Apostila elementos de matemática aplicada

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Published on March 6, 2014

Author: wagnerqueirozbarros

Source: slideshare.net

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Apostila Elementos Matemática Aplicada, Solução de Equações Diferenciais Parciais, Solução da Equação da advecção, difusão e onda.

Elementos de Matemática Aplicada Wagner Queiroz Barros Engenheiro de Petróleo 2013

Esse documento foi compilado pelo Engenheiro de Petróleo Wagner Queiroz Barros a partir de notas de aula do Professor Viatcheslav Ivanovich Priimenko, da Universidade Estadual do Norte Fluminense - Dacy Ribeiro, Laboratório de Engenharia e Exploração de Petróleo – LENEP. Quaisquer dúvidas ou sugestões favor enviar um e-mail para: Wagnerqb@gmail.com. 1

Sumário 1 – Conceitos Básicos de EDP’s ........................................................................ 4 1.1 – Definição de EDP .................................................................................. 4 1.2 – Classificação de EDP’s .......................................................................... 4 1.3 – Solução clássica de EDP’s .................................................................... 7 2 – A Equação da Onda ................................................................................... 10 2.1 – Introdução ao estudo das ondas .......................................................... 10 2.2 – Vibração em uma corda, dedução da equação da onda...................... 10 2.3 – Solução da equação da onda (Solução de D’Alembert) ...................... 14 3 – Leis de Conservação “Equações de 1ª Ordem não lineares” ..................... 21 3.1 – Derivação das leis de conservação ..................................................... 21 3.2 – Solução de equações conservativas “Método das Características ...... 24 4 – Catástrofe de Gradiente ............................................................................. 32 4.1 – Catástrofe de gradiente ....................................................................... 32 4.2 – Soluções do tipo ondas de choque ...................................................... 40 5 – Ondas de Rarefação .................................................................................. 52 5.1 – Áreas de rarefação .............................................................................. 52 5.2 – Solução geral de equações homogêneas com áreas de rarefação ..... 57 6 – Condição de Entropia ................................................................................. 62 6.1 – Não unicidade de soluções suaves por partes .................................... 62 6.2 – Condição de entropia ........................................................................... 63 7 – Propagação de Ondas em Meios Infinitos .................................................. 71 7.1 – Equação de D’Alembert ....................................................................... 71 7.2 – Curvas características da equação da onda ........................................ 74 7.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características ..... 76 7.4 – Conservação de energia na equação da onda .................................... 83 8 – Propagação de Ondas em Meios Semi-Infinitos ........................................ 85 8.1 – Meios semi-infinitos, condição de Dirichlet .......................................... 85 8.2 – Meios semi-infinitos, condição de Neumann........................................ 89 2

8.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características para um meio semi-infinito .................................................................................... 94 9 – Propagação de Ondas em Meios Finitos.................................................... 99 9.1 – Meio finito com limites fixos: ................................................................ 99 9.2 – Meio finito com termo fonte “Função de Green”: ............................... 109 9.3 – Meio finito com limites variáveis: ....................................................... 116 10 – Problemas de Propagação de Ondas em Meios Finitos ........................ 120 10.1 – Problema do martelo chato batendo em uma corda: ....................... 120 10.2 – Problema do martelo pontiagudo batendo em uma corda: .............. 122 10.3 – Problema da corda ressonante: ....................................................... 124 10.4 – Problema da corda com extremidades livre: .................................... 129 11 – Equação de Conservação de Calor ........................................................ 135 11.1 – Condução de calor em uma barra de comprimento finito: ............... 135 11.2 – Solução da equação do calor sem termo fonte: ............................... 137 11.3 – Solução da equação de calor considerando o termo fonte: ............. 139 11.4 – Solução final da equação de calor: .................................................. 142 Referências Bibliográficas .............................................................................. 146 Apêndice 1: Derivadas parciais e regra da cadeia para funções dependentes de várias variáveis ............................................................................................... 147 A1.1 – Derivadas parciais ........................................................................... 147 A1.2 – Regra da cadeia para funções de várias variáveis .......................... 148 Apêndice 2: Solução alternativa da equação da onda ................................... 152 Apêndice 3: Ortogonalidade de Funções ....................................................... 154 A3.1 – Ortogonalidade de funções do tipo seno: ........................................ 154 A3.2 – Ortogonalidade de funções do tipo cosseno: .................................. 156 3

1 – Conceitos Básicos de EDP’s 1.1 – Definição de EDP Uma equação diferencial parcial é uma equação que contém derivadas parciais, sendo as funções desconhecidas dependentes de mais de uma variável. Por exemplo, a temperatura em uma placa que depende da posição e do tempo. Para efeitos de simplificação, a seguinte notação é utilizada: u ut  t u ux  x  2u u xy  xy ... Pode-se definir uma EDP utilizando a seguinte notação clássica: Considerando-se a seguinte função: u  u( x, y) , ( x, y)  D  R 2 “(x,y) pertencentes ao domínio D, contido no R²” então, uma função do tipo: F ( x, y, u, u x , u y , u xx , u xy , u yy ,...)  0 , ( x, y)  D (Eq. 1.1) é chamada Equação Diferencial Parcial (EDP). Segue alguns exemplos de EDP’s famosas: 1. utt  C( x, y ) (u xx u yy )  F x, y ,t  2. ut  u x  F x,t  “Equação da onda” “Equação de Burgers” 1.2 – Classificação de EDP’s Existem seis classificações básicas de EDP’s: i. Quanto à ordem da EDP: A ordem da EDP é a ordem da derivada parcial mais alta presente na equação. Exemplos: ut  u xx (2ª Ordem) ut  u x ut  u.u xxx  senx (1ª Ordem) (3ª Ordem) 4

ii. Quanto ao número de variáveis: Essa classificação leva em conta o número de variáveis independentes na equação. Exemplos: ut  u xx 1 1 ut  u rr  u r  2 u r r iii. (Dependente de 2 variáveis, (x,t)) (Dependente de 3 variáveis, (r,t,θ)) Quanto à linearidade: As equações diferenciais parciais podem ser classificadas em lineares e nãolineares. Existem duas formas de se definir se uma EDP é linear: 1ª Forma: Uma EDP é dita linear se a variável dependente e todas suas derivadas parciais puderem ser escritas em uma forma linear do tipo: Auxx  Buxy  Cu yy  Du x  Eu y  Fu  G (Eq. 1.2) onde A, B, C, D, E, F, e G podem ser constantes ou funções das variáveis independentes (x,y). Exemplos: utt  e t .u xx  sen (t ) u.u xx  ut  0 u xx  y.u yy  0 (linear) (não linear) (linear) 2ª Forma: A equação diferencial parcial é chamada de linear, se ela é linear com respeito da função u e todas as suas derivadas. Assim as soluções da EDP podem ser obtidas a partir de uma combinação linear de outras soluções. Exemplo 1.1: utt  c( x )u xx  0 (linear) Demonstração: u  1u1   2u2 “Uma solução a partir de uma combinação linear de outras 2” 5

