Apostila escoamento em meios porosos wagner e bismarck 2014

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Published on March 6, 2014

Author: wagnerqueirozbarros

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Apostila Escoamento em Meios Porosos, Engenharia de Reservatórios e Avaliação de Formações.

HIDRODINÂMICA DOS MEIOS POROSOS E FRATURADOS WAGNER QUEIROZ BARROS BISMARCK GOMES SOUZA JÚNIOR UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE LABORATÓRIO DE ENGENHARIA E EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO MACAÉ - RJ FEVEREIRO - 2014

Este documento foi criado com base nas notas de aula do Prof. Carlos Enrique Pico Ortiz da disciplina "Hidrodinâmica dos Meios Porosos e Fraturados" do curso de pós-graduação em Engenharia de Reservatórios e Exploração da Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro (UENF), ministrada no primeiro semestre de 2013. Quaisquer dúvidas ou sugestões favor encaminhar um e-mail para: • bismarckjunior@outlook.com • wagnerqb@gmail.com

Sumário 1 Equação da Difusividade 1.1 Hipótese do contínuo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Definição de fases e componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Formulação da equação de conservação da massa . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Taxa de acúmulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Taxa de entrada de matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Taxa de saída de matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 Produção de matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Formulação da equação composicional da difusividade . . . . . . . . . 11 1.4.1 Termo de acúmulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Termo de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3 Termo fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Lei de Darcy multifásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Formulação “Black Oil” da Equação da Difusividade 16 2.1 Formulação “Black Oil” convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Pseudo-componente água: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Pseudo-componente óleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Pseudo-componente gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Formulação “Black Oil” modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Pseudo-componente água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Pseudo-componente óleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 Pseudo-componente gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Formulação “Black Oil” modificada baseada nas concentrações mássicas 26 2.3.1 Definição das concentrações mássicas . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Definiçao das saturações das fases em função das concentrações mássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Soluções dos Regimes Permanentes da Equação Radial da Difusividade 30 3.1 Equação da difusividade em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . 30 3.2 Solução do regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Solução da pressão no regime permanente . . . . . . . . . . . 35 3.2.2 Pressão média no regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Solução do regime pseudo-permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.1 Solução da pressão no regime pseudo-permanente: . . . . . . . 39 3.3.2 Pressão média no regime pseudo-permanente . . . . . . . . . . 40 3.3.3 Pressão em função do raio e do tempo no regime pseudo-permanente 43 4 Solução do Regime Transiente da Equação Radial da Difusividade 45 4.1 Adimensionalização da equação da difusividade radial . . . . . . . . . . 45 4.1.1 Adimensionalização do raio (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.2 Adimensionalização do tempo (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.3 Adimensionalização da pressão (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.4 Adimensionalização das condições de contorno . . . . . . . . . 48 4.1.5 Sistema de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2 Solução do tipo linha-fonte (Transformada de Boltzmann) . . . . . . . . 50 4.2.1 Definição da equação da difusividade na forma de Boltzmann . . 50 4.2.2 Solução da equação da difusividade na forma de Boltzmann . . 53 4.3 Solução do tipo linha-fonte (Transformada de Laplace) . . . . . . . . . . 56 4.3.1 Equação da difusividade no campo de Laplace . . . . . . . . . . 56

4.3.2 Solução da equação da difusividade no campo de Laplace . . . 58 4.3.3 Transformada inversa da solução linha-fonte no campo de Laplace 60 4.4 Algoritimo de Gaver-Stehfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Solução Reservatório Radial Infinito com Estocagem e Dano 61 63 5.1 Solução reservatório infinito com poço de raio finito . . . . . . . . . . . 63 5.2 Efeito de dano de formação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.1 Conceito de fator de película . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.2 Conceito de raio equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.3 Efeito de estocagem no poço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.4 Solução reservatório infinito com estocagem e dano . . . . . . . . . . . 72 5.5 Análise de testes de pressão por curvas tipo . . . . . . . . . . . . . . . 75 6 Solução Reservatório Radial Selado com Estocagem e Dano 79 6.1 Solução reservatório finito com estocagem e dano . . . . . . . . . . . . 79 6.2 Curvas Tipo para a solução do reservatório selado . . . . . . . . . . . . 82 Apêndice A -- Função Exponencial Integral 86 Apêndice B -- Transformada de Laplace 88 Apêndice C -- Funções Modificadas de Bessel 91 C.1 Notação Zν das funções modificadas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . 91 C.2 Relações de recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 C.3 Derivadas das funções modificadas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . 93

6 1 Equação da Difusividade A equação da difusividade governa o escoamento de fluidos em meios porosos. Ela é deduzida a partir da equação da conservação da massa, de equações constitutivas para os componentes presentes no fluido e da Lei de Darcy. Para se aplicar essa equação é necessário a definição da hipótese do contínuo. 1.1 Hipótese do contínuo Imagine uma porção de fluido distribuída em uma região do espaço, podemos considerar as propriedades do fluido como sendo constantes nessa porção. A medida que o volume da porção diminuí, as propriedades do fluido permanecem constantes. Em um determinado limite, as propriedades dos fluidos começam a ser influenciadas pela região por onde são medidas, esse limite é conhecido como limite do contínuo. Na região abaixo do limite do contínuo, as propriedades moleculares são importantes na modelagem das propriedades dos fluidos. A Fig. 1 mostra a variação da massa específica de um fluido em função do volume de controle, é possível perceber que abaixo do limite do contínuo, as moléculas do fluido possuem tamanhos da mesma ordem de grandeza do volume de controle, influenciando o valor de massa específica calculada. Apesar do escoamento em meios porosos ocorrer em poros muito pequenos, na ordem de micrômetros, a hipótese do contínuo é satisfeita na maioria das aplicações práticas em engenharia de reservatórios (LAKE, 1989).

7 Figura 1: Variação da massa específica de um fluido em função do volume de controle. 1.2 Definição de fases e componentes A formulação deduzida nesse capítulo é conhecida como "Formulação Composicional da Equação do Balaço de Massa", pois leva em consideração a conservação da massa de todos os componentes presentes em todas as fases no fluido. Assim, é necessário o entendimento de dois conceitos básicos utilizados em engenharia de reservatórios: • Componente: Compostos que possuem propriedades físicas e químicas semelhantes, que fazem parte de uma fase fluida. • Fase: Mistura de componentes fluidos delimitada por meio de interfaces. Dessa forma as diferentes moléculas de gás podem ser classificados como componentes (N2 , CO2 , CH4 , etc) pertencendo a uma fase gasosa. Se essas moléculas estiverem dissolvidas na água, esses componentes pertencem a fase aquosa. É possível considerar que os todos os gases possuem propriedades semelhantes, assim, classifica-se o componente gás pertencendo à fase gás. Como descrito no parágrafo anterior, as definições de componente e fase são bastantes amplas, sendo formuladas de acordo com o problema que será resolvido. Por convenção, o subscrito "i" refere-se ao componente, e o subscrito "j" refere-se à fase. O subscrito “ij” refere-se ao componente i dissolvido na fase j. Por exemplo, a notação ρij indica a massa específica do componente i presente na fase j.

8 1.3 Formulação da equação de conservação da massa Considere o volume de controle V mostrado na Fig. 2. Figura 2: Volume de controle espacial. Adaptado de Lake (1989). Considerando o escoamento de um fluido através das fronteiras do volume de controle, é possível escrever a seguinte equação:        Ì Ü ÑÙÐÓ        =        Ì Ü ÒØÖ Å Ø Ö        −        Ì Ü Ë Å Ø Ö        + É possível definir cada termo da Eq. (1.1) separadamente: 1.3.1        ÈÖÓ Ù Å Ø Ö Ó     (1.1)    Taxa de acúmulo A taxa de acúmulo do componente i é definida como a variação temporal da massa do componente, no interior do volume de controle V . A concentração do componente i é dada por: Wi = Å ×× i ÎÓÐÙÑ ØÓØ Ð (1.2) Dessa forma a taxa de acúmulo é dada por:        Ì Ü ÑÙÐÓ     ˆ ∂ = Wi dV  ∂t   V (1.3)

9 1.3.2 Taxa de entrada de matéria A taxa de entrada do componente i é definida como sendo a massa do componente i atravessando o volume de controle por unidade de tempo. Para se escrever esse conceito é necessária a definição de fluxo do componente i, definido por: − → Ni = i Å ×× ýÖ Ü Ì ÑÔÓ (1.4) Considerando que o vetor normal, n, aponta sempre para fora do volume de conˆ trole, a taxa de entrada de matéria é definido como:     Ì Ü ÒØÖ    1.3.3 Å Ø Ö        =− ˆ − → n · Ni dA ˆ (1.5) A Taxa de saída de matéria Da mesma forma como foi definida a taxa de entrada de matéria, a taxa de saída pode ser escrita como:        1.3.4 Ì Ü Ë Å Ø Ö        = ˆ − → n · Ni dA ˆ (1.6) A Produção de matéria A produção de matéria no interior do volume de controle é definido como sendo a massa do componente i criada ou destruída no interior do volume de controle por unidade de tempo. É modelada através de um termo fonte na Eq. (1.1), definido por: Ri = Assim: Å ×× ÎÓÐÙÑ × i Ì ÑÔÓ (1.7)

