1 ...Xn (x1 , . . . , xn ) = 4.5.2 ∂n FX ...X (x1 , . . . , xn ) . ∂x1 . . . ∂xn 1 n Propriedades da f.d.p. conjunta Consideremos, primeiro, o caso particular em que X ´ um vetor aleat´rio bidimensional, e o digamos de coordenadas X e Y . Temos, ent˜o, os seguintes resultados: a +∞ +∞ (i) fXY (x, y)dxdy = 1 −∞ −∞ (ii) P [(X, Y ) ∈ Ω] = fXY (x, y)dxdy Ω x y −∞ −∞ (iii) FXY (x, y) = (iv) fXY (x, y) = fXY (u, v)dvdu ∂ 2 FXY (x, y) ∂x∂y +∞ (v) fX (x) = fXY (x, v)dv −∞ +∞ (vi) fY (y) = fXY (u, y)du −∞ OBS: fX e fY s˜o chamadas, nesse caso, de fun¸˜es densidade de probabilidade marginais. a co Generalizando, para um vetor com n coordenadas, temos: +∞ (i) +∞ ... −∞ fX1 ...Xn (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn = 1 −∞ (ii) P [X ∈ Ω] = Ω fX (x)dx x1 (iii) FX1 ...Xn (x1 , . . . , xn ) = xn ... −∞ +∞ (iv) +∞ xi +∞ ... −∞ fX1 ...Xn (u1 , . . . , un )dun . . . du1 −∞ +∞ ... −∞ −∞ −∞ xi fX1 ...Xn (u1 , . . . , un )du1 . . . dun = FXi (xi ) = −∞ fXi (ui )dui −∞ 30

+∞ (v) fXi (xi ) = +∞ ... −∞ fX1 ...Xn (u1 , . . . , ui−1, xi , ui+1, . . . , un )du1 . . . dui−1dui+1 . . . dun −∞ *consideramos n − 1 integrais. Caso de vetor aleat´rio discreto o Consideremos um vetor aleat´rio discreto bidimensional X = (X, Y ). Temos, o (i) P [X ∈ Ω] = fXY (xj , yk ) , (xj , yk ) ∈ Ω +∞ +∞ (ii) fXY (xj , yk ) = 1 j=1 k=1 +∞ (iii) fX (xj ) = fXY (xj , yk ) k=1 +∞ (iv) fY (yk ) = fXY (xj , yk ) j=1 Exemplo: (a) Um trem chega a uma esta¸˜o e p´ra por cinco minutos antes de prosseguir. O instante ca a de chegada do trem, contado a partir das 9 h, em minuto, pode ser modelado pela v.a. T , com f.d.p. fT (t) = 0, 15e−0,15t u(t). (i) Calcule a probabilidade de o trem chegar na esta¸˜o at´ as 9 : 20h. ca e Solu¸˜o: ca 20 20 P [T < 20] = fT (t)dt = −∞ 0 0, 15e−0,15t dt ≃ 0, 95 (ii) Determine o maior atraso que um usu´rio pode ter de modo que a probabilidade de a ele pegar o trem seja maior que 0, 5. Solu¸˜o: ca +∞ P [T > a − 5] = fT (t)dt > 0, 5 =⇒ a < 9, 621 a−5 (iii) Considere que o instante de chegada de um estudante ` esta¸˜o (contado a partir a ca das 9h, em minuto) ´ uma v.a. X e que a f.d.p. conjunta de X e T ´: e e fXT (x, t) = 0, 06e−(0,15t+0,4x) u(t)u(x) Calcule a probabilidade de o estudante pegar o trem. 31