1u1   2u2 tt  C( x) 1u1   2u2 xx  0 1 u1tt  c( x)u1 xx    2 u2 tt  c( x)u2 xx   0 Exemplo 1.2: ut  u.u x  0 (não linear) Demonstração: u  1u1   2u2 “Uma solução a partir de uma combinação linear de outras 2” 1u1   2u2 t  1u1   2u2 1u1   2u2 x  0 . Desenvolvendo e agrupando: 2 1u1t  12u1.u1x   2u2 t   2 u2 .u2 x  1 2u1u2 x  1 2u2u1 x  0 O aparecimento de termos cruzados torna impossível a escrita da solução linear como combinação linear de outras duas, assim a equação é não linear. iv. Quanto à homogeneidade: Uma EDP é dita homogênea quando o termo independente G x , y  da Equação 1.2 for igual à zero para todo ( x, y) . Quando o termo G x, y  for diferente de zero, a EDP é dita não homogênea. v. Quanto aos tipos de coeficientes: Se o coeficientes A, B, C, D, E e F da Equação 1.2 forem constantes, a EDP é dita como tendo coeficientes constantes. Caso contrário ela é dita como tendo coeficientes variáveis. vi. Três tipos básicos de equações lineares: Todas as EDP’s do tipo da Equação 1.2 podem ser classificadas em basicamente 3 tipos: a) Parabólicas: Descrevem problemas de trocas de calor e problemas de difusão, e satisfazem a seguinte propriedade B  4 AC  0 . b) Hiperbólicas: Descrevem problemas de ondas e vibrações, e satisfazem 2 a seguinte propriedade B  4 AC  0 . 2 6

c) Elípticas: Descrevem problemas estacionários, e satisfazem a seguinte propriedade B  4 AC  0 . 2 Exemplos: ut  u xx (A=1, B=C=0, B  4 AC  0 ) Parabólica utt  u xx (A=1, B=0, C=-1, B  4 AC  4 ) Hiperbólica 2 2 u yy  u xx  0 (A=1, B=0, C=1, B 2  4 AC  4 ) Elíptica 1.3 – Solução clássica de EDP’s Considere uma equação diferencial parcial de ordem m:   F x, y, u, u x , u y ,...,D m u  0 , (Eq. 1.3) ( x, y)    R 2 “Para todos os pontos pertencentes a um espaço ômega, contido no plano cartesiano.” Onde, define-se o operador derivada parcial:  ( m1 m 2) u D u  m1 m 2 , m  m1  m2 x y m Uma função u ( x, y ) é dita solução clássica (ou solução suave) da Equação 1.3 se: i. u( x, y)  C m () “Função u ( x, y) possuir derivadas de ordem m contínuas no subespaço ômega” ii.   F x, y, u, u x , u y ,...,D m u  0 , ( x, y)   Exemplo 1.3: Considere a seguinte equação da Advecção: ut  cu x  0  c  consta.nte (Eq. 1.4) 7

Provar que a função u  f ( x  ct ), f  C 1 ( R) é solução da equação da Advecção. Demonstração: Calcular as derivadas parciais da função u: u  u x  f ' ( x  ct ) x u  ut  f ' ( x  ct ).(c) t Substituindo na Equação 1.4: ut  Cu x  0  c. f ' ( x  ct )  c.( f ' ( x  ct ))  0 Assim, como a igualdade permanece verdadeira, a função u  f ( x  ct ) é considerada solução clássica (ou suave) da Equação 1.4. Essa solução será demonstrada com detalhes no Tópico 3.2. As soluções do tipo u  f ( x  ct ) são chamadas de solução do tipo onda viajante para a direita, pois para valores crescentes de ( x, t ) o perfil da solução é deslocado para a direita, como pode ser visto na Figura 1.1. Figura 1.1: Solução do tipo onda viajante para a direita 8

Exemplo 1.4: Considere a seguinte equação da onda: utt  c 2u xx  0  c  constante (Eq. 1.5) Provar que a solução da Equação 1.5 é uma combinação linear das soluções tipo ondas viajante para esquerda e ondas viajante para direita, ou seja, uma combinação linear de: f ( x  ct ) “Onda viajante para direita” g ( x  ct ) “Onda viajante para esquerda” Demonstração: Escrevendo a função u ( x, t ) como combinação linear das funções f ( x, t ) e g ( x, t ) : u( x, t )  C1 f ( x  ct )  C2 g ( x  ct ) Calculando as derivadas parciais: u x  C1 f ' ( x  ct )  C2 g ' ( x  ct ) u xx  C1 f ' ' ( x  ct )  C2 g ' ' ( x  ct ) ut  C1 f ' ( x  ct )(c)  C2 g ' ( x  ct )(c) utt  C1 f ' ' ( x  ct )(c) 2  C2 g ' ' ( x  ct )(c) 2 Substituindo as derivadas de segunda ordem na Equação 1.5: utt  c 2u xx  0 c 2C1 f ' ' ( x  ct )  c 2C2 g ' ' ( x  ct )  c 2 C1 f ' ' ( x  ct )  C2 g ' ' ( x  ct )  0 Como a igualdade permaneceu verdadeira, podemos concluir que a combinação linear das funções f ( x, t ) e g ( x, t ) é solução clássica da Equação 1.5. 9

2 – A Equação da Onda 2.1 – Introdução ao estudo das ondas A noção de onda é algo familiar para as pessoas de uma forma ou de outra, uma noção intuitiva de onda é uma perturbação que se propaga por um meio. Uma descrição física de uma onda é um transporte de energia de um ponto ao outro sem que haja transporte de matéria. Segundo Whitham (1976) “uma onda é um sinal reconhecível que é transferido de uma parte de um meio para outra parte com uma velocidade de propagação reconhecida”. A Figura 2.1 mostra o exemplo de pedras batendo em um lago gerando ondas na superfície. Figura 2.1: Ondas na superfície de um lago geradas por pequenos impactos. 2.2 – Vibração em uma corda, dedução da equação da onda A equação da onda (Equação 2.1) é uma equação diferencial parcial que descreve o fenômeno ondulatório em vários ramos da física. utt  c 2u xx (Eq. 2.1) Nesse tópico será demonstrada a Equação 2.1 que modela pequenas vibrações em uma corda totalmente esticada. Considere uma corda totalmente esticada, homogênea, que possui peso, porém não é afetada pela gravidade (vibração em uma mesa horizontal, por exemplo), localizada no eixo x, como mostrada na Figura 2.2. 10

Figura 2.2: Representação de uma onda unidimensional trafegando em uma corda totalmente esticada Para uma total derivação da equação da onda, serão utilizadas as seguintes considerações:   Corda uniforme: A corda possui uma densidade linear  Tensão constante: Será assumido que a tensão terá o mesmo módulo em todos os pontos da corda, variando apenas a direção e o sentido; Pequenas vibrações: A inclinação da corda indicada por u x ( x, t ) terá  constante; sempre um valor pequeno. Considere um elemento de comprimento infinitesimal da corda como mostrado na Figura 2.3. Utilizando a segunda lei de Newton:  Forças  (massa ) x(aceleração ) (Eq. 2.2) Considera-se atuando as seguintes forças no elemento infinitesimal: 1. Forças devidas a tensão na corda: Decompondo o vetor tensão na componente vertical em cada ponta da corda mostrada na Figura 2.3 é possível obter a seguinte equação: Tvertical  Txx .sen 2  Tx .sen1 (Eq. 2.3) 11