10        ÈÖÓ Ù Ó     =    Å Ø Ö ˆ Ri dV (1.8) V Utilizando os resultados obtidos acima, a Eq. (1.1) pode ser escrita como: ∂ ∂t ˆ Wi dV = − V ˆ − → n · Ni dA + ˆ A ˆ Ri dV (1.9) V ou seja: ∂ ∂t ˆ Wi dV + V ˆ − → n · Ni dA = ˆ A ˆ Ri dV (1.10) V A Eq. (1.10) é conhecida como a forma fraca da equação da conservação de massa. Essa equação não depende de um sistema de coordenadas, e é utilizada quando a equação possui divergências como ondas de choque, por exemplo. Para se escrever a forma forte da equação, “forma diferencial”, é necessário se utilizar o teorema da divergência, definido por: ˆ → − ∇ · B dV = V ˆ → → − · − dA n B (1.11) A Substituindo-se a Eq. (1.11) na Eq. (1.10): ∂ ∂t ˆ V Wi dV + ˆ − → ∇ · Ni dV = V ˆ Ri dV (1.12) V Considerando que a função Wi seja de classe C 1 , unindo-se as integrais: ˆ − → ∂Wi + ∇ · Ni − Ri dV = 0 ∂t (1.13) V Por último, a forma forte da equação da conservação da massa é dada por: − → ∂Wi + ∇ · Ni = Ri (1.14) ∂t A forma da equação do balanço de massa dada pela Eq. (1.14) é a mais utilizada nas aplicações de engenharia de reservatórios.

11 1.4 Formulação da equação composicional da difusividade Na seção anterior foi deduzida a equação da conservação da massa, que é uma das equações fundamentais para se formular a equação da difusividade. Cada termo da Eq. (1.14) representa importantes mecanismos ou processos físicos que serão descritos nessa seção. Considere um volume de controle possuindo diversas fases fluidas e diversos componentes dissolvidos nas fases. A Fig. 3 mostra um exemplo de um volume de controle possuindo duas fases fluidas e uma fase sólida. A fase sólida é definida como sendo o volume de grãos presentes no volume de controle. Figura 3: Volume de controle mostrando as fases fluidas e a fase sólida em um reservatório com óleo e água. (LAKE, 1989) Um conceito importante utilizado para se separar as diferentes fases em um volume de controle é o conceito de saturação. Saturação da fase j é definido como a fração do volume da fase j presente no volume poroso total, ou seja: Sj = Vj Vporoso (1.15) Outro conceito importante é o de porosidade, definido como a razão entre o volume poroso total e o volume total da amostra, ou seja: φ= Vporoso V (1.16)

12 Como mostrado na Fig. 3, a soma do volume de todas as fases fluidas no domínio representa o volume poroso total da amostra. Com base nessas informações, cada termo da Eq. (1.14) pode ser modelado. 1.4.1 Termo de acúmulo ∂Wi ∂t O termo de acúmulo definido por é dada para cada componente i contido no fluido. A fração mássica de um componente pode ser definida como: ωij = Å ×× Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Å ×× × Å ×× × iÒ j × j (1.17) e a densidade da fase j é dada por: ρj = ÎÓÐÙÑ × j j (1.18) Dessa forma, a concentração do componente i dada pela Eq. (1.2) pode ser escrita como: Wi = {Å ×× iÒ × × × ÐÙ ×} + {Å ×× iÒ × Ë Ð } (1.19) Np Wi = φ j=1 [Sj ρj ωij ] + (1 − φ) ρs ωis (1.20) onde o subscrito s indica a fase sólida e Np indica o número total de fases do sistema. Assim, o termo de acúmulo é definido por: Ì ÖÑÓ ÑÙÐÓ 1.4.2 ∂ ∂Wi = = ∂t ∂t Np φ j=1 [Sj ρj ωij ] + (1 − φ) ρs ωis (1.21) Termo de fluxo O fluxo da substância i ocorre de duas formas: por difusão e por advecção. O fluxo advectivo assume que o componente se propaga com a mesma velocidade que a fase que o contém, dessa forma,o fluxo advectivo é modelado como sendo uma

13 soma da advecção do componente i em todas as fases fluidas presentes no volume de controle, ou seja: Np ÐÙÜÓ = Ú Ø ÚÓ → (ρj ωij − ) vj (1.22) j=1 Enquanto fluxo advectivo expressa a vazão mássica da substância i por unidade de área do volume de controle, o fluxo difusivo é composto pela difusão molecular (independente do escoamento) e da difusão mecânica, que é influenciada pelo sentido e magnitude do escoamento. O fluxo difusivo é modelado pela Lei de Fick1 , e pode ser escrito como: ÐÙÜÓ Ù× ÚÓ Np =− j=1 ← → φSj Dij ∇ (ρj ωij ) (1.23) O sinal negativo indica que o fluxo difusivo ocorre contra o gradiente de concen← → tração do componente i, ou seja, da maior para a menor concentração. O tensor Dij é conhecido como o tensor de dispersão. Portanto, o termo de fluxo pode ser escrito como: Ì ÖÑÓ ÐÙÜÓ 1.4.3 − → = ∇ · Ni = ∇ · Np j=1 ← → → ρj ωij − − φSj Dij ∇ (ρj ωij ) vj (1.24) Termo fonte Existem basicamente três formas de termos fonte que são inseridos na equação da conservação de componente: a geração do componente i à partir de reações com a fase fluida, a geração à partir de reações com a fase sólida e a injeção ou produção do componente pela presença de um poço. Considerando rij como a taxa de reação do componente i na fase j, o termo fonte devido às reações com as fases fluidas e sólidas é dado por: ÓÒØ Ê 1 ÔÓÖ Ó Np = j=1 [φSj rij ] + (1 − φ) ris (1.25) Mais detalhes sobre a Lei de Fick podem ser encontrados em Bird (BIRD et al., 2007) ou em Lake (LAKE, 1989).

14 O termo fonte devido à presença de poços injetores ou produtores no volume de controle é escrito como: ÓÒØ ÔÓÖ ÈÓ Ó = ωij ρj qj = RiW ell Vc (1.26) onde Vc é o volume de controle que será inserido o poço. Portanto o termo fonte é modelado como: Ì ÖÑÓ ÓÒØ Np = j=1 [φSj rij ] + (1 − φ) ris + RiW ell (1.27) Com os três termos modelados a equação composicional da difusividade,Eq. (1.14), pode ser escrita como: ∂ ∂t Np φ j=1 [Sj ρj ωij ] + (1 − φ) ρs ωis → − +∇· Np j=1 ← → → ρj ωij − − φSj Dij ∇ (ρj ωij ) = vj Np j=1 [φSj rij ] + (1 − φ) ris + RiW ell (1.28) Por questões de simplicidade a Eq. (1.28) é comumente escrita como: ← → ∂ → {φSj ρj ωij + (1 − φ) ρs ωis } + ∇ · ρj ωij − − φSj Dij ∇ (ρj ωij ) = vj ∂t φSj rij + (1 − φ) ris + RiW ell (1.29) A Eq. (1.29) é conhecida como a Equação Composicional da Difusividade em termos da velocidade do escoamento no meio poroso. As medidas de velocidade em meios porosos são muito difíceis de serem realizadas, assim a Eq. (1.29) não possui aplicação acessível nos problemas de engenharia de reservatório. Uma variável mais fácil de ser medida em campo é a pressão, dessa forma, utiliza-se a Lei de Darcy para se escrever a velocidade do escoamento em função da pressão.

15 1.5 Lei de Darcy multifásica A Lei de Darcy (DARCY, 1856) expressa a velocidade do escoamento em meios porosos, em função do gradiente de pressão ao qual o fluido está sujeito. A forma multifásica da Lei de Darcy é expressa como sendo: ← → → → − = − K krj (∇P + ρ − ) vj j j g µj (1.30) ← → onde K é o tensor de permeabilidades do meio poroso, krj é a permeabilidade relativa → da fase j, µ é a viscosidade da fase j e − é o vetor aceleração da gravidade. A g j pressão da fase j, Pj , é definida com base na pressão capilar da fase j em relação à fase molhante a rocha (fase n), definida como: Pcjn = Pj − Pn (1.31) Combinando as Eqs. (1.29) e (1.30) a Equação da Difusividade Composicional pode ser escrita como: ← → ← → K krj ∂ → {φSj ρj ωij + (1 − φ) ρs ωis } + ∇ · −ρj ωij (∇Pj + ρj − ) − φSj Dij ∇ (ρj ωij ) g ∂t µj = φSj rij + (1 − φ) ris + RiW ell (1.32) A Eq. (1.32) é a forma mais utilizada da Equação composicional da Difusividade. Essa fórmula possui uma alta precisão no cálculo da concentração de todos os componentes escoando no volume poroso, porém possui a desvantagem de necessitar de se resolver uma grande quantidade de equações, o que faz com que o método tenha um alto custo computacional.