Solu¸˜o: ca P [T > X − 5] = P [X < T + 5] = P [(X, T ) ∈ A] = +∞ 0 fXY (x, y)dxdy = A t+5 0 0, 06e−(0,15t+0,4x) dxdt ≃ 0, 946. (b) O sinal recebido em uma transmiss˜o via r´dio pode ser modelado por a a r(t) = Acos(ω0 t + Θ) , A > 0 ou r(t) = Xcosω0 t + Y senω0 t sendo X e Y vari´veis aleat´rias com f.d.p. conjunta fXY definida por fXY (x, y) = a o 1 − (x2 +y2) e 2σ2 . 2πσ 2 (i) Determine a probabilidade de a amplitude A ser maior que 1. Solu¸˜o: ca √ P [A > 1] = P [ X 2 + Y 2 > 1] = P [X 2+Y 2 > 1] = 2π 0 1 +∞ 1 1 − r22 e 2σ rdrdθ = 2πσ 2 . . . = e− 2σ2 (ii) Encontre a express˜o de fX (x). a Solu¸˜o: ca +∞ fX (x) = −∞ 4.6 4.6.1 +∞ fXY (x, v)dv = −∞ x2 1 − x2 +v2 1 e 2σ2 dy = . . . = √ e− 2σ2 2πσ 2 2πσ Fun¸˜es distribui¸˜o e densidade condicionais co ca Defini¸˜o ca A fun¸˜o distribui¸˜o de probabilidade de uma v.a. X, condicionada ` ocorrˆncia de um ca ca a e evento M ´ definida por e FX|M (x) = P [X ≤ x|M] = P [X ≤ x ∩ M] ; P [M] = 0 P [M] d Se FX|M ´ diferenci´vel =⇒ fX|M (x) = e a FX|M (x). dx O evento M tamb´m poderia ser descrito em termos da v.a. Y . e Assim, M = {Y ≤ y} = {ξ ∈ Ω|Y (ξ) ≤ y}. FXY (x, y) E, FX|Y ≤y (x) = . Pois, FY (y) P [X ≤ x ∩ Y ≤ y] FX|Y ≤y (x) = P [X ≤ x|Y ≤ y] = . P [Y ≤ y] d FXY (x, y) Tamb´m, fX|Y ≤y (x) = dx e . FY (y) 32

Poder´ ıamos tentar definir FX|Y =y (x) = P [X ≤ x ∩ Y = y] . P [Y = y] Por´m, P [Y = y] = 0. e Dessa forma, definimos FX|Y =y por um processo de limite. Com isso, chegamos ao resultado: x fXY (u, y)du −∞ FX|Y =y (x) = fY (y) e fX|Y (x) = fx|Y =y (x) = Analogamente, fY |X (y) = fY |X=x (y) = fXY (x, y) fY (y) fXY (x, y) . fX (x) Resumo: • FX|Y ≤y (x) = FXY (x, y) FY (y) x fXY (u, y) du • FX|Y (x) = FX|Y =y (x) = • fX|Y (x) = fX|Y =y (x) = −∞ fY (y) fXY (x, y) fY (y) y fXY (x, v) dv • FY |X (y) = FY |X=x (y) = • fY |X (x) = fY |X=x (y) = 4.6.2 −∞ fX (x) fXY (x, y) fX (x) Independˆncia entre duas vari´veis aleat´rias e a o Duas vari´veis aleat´rias X e Y s˜o independentes se qualquer evento A1 definido em termos a o a de X ´ independente de qualquer evento A2 definido em termos de Y . e Isto ´, P [X ∈ A1 , Y ∈ A2 ] = P [X ∈ A1 ]P [Y ∈ A2 ]. e Podemos mostrar que as vari´veis aleat´rias X e Y s˜o independentes se, e s´ se, a o a o FXY (x, y) = FX (x)FY (y) para todos x e y. Se FX e FY s˜o diferenci´veis, ent˜o fXY (x, y) = fX (x)fY (y). a a a Observemos que, neste caso, fX|Y (x) = fX (x) e fY |X (x) = fY (y). 33

Prova: Os eventos A e B s˜o independentes se P [AB] = P [A]P [B]. a Temos, FXY (x, y) = FX (x)FY (y) ou P [{X ≤ x} ∩ {Y ≤ y}] = P [{X ≤ x}]P [Y ≤ y]. E, ∂ 2 FXY (x, y) ∂ 2 [FX (x)FY (y)] ∂ ∂ fXY (x, y) = = = FX (x) FY (y) = fX (x)fY (y). ∂x∂y ∂x∂y ∂x ∂y Tamb´m, e FXY (x, y) FX (X|Y ≤ y) = = FX (x). FY (y) Conseq¨ entemente, fX (x|Y ≤ y) = fX (x) e fY (y|X ≤ x) = fY (y). u Generalizando, as vari´veis aleat´rias X1 , . . . , Xn s˜o independentes quando a o a n FX1 ...Xn (x1 , . . . , xn ) = FXi (xi ). i=1 E, no caso das fun¸˜es FXi serem diferenci´veis, temos co a n fX1 ...Xn (x1 , . . . , xn ) = fXi (xi ). i=1 34