Figura 2.3: Representação de um elemento infinitesimal de corda Utilizando a consideração de tensão constante, é possível observar que a derivada espacial da função u ( x, t ) (função que representa o deslocamento da corda) possui aproximadamente o mesmo valor do seno do ângulo formado pela corda e a horizontal, em qualquer ponto da corda, assim a Equação 2.3 pode ser escrita como: Tvertical  T u x ( x  x, t )  u x ( x, t ) (Eq. 2.4) 2. Forças externas: Consideram-se forças externas principalmente as forças de campo, ou seja, o peso da própria corda, ou forças criadas pela passagem de outras ondas na mesma corda. Utilizando o conceito de força média no elemento infinitesimal, as forças externas podem ser escritas como: Forças _ externas  F ( x, t ).x (Eq. 2.5) no caso da gravidade, por exemplo, F ( x, t )  mg . 12

3. Força de fricção ao movimento da corda: Essa força pode ser modelada como sendo uma resistência da corda à passagem da onda, utilizando o conceito de média, pode ser descrita como: (Eq. 2.6) Força _ Fricção  ut ( x, t ).x 4. Força de restauração Essa força pode ser entendida como uma força que tende a restaurar a corda para a posição de equilíbrio, e pode ser escrita como: Força _ Restauração  u( x, t )x (Eq. 2.7) Observa-se que as forças com sinal negativo possuem o a direção contrária ao movimento da corda, de forma a causar uma resistência à passagem da onda. Substituindo as Equações (2.4 – 2.7) na Equação 2.2: T [u x ( x  x, t )  u x ( x, t )]  F ( x, t )x  ut ( x, t )x  u( x, t )x  utt x (Eq. 2.8) onde  é a densidade linear da corda. Dividindo ambos os lados da equação 2.8 por x , e fazendo x tender para zero, a Equação 2.8 pode ser escrita como: utt  1  Tu xx  ut  u  F ( x, t ) (Eq. 2.9) Desprezando as forças externas, e de atrito que atuam na corda, a Equação 2.9 fica escrita de uma forma mais simples: utt   2u xx (Eq. 2.10) onde:  T  (Eq. 2.11) 13

2.3 – Solução da equação da onda (Solução de D’Alembert) No Capítulo 1 foi provado que as funções tipo onda viajante para a esquerda e para a direita são soluções da equação da onda, essa solução foi obtida por Jean le Rond d'Alembert, e será demonstrada nesse tópico. Para o melhor entendimento desse tópico, o Apêndice 1 mostra detalhes da regra da cadeia para funções dependentes de mais de uma variável, e o Apêndice 2 mostra uma segunda demonstração da solução para a equação da onda. Antes de demonstrar a solução, será feita uma descrição matemática do problema. O problema da solução da equação da onda (Equação 2.10) consiste em encontrar a solução do seguinte conjunto: utt  c 2u xx  c  constante    x    0  t   “EDP Hiperbólica” (Eq. 2.13) “Condições Iniciais” (Eq. 2.14) Sujeito as seguintes condições iniciais: u ( x,0)  f ( x)  ut ( x,0)  g ( x)    x   A solução da Equação 2.13 será realizada em quatro passos. 1º Passo: Transformação de coordenadas: Para se resolver a Equação 2.13, será utilizada uma transformação de coordenadas x, t    ,  , definida por:   x  ct    x  ct (Eq. 2.15) Assim, tomando as derivadas parciais no novo sistema de coordenadas: ut  u  t  ut  cu  u  utt  (Eq. 2.16) (c(u  u )) t   utt  c u  t  u t   u  t  ut  utt  c 2 .u  2u  u  (Eq. 2.17) u x  u  x  u x  u  u (Eq. 2.18) 14

u xx  (u  u ) x u xx  u  x  u  x   u  x  u x  u xx  u  2u  u (Eq. 2.19) Substituindo as Equações 2.17 e 2.19 na Equação 2.13: c 2 .u  2u  u   c 2 .u  2u  u  4c 2u  0 (Eq. 2.20) Como a constante c foi definida como positiva, a Equação 2.20 pode ser reescrita como: u  0 (Eq. 2.21) 2º Passo: Solução da equação diferencial parcial: A Equação 2.21 pode ser resolvida utilizando-se duas integrações, uma em relação à  e outra em relação à  . Integrando em relação à  obtém-se:  u d   0d u ( , )   ( ) (Eq. 2.22)  ( ) é uma função qualquer dependente apenas da variável  . Integrando a Equação 2.22 em relação à  , obtém-se: onde  u d   d u( , )  ( )   ( ) sendo ( ) a função anti-derivada de (Eq. 2.23)  ( ) , e  ( ) uma função dependente apenas da variável  . Assim a solução geral da Equação 2.21 pode ser definida como a soma de quaisquer funções dependentes apenas de  e  . Exemplo 2.1: Provar que a função u ( , )  sen ( )   é solução da Equação 2.21. 3 15

Resolução: Substituindo a função definida no problema na Equação 2.21:  2 ( sen ( )   3 ) 0  Derivando a Equação 2.24 em relação à (Eq. 2.24) : ( sen ( )   3 )  cos ( )  (Eq. 2.25) Derivando a Equação 2.25 em relação à  :  (cos ( )) 0  (Eq. 2.26) O que prova que a função u ( , )  sen ( )   é solução da Equação 2.21. 3 3º Passo: Transformação da solução nas coordenadas iniciais do problema: Para se encontrar a solução geral da Equação 2.13 é preciso aplicar a mesma transformada de coordenadas definidas pela Equação 2.15 na Equação 2.23, assim:   x  ct    x  ct aplicadas em: u( , )  ( )   ( ) resulta em: u( x, t )  ( x  ct )   ( x  ct ) (Eq. 2.27) dessa forma, a Equação 2.27 é a solução geral da Equação 2.13. Observa-se que a Equação 2.27 é composta por uma soma de ondas viajantes para a esquerda para a direita, como foi discutido no Exemplo 1.4 do Capítulo 1. Exemplo 2.2: Provar que a equação u( x, t )  sen ( x).cos(t ) é solução geral da equação da onda definida pela Equação 2.13 com c  1 , e demonstrar que essa solução pode ser escrita de acordo com a Equação 2.27. 16

Solução: 1ª Parte: Provar que u( x, t )  sen ( x).cos(t ) é solução de: utt  c 2u xx , com c  1 (Eq. 2.28) Derivando a função u ( x, t ) : u  sen ( x)cos(t ) u x  cos( x)cos(t ) u xx  sen ( x)cos(t ) (Eq. 2.29) ut  sen ( x)sen(t ) utt  sen ( x)cos(t ) (Eq. 2.30) Substituindo as Equações 2.29 e 2.30 na Equação 2.28: utt  u xx  sen ( x)cos( x)  sen ( x)cos( x) (Eq. 2.31) O que prova que a função u( x, t )  sen ( x).cos(t ) é uma solução da equação da onda com c  1 . 2ª Parte: Escrever a função u( x, t )  sen ( x).cos(t ) na forma da Equação 2.27: Utilizando a propriedade de soma e subtração de arcos: sen ( x  t )  sen ( x).cos(t )  sen (t ).cos( x) (Eq. 2.32) sen ( x  t )  sen ( x).cos(t )  sen (t ).cos( x) (Eq. 2.33) somando-se as Equações 2.32 e 2.33: sen ( x  t )  sen ( x  t )  2sen ( x).cos(t ) sen ( x).cos (t )  sen ( x  t ) sen ( x  t )  2 2 (Eq. 2.34) como c  1 , a Equação 2.34 pode ser escrita na forma: u( x, t )  ( x  ct )   ( x  ct ) sendo 17