16 2 Formulação “Black Oil” da Equação da Difusividade No Capítulo 1 foi deduzida a formulação composicional da equação da difusividade. Como discutido anteriormente, essa formulação possui a vantagem de ser um modelo robusto, capaz de resolver os mais diversos problemas em engenharia de reservatórios. A desvantagem do modelo encontra-se no grande número de equações diferenciais que devem ser resolvidas, necessitando de um alto poder computacional. Uma alternativa à formulação composicional é a formulação “Black Oil”, ou Modelo β, que possui um número reduzido de fases e componentes (ERTEKIN et al., 2001). A formulação “Black Oil” baseia-se na Equação Composicional da Difusividade, Eq. (1.29), e adotada as seguintes considerações: 1. Não existe fluxo difusivo no reservatório, ou seja: ← → φSj Dij ∇ (ρj ωij ) = 0 (2.1) 2. Não existe acumulação dos componentes fluidos na matriz sólida, ou seja: (1 − φ) ρs ωis = 0 (2.2) 3. Não existe reações químicas nos componentes da mistura, ou seja: φSj rij + (1 − φ) ris = 0 (2.3) Dessa forma a Equação da Difusividade assume a seguinte forma: ∂ → {φSj ρj ωij } + ∇ · (ρj ωij − ) = RiW ell vj ∂t (2.4)

17 2.1 Formulação “Black Oil” convencional O modelo “Black Oil” convencional, cuja representação é mostrada na Fig. 4, é a forma mais simples dessa formulação. Nela existem três pseudo-componentes de interesse no modelo: água, gás e óleo. No modelo “Black Oil” são adotadas as seguintes considerações: 1. Existem três fases imiscíveis no reservatório: água (w), óleo (o) e gás (g). 2. A fase óleo possui dois componentes: óleo e gás dissolvido. 3. Não existe gás dissolvido na água. 4. Os componentes gás livre e gás dissolvido (em condições padrão) possuem as mesmas propriedades. Figura 4: Típico reservatório “Black Oil”. Além disso, existem dois conceitos básicos na formulação “Black Oil”, derivados de análises PVT:

18 Fator volume-formação Bj O Fator Volume-Formação da fase j é definido como sendo a razão entre o volume que uma fase ocupa na superfície (STC) e o volume que essa mesma fase possui em condições de reservatório (RC), é definida como: Bj = ÎÓÐÙÑ ÎÓÐÙÑ × VjRC Bj = j ´Ê j ´ËÌ × ST Vjj C = µ µ ρST C j (2.5) (2.6) ρRC jj Razão de solubilidade Rs A Razão de Solubilidade é definida como sendo a razão entre o volume de gás dissolvido no óleo e o volume de óleo produzido, em condições de superfície, ou seja: Rs = ÎÓÐÙÑ × ××ÓÐÚ ÎÓÐÙÑ Ó ÒÓ Ð Ó ´ËÌ µ Ð Ó ÅÓÖØÓ ´ËÌ µ Rs = ST Vgo C ST (Voo C ) (2.7) (2.8) De acordo com as considerações adotadas, é possível se escrever as seguintes relações: Bo = Bg = Bw ρRC o (ρST C ) oo ρRC g ρST C gg ρRC w = ST C ) (ρww (2.9) (2.10) (2.11) A Equação da Difusividade será escrita para cada pseudo-componente (água, óleo e gás) separadamente. 2.1.1 Pseudo-componente água: Para o pseudo-componente água o termo de acúmulo pode ser escrito como:

19 Np (Sj ρj ωwj ) Ww = φ (2.12) j=1 Ww = φ [Sw ρw ωww + So ρo ωwo + Sg ρg ωwg ] (2.13) Como não existe água dissolvida nas fases óleo e gás, ωwo = ωwg = 0, e como o único componente na fase água é o componente água, ωww = 1, ou seja: Ww = φSw ρw (2.14) A densidade da água em condições de reservatório é dada por: ρST C ρw = w Bw (2.15) Assim: Ww = φSw ρST C w Bw (2.16) Já o termo de fluxo, para o pseudo-componente água, pode ser escrito como: − → Nw = Np → (ρj ωwj − ) vj (2.17) j=1 → ST C − − → vw → → → ρ Nw = ρw ωww − + ρo ωwo− + ρg ωwg − = w vw vo vg Bw (2.18) Como a densidade da água em condições padrão é considerada constante, a Eq. (2.4), para o pseudo-componente água, pode ser escrita como: ∂ ∂t 2.1.2 φSw Bw +∇· 1 − → .vw Bw = RwW ell ρST C w (2.19) Pseudo-componente óleo Para o pseudo-componente óleo, o termo de acúmulo pode ser escrito como:

20 Np (Sj ρj ωoj ) Wo = φ (2.20) j=1 Wo = φ [Sw ρw ωow + So ρo ωoo + Sg ρg ωog ] (2.21) Como não existe óleo dissolvido nas fases água e gás, ωog = ωow = 0. Então, na fase óleo, temos: Wo = φSo ρo ωoo (2.22) Utilizando o conceito de fator volume-formação para o óleo, é possível provar que: ρo ωoo ρST C = o Bo (2.23) φSo ρST C o Bo (2.24) Assim a Eq. (2.22) fica escrita como: Wo = O termo de fluxo pode ser escrito como: − → No = Np → (ρj ωoj − ) vj (2.25) j=1 ST C − → → → → ρ → No = ρw ωow − + ρo ωoo − + ρg ωog − = o − vw vo vg vo Bo (2.26) Portanto, a Eq. (2.4), para o pseudo-componente óleo, pode ser escrita como: ∂ ∂t 2.1.3 φSo Bo +∇· 1 − .→ vo Bo = RoW ell ρST C o (2.27) Pseudo-componente gás Para o pseudo-componente gás, o termo de acúmulo pode ser escrito como:

21 Np (Sj ρj ωgj ) Wg = φ (2.28) j=1 Wg = φ [Sw ρw ωgw + So ρo ωgo + Sg ρg ωgg ] (2.29) Como não existe gás dissolvido na fase água, ωgw = 0, e como o gás é o único componente presente na fase gás, ωgg = 1: Wg = φ [So ρo ωgo + Sg ρg ] (2.30) O produto ρo ωgo pode ser escrito por: ρo ωgo ST ρST C Vgo C mgo mo mgo go = RC = = RC ST Vo mo Vo Bo Voo C (2.31) ρST C Rs g = Bo (2.32) ρo ωgo A densidade do gás em condições de reservatório é dada por: ρg = ρST C g Bg (2.33) Assim a Eq. (2.30) adquire a seguinte forma: Wg = ρST C φ g Rs So Sg + Bo Bg (2.34) O termo de fluxo pode ser escrito como: − → Ng = Np → (ρj ωgj − ) vj (2.35) j=1 − → → → → → → Ng = ρw ωgw − + ρo ωgo − + ρg ωgg − = ρo ωgo − + ρg − vw vo vg vo vg (2.36) ST C − → ρST C Rs − g → + ρg − → vo vg Ng = Bo Bg (2.37)

22 Portanto, a Eq. (2.4), para o pseudo-componente gás, é dada por: ∂ ∂t φ Rs So Sg + Bo Bg +∇· Rs − →+ 1 − → vo vg Bo Bg = RgW ell ρST C g (2.38) onde RgW ell inclui os volumes de gás injetados ou produzidos mais os volumes de gás presentes na fase óleo produzida. Juntando as Eqs. (2.19), (2.27) e (2.38) é formado o conjunto de equações do tipo “Black Oil” Convencional: ∂ ∂t +∇· 1 − → .vw Bw = RwW ell ρST C w ∂ ∂t ∂ ∂t φSw Bw φSo Bo +∇· 1 − .→ vo Bo = RoW ell ρST C o φRs So φSg + Bo Bg +∇· Rs − →+ 1 − → vo vg Bo Bg = (2.39) RgW ell ρST C g A Eq. (2.39) é função das saturações e das pressões parciais das fases água, óleo e gás. Como existem seis incógnitas e apenas três equações, são necessárias mais três equações, conhecidas como equações de fechamento: 1. Fechamento para a saturação Considerando que existem apenas três fases no meio poroso: Sg + So + Sg = 1 (2.40) 2. Fechamento para as pressões parciais As pressões parciais são escritas como função das pressões capilares: Pc(ow) = Po − Pw (2.41) Pc(gw) = Pg − Pw (2.42) 2.2 Formulação “Black Oil” modificada A formulação “Black Oil” deduzida na seção anterior possui um grau aceitável de precisão na maioria dos casos práticos de simulação de reservatórios. Porém alguns

23 óleos leves possuem a característica de se volatilizarem na fase gasosa do reservatório. Para reservatórios de óleos leves a formulação “Black Oil Modificada” é mais aceita. A Fig. 5 mostra um exemplo de um óleo típico dessa formulação. É possível observar que existe um componente óleo volatilizado na fase gás. Figura 5: Típico reservatório do tipo “Black Oil Modificado” Os mesmos conceitos de fator volume-formação e razão de solubilidade deduzidos anteriormente são válidos nessa formulação, e adicionalmente deve ser incluído o conceito de Razão de Volatilidade, dado por: Rv = ÎÓÐÙÑ Ð Ó ÎÓÐÙÑ ××ÓÐÚ Ó ÒÓ × ´ËÌ µ × Ä ÚÖ ÅÓÖØÓ ´ËÌ µ Rv = ST Vog C ST Vgg C (2.43) (2.44)