Exemplos: (a) Os valores da tens˜o de ru´ em um circuito, medidos em determinado ponto, em dois insa ıdo tantes, podem ser caracterizados por duas vari´veis aleat´rias X e Y com f.d.p. conjunta a o dada por: fXY (x, y) = 1 1 − 2 x2 +y2 σ2 e 2πσ 2 Determine: (a) fY (y) e fX (x) (f.d.p.’s marginais) (b) fY |X (y), concluindo sobre a independˆncia das vari´veis aleat´rias X e Y . e a o (c) Para σ = 1, a probabilidade de Y ser maior que 3. (d) Para os valores do item c), P [Y > 3|X = 1] (ii) Um painel controla as dura¸˜es X e Y de duas liga¸˜es telefˆnicas. Essas dura¸˜es podem co co o co ser modeladas por duas vari´veis aleat´rias com f.d.p. conjunta a o fXY (x, y) = 10e−(2x+5y) u(x)u(y) O painel indica o n´ mero de liga¸˜es (0, 1 ou 2) cuja dura¸˜o ultrapassa o valor T = 0, 5. u co ca Deste modo, a indica¸˜o do painel pode ser modelada como uma vari´vel aleat´ria Z ca a o definida da seguinte forma: • Z = 0, se nenhuma das liga¸˜es tem dura¸˜o maior que T co ca • Z = 1, se apenas uma das liga¸˜es tem dura¸˜o maior que T co ca • Z = 2, se as duas liga¸˜es tˆm dura¸˜o maior que T co e ca (a) Determine fX (x) e fY (y) e conclua sobre a independˆncia das vari´veis aleat´rias. e a o (b) Determine a express˜o de fZ (z) e de FZ (z). Esboce os gr´ficos de fZ e de FZ . a a (c) Dado que apenas uma das chamadas teve dura¸˜o maior que T , determine a probaca bilidade de que a dura¸˜o X da primeira chamada exceda T . ca (d) Dado que ambas as chamadas tiveram dura¸˜o superior a T , determine a probabilca idade de que a dura¸˜o Y da segunda chamada exceda o valor 1. ca Solu¸˜o: ca +∞ fXY (x, v)dv = 2e−2x . (a) fX (x) = −∞ Analogamente, fY (y) = 5e−5y . Assim, fXY (x, y) = fX (x)fY (y). Logo, X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes. a a o 35

0,5 (b) P [Z = 0] = P [X < T, Y < T ] = P [Z = 2] = P [X > T, Y > T ] = 0,5 fXY (x, y)dxdy −∞ −∞ +∞ +∞ −2x −5y 2e 0,5 5e ≃ 0, 58. dxdy = 0, 03 0,5 P [Z = 1] = 1 − P [Z = 0] − P [Z = 2] = 0, 39 FZ (z) = 0, 58u(z) + 0, 39u(z − 1) + 0, 03u(z − 2) fZ (z) = 0, 58δ(z) + 0, 39δ(z − 1) + 0, 03δ(z − 2) P [X > 0, 5 e Y < 0, 5] P [X > 0, 5 e Z = 1] (c) P [X > 0, 5|Z = 1] = = = 0, 87 P [Z = 1] P [Z = 1] P [Y > 1 e Z = 2] P [Y > 1 e X > 0, 5] (d) P [Y > 1|Z = 2] = = = 0, 37 P [Z = 2] P [Z = 2] 36