( x  ct )  sen ( x  t ) “Onda viajante para direita” 2 (Eq. 2.35)  ( x  ct )  sen ( x  t ) “Onda viajante para esquerda” 2 (Eq. 2.36) 4º Passo: Substituição das condições iniciais do problema Nos passos anteriores foi encontrada a Equação 2.27 que é solução geral da Equação 2.13. Nesse passo serão utilizadas as condições iniciais, u ( x,0)  f ( x)  ut ( x,0)  g ( x)    x   “Condições Iniciais” para se encontrar a solução específica do problema. Substituindo as condições iniciais na Equação 2.27: u( x,0)  ( x  c0)   ( x  c0)  ( x)   ( x)  f ( x) (Eq. 2.37) ut ( x,0)  ' ( x  c0)(c)   ' ( x  c0)(c) ut ( x,0)  c' ( x)  c ' ( x)  g ( x) (Eq. 2.38) integrando a Equação 2.38:  ( x)  ( x)  1x  g (s)ds  K , onde K é uma constante c x0 (Eq. 2.39) As Equações 2.37 e 2.39 formam um conjunto de equações lineares, cuja solução é dada por:  ( x)  1 x 1  g (s)ds  2 f ( x)  K 2c x0 1 x 1 ( x)    g ( s)ds  f ( x)  K 2c x0 2 (Eq. 2.40) (Eq. 2.41) A solução específica da Equação 2.13 é feita substituindo ( x  ct ) e  ( x  ct ) nas Equações 2.40 e 2.41, e somando as duas equações: 18

 ( x  ct )  1 xct 1  g (s)ds  2 f ( x  ct )  K 2c x0 1 xct 1 ( x  ct )    g (s)ds  2 f ( x  ct )  K 2c x0 (Eq. 2.42) (Eq. 2.43) u( x, t )   ( x  ct )  ( x  ct ) 1 xct 1 1 xct 1 u ( x, t )   g (s)ds  2 f ( x  ct )  2c  g (s)ds  2 f ( x  ct ) 2c x0 x0 substituindo os limites de integração: u ( x, t )  x ct 1  f ( x  ct )  f ( x  ct )  1  g (s)ds 2 2c xct (Eq. 2.44) A Equação 2.44 é a solução da equação da onda de d’Alembert, onde a função u ( x, t ) fica escrita utilizando as condições iniciais do problema. Exemplo 2.3: Encontrar a solução do seguinte problema de valor inicial: utt  u xx  2 u ( x,0)  e  x  u ( x,0)  0  t (Eq. 2.45) Solução: Percebe-se que a Equação 2.45 é a equação da onda com c  1 , assim a solução é dada pela Equação 2.44, onde: f ( x)  e  x 2 (Eq. 2.46) g ( x)  0 (Eq. 2.47) substituindo as Equações 2.46 e 2.47 na Equação 2.44: u ( x, t )    2 1 ( xct )2 1 xct e  e ( xct )   0ds 2 2c xct 19

u ( x, t )   2 1 ( xt )2 e  e ( x  t ) 2  (Eq. 2.48) A Equação 2.48 é a solução da Equação 2.45, composta por uma onda viajante para esquerda e uma onda viajante para a direita. A Figura 2.4 mostra a solução 2.48 plotada para vários tempos diferentes. Pode-se observar claramente que existem duas ondas trafegando em sentidos contrários na figura. Figura 2.4: Solução da Equação 2.45 plotada para diferentes tempos. 20

3 – Leis de Conservação “Equações de 1ª Ordem não lineares” As leis de conservação constituem equações que contabilizam a variação de qualquer variável mensurável em um sistema isolado. Constituem na matemática um conjunto amplo de equações diferenciais parciais hiperbólicas, onde as equações das ondas são um sub-grupo das leis de conservação. No próximo tópico será deduzido a lei de conservação em um sistema unidimensional, e serão apresentados alguns exemplos de equações conservativas. 3.1 – Derivação das leis de conservação Imagine um meio unidimensional posicionado ao longo do eixo-x que contém uma substância mensurável que consegue se mover ou fluir por esse meio. Utiliza-se a variável Q para representar essa substância (carros, partículas, energia, massa, etc...), para se deduzir a equação da conservação, utilizam-se dois conceitos básicos: 1. Concentração: Concentração ou densidade é definida como o número de unidades da substância Q por unidade de comprimento em um tempo t qualquer, ou seja: u ( x, t )  N (Q) x t (Eq. 3.1) Podendo ser, por exemplo, número de carros por quilômetro em uma rodovia, ou gramas de uma substância por metro de tubulação. 2. Fluxo: Número de unidades da substância Q passando por um ponto x , em um intervalo de tempo t , assim: F ( x, t )  N (Q) t x (Eq. 3.2) Considere um pequeno segmento S definido pelos pontos a e b , mostrado na Figura 3.1. A variação do número de unidades da substância Q nesse segmento acontecerá somente de duas maneiras, ou a substância atravessará 21

as fronteiras A e B , mostradas no esquema, ou a substância será criada ou destruída no interior do segmento S , em outras palavras: N (Q) N (Q)  t S t  A N (Q)  s ( x, t ) t B (Eq. 3.3) Onde s( x, t ) é definida como termo fonte de uma substância, sendo considerada a taxa (variação no tempo) em que a substância Q é adicionada ou retirada do meio S . Figura 3.1: Segmento S delimitado pelo intervalo [a, b] do eixo-x. Para se calcular o número de unidades da substância Q calcula-se a integral da concentração nesse intervalo, assim: N (Q) d b   u ( x, t )dx t S dt a (Eq. 3.4) logo a Equação 3.3 pode ser escrita como: b d b  u( x, t )dx  F (a, t )  F (b, t )   s( x, t )dx dt a a (Eq. 3.5) A Equação 3.5 é conhecida como “Forma Integral da Lei da Conservação”, as funções F (a, t ) e F (b, t ) possuem sinais contrários, pois a substância Q está entrando na fronteira A , e saindo na fronteira B . Considerando as funções u ( x, t ) e F ( x, t ) constantes e com primeiras derivadas constantes em todo o domínio, e utilizando o teorema fundamental do cálculo, é possível escrever as funções de fluxo da seguinte forma: 22

b F (a, t )  F (b, t )    Fx ( x, t )dx (Eq. 3.6) a assim a Equação 3.5 fica escrita como: b b b  ut ( x, t )dx   Fx ( x, t )dx   s( x, t )dx a a (Eq. 3.7) a então: b  ut ( x, t )  Fx ( x, t )  s( x, t )dx  0 (Eq. 3.8) a o que implica que o resultado da integral deve ser sempre igual à zero em qualquer intervalo [a, b] do domínio, ou seja: ut  Fx  s (Eq. 3.9) A Equação 3.9 é conhecida como “Forma Diferencial da Lei da Conservação”, também conhecida como lei fundamental da natureza. Apesar da Equação 3.9 ter um forte significado físico ela não consegue por si só modelar fenômenos físicos, sendo necessárias equações constitutivas, que são relações entre u ( x, t ) e F ( x, t ) . No caso de F ( x, t ) dependente de u ( x, t ) , e aplicando a regra da cadeia, a Equação 3.9 pode ser escrita como: ut  F ' (u)u x  s (Eq. 3.10) Exemplo 3.1: ut  cu x  0  c  0, constante “Equação da Advecção” (Eq. 3.11) A Equação 3.11 escrita na forma da lei da conservação: ut  Fx  0   F ( x, t )  c.u ( x, t ) “Forma da Lei da Conservação” (Eq. 3.12) Exemplo 3.2: ut  uu x  0 “Equação de Burgers invíscida” (Eq. 3.13) A Equação 3.13 escrita na forma da lei da conservação: 23