24 Da mesma forma que na formulação “Black Oil” convencional, cada componente deve ser modelado separadamente. As mesmas considerações do modelo “Black Oil” convencional são adotadas nesse modelo, e adicionalmente considera-se que o óleo dissolvido no gás tem as mesmas propriedades que o óleo do reservatório. Dessa forma, a equação da difusividade dada pela Eq. (2.4) ainda é válida: ∂ → {φSj ρj ωij } + ∇ · (ρj ωij − ) = RiW ell vj ∂t 2.2.1 (2.45) Pseudo-componente água Nas duas formulações só existe o componente água presente na fase água, assim, utilizando a Eq. (2.45), é possível obter: ∂ ∂t 2.2.2 φSw Bw +∇· 1 − → vw Bw = RwW ell ρST C w (2.46) Pseudo-componente óleo O termo de acúmulo, para o pseudo-componente óloe, pode ser escrito como: Np (Sj ρj ωoj ) Wo = φ (2.47) j=1 Wo = φ [Sw ρw ωow + So ρo ωoo + Sg ρg ωog ] (2.48) Como existe óleo volatilizado no gás, nesse modelo, ωog = 0Assim: Wo = φ [So ρo ωoo + Sg ρg ωog ] (2.49) Como deduzido anteriormente: ρo ωoo = mo moo ρST C moo moo = o = = ST Vo mo Vo Bo Voo C Bo (2.50) ST ρST C Vog C mog mg mog og = = ST Vg mg Vg Bg Vgg C (2.51) ρg ωog =

25 ρST C Rv o Bg (2.52) Rv 1 So + Sg Bo Bg (2.53) → (ρj ωoj − ) vj (2.54) ρg ωog = Assim, Wo = φρST C o e o termo de fluxo pode ser escrito como: Np − → No = j=1 − → → → → No = ρw ωow − + ρo ωoo − + ρg ωog − vw vo vg − → No = ρST C o (2.55) 1 − → + Rv − → vo vg Bo Bg (2.56) Dessa forma, a equação da difusividade, para o pseudo-componente óleo, é dada por: ∂ ∂t 2.2.3 φ 1 Rv So + Sg Bo Bg +∇· 1 − → + Rv − → vo vg Bo Bg = RoW ell ρST C o (2.57) Pseudo-componente gás A formulação, para o pseudo-componente gás, é a mesma que na formulação “Black Oil” convencional e é dada por: ∂ ∂t φ Rs So Sg + Bo Bg +∇· Rs − →+ 1 − → vo vg Bo Bg = RgW ell ρST C g (2.58) Juntando as Eqs. (2.46), (2.57) e (2.58) são obtidas as equações conhecidas como “Formulação Black Oil Modificada”, dada por:

26 ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t φ φ φSw Bw 1 − → .vw Bw +∇· 1 Rv So + Sg Bo Bg Rs So Sg + Bo Bg RwW ell ρST C w 1 − → + Rv − → vo vg Bo Bg +∇· +∇· = Rs − →+ 1 − → vo vg Bo Bg = = RoW ell ρST C o (2.59) RgW ell ρST C g 2.3 Formulação “Black Oil” modificada baseada nas concentrações mássicas As formulações “Black Oil” e “Black Oil Modificada” produzem um conjunto de equações onde as variáveis a serem resolvidas são as velocidades de cada fase, dada pela Lei de Darcy Modificada e as saturações de cada componente. O problema dessas formulações é que a saturação de cada componente é um número que varia entre zero e um, produzindo dificuldades computacionais na implementação. Dessa forma, pode-se escrever as saturações dos componentes em função das concentrações mássicas dos mesmos, que são números positivos sem limitante superior. 2.3.1 Definição das concentrações mássicas Pode-se definir as seguintes propriedades: Concentração mássica do componente i na fase j hij = Å ×× Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ iÒ × ÎÓÐÙÑ ÈÓÖÓ×Ó hij = mij Vp j (2.60) (2.61) Concentração mássica do componente i hi = Å ×× Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ ÎÓÐÙÑ ÈÓÖÓ×Ó hi = mi = Vp i (2.62) Np hij j=1 (2.63)

27 Concentração mássica da fase j Hj = Å ×× × j (2.64) ÎÓÐÙÑ ÈÓÖÓ×Ó mj Hj = = Vp Nc hij (2.65) i=1 Pode-se escrever as seguinte relações para a razão de solubilidade, Rs , e a razão de volatilidade, Rv : ST Vgo C mgo ρST C hgo ρST C o o → Rs = Rs = ST C = ST C ST C Voo moo ρg hoo ρg (2.66) ST Vog C mog ρST C hog ρST C g g → Rv = Rv = ST C = ST C Vgg mgg ρo hgg ρST C o (2.67) Utilizando as Eqs. (2.61), (2.63) e (2.65) é possível construir o seguinte sistema:  h = h + h  o  oo og     hg = hgo + hgg H = h + h  o  oo go     Hg = hgg + hog (2.68) Com as Eqs. (2.66) - (2.68) é possível se escrever o seguinte sistema de equações lineares:             1 0 −1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 −ρST D g 0 0 ρST D Rv o 0 −ρST D o 0 ρST D Rs g 0 0   −1     0    0   0   0 hoo     hog       Ho   =   hgo     hgg     Hg 0   0    ho    hg   0   0 Resolvendo o sistema (2.69), encontram-se as seguintes relações: (2.69)

28 hoo = ρST D ho − Rv ρST D hg g o ρST D (1 − Rs Rv ) g ρST D hg − Rs ρST D ho o g ST D (1 − R R ) ρo s v ST D Rv ρo hg − Rs ρST D ho g = ST D (1 − R R ) ρg s v (2.70) hgg = (2.71) hog (2.72) hgo Ho Rs ρST D ho − Rv ρST D hg g o = ST D (1 − R R ) ρo s v ST D ST D ρo + ρg Rs ρST D ho − Rv ρST D hg g o = ρST D ρST D (1 − Rs Rv ) o g Hg = ρST D + ρST D Rv ρST D hg − Rs ρST D ho g o o g ρST D ρST D (1 − Rs Rv ) o g (2.73) (2.74) (2.75) As Eqs. (2.70) - (2.75) são as concentrações mássicas do modelo “Black Oil” em função das propriedades dos fluidos. Observa-se que as deduções realizadas extendem-se ao modelo “Black Oil Convencional”, se considerar Rv = 0. 2.3.2 Definiçao das saturações das fases em função das concentrações mássicas Utilizando a definição de saturação, Eq. (1.15): ST VoRC Bo Voo C = Vp Vp (2.76) So = Bo hoo ρST C o (2.77) Sg = Bg hgg ρST C g (2.78) Sw = Bw hw ρST C w (2.79) So = Analogamente: Substituindo as definições de concentração mássica:

29 So = Bo ρST C ho − Rv ρST C hg g o ρST C ρST C (1 − Rs Rv ) o g (2.80) Sg = Bg ρST C hg − Rs ρST C ho o g ρST C ρST C (1 − Rs Rv ) o g (2.81) Sw = Bw hw ρST C w (2.82) Após as definições das saturações das fases água, óleo e gás, a formulação “Black Oil” baseada nas concentrações mássicas pode ser escrito substituindo as Eqs. (2.80) - (2.82) na Eq. (2.59): ∂ ∂t φhw ρST C w +∇· 1 − → .vw Bw = RwW ell ρST C w ∂ ∂t φho ρST C o +∇· 1 − → + Rv − → vo vg Bo Bg = RoW ell ρST C o ∂ ∂t φhg ρST C g +∇· Rs − →+ 1 − → vo vg Bo Bg = RgW ell ρST C g (2.83) A equação de fechamento para a saturação deve ser escrita da seguinte forma: Bg ρST C hg − Rs ρST C ho Bo ρST C ho − Rv ρST C hg Bw o g g o + + ST C hw = 1 ST C ρST C (1 − R R ) ST C ρST C (1 − R R ) ρo ρo ρw s v s v g g (2.84)

30 3 Soluções dos Regimes Permanentes da Equação Radial da Difusividade Após deduzida a equação da difusividade utilizando o modelo composicional e o modelo “Black Oil”, esse capítulo tratará a solução da equação da difusividade ao redor de um poço produtor ou injetor, considerando que a pressão não varia com o tempo (regime permanente) ou considerando que a queda de pressão seja uniforme no reservatório (regime pseudo-permanente). 3.1 Equação da difusividade em coordenadas cilíndricas Conforme a Seção 1.5, a Eq. (1.32) governa o escoamento de um fluido multifásico em um reservatório. Repetindo essa equação por conveniência: ← → ← → K krj ∂ → {φSj ρj ωij + (1 − φ) ρs ωis } + ∇ · −ρj ωij (∇Pj + ρj − ) − φSj Dij ∇ (ρj ωij ) g ∂t µj = φSj rij + (1 − φ) ris + RiW ell Considerando que o fluido não interage com a rocha e que não há presença de termos fontes1 , a Eq. (1.32) pode ser escrita como: ∂ {φSj ρj ωij } = ∇ · ∂t 1 ← → ← → K krj → ρj ωij (∇Pj + ρj − ) + φSj Dij ∇ (ρj ωij ) g µj (3.1) Nesse caso a presença de um poço produtor ou injetor será modelado como condições de contorno da equação da difusividade.