Chapter 5 Fun¸˜es de vari´veis aleat´rias co a o 5.1 Introdu¸˜o ca Seja X uma vari´vel aleat´ria e seja g uma fun¸˜o real de vari´vel real. A fun¸˜o definida a o ca a ca por Y = g(X) ´ tamb´m uma vari´vel aleat´ria. e e a o 5.2 Fun¸˜o densidade de probabilidade de Y = g(X) ca Temos, fY (y) = d d FY (y) = P [Y ≤ y]. dy dy Exemplos: (a) Seja Y uma vari´vel aleat´ria definida por Y = aX + b sendo a , b ∈ R, a = 0 e suponha a o que X tenha F.D.P. FX . Encontre express˜es para FY e para fY . o Solu¸˜o: ca Temos, FY (y) = P [Y ≤ y] = P [aX + b ≤ y] = P [aX ≤ y − b]. Se a > 0 ⇒ FY (y) = P [X ≤ y−b ] = FX a Se a < 0 ⇒ FY (y) = P [X ≥ b−y y−b ]=P X≥ = 1 − FX −a a Assim,    FX  y−b a Y −b , a>0 a FY (y) =   1 − FX Y − b , a < 0  a 37 y−b a

dF du y−b dF = sendo u = . dy du dy a 1 y−b Logo, fY (y) = fX , a>0e a a E, fY = fY (y) = 1 fX −a Assim, fY (y) = y−b a , a < 0. 1 fX |a| y−b . a (b) Considere a vari´vel aleat´ria Y = X 2 sendo X uma vari´vel aleat´ria cont´ a o a o ınua. Ache a f.d.p. e a F.D.P. de Y , em termos da f.d.p. e da F.D.P. de X. Solu¸˜o: ca Temos, √ √ FY (y) = P [Y ≤ y] = P [X 2 ≤ y] = P [− y ≤ X ≤ y] . FY (y) = Assim, fY (y) = dFY dF du = . dy du dy   0 , y<0  √ √ FX ( y) − FX (− y) y ≥ 0 E,   0, y<0 √ √ fX ( y) fX (− y) fY (y) = + , y>0 √ √  2 y 2 y 38

(c) Seja Y = cosX sendo X uma v.a. uniforme no intervalo [0, 2π]. Ache a f.d.p. e a F.D.P. de Y . Solu¸˜o: ca FY (y) = P [Y ≤ y] = P [cosX ≤ y] Se cosX ≤ y ⇒ arccos y ≤ X ≤ 2π − arccosy. Assim, P [cosX ≤ y] = P [X ≤ 2π − arccosy] − P [X ≤ arccosy]. Tamb´m, e fY (y) = fX (2π−arccosy) 1 π e 1 − y2 , −1 < y < 1 1 1− y2 −fX (arccosy) −1 1− y2 = 1 2π 1 1− y2 +   0 , y < −1  1 arcseny FY (y) = + , −1 ≤ y ≤ 1  2 π  1, y>1 1 2π 1 1 − y2 = (d) Considere X uma v.a. uniformemente distribu´ no intervalo [−c, c]. Seja Y uma v.a. ıda −2 definida por Y = X . Determine fY (y). Solu¸˜o: ca FY (y) = P [Y ≤ y] = P 1 ≤y . X2 Se y ≤ 0 ⇒ P 1 ≤ y = 0. X2 Se y > 0 ⇒ P 1 1 1 1 ≤ y = P X2 ≥ = P X ≥ √ + P X ≤ −√ 2 X y y y Mas,     E, c 1 dx = 1 P X≥√ = 1  y  0, √ ≥c  y √ 1/ y 2c 39 1 1 1 − √ , √ <c 2 2c y y

    √ −1/ y  1 1  − 1 + 1 , − 1 > −c  √ √  dx , − √ > −c 1 2c y 2 y 2c y −c P X ≤ −√ = = 1 1   0 , − √ ≤ −c y  0 , − √ ≤ −c    y y Assim, E,  1  1− √ , y ≥ 1  1 1 c y c2 FY (y) = P X ≤ − √ + P X ≥ √ =  y y  0, y< 1 c2 fY (y) =    1 √ 2c( y)3 , y>   0, y< 1 c2 40 1 c2