ut  Fx  0   u 2 ( x, t )  F ( x, t )   2 “Forma da Lei da Conservação” (Eq. 3.14) Exemplo 3.3: ut  uu x  u xx    constante “Equação de Burgers víscida, viscosidade ” (Eq. 3.15) A Equação 3.15 escrita na forma da lei da conservação: ut  Fx  0  “Forma da Lei da Conservação”  u 2 ( x, t )  u x ( x, t )  F ( x, t )   2 (Eq. 3.16) Exemplo 3.4: ut   ( x).u x ' x (Eq. 3.17) A Equação 3.17 escrita na forma da lei da conservação: ut  Fx  0 “Forma da Lei da Conservação”  F ( x, t )   ( x).u x  (Eq. 3.18) 3.2 – Solução de equações conservativas “Método das Características" No tópico anterior foram deduzidas as equações conservativas (Forma Diferencial da Lei de Conservação), nesse tópico serão discutidos métodos de solução desse tipo de equação, ou seja, solução de equações hiperbólicas de primeira ordem. Assim o objetivo desse tópico é de se resolver o seguinte problema: ut  c( x, t )u x  F ( x, t )  u ( x,0)  u0 ( x) “Problema de Cauchy” (Eq. 3.19) O problema descrito pela Equação 3.19 é conhecido como problema de Cauchy, sendo composto por uma equação diferencial parcial e uma solução inicial. Para se resolver esse problema será utilizado um método conhecido como “método das características”, deduzido a partir da regra da cadeia (descrita no apêndice 1). Para se resolver a Equação 3.19 será utilizada uma parametrização da variável x , assim: 24

 x  x(t )  u ( x, t )  u ( x(t ), t ) (Eq. 3.20) derivando a função u ( x(t ), t ) em relação ao tempo: u ( x(t ), t ) u ( x, t ) x(t ) u ( x, t ) x(t )    ut  ux t x t t t (Eq. 3.21) comparando-se as Equações 3.19 e 3.21 chega-se a duas conclusões: x(t )  c ( x, t ) t (Eq. 3.22) u ( x(t ), t )  F ( x, t ) t (Eq. 3.23) Observa-se que a equação diferencial parcial foi transformada em duas equações diferenciais ordinárias, que são geralmente mais fáceis de resolver. Resolvendo a Equação 3.22: dx  c( x, t )dt x (Eq. 3.24) t  dx   c( x, t )dt x0 (Eq. 3.25) 0 t x0  x   c( x, t )dt (Eq. 3.26) 0 A Equação 3.26 descreve as curvas características do problema, mostradas na Figura 3.2. Resolvendo a Equação 3.23: du  F ( x, t )dt ( x ,t ) t ( x ( 0 ), 0 ) (Eq. 3.27) 0  du   F ( x, t )dt (Eq. 3.28) t u ( x, t )  u ( x0 ,0)   F ( x, t )dt (Eq. 3.29) 0 Utilizando-se o valor inicial do problema de Cauchy: t u ( x, t )  u0 ( x0 )   F ( x, t )dt (Eq. 3.30) 0 25

Combinando as Equações 3.26 e 3.30, chega-se a solução final da Equação 3.19: t t 0 0 u ( x, t )  u0 ( x   c( x, t )dt )   F ( x, t )dt (Eq. 3.31) O princípio físico do métodos das características baseia-se no fato de que um distúrbio em um ponto x qualquer do domínio se propaga ao longo de curvas no plano ( x, t ) , chamadas de curvas características, mostradas na Figura 3.2. Figura 3.2: Curvas características no plano ( x, t ) . Teorema 3.1: Seja u0 ( x)  C (contínua e com primeira derivada contínua), então existe uma 1 solução única do problema de Cauchy (Equação 3.19), dada pela Equação 3.31. Exemplo 3.5: Resolver a equação da Advecção, descrita por: ut  cu x  0 , onde  u ( x,0)  u0 ( x)    x   e c  constante  t  0 (Eq. 3.32) Solução: 26

1ª parte: Construção das características: Encontrar curvas que satisfazem a Equação 3.24, ou seja: dx c dt (Eq. 3.33) Resolvendo a Equação 3.33: x  x0  ct (Eq. 3.34) ou x0  x  ct (Eq. 3.35) Plotando-se as características descritas pela Equação 3.34 (Figura 3.3) observa-se que as características são representadas por retas no plano ( x, t ) . Figura 3.3: Características do Exemplo 3.5, considerando c  3 . 27

2ª Parte: Construção da solução: Construir uma solução que satisfaça a Equação 3.27, com F ( x, t )  0 , ou seja: du 0 dt (Eq. 3.36) ( x ,t ) t ( x ( 0 ), 0 ) 0  du   0dt (Eq. 3.37) u( x, t )  u( x(0),0)  u0 ( x0 ) (Eq. 3.38) Substituindo a Equação 3.35 na Equação 3.38, chega-se ao resultado da Equação 3.32: u( x, t )  u0 ( x  ct ) (Eq. 3.39) Essa solução é dada na forma de onda viajante para a direita, e foi comentada com detalhes no Tópico 3.1. Exemplo 3.6: Utilizar o método das características para se resolver a seguinte equação: ut  2u x  0   2 u ( x,0)  e  x  onde    x    t  0 (Eq. 3.40) Solução: 1ª parte: Construção das características: Encontrar curvas que satisfaçam a seguinte equação:  dx  2  dt  x ( 0)  x 0  (Eq. 3.41) x  x0  2t (Eq. 3.42) 2ª parte: Construção da solução: Para se construir a solução da Equação 3.40 deve-se resolver a seguinte equação: 28

du 0 dt (Eq. 3.43) ( x ,t ) t ( x ( 0 ), 0 ) 0  du   0dt (Eq. 3.44) u( x, t )  u( x(0),0) (Eq. 3.45) Substituindo a condição inicial na Equação 3.45, encontra-se: u ( x, t )  e  x0 2 (Eq. 3.46) Utilizando-se a Equação 3.42: u( x, t )  e ( x2t ) 2 (Eq. 3.47) A solução dada pela Equação 3.47 é do tipo onda viajante para a direita, a Figura 3.4 mostra a solução, plotada para diferentes tempos. Figura 3.4: Solução do Exemplo 3.6, para diferentes tempos. Exemplo 3.7: Utilizar o método das características para se resolver a seguinte equação: ut  txu x  0  1  u ( x,0)   1  x2  onde    x    t  0 (Eq. 3.48) Solução: 29

1ª parte: Construção das características: Encontrar curvas que satisfaçam a seguinte equação:  dx   xt  dt  x ( 0)  x 0  (Eq. 3.49) x dx t  x   tdt x0 0 x  x0 .e (t 2 (Eq. 3.50) 2) (Eq. 3.51) As características definidas pela Equação 3.51 estão plotadas na Figura 3.5. Observa-se que nesse caso as características não são definidas por retas no plano ( x, t ) . Figura 3.5: Características do Exemplo 3.7. 2ª parte: Construção da solução: Para se construir a solução do Exemplo 3.7 deve-se resolver a seguinte equação: du 0 dt (Eq. 3.52) 30