31 Nesse caso, considera-se que o reservatório está inicialmente saturado com óleo e água conata e que essa água não se move, portanto acontece um fluxo de óleo na presença de água imóvel. Considerando que não há fluxo difusivo no reservatório e que a pressão capilar entre as fases seja nula, a Eq. (3.1) pode ser escrita para cada fase como: ∂ {φSw ρw } = ∇ · ∂t ← → K krw → ρw (∇P + ρw − ) g µw (3.2) ∂ {φSo ρo } = ∇ · ∂t ← → K kro → ρo (∇P + ρo − ) g µo (3.3) Como a água é considerada imóvel no problema, o fluxo advectivo para a água no meio poroso é nulo. Dessa forma, a Eq. (3.2) pode ser escrita como: ∂ {φSw ρw } = 0 ∂t (3.4) ∂ ∂ ∂Sw {φSw ρw } = Sw (φρw ) + φρw =0 ∂t ∂t ∂t (3.5) Sw ∂ ∂Sw =− (φρw ) ∂t φρw ∂t (3.6) ou seja: Assim: ∂ρw Sw ∂φ ∂Sw φ =− + ρw ∂t φρw ∂t ∂t (3.7) ∂Sw 1 ∂ρw ∂P 1 ∂φ ∂P = −Sw + ∂t ρw ∂P ∂t φ ∂P ∂t (3.8) Considerando que a água e a rocha sejam pouco compressíveis, é possível utilizar o conceito de compressibilidade: cj = − 1 ρj ∂ρj ∂P (3.9) T =cte

32 Dessa forma: ∂P ∂Sw = −Sw [cw + cf ] ∂t ∂t (3.10) onde cw e cf são, respectivamente, as compressibilidades da água e da formação. Assumindo que o meio poroso seja saturado somente com óleo e água: So + Sw = 1 (3.11) ∂Sw ∂So =− ∂t ∂t (3.12) Logo a Eq. (3.10) pode ser escrita como: ∂So ∂P = Sw [cw + cf ] ∂t ∂t (3.13) Derivando o lado esquerdo da Eq. (3.3): ∂ ∂φ ∂ρo ∂So (φSo ρo ) = So ρo + φSo + φρo ∂t ∂t ∂t ∂t (3.14) Utilizando novamente os conceitos de compressibilidade: ∂ ∂P ∂P ∂So (φSo ρo ) = So ρo cf φ + φSo ρo co + φρo ∂t ∂t ∂t ∂t (3.15) Substituindo a Eq. (3.13): ∂ ∂P ∂P ∂P (φSo ρo ) = So ρo cf φ + φSo ρo co + φρo Sw [cw + cf ] ∂t ∂t ∂t ∂t (3.16) Rearranjando: ∂P ∂ (φSo ρo ) = ρo φ (cf + So co + Sw cw ) ∂t ∂t (3.17) Definindo a compressibilidade efetiva do sistema como: c t = c f + So c o + Sw c w (3.18)

33 a Eq. (3.17) é escrita como: ∂P ∂ (φSo ρo ) = ct ρo φ ∂t ∂t (3.19) Substituindo a Eq. (3.19) na Eq. (3.3): ∂P =∇· ct ρo φ ∂t ← → K kro → (∇P + ρo − ) g ρo µo (3.20) Considerando o meio isotrópico e homogêneo, o tensor de permeabilidades pode ser aproximado por uma permeabilidade média. Considerando o fluido levemente compressível, é possível dizer que o fator volume-formação do fluido e a viscosidade não variam com a pressão, dessa forma: ∂P Ko → = ∇ · (∇P + ρo − ) g ∂t ct φµo (3.21) onde Ko = K.kro . A Eq. (3.21) é valida para qualquer sistema de coordenadas. A Fig. 6 mostra um esboço do problema estudado. É possível perceber que a utilização de coordenadas cilíndricas é mais adequada ao problema. Figura 6: Escoamento ao redor de um poço. O gradiente da pressão em coordenadas cilíndricas é dado por: ∇P = ∂P 1 ∂P ∂P ; ; ∂r r ∂θ ∂z (3.22) Considerando o escoamento totalmente radial, a gravidade não influencia no es-

34 coamento, e a queda de pressão se dá apenas na direção radial, assim: ∇P = ∂P ; 0; 0 ∂r → − = 0; 0; 0 g (3.23) (3.24) Assim a Eq. (3.21) fica escrita como: ∂P Ko ∇· = ∂t ct φµo ∂P ; 0; 0 ∂r (3.25) → − O produto interno em coordenadas cilíndricas para um vetor qualquer b é definido como: → − ∇· b = 1 ∂ (rbr ) 1 ∂ (bθ ) ∂bz ; ; r ∂r r ∂θ ∂z (3.26) Dessa forma a Eq. (3.25) adquire a seguinte forma: 1 ∂ r ∂r r ∂P ∂r = ct φµo ∂P Ko ∂t (3.27) A Eq. (3.27) é a equação da difusividade na forma radial, utilizada quando se deseja estudar o comportamento do fluxo no reservatório nas regiões próximas ao poço. Nas próximas seções serão estudadas algumas soluções dessa equação. 3.2 Solução do regime permanente O regime permanente é caracterizado pela não variação da pressão com o tempo de produção (ROSA et al., 2006). Esse padrão de escoamento é muito raro, ocorrendo quando o reservatório é muito grande, ou quando existe uma alimentação externa do reservatório causado por um aquífero. Como a pressão não varia com o tempo: ∂P =0 ∂t Assim o problema pode ser escrito da seguinte forma: (3.28)

35 ∂ ∂r ∂P =0 ∂r P (r, t0 ) = Pi r ´ º ºÈµ ´ ºÁºµ P (re , t) = Pi ´ º º µ P (rwell , t) = Pwf 3.2.1 (3.29) ´ º ºÁµ Solução da pressão no regime permanente Na Eq. (3.29), a sigla E.D.P mostra a equação diferencial parcial que será resolvida2 ; C.I. indica a condição inicial do reservatório, e expressa que no tempo inicial a pressão de todo o reservatório era constante; C.C.E expressa a condição de contorno externa, nesse caso a pressão na fronteira externa é igual a pressão inicial do reservatório; e C.C.I é a condição de contorno interna, e nesse caso indica que a pressão na face do poço é constante. Utilizando a “Lei de Darcy” na condição de contorno interna, e considerando que no regime transiente a vazão no poço é constante: ST qo C = 2πKo h Bo µ r ∂P ∂r (3.30) Será utilizada a seguinte convenção: a vazão produzida pelo poço é positiva e a vazão injetada é negativa. Resolvendo a Eq. (3.29): r ∂P ∂r = cte (3.31) Utilizando a Eq. (3.30): r P (r) ˆ P (rw ) 2 ∂P ∂r = ST qo C Bo µ 2πKo h q ST C Bo µ dP = o 2πKo h ˆr 1 dr r (3.32) (3.33) rw De fato a Eq. (3.29) é uma equação diferencial ordinária, mas está sendo tratada como uma equação diferencial parcial a fim de generalizar o problema.

36 Assim: P (r, t) = Pwf + ST qo C Bo µ ln 2πKo h r rw (3.34) que pode ser escrito da seguinte forma: P (r) = Pwf + ST qo C Bo µ ln 2πKo h r rw (3.35) A Fig. 7 mostra como varia a pressão em função da distância radial do reservatório. É possível observar que a pressão cai do valor da pressão inicial (raio externo do reservatório) até o valor de pressão no fundo do poço (raio do poço). Figura 7: Variação da pressão em função da distância radial do centro do poço, para um reservatório produzindo no regime permanente. 3.2.2 Pressão média no regime permanente Uma outra forma de se escrever essa equação é com base na pressão média do reservatório, que é um parâmetro fácil de se obter em testes de pressão. A pressão média em um ponto com distância r do centro do poço é definida com base em uma média ponderada no volume compreendido entre o raio do poço e o raio r: P (r, t) = ´r rw P (r, t)dV ´r dV rw (3.36) onde V é o volume poroso de todo o reservatório, definido por: 2 V = φhπ r 2 − rw (3.37)

37 Dessa forma a Eq. (3.36) pode ser escrita como: 2πhφ ´r P (r, t)rdr ´r 2πhφ rw rdr P (r, t) = rw 2 2 − r2 r w P (r, t) = ˆ (3.38) r P (r, t)rdr (3.39) rw Substituindo a Eq. (3.34): P (r, t) = 2 2 r 2 − rw P (r, t) = Pwf ˆ r Pwf + rwell ST qo C Bo µ ln 2πKo h ST qo C Bo µ + 2 2 (r − rw ) πKo h ˆ r ln r rw r rw rdr (3.40) rdr (3.41) r2 1 − 2 − r2 ) (r 2 w (3.42) rw Utilizando integral por partes: P (r, t) = Pwf + ST qo C Bo µ ln 2πKo h r rw A Eq. (3.42) mostra a pressão média em cada ponto do reservatório. Observe que não existe termo temporal nessa equação, o que significa que a pressão não varia com o tempo (regime permanente). Essa equação pode ser simplificada quando o raio investigado é muito maior que o raio do poço (r ≫ rw ), ou seja: r2 ≈1 2 (r 2 − rw ) (3.43) . Dessa maneira a Eq. (3.42) fica escrita como: P (r, t) = Pwf + ST qo C Bo µ ln 2πKo h r rw − 1 2 (3.44) que é a forma comumente encontrada nos livros de engenharia de reservatório. 3.3 Solução do regime pseudo-permanente O regime pseudo-permanente é uma aproximação muito útil, onde se assume que a queda de pressão em todos os pontos do reservatório é constante com o tempo