Chapter 6 Valor esperado, variˆncia e desvio a padr˜o de vari´veis aleat´rias a a o 6.1 Valor esperado (ou m´dia) de um v.a e Seja X uma v.a. discreta. Consideremos que X assume os valores {x1 , x2 , . . . , xk }. Suponha que a experiˆncia associada a esta v.a. tenha sido realizada N vezes e que n(xi ) e represente o n´ mero de vezes em que o evento {X = xi } ocorreu. u De acordo com o conceito de freq¨ˆncia relativa, temos ue n(xi ) , i = 1, . . . , k . N Assim, a m´dia aritm´tica dos N resultados da experiˆncia ´ dada por e e e e P [X = xi ] = k n(xi ) mX = xi = N i=1 k xi P [X = xi ] . i=1 No caso de vari´veis aleat´rias cont´ a o ınuas, temos +∞ mX = xfX (x)dx . −∞ Exemplo: (a) Seja X uma v.a. distribu´ uniformemente no intervalo [a, b]. Calcule mX . ıda Solu¸˜o: ca b mX = x a 1 a+b dx = . b−a 2 41

(b) Seja X uma v.a. com f.d.p. gaussiana fX (x) = √ 2 1 (x−m) 1 e− 2 σ2 2πσ Calcume mX . Solu¸˜o: ca +∞ mX = −∞ 6.2 x√ 2 1 (x−m) 1 e− 2 σ2 dx = . . . = m 2πσ Variˆncia a Consideremos X uma vari´vel aleat´ria discreta. Suponha que X assuma os valores {x1 , x2 , . . . , xk }. a o Considere que a experiˆncia associada a esta v.a. tenha sido realizada N vezes e que n(xi ) e represente o n´ mero de vezes em que o evento {X = xi } ocorreu. u Assim, definimos a variˆncia de X por a P [X=xi ] k 2 σX = i=1 (xi − mX )2 n(xi ) N Observamos que a variˆncia de uma v.a. nada mais ´ do que a m´dia aritm´tica dos a e e e quadrados dos desvios (xi − mX ), em rela¸˜o ` m´dia, dos N resultados da experiˆncia. Isto ca a e e mostra que a variˆncia de uma v.a. mede sua dispers˜o em torno da m´dia. a a e No caso de X ser uma v.a. cont´ ınua, temos +∞ 2 σX = −∞ (x − mX )2 fX (x)dx Exemplos: (a) Calcule a variˆncia de uma v.a. X uniformemente distribu´ no intervalo [a, b]. a ıda Solu¸˜o: ca b 2 σX = a x− b+a 2 2 1 (b − a)2 dx = b−a 12 Obs: Se considerarmos duas vari´veis aleat´rias uniformes, a de menor variˆncia tem sua a o a f.d.p. mais concentrada em torno de sua m´dia. e 42

(b) Calcule a variˆncia de uma v.a. gaussiana a fX (x) = √ (x−m)2 1 e− 2σ2 2πσ Solu¸˜o: ca 2 σX = √ 6.3 6.3.1 1 2πσ +∞ −∞ (x − m)2 e− (x−m)2 2σ 2 dx = σ 2 Momentos Momentos de ordem k Definimos o momento de ordem k de uma v.a. cont´ ınua X por +∞ E[X k ] = xk fX (x)dx . −∞ N e X ´ uma v.a. discreta ent˜o E[X k ] = e a xk P [X = xi ]. i i=1 OBS: Se k = 0 ⇒ E[X o ] = 1 e se k = 1 ⇒ E[X] = mX . 6.3.2 Momento central de ordem k Chama-se momento central de ordem k, de uma v.a. X, o valor esperado +∞ E[(X − mX )k ] = 6.3.3 (x − mX )k fX (x)dx . −∞ Valor esperado de um vetor aleat´rio o +∞ E[X] = mX = +∞ ... −∞ 43 −∞ xfX (x)dx .

Exemplo: Considere o vetor aleat´rio X ∈ R2 com f.d.p. fX definida por o fX (x) = fX1 X2 (x1 , x2 ) = abe−(ax1 +bx2 ) u(x1 )u(x2 ) . Calcule E[X]. Solu¸˜o: ca +∞ mX = 6.4 +∞ (x1 , x2 )abe−(ax1 +bx2 ) dx1 dx2 = 0 0 1 1 , a b . Matriz Covariˆncia a Em analogia ` variˆncia de uma vari´vel aleat´ria real, definimos, para vetores aleat´rios, a a a o o a matriz covariˆncia: a +∞ ∆X = OBS: +∞ ... −∞ −∞ (x − mX )t (x − mX ) fX (x)dx ∆X = E[(X − mX )t (X − mX )] Exemplo: Seja X o vetor aleat´rio bidimensional com f.d.p. o fX (x) = fX1 X2 (x1 , x2 ) = 1 − 1 (5x2 +5x2 −8x1 x2 ) e 18 1 2 6π (i) Calcule mX (ii) Encontre ∆X . Solu¸˜o: ca (i) mX = 0 . (ii) Temos xt x = x2 x1 x2 1 . Assim, ∆X = x2 x1 x2 2 44 5 4 4 5 .