( x ,t ) t ( x ( 0 ), 0 ) 0  du   0dt (Eq. 3.53) u( x, t )  u( x(0),0) (Eq. 3.54) Substituindo a condição inicial dada: u ( x, t )  u ( x, t )  1 (Eq. 3.55) 1   x0  2  1 1  x.e t 2 2  2 (Eq. 3.56) A Figura 3.6 mostra a solução dada pela Equação 3.56 para diferentes tempos. Figura 3.6: Solução do Exemplo 3.7 plotada para diferentes tempos 31

4 – Catástrofe de Gradiente No Capítulo 3 foi deduzido o método das características, uma importante ferramenta na resolução de equações diferenciais parciais de 1ª ordem. Nesse capítulo será discutida uma extensão do método das características, utilizado para resolver problemas em áreas onde existem mais de uma característica (áreas de catástrofe de gradiente). 4.1 – Catástrofe de gradiente Como descrito no capítulo anterior, o método das características baseia-se no fato de uma perturbação do sistema se propagar ao longo de linhas características no domínio. Porém em alguns casos essas linhas se colapsam em um único ponto, inviabilizando a solução da EDP via método das características. Para se entender a catástrofe do gradiente, considera-se o seguinte exemplo: Exemplo 4.1: Plotar as características da seguinte equação diferencial: ut  uu x  0   2 u ( x,0)  e  x  onde    x    t  0 (Eq. 4.1) 1ª parte: Construção das características: Encontrar curvas que satisfaçam a seguinte equação:  dx  u  dt  x ( 0)  x 0  (Eq. 4.2) Aplicando a definição do método das características: du 0 dt (Eq. 4.3) u( x, t )  u( x(0),0) (Eq. 4.4) Substituindo a Equação 4.4 na Equação 4.2: 32

x t  dx   u ( x0 ,0)dt x0 (Eq. 4.5) 0 x  x0  e  x0 .t 2 (Eq. 4.6) Plotando-se a Equação 4.6 (Figura 4.1) encontram-se as curvas características da Equação 4.1. É possível observar que as curvas características se colapsam em um único ponto após aproximadamente t  1.2 . Figura 4.1: Curvas características da Equação 4.1. Esse fenômeno está associado com o princípio que a função solução u ( x, t ) acompanha a característica da solução no plano ( x, t , u ) . A Figura 4.2 mostra duas curvas da função solução u ( x, t ) em uma região onde não ocorre a catástrofe do gradiente. É possível observar que a função u ( x, t ) determina uma função contínua nesse domínio. 33

Figura 4.2: Função u ( x, t ) plotada em um domínio ( x, t , u ) o qual não ocorre à catástrofe de gradiente. A Figura 4.3 mostra duas curvas da função solução u ( x, t ) plotada em um domínio onde ocorre a catástrofe de gradiente. É possível perceber que no ponto onde ocorre a catástrofe, a função u ( x, t ) possui dois valores diferentes, representando uma descontinuidade na função. Figura 4.3: Função u ( x, t ) plotada em um domínio ( x, t , u ) o qual ocorre à catástrofe de gradiente. 34

Traçando retas paralelas ao eixo t que ligam as duas curvas na Figura 4.3 observa-se que no ponto de quebra do gráfico, a reta traçada faz uma vertical em relação ao plano ( x, t ) , conclui-se então que a função u ( x, t ) é contínua com relação ao tempo, e a catástrofe do gradiente ocorre quando a derivada primeira da função u ( x, t ) em relação à variável x tende ao infinito. Pode-se chegar à mesma conclusão analisando-se o perfil da solução quando ocorre e quando não ocorre a catástrofe do gradiente. A Figura 4.4 mostra o avanço da solução com o tempo em um caso onde não ocorre a catástrofe do gradiente, pode-se se perceber que a função é crescente com velocidade crescente. A Figura 4.5 mostra o avanço da solução em um caso onde ocorre a catástrofe do gradiente, nesse caso a função solução é decrescente em um intervalo com velocidade crescente, o que leva à formação da catástrofe do gradiente. Figura 4.4: Avanço do perfil da solução u ( x, t ) com o tempo, para um caso onde não ocorre a catástrofe de gradiente. Figura 4.5: Avanço do perfil da solução u ( x, t ) com o tempo, para um caso onde ocorre a catástrofe de gradiente. Analisando o perfil da solução, observa-se que no momento em que ocorre a catástrofe de gradiente, a reta que liga os dois pontos da solução se torna vertical. 35

Definição: Define-se tempo de queda (Breaking Time) o ponto onde ocorre a catástrofe de gradiente pela primeira vez, ou seja, o menor tempo positivo em que ocorre a catástrofe de gradiente. O tempo de queda pode ser calculado da seguinte forma: t b = tempo mínimo onde d (u ( x, t ))  dx (Eq. 4.7) Exemplo 4.2: Calcular o tempo de queda para uma equação diferencial parcial homogênea de primeira ordem, definida por: ut  c(u )u x  0 , com  u ( x,0)  u0 ( x)  x  R  t  0 (Eq. 4.8) Solução: Para se calcular o tempo de queda, primeiro é preciso se calcular a solução da EDP, nesse caso, utilizando-se o método das características: du 0 dt ( x ,t ) (Eq. 4.9) t  du   dt ( x ( 0 ), 0 ) (Eq. 4.10) 0 u( x, t )  u( x(0),0)  u0 ( x0 ) , com x(0)  x0 (Eq. 4.11) Calculando a derivada parcial da função u ( x, t ) em relação à x : d (u ( x, t )) d (u0 ( x0 ))  dx dx (Eq. 4.12) Utilizando a regra da cadeia: d (u ( x, t )) d (u0 ( x0 )) d ( x0 )  . dx dx0 dx (Eq. 4.13) Construindo as características desse problema: 36

dx  c(u ) dt (Eq. 4.14) x  x0  c(u0 ( x0 )).t (Eq. 4.15) Derivando em relação à x : 1 d ( x0 ) d [c(u0 ( x0 ))]  t dx dx (Eq. 4.16) Utilizando a regra da cadeia: 1 d ( x0 ) d [c(u0 ( x0 ))] d ( x0 )  t dx dx0 dx (Eq. 4.17) 1 d ( x0 )  d [c(u0 ( x0 ))]  1 t dx  dx0   (Eq. 4.18) Combinando as Equações 4.13 e 4.18: d (u0 ( x0 )) dx0 d (u ( x, t ))  d [c(u0 ( x0 ))] dx 1  t. dx0 (Eq. 4.19) Analisando a Expressão 4.19, a derivada de u ( x, t ) em relação à x tende ao infinito quando o denominador da expressão for igual ao zero, assim o tempo de queda é calculado escolhendo o menor tempo onde: 1  tb . d [c(uo ( x0 ))] 0 dx0 (Eq. 4.20) Ou seja: tb  1 d [c(uo ( x0 ))] dx0 (Eq. 4.21) Para se encontrar o tempo de quebra deve se encontrar o maior valor negativo do denominador da Equação 4.21. 37