38 (ROSA et al., 2006). A Fig. 8 mostra uma representação esquemática da variação da pressão nesse regime. É possível perceber que uma vez que o reservatório atinge um perfil de produção, todos os pontos decaem com o mesmo perfil. Esse regime é válido quando um reservatório produz com mecanismo de gás em solução, para tempos suficientemente longos. Figura 8: Variação da pressão em função da distância radial do centro do poço, para um reservatório produzindo no regime pseudo-permanente (ROSA et al., 2006). A queda de pressão no reservatório é constante, assim: ∂P =α ∂t (3.45) onde α é uma constante qualquer. Como o reservatório é selado, não há fluxo na fronteira externa, desse modo: q (re ) = 0 (3.46) Utilizando a Lei de Darcy: 2πKo h µ r r ∂P ∂r ∂P ∂r =0 (3.47) r=re =0 r=re Assim, o sistema que governa o regime pseudo-permanente é dado por: (3.48)

39 1 ∂ r ∂r 3.3.1 r ∂P ∂r ct φµo ∂P Ko ∂t P (r, t0 ) = Pi ∂P =0 ∂r r=re P (rw , t) = Pwf (t) = ´ º ºÈµ ´ ºÁºµ (3.49) ´ º º µ ´ º ºÁµ Solução da pressão no regime pseudo-permanente: A Eq. (3.49) pode ser escrita da seguinte forma: ∂ ∂r r ∂P ∂r = ct φµo α r Ko (3.50) Integrando os dois lados da equação entre o poço e o limite do reservatório: ˆre ∂ ∂r ∂P r ∂r dr = rw r ∂P ∂r ˆre ct φµo α r.dr Ko (3.51) rw r=re − r ∂P ∂r = r=rw 2 2 ct φµo α (re − rw ) Ko 2 (3.52) Utilizando a Lei de Darcy: ST qo C = 2πKo h Bo µ r ∂P ∂r (3.53) r=rw 2 2 ST ct φµo α (re − rw ) qo C Bo µ =− 2πKo h Ko 2 (3.54) Logo: α=− ST qo C Bo 2 2 ct πφh (re − rw ) (3.55) 2 2 Note que πφh (re − rw ) é o volume poroso do reservatório, logo a Eq. (3.55) ex- pressa o balanço de materiais nesse reservatório. Resolvendo a E.D.P.:

40 ST qo C Bo µo r 2 2 πh (re − rw ) Ko (3.56) ST qo C Bo µo r 2 ∂P =− + C1 2 2 ∂r πh (re − rw ) Ko 2 (3.57) ∂ ∂r r r ∂P ∂r =− Utilizando a condição de contorno externa: C1 = ST 2 qo C Bo µo re 2 2 πh (re − rw ) Ko 2 (3.58) Assim: ST ∂P qo C Bo µo = 2 2 ∂r 2πh (re − rw ) Ko 2 re −r r (3.59) Integrando entre o poço e um raio qualquer: P ˆ(r) dP = ˆr rw Pwf (t) ST qo C Bo µo 2 2 2πh (re − rw ) Ko 2 re − r dr r ST 2 qo C Bo µo re P (r) = Pwf (t) + ln 2 2 2πhKo (re − rw ) r rw 2 1 (r 2 − rw ) − 2 2 2 (re − rw ) (3.60) (3.61) A Eq. (3.61) expressa a variação da pressão em função do raio para um reservatório no regime pseudo-permanente. 3.3.2 Pressão média no regime pseudo-permanente Da mesma forma que no regime permanente, a pressão média em um ponto do reservatório é um parâmetro muito mais fácil de ser medido através de um teste de pressão. Dessa forma, utilizando o conceito de pressão média: P (r) = Utilizando a Eq. (3.61): ´r rw P (r)dV ´r rw dV 2 = 2 2 (r − rw ) ˆ r rw P (r)rdr (3.62)

41 2 P (r) = 2 2 (r − rw ) ˆ r Pwf (t)+ rw + 2 ST re qo D Bo µo ln 2 2 2πhKo (re − rw ) r rw − 2 1 (r 2 − rw ) 2 2 2 (re − rw ) rdr (3.63) Rearranjando a equação: 2 P (r) = 2 2 (r − rw ) ˆ r rPwf (t) + rw ST 2 qo D Bo µo re r. ln 2 2 2πhKo (re − rw ) − r rw ST qo D Bo µo 2 r r 2 − rw 2 2 4πhKo (re − rw ) dr (3.64) É possível dividir a integra da Eq. (3.64) em três integrais: I1 = ˆr rPwf (t)dr (3.65) rw I2 = ˆr rw I3 = − ST 2 qo D Bo µo re r ln 2 2 2πhKo (re − rw ) ˆr rw r rw ST qo D Bo µo 2 r r 2 − rw 2 − r2 ) 4πhKo (re w dr dr (3.66) (3.67) Resolvendo as integrais, chega-se aos seguintes resultados: I1 = I2 = Pwf (t) 2 2 r − rw 2 2 ST r2 re qo D Bo µo ln 2 2 2πhKo (re − rw ) 2 r rw (3.68) − 1 2 2 r − rw 4 (3.69) 2 2 q ST D Bo µo (r 2 − rw ) I3 = − o 2 2 16πhKo (re − rw ) Substituindo os valores das integrais na Eq. (3.64): (3.70)

42 P (r) = 2 2 (r 2 − rw ) P (r) = Pwf (t) + Pwf (t) 2 2 r − rw + 2 2 ST r2 re qo D Bo µo ln 2 2 2πhKo (re − rw ) 2 r rw − 1 2 2 r − rw 4 2 ST 2 µo qo D Bo (r 2 − rw ) − 2 2 16πhKo (re − rw ) 2 ST r2 re qo D Bo µo ln 2 2 2 2πhKo (re − rw ) (r 2 − rw ) r rw − − (3.71) 1 2 ST 2 µo qo D Bo (r 2 − rw ) 2 2 8πhKo (re − rw ) (3.72) Simplificando: P (r) = Pwf (t) + 2 ST r2 re qo D Bo µo ln 2 2 2 2πKo h (re − rw ) (r 2 − rw ) r rw − 2 1 (r 2 − rw ) 1 − 2 4 re 2 (3.73) A Eq. (3.73) expressa a pressão média em função do raio do reservatório, para o regime pseudo-permanente. Essa equação pode ser simplificada utilizando-se a seguinte aproximação: r2 ≈1 2 (r 2 − rwell ) (3.74) De fato essa aproximação é valida quando r ≫ rwell . Dessa maneira a Eq. (3.73) adquire a seguinte forma: P (r) = Pwf (t) + ST qo D Bo µo ln 2πKo h r rw − 3 4 (3.75) que é a expressão comumente apresentada nos livros de engenharia de reservatórios.

43 3.3.3 Pressão em função do raio e do tempo no regime pseudopermanente Como pode ser observado nas Eqs. (3.61) e (3.73), o termo Pwf (t) é função do tempo de abertura do reservatório. Como definido anteriormente, a queda de pressão em função do tempo no reservatório é constante, dessa forma: ∂P ∂P = =α ∂t ∂t (3.76) onde P é a pressão média de todo o reservatório. Substituindo o valor de α: ST ∂P qo D Bo =− 2 2 ∂t ct πφh (re − rw ) (3.77) Integrando a equação: P ˆ (t) ˆt dP = − 0 Pi ST qo D Bo dt 2 2 ct πφh (re − rw ) (3.78) onde Pi é a pressão inicial do reservatório. Dessa forma, a pressão média do reservatório em função do tempo é dada por: P (t) = Pi − ST qo D Bo t 2 2 ct πφh (re − rw ) (3.79) A pressão média de todo o reservatório variando no tempo, deve ser igual a pressão média de todo o reservatório variando com a distância radial, ou seja: P (t) = P (re ) (3.80) Substituindo a Eq. (3.73): Pi − ST qo D Bo t = Pwf (t) 2 2 ct πφh (re − rw ) 2 2 re re q ST D Bo µo ln + o 2 2 2 2 2πKo h (re − rw ) (re − rw ) re rw − 2 2 1 (re − rw ) 1 − 2 4 re 2 (3.81)

44 Pwf (t) = Pi − 2 2 ST re re qo D Bo µo ln 2 2 2 2 2πKo h (re − rw ) (re − rw ) re rw − 2 2 1 (re − rw ) 1 − 2 4 re 2 ST D qo Bo t (3.82) − 2 2 ct πφh (re − rw ) A Eq. (3.82) expressa a pressão na face do poço em função do tempo de abertura do reservatório. Dessa forma, combinando as Eqs. (3.82) e (3.61) é possível encontrar um expressão que calcula a pressão em qualquer ponto do reservatório e em qualquer tempo de produção: P (r, t) = Pi − ST 2 2 qo D Bo µo re re ln 2 2 2 2 2πKo h (re − rw ) (re − rw ) 2 2 1 (re − rw ) − + ln 2 4 re r rw re rw ST 2 1 (r 2 − rw ) 1 qo D Bo − − − t (3.83) 2 2 2 2 re 2 ct πφh (re − rw )