6.5 6.5.1 Momentos conjuntos Defini¸˜es co k k k (i) Os momentos conjuntos das vari´veis aleat´rias X1 , X2 , . . . , Xn s˜o definidos por E[X1 1 X2 2 . . . Xnn ] a o a e a ordem do momento conjunto ´ dada por k1 + k2 + . . . + kn . e (ii) Os momentos conjuntos de segunda ordem E[Xi Xj ] recebem o nome de correla¸˜o das ca vari´veis aleat´rias Xi e Xj . a o (iii) Os momentos conjuntos centrais das vari´veis aleat´rias X1 , X2 , . . . , Xn s˜o definidos a o a por E[(X1 − mX1 )k1 (X2 − mX2 )k2 . . . (Xn − mXn )kn ]. A soma k1 + k2 + . . . + kn ´ chamada ordem e do momento conjunto central. (iv) Os momentos conjuntos centrais de segunda ordem E[(Xi − mXi )(Xj − mXj )] recebem o nome de covariˆncia quando i = j e variˆncia quando i = j. a a (v) A matriz Covariˆncia de um vetor aleat´rio cont´m todos os momentos conjuntos cena o e trais de segunda ordem das componentes do vetor. Ela cont´m na sua diagonal principal as e variˆncias e os elementos fora da diagonal principal s˜o as covariˆncias. a a a Resumindo, temos, +∞ +∞ (i) Correla¸˜o: E[X1 X2 ] = ca (ii) Momentos conjuntos: x1 x2 fX1 X2 (x1 , x2 )dx1 dx2 −∞ k k De ordem k1 + k2 : E[X1 1 X2 2 ] = De ordem k1 + k2 + . . . + kn : k k k E[X1 1 X2 2 . . . Xnn ] = +∞ +∞ ... −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ xk1 xk2 fX1 X2 (x1 , x2 )dx1 dx2 1 2 xk1 xk2 . . . xkn fX1 X2 ...Xn (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 dx2 . . . dxn 1 2 n (iii) Covariˆncia: E[(Xi − mXi )(Xj − mXj )] a Se m = 0 ⇒ covariˆncia = correla¸˜o. a ca (iv) Variˆncia: E[(X − mX )2 ] a 6.5.2 Coeficiente de correla¸˜o ca Define-se coeficiente de correla¸˜o entre as vari´veis aleat´rias X e Y por ca a o ρXY = E[(X − mX )(Y − mY )] E[(X − mX )2 ]E[(Y − mY )2 ] Podemos mostrar que −1 ≤ ρXY ≤ 1. Vari´veis aleat´rias n˜o correlatas a o a Duas vari´veis aleat´rias X e Y s˜o ditas n˜o correlatas quando ocorre uma das seguintes a o a a condi¸˜es (equivalentes): co 45

(i) ρXY = 0 (ii) E[XY ] = E[X]E[Y ] (iii) E[(X − mX )(Y − mY )] = 0 Obs: Se duas vari´veis aleat´rias s˜o independentes ent˜o elas s˜o n˜o-correlatas, mas a a o a a a a rec´ ıproca n˜o ´ verdadeira. a e Vari´veis aleat´rias ortogonais a o Duas vari´veis aleat´rias X e Y s˜o ortogonais quando E[XY ] = 0. a o a Exemplos: (a) Seja Y = acos(ωt + Θ), sendo a, ω e t constantes e Θ uma vari´vel aleat´ria uniforme em a o [0, 2π]. (i) Calcule E[Y ] (ii) Calcule E[Y 2 ] Solu¸˜o: ca 2π (i) E[Y ] = E[acos(ωt + Θ)] = acos(ωt + θ) 0 dθ =0 2π 2 (ii) E[Y 2 ] = . . . = a 2 (b) Sejam X e Y duas vari´veis aleat´rias definidas por X = cosΘ e Y = senΘ, sendo Θ uma a o vari´vel aleat´ria uniformemente distribu´ em [0, π]. a o ıda Determine E[X], E[Y ], E[XY ], E[X 2 ], E[Y 2 ] e E[X 2 Y 2 ]. 46