Exemplo 4.3: Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy: ut  uu x  0   2 , com u ( x,0)  e  x  x  R  t  0 (Eq. 4.22) Solução: A Equação 4.22 é análoga a Equação 4.8, com: c(u0 ( x0 ))  e  x0 2 (Eq. 4.23) Assim: 2 d [c(u0 ( x0 ))]  2e  x0 .x0 dx0 (Eq. 4.23) Essa função terá valor máximo quando a derivada for igual ao zero, ou seja: d 2 [c(u0 ( x0 ))] dx0  2 0 (Eq. 4.24)   2 e  x0  2e  x0 x0  0 2 2 2 1 2 x0   (Eq. 4.25) (Eq. 4.26) Para valores negativos de x0 a Equação 4.23 se torna positiva, e o tempo de queda se torna negativo. Utilizando a Equação 4.21: tb  1 d [c(uo ( x0 ))] dx0 (Eq. 4.27) Substituindo a parte positiva da Equação 4.26, encontra-se um tempo de queda igual a: tb  e 2 (Eq. 4.28) De fato esse valor vale aproximadamente tb  1.2 , fato que foi comprovado graficamente na Figura 4.1. 38

Exemplo 4.4: Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy, e confirmar o valor graficamente plotando as características do problema: ut  u 2u x  0   1 , com u ( x,0)   1  x2  x  R  t  0 (Eq. 4.29) Solução: A Equação 4.29 é análoga a Equação 4.8, com: c(u0 ( x0 ))  1 (Eq. 4.30) (1  x0 ) 2 2 Assim: d [c(u0 ( x0 ))]  4 x0  2 dx0 1  x0   (Eq. 4.31) 3 Essa função terá valores máximos em pontos de descontinuidade, assim: d 2 [c(u0 ( x0 ))] dx0 2   4 1  x0 0 (Eq. 4.32)   24 x 1  x  1  x  2 3 2 2 2 0 2 6 0 0 (Eq. 4.33) 0 Ou seja: x0   1 5 (Eq. 4.34) Para valores negativos de x0 a Equação 4.34 se torna positiva, e o tempo de queda se torna negativo. Utilizando a Equação 4.21: tb  1 d [c(uo ( x0 ))] dx0 (Eq. 4.35) Substituindo a parte positiva da Equação 4.34 na Equação 4.35, encontra-se um tempo de queda igual a: 39

tb  54 5 125 (Eq. 4.36) As características da Equação 4.29 estão plotadas na Figura 4.6. É possível ver que o tempo de queda ocorre em um tempo aproximado de tb  0.97 , que é numericamente igual ao tempo de queda encontrado na Equação 4.36. Figura 4.6: Características do Exemplo 4.4. 4.2 – Soluções do tipo ondas de choque No tópico anterior foi visto que ao depender do tipo da equação diferencial, e do tipo da solução inicial do problema, podem ocorrer áreas onde mais de uma característica passa pelo mesmo ponto, denominada área de catástrofe de gradiente, foi também deduzida no tópico anterior, uma metodologia capaz de se prever o tempo mínimo onde ocorre a catástrofe, denominado de tempo de queda ou “Breaking Time”. Para se construir a solução da equação diferencial em área de catástrofe, primeiro entenderemos o conceito de função suave por partes. Definição: Uma função u ( x, t ) que divide o domínio R em duas regiões distintas R  e R  (Figura 4.7) é dita suave por partes quando obedecer as seguintes condições: 40

i.   A função possui primeiras derivadas contínuas nos intervalos R e R , e a função é solução do seguinte conjunto de equações: ut  Fx  0 ( x, t )  R  , “Lei de conservação”  u ( x,0)  u0 ( x) x  xs (0)  ut  Fx  0 ( x, t )  R  , “Lei de conservação”  u ( x,0)  u0 ( x) x  xs (0) ii. (Eq. 4.37) (Eq. 4.38) O limite ( x, t )  ( xs (0),0) tendendo pelas regiões R  e R  existem, podendo assumir valores diferentes. Figura 4.7: Domínio de uma função suave por partes, onde x s é a curva de descontinuidade da função. A Figura 4.8 mostra um exemplo de uma função suave por partes. É possível ver que nos domínios R derivadas contínuas,  e R sendo  a função u ( x, t ) é contínua e com primeiras que a curva xs define um plano de descontinuidade na função, sendo que os limites laterais existem possuindo valores diferentes. 41

Figura 4.8: Função u ( x, t ) suave por partes. Para se resolver o problema da catástrofe do gradiente, observa-se que se pode escrever uma curva no plano ( x, t ) , onde as características se unem, tornando assim a região de características uniforme, a Figura 4.9 mostra uma curva  qualquer, onde as características se encontram de ambos os lados, tornando a região das características uniforme. s Figura 4.9: Construção da curva  na região de catástrofe de gradiente. s 42

A construção da solução resolvendo-se a equação da continuidade na forma diferencial utilizando o método das características é interrompida a partir do tempo de queda, porém o processo físico é um processo contínuo no tempo, não havendo paradas, assim devemos voltar à lei de conservação na forma diferencial, com termo fonte nulo, dada por: d b  u( x, t )dx  F (a, t )  F (b, t ) dt a (Eq. 4.39) Considerando o conceito de solução suave, o domínio agora é segmentado em duas regiões dividas por uma curva  ( xs (t ), t ) , como mostrado na Figura s 4.10, a Equação 4.39 pode ser escrita como: b  d  xs (t ) u ( x, t )dx   u ( x, t )dx   F (a, t )  F (b, t )   dt  a  xs  ( t )    (Eq. 4.40) Figura 4.10: Domínio da solução segmentado em dois domínios. Desenvolvendo o lado esquerdo da equação: b  xs (t ) d  d u ( x(t ), t )dx   u ( x(t ), t )dx   F (a, t )  F (b, t )    a dt  xs  ( t ) dt    (Eq. 4.41) Utilizando a regra da cadeia para se resolver a derivada, e integral por partes para se resolver a integral:  xs ( t )  a  xs (t ) d  d [u ( x(t ), t )] d [u ( x(t ), t )] dx(t )  u ( x(t ), t )dx     dx dt dt dx dt  a  (Eq. 4.42) 43

 xs ( t )  a  xs ( t )  a   xs ( t ) xs ( t ) d d [u ( x(t ), t )] dx(t ) u ( x(t ), t )dx   ut ( x, t )dx   dx dt dx dt a a  (Eq. 4.43)  xs ( t ) dxs xs (t ) d d 2 x(t )  u ( x(t ), t )dx   ut ( x, t )dx u ( xs , t )   u ( x, t ). dx dt dt dtdx a a (Eq. 4.44) Como x(t ) depende apenas de t , a Equação 4.44 pode ser escrita como:  xs ( t )  a  xs ( t ) dx d  u ( x(t ), t )dx   ut ( x, t )dx u ( xs , t ) s dt dt a (Eq. 4.45) Analogamente para o segundo termo do lado esquerda da Equação 4.41: b b dxs d   dt u( x(t ),t )dx   ut ( x, t )dx u( xs , t ) dt xs  ( t ) xs ( t ) (Eq. 4.46) Substituindo as Equações 4.45 e 4.46 na Equação 4.41: xs  ( t )   ut ( x, t )dx u( xs , t ) a b dxs dx    ut ( x, t )dx u ( xs , t ) s  F (a, t )  F (b, t ) dt xs  (t ) dt (Eq. 4.47)   Fazendo a  xs e b  xs , a Equação 4.47 pode ser escrita como:  u ( xs , t ) dxs dx     u ( xs , t ) s  F ( xs , t )  F ( xs , t ) dt dt (Eq. 4.48) Que pode ser escrita da seguinte forma:   dxs F ( xs , t )  F ( xs , t )    dt u ( xs , t )  u ( xs , t ) (Eq. 4.49) De acordo com a equação deduzida, uma solução suave por partes que satisfaz a lei de conservação na forma integral deve satisfazer a Equação 4.49. Essa equação é também chamada de condição de Rankine-Hugoniot, que pode ser escrita utilizando-se a notação de função salto, dada por: dxs [ F ]  dt [u ] “Condição de Rankine-Hugoniot” (Eq. 4.50) 44