45 4 Solução do Regime Transiente da Equação Radial da Difusividade A solução do regime transiente foi colocada em um capítulo a parte devido a complexidade matemática das deduções e principalmente porque as soluções desenvolvidas para esse regime possuem aplicações práticas na análise de testes de pressão em poços de petróleo. As soluções desenvolvidas nesse capítulo são independentes do sistema de unidades utilizado e das dimensões e propriedades do reservatório. Dessa forma, uma boa prática é se desenvolver uma forma adimensional da equação da difusividade, onde as soluções serão válidas para qualquer sistema de unidades. 4.1 Adimensionalização da equação da difusividade radial A Equação da Difusividade em coordenadas radiais, Eq. (3.27), foi definida como: 1 ∂ r ∂r r ∂P ∂r = ct φµo ∂P Ko ∂t (4.1) O sistema de variáveis serão modificados da seguinte forma: P t r η ↓ ↓ ↓ ↓ (4.2) PD tD rD 1 onde o subscrito D indica que a variável está na forma adimensional e η é a constante de difusividade, definida como:

46 η= 4.1.1 Ko ct φµo (4.3) Adimensionalização do raio (r) O raio r pode ser escrito na forma adimensional utilizando-se o raio do poço como parâmetro, da seguinte forma: rD = r rw (4.4) Dessa forma, utilizando-se a regra da cadeia, a derivada parcial da pressão em relação ao raio adimensional pode ser escrito como: ∂P ∂P ∂rD 1 ∂P = = ∂r ∂rD ∂r rw ∂rD (4.5) Substituindo na Eq. (4.1): 1 ∂ rw rD ∂r rD ∂P ∂rD = ct φµo ∂P ∂ Ko ∂t ∂t Rs So Sg + Bo Bg φ +∇· Rs − →+ 1 − → vo vg Bo Bg = RgW ell ρST C g (4.6) Derivando novamente em relação ao raio adimensional: ∂ ∂r rD ∂P ∂rD = ∂ ∂rD rD ∂P ∂rD ∂rD 1 ∂ = ∂r rw ∂rD rD ∂P ∂rD (4.7) Assim a Equação da Difusividade com o raio adimensional pode ser escrita como: 1 2 rw rD 4.1.2 ∂ ∂rD rD ∂P ∂rD = ct φµo ∂P ∂ Ko ∂t ∂t φ Rs So Sg + Bo Bg +∇· Rs − →+ 1 − → vo vg Bo Bg = RgW ell ρST C g (4.8) Adimensionalização do tempo (t) Para se adimensionalizar o tempo, observa-se que a seguinte constante possui dimensão de tempo:

47 2 r 2 ct φµo [L2 ] [P −1] [1] [P.T ] rw = w = = [T ] η Ko [L2 ] (4.9) onde L, P e T expressam as dimensões de comprimento, pressão e tempo, respectivamente. Dessa forma: t tD = (4.10) 2 rw ct φµo Ko Derivando a pressão em relação ao tempo adimensional: ∂P ∂P ∂tD Ko ∂P = = 2 ∂t ∂tD ∂t rw ct φµo ∂tD (4.11) Substituindo na Eq. (4.8): 1 ∂ rD ∂rD 4.1.3 rD ∂P ∂rD = ∂P ∂tD (4.12) Adimensionalização da pressão (P ) Para se adimensionalizar a pressão, utiliza-se a Lei de Darcy radial calculada no poço: ST qo C = 2πKo h Bo µ r ∂P ∂r (4.13) r=rw Adimensionalizando o raio: ST qo C = rD 2πKo h Bo µ ∂P ∂rD rD = rD =1 ∂P ∂rD (4.14) rD =1 ST qo C Bo µ 2πKo h (4.15) Logo, observa-se que o lado direito da equação possui dimensão de pressão. Em aplicações práticas, é melhor trabalhar com a variação da pressão do que com a pressão no reservatório, dessa forma seria interessante se escrever a pressão adimensional em função de ∆P , onde:

48 ∆P = Pi − P (r, t) (4.16) Como a vazão produzida pelo poço é positiva e a vazão injetada é negativa. a pressão pode ser adimensionalizada da seguinte forma: PD = − (Pi − P ) 2πKoh ST qo D Bo µ (4.17) Calculando as derivadas parciais da pressão em relação ao tempo e ao raio adimensionais: ∂P ∂PD q ST D Bo µ ∂PD ∂P = = o ∂tD ∂PD ∂tD 2πKo h ∂tD (4.18) ∂P ∂P ∂PD q ST D Bo µ ∂PD = = o ∂rD ∂PD ∂rD 2πKo h ∂rD (4.19) Substituindo na Eq. (4.12): ∂ 1 rD ∂rD rD ∂PD ∂rD = ∂PD ∂tD (4.20) A Eq. (4.20) representa a equação da difusividade na forma radial adimensional, observa-se que ela é muito parecida com a forma dimensional. O próximo passo é adimensionalizar as condições de contorno. 4.1.4 Adimensionalização das condições de contorno A condição inicial para o reservatório pode ser escrita como: PD (rD , tD = 0) = 0 (4.21) A condição de contorno interna, considerando vazão constante, pode ser escrita como: rD ∂PD ∂rD rD =1 = −1 (4.22) A condição de contorno externa para uma reservatório infinito pode ser escrita como:

49 lim PD (rD , tD ) = 0 rD →∞ (4.23) Observa-se que as condições de contorno são todas lineares, dessa forma o sistema de adimensionalização escolhido foi capaz de simplificar o problema matemático. 4.1.5 Sistema de unidades A Eq. (4.1) está deduzida no sistema internacional de unidades. Esse sistema de unidades não é muito prático na indústria do petróleo. Assim, devem ser impostas as seguintes conversões de unidades: a= ca qBo µ 2πh (4.24) cb k φµct (4.25) C ca cb (4.26) η= CD = onde CD é o coeficiente de estocagem adimensional que será definido com detalhes no Capítulo 5. Os coeficientes ca e cb são os coeficientes de conversão de unidades e possuem os seguintes valores: Sistema de unidades Petrobras (PETROSI):  ca = 119.5690 c = 3.484e − 4 b (4.27) Sistema de unidades americano (OILFIELD):  ca = 887.1860 c = 2.6374e − 4 b (4.28)

50 4.2 Solução do tipo linha-fonte (Transformada de Boltzmann) A aproximação da linha-fonte considera que o raio do reservatório é muito maior que o raio do poço, desse modo, o poço pode ser visto como sendo apenas uma linha produzindo ou injetando fluidos no reservatório. Utilizando essas aproximações, é possível se escrever o seguinte conjunto de equações para esse problema: ∂PD ∂PD = ∂rD ∂tD PD (rD , tD = 0) = 0 ∂ 1 rD ∂rD rD lim PD (rD , tD ) = 0 rD →∞ rD 4.2.1 ∂PD ∂rD rD →0 = −1 ´ º ºÈºµ ´ ºÁºµ (4.29) ´ º º µ ´ º ºÁµ Definição da equação da difusividade na forma de Boltzmann A transformada de Boltzmann consiste em se encontrar uma solução da E.D.P. da forma P = P (ξ), onde: B ξ = ArD tC D (4.30) sendo A, B e C constantes reais. Calculando as derivadas parciais em relação ao tempo e ao raio adimensionais: ∂PD (ξ) ∂PD (ξ) ∂ξ B (C−1) ∂PD (ξ) = = ACrD tD ∂tD ∂ξ ∂tD ∂ξ (4.31) ∂PD (ξ) ∂PD (ξ) ∂ξ (B−1) C ∂PD (ξ) = = ABrD tD ∂rD ∂ξ ∂rD ∂ξ (4.32) Substituindo as derivadas parciais na Eq.(4.29): ∂ 1 rD ∂rD (B−1) C ∂PD tD rD ABrD (ξ) ∂ξ (C−1) ∂PD B = ACrD tD (ξ) ∂ξ (4.33)

51 ∂ 1 rD ∂rD B ABrD tC D ∂ ∂rD ∂ ∂rD Bξ ξ ∂PD (ξ) ∂ξ ∂PD (ξ) ∂ξ (C−1) ∂PD (ξ) ∂ξ B = ACrD tD (C−1) ∂PD B+1 = ACrD tD (ξ) ∂ξ (C−1) ∂PD ∂PD (ξ) ∂ξ B+1 = AB −1 CrD tD (ξ) ∂ξ (4.34) (4.35) (4.36) Utilizando a regra do produto: ξ ξ ∂PD (ξ) ∂ξ + ∂ξ ∂PD (ξ) B+1 (C−1) ∂PD (ξ) = AB −1 CrD tD ∂rD ∂ξ ∂ξ (4.37) ∂ 2 PD (ξ) ∂ξ ∂ξ 2 ∂rD + ∂ξ ∂PD (ξ) B+1 (C−1) ∂PD (ξ) = AB −1 CrD tD ∂rD ∂ξ ∂ξ (4.38) ∂ ∂rD ∂ξ ξ ∂rD ∂ 2 PD (ξ) ∂ξ 2 + ∂PD (ξ) B+1 (C−1) ∂PD (ξ) = AB −1 CrD tD ∂ξ ∂ξ (4.39) ξ ∂ 2 PD (ξ) ∂PD (ξ) B+1 (C−1) ∂PD (ξ) = AB −1 CrD tD + 2 ∂ξ ∂ξ ∂ξ (4.40) ξ ∂ 2 PD (ξ) ∂PD (ξ) ∂PD (ξ) 2 = B −2 CrD t−1 + D 2 ∂ξ ∂ξ ∂ξ (4.41) ξ (B−1) C tD ABrD ∂ 2 PD (ξ) ∂PD (ξ) 2 1 − B −2 CrD t−1 = 0 + D ∂ξ 2 ∂ξ (4.42) Fazendo a seguinte substituição: 2 ξ N = −B −2 CrD t−1 D (4.43) Dessa forma, a Eq. (4.42) pode ser escrita como: ξ onde: ∂ 2 PD (ξ) ∂PD (ξ) 1 + ξN = 0 + ∂ξ 2 ∂ξ (4.44)