Chapter 7 Processos Estoc´sticos a 7.1 Introdu¸˜o ca Considere um experimento aleat´rio especificado pelos resultados ξ de algum espa¸o amostral o c S, pelos eventos definidos em S e pelas probabilidades desses eventos. Suponha que para todo resultado ξ ∈ S, exista uma fun¸˜o X dada por X(t, ξ) para todo ca t pertencente a um intervalo I e ξ ∈ S. Para ξ fixo, X(t, ξ) ´ chamada de fun¸˜o amostra. Por outro lado, para cada t fixo, X(t, ξ) e ca ´ uma vari´vel aleat´ria. e a o Dessa forma, criamos uma fam´ indexada de vari´veis aleat´rias {X(t, ξ) , t ∈ I}. ılia a o Esta fam´ recebe o nome de Processo Estoc´stico (ou processo aleat´rio). Normalılia a o mente, denotamos o processo estoc´stico por X(t), omitindo o argumento ξ. a Um processo estoc´stico ´ dito discreto se o conjunto I dos ´ a e ındices for cont´vel. Quando a tratamos de processos estoc´sticos discretos usamos, normalmente, n para denotar o ´ a ındice e Xn para denotar o processo estoc´stico. a Se o conjunto I dos ´ ındices for cont´ ınuo ent˜o o processo estoc´stico ´ dito cont´ a a e ınuo. Processos estoc´sticos aparecem em sistemas de reconhecimento de fala, sistemas de proa cessamento de imagens, sistemas de filas, ru´ t´rmico nos terminais de um resistor e outros. ıdo e Exemplos: (a) Seq¨ˆncia bin´ria aleat´ria ue a o Seja ξ um n´ mero selecionado, ao acaso, do intervalo S = [0, 1] e seja b1 b2 . . . a expans˜o u a bin´ria de ξ. a +∞ Assim, ξ = i=1 bi 2−i , bi ∈ {0, 1}. Defina o processo estoc´stico Xn = X(n, ξ) por Xn = bn , n = 1, 2, . . ., onde bn ´ o n-´simo a e e n´ mero da expans˜o bin´ria de ξ. u a a 47

(b) Sen´ides com amplitudes aleat´rias o o Seja ξ um n´ mero selecionado ao acaso do intervalo [−1, 1]. Defina o processo aleat´rio u o X(t, ξ) por X(t, ξ) = ξsen(2πt) , t ∈ R As amostras desse processo s˜o sen´ides com amplitude ξ. a o (c) Sen´ides com fase aleat´ria o o Seja ξ um n´ mero selecionado ao acaso do intervalo (−π, π) e seja Y (t, ξ) = cos(2πt + ξ). u As amostras do processo estoc´stico Y s˜o vers˜es de cos2πt deslocadas no tempo. a a o 7.2 Especifica¸˜o de um processo estoc´stico ca a Sejam X1 , X2 , . . . , Xk vari´veis aleat´rias obtidas pela amostragem do processo X(t, ξ) em a o t1 , t2 , . . . , tk . Assim, X1 = X(t1 , ξ), X2 = X(t2 , ξ), . . . , Xk = X(tk , ξ). Um processo estoc´stico ´ especificado pela cole¸˜o de fun¸˜es de distribui¸˜o de probabia e ca co ca lidade conjunta de k-´sima ordem: e FX1 X2 ...Xk (x1 , x2 , . . . , xk ) = P [X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , Xk ≤ xk ] para todo k e qualquer escolha dos instantes t1 , t2 , . . . , tk . Se o processo estoc´stico for discreto, uma cole¸˜o de fun¸˜es de massa de probabilidade a ca co pode ser usada: fX1 X2 ...Xk (x1 , x2 , . . . , xk ) = P [X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xk = xk ] Se o processo for cont´ ınuo ent˜o uma cole¸˜o de fun¸˜es densidade de probabilidade pode a ca co ser usada: fX1 X2 ...Xk (

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