Para se encontrar precisamente essa curva, necessita-se de um dado inicial, para isso se utiliza o tempo de queda descrito na Tópico 4.1, assim, encontrar a função que descreve a curva  ( x, t ) é o mesmo que se resolver a seguinte s equação:  dxs [ F ]    ( xs , t )   dt [u ]  x (t )  x b  s b s (Eq. 4.51) Sendo o ponto ( xb , tb ) o ponto onde ocorre a catástrofe de gradiente pela primeira vez. Definição: Dada uma função u ( x, t ) , que seja solução suave de ut  Fx  0 , satisfazendo a condição de Rankine-Hugoniot, essa solução é dita “ondas de choque”, e a função salto  ( x, t ) que divide o domínio em duas partes é dita “caminho de s choque”. Exemplo 4.5: Resolver o seguinte problema de valor inicial: ut  uu x  0  1,  u ( x,0)  0,   x0 (Eq. 4.52) x0 Solução: 1° Passo: Construção das características: dx u dt (Eq. 4.53) Como a Equação 4.52 é homogênea, as características são dadas da seguinte forma: x  x0  C (u0 ( x0 )).t (Eq. 4.54) Ou seja: 45

x0  x0  t , x x0  x0 , (Eq. 4.55) As características do problema estão plotadas na Figura 4.11. É possível observar que o breaking time ocorre no ponto ( xb , tb )  (0,0) . Figura 4.11: Características do Exemplo 4.5. 2º Passo: Construção da solução: De acordo com a Figura 4.11 existe uma zona de catástrofe de gradiente, assim a solução será construída utilizando-se o conceito de ondas de choque. du 0 dt (Eq. 4.56) u( x, t )  u( x0 ,0) (Eq. 4.57) Utilizando a definição de solução suave por partes: 1,  u ( x, t )   0,  x  R xR (Eq. 4.58)    Portando, para se encontrar as regiões R e R , deve-se encontrar a curva de caminho de choque. Assim, utilizando a Equação 4.51: 46

 dxs [ F ]    ( xs , t )   dt [u ]  x (t )  x b  s b s (Eq. 4.59) A função fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definição: Fx  u.u x (Eq. 4.60) Integrando a Equação 4.60 em relação a variável x , tem-se: u2 F 2 (Eq. 4.61) Assim, a Equação 4.59 pode ser escrita como: 2 2  dxs 1 u   u     s ( xs , t )   dt 2 u   u   x (0)  0  s (Eq. 4.62) De acordo com a Equação 4.58 u   0 e u   1 , assim:  dxs 1    s ( xs , t )   dt 2  xs (0)  0  xs  t 2 (Eq. 4.63) (Eq. 4.64) A Figura 4.12 mostra as características plotadas considerando a curva de caminho de choque dada pela Equação 4.64, assim a solução final pode ser escrita como:  1,  u ( x, t )   0,   t 2 t x 2 x (Eq. 4.65) A Figura 4.13 mostra a Solução 4.65 plotada para diferentes tempos. É possível observar que a frente de choque se move com velocidade igual a 0.5 . 47

Figura 4.12: Características do Exemplo 4.5 plotadas junto à curva de caminho de choque. Figura 4.13: Solução do Exemplo 4.5 para diferentes valores de tempo. Exemplo 4.6: Resolver o seguinte problema de valor inicial: ut  u 2u x  0  x 1  2, u ( x,0)  1, x 1   (Eq. 4.66) 48

Solução: 1° Passo: Construção das características: Como a Equação 4.66 é homogênea, as características são dadas da seguinte forma: x  x0  C (u0 ( x0 )).t (Eq. 4.67) Ou seja:  x0  4t , x  x0  t , x 1 x 1 (Eq. 4.68) As características do problema estão plotadas na Figura 4.14. É possível observar que o breaking time ocorre no ponto ( xb , tb )  (1,0) . Figura 4.14: Características do Exemplo 4.6. 2º Passo: Construção da solução: De acordo com a Figura 4.14 existe uma zona de catástrofe de gradiente, assim a solução será construída utilizando-se o conceito de ondas de choque. Utilizando a definição de solução suave por partes: 49

2,  u ( x, t )   1,  x  R (Eq. 4.69) x  R   Portando, para se encontrar as regiões R e R , deve-se encontrar a curva de caminho de choque. Assim:  dxs [ F ]    s ( xs , t )   dt [u ]  x (t )  x b  s b (Eq. 4.70) A função fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definição: Fx  u 2 .u x (Eq. 4.71) Integrando a Equação 4.60 em relação a variável x , tem-se: F u3 3 (Eq. 4.72) Assim, a Equação 4.59 pode ser escrita como: 3 3  dxs 1 u   u     s ( xs , t )   dt 3 u   u   x (0)  1  s (Eq. 4.73) De acordo com a Equação 4.69 u   1 e u   2 , assim:  dxs 7    ( xs , t )   dt 3  xs (0)  1  s xs  7t 1 3 (Eq. 4.74) (Eq. 4.75) A Figura 4.15 mostra as características plotadas considerando a curva de caminho de choque dada pela Equação 4.75, assim a solução final pode ser escrita como: 50

 2,  u ( x, t )   1,    7t  x    1 3   7t  x    1 3  (Eq. 4.76) A Figura 4.16 mostra a Solução 4.76 plotada para diferentes tempos. É possível observar que a frente de choque se move com velocidade 7 / 3 . Figura 4.15: Características do Exemplo 4.6 plotadas junto à curva de caminho de choque. Figura 4.16: Solução do Exemplo 4.6 para diferentes valores de tempo. 51

5 – Ondas de Rarefação No Capítulo 3 foi deduzido o método das características para solução de equações diferenciais parciais de 1ª ordem, e no Capítulo 4 foi deduzida uma extensão do método das características para lidar com áreas de catástrofe de gradiente. Nesse capítulo será deduzida a solução para uma área ainda não discutida por onde não se passa nenhuma característica, denominadas áreas de rarefação. 5.1 – Áreas de rarefação Como discutido no tópico anterior, quando a função solução é decrescente com velocidade crescente algumas áreas podem possuir mais de uma característica, denominadas áreas de catástrofe de gradiente. Nesse tópico serão discutidas algumas equações que possuem um vazio no plano das características, essas áreas são denominadas áreas de rarefação. Para se entender melhor a formação dessas zonas, o tópico será começado com o Exemplo 5.1: Exemplo 5.1: Plotar as características da seguinte equação diferencial: ut  uu x  0  0,  u ( x,0)    1,  x0 (Eq. 5.1) x0 Solução: Utilizando o fato da Equação 5.1 ser homogênea: x  x0  c(u0 ( x0 )).t (Eq. 5.2) x0  x0 , x x0  x0  t , (Eq. 5.3) As características dadas pela Equação 5.3 estão plotadas na Figura 5.1. É 0 possível ver o aparecimento