52 ξ= 2 B −2 (−C) rD t−1 D N (4.45) Comparando com a Eq. (4.30): 2 1 −1 B N N B N (−C) N rD tD = ArD tC D −2 (4.46) Encontra-se os seguintes valores das constantes A, B e C: A=B −2 N (−C) 1 N 2 N = B= −2 N 1 N 1 N 2 N C=− (4.47) (4.48) 1 N (4.49) Observa-se que a Eq. (4.44) é uma E.D.O. de segunda ordem, assim, com a transformada de Boltzmann foi possível se transformar uma E.D.P. de segunda ordem em uma E.D.O. de segunda ordem. Para se completar o sistema de equações do problema é necessário se escrever as condições de contorno na forma de Boltzmann: • Condição de Contorno Interna C.C.I.: lim rD →0 lim rD →0 lim rD →0 rD rD ∂PD (ξ) ∂rD = −1 ∂PD (ξ) ∂ξ ∂ξ ∂rD Bξ ∂PD (ξ) ∂ξ = −1 (4.50) (4.51) = −1 (4.52) 1 B (4.53) Observa-se que quando rD → 0, ξ → 0, assim: lim ξ ξ→0 ∂PD (ξ) ∂ξ =−

53 • Condição de Contorno Externa C.C.E.: lim PD (ξ) = 0 (4.54) lim PD (ξ) = 0 (4.55) rD →∞ Quando rD → ∞, ξ → ∞, assim: ξ→∞ 4.2.2 Solução da equação da difusividade na forma de Boltzmann Utilizando as equações desenvolvidas anteriormente, é possível se escrever o seguinte conjunto de equações: ξ d2 PD (ξ) dPD (ξ) 1 + ξN = 0 + 2 dξ dξ 1 dPD (ξ) =− lim ξ ξ→0 dξ B lim PD (ξ) = 0 ξ→∞ ´ º ºÇµ ´ º ºÁµ (4.56) ´ º º µ Para se resolver a Eq. (4.56), utiliza-se a seguinte transformação: y= dPD (ξ) dξ (4.57) Dessa forma: dy + y 1 + ξN = 0 dξ (4.58) 1 1 + ξ (N −1) dξ = − dy ξ y (4.59) ξ Como N é um número inteiro positivo, é possível se integrar a Eq. (4.59)1 : ln (ξ) + 1 ξN + C0 = −ln (y) N (4.60) De fato a EDP original não depende de N , logo a solução da Eq. (4.59) também não depende. Assim, uma forma mais fácil de se resolver essa equação é considerar N = 1.

54 y= C0 −1 ξN eN ξ (4.61) Utilizando a condição de contorno interna: −1 N lim C0 e N ξ =− ξ→0 C0 = − 1 B 1 B (4.62) (4.63) Dessa forma: y= 1 −1 N dPD (ξ) =− eNξ dξ Bξ 1 −1 N B.dPD = − e N ξ dξ ξ (4.64) (4.65) Integrando, e utilizando a condição de contorno externa: P ˆD B.dPD = − 0 ˆξ 1 −1 ξN e N dξ ξ (4.66) ∞ Para se facilitar esse cálculo, é possível se definir a seguinte substituição: ξN =µ N (4.67) ξ (N −1) dξ = dµ (4.68) Assim, a Eq. (4.66) pode ser escrita como: B.PD = − ˆµ 1 −µ e dµ = − ξN ∞ Utilizando a definição de B (Eq. (4.48)): ˆµ ∞ 1 −µ e dµ Nµ (4.69)

55 1 PD = 2 ˆ∞ 1 −µ e dµ µ (4.70) µ A Eq. (4.70) é conhecida como função exponencial integral, descrita no Apêndice A, tal que: 1 2 ˆ∞ 1 −µ 1 e dµ = − Ei (−µ) µ 2 (4.71) ξN r2 = D N 4tD (4.72) µ Lembrando que: µ= Logo, a pressão adimensional é dada por: r2 1 PD (rD , tD ) = − Ei − D 2 4tD (4.73) A Eq. (4.73) expressa a solução do regime transiente em coordenadas radiais adimensionais, utilizando-se a aproximação da linha-fonte. Observa-se que a solução não depende do valor de N utilizado, o que de fato é uma verdade pois a substituição de Boltzmann não poderia afetar a solução da equação original. Utilizando a aproximação logarítmica para a função exponencial integral, conforme o Apêndice A, a solução aproximada pode ser escrita como: PD (rD , tD ) ≈ 1 ln 2 4tD 2 eγ rD (4.74) onde γ é a constante de Euler-Mascheroni, cujo valor numérico é γ ≈ 0, 5772156649. A Fig. 9 compara a solução exata, dada pela função exponencial integral, com a 2 solução dada pela aproximação logarítmica em função do parâmetro tD /rD . É possível perceber que a medida que o tempo avança, os erros introduzidos pela aproximação logarítmica diminuem.

56 Figura 9: Comparação entre a solução exata, e a solução dada pela aproximação logarítmica. 4.3 Solução do tipo linha-fonte (Transformada de Laplace) A solução do tipo linha-fonte será deduzida novamente, porém utilizando-se a transformada de Laplace para se verificar que é um método eficiente de solução de equações diferenciais parciais. A transformada de Laplace está discutida no Anexo B. 4.3.1 Equação da difusividade no campo de Laplace O problema da equação da difusividade transiente, utilizando-se a aproximação da linha-fonte em coordenadas adimensionais é dada pela Eq. (4.29), repetido aqui por conveniência.

57 ∂ 1 rD ∂rD ∂PD ∂PD = ∂rD ∂tD PD (rD , tD = 0) = 0 rD lim PD (rD , tD ) = 0 rD →∞ rD ∂PD ∂rD rD →0 = −1 ´ º ºÈµ ´ ºÁºµ (4.75) ´ º º µ ´ º ºÁµ Para se resolver essa equação no campo de Laplace, a equação e as condições de contorno devem ser convertidas para o campo de Laplace. A transformada de Laplace leva a variável tD , tempo adimensional, para o campo de Laplace, aplicando a seguinte transformação linear, tem-se: L {PD (rD , tD )} = P D (rD , u) (4.76) onde u é a variável correspondente ao tempo no campo de Laplace. Uma das propriedades úteis da transformada de Laplace é a transformada da função derivada, definida como: L ∂PD (rD , tD ) ∂rD = ∂P D == uP D (rD , u) − PD (rD , tD = 0) ∂rD (4.77) Como observado, a transformada de Laplace só afeta as funções que dependem do tempo adimensional. Aplicando a transformada na equação diferencial parcial: ∂ 1 rD ∂rD rD ∂P D ∂rD =L ∂PD ∂tD = uP D (rD , u) − PD (rD , tD = 0) (4.78) Aplicando a transformada de Laplace em todas as condições de contorno: 1 ∂ rD ∂rD rD ∂P D ∂rD = uP D (rD , u) − PD (rD , tD = 0) ´ º ºÈµ P D (rD , u = 0) = 0 ´ ºÁºµ lim P D (rD , u) = 0 ´ º º µ rD →∞ rD ∂P D ∂rD rD →0 =− 1 u ´ º ºÁµ (4.79)

58 A Eq. (4.79) é a equação que governa o problema do escoamento radial infinito, utilizando-se a aproximação do tipo linha-fonte. 4.3.2 Solução da equação da difusividade no campo de Laplace Utilizando a regra do produto na derivada da Eq. (4.79): 1 ∂P D ∂2P D + = uP D (rD , u) − PD (rD , tD = 0) 2 ∂rD rD ∂rD (4.80) Como a pressão adimensional no inicio do problema é nula (condição inicial no campo real), tem-se: ∂2P D 1 ∂P D = uP D (rD , u) + 2 ∂rD rD ∂rD (4.81) A fim de obter uma E.D.P. cuja solução é conhecida, deve-se fazer a seguinte substituição de variáveis: √ z = rD u (4.82) √ ∂P D (z) ∂P D (z) ∂z ∂P D (rD , u) = = u ∂rD ∂z ∂rD ∂z (4.83) ∂ 2 P D (z) ∂ 2 P D (rD , u) =u 2 ∂rD ∂z 2 (4.84) Assim: Substituindo na Eq. (4.81): ∂ 2 P D (z) u ∂P D (z) + = uP D (rD , u) ∂z 2 z ∂z (4.85) ∂ 2 P D (z) ∂P D (z) +z − z 2 PD (rD , u) = 0 ∂z 2 ∂z (4.86) u z2 A Eq. (4.86) é a equação modificada de Bessel de ordem zero, discutida no Anexo C. Sua solução é dada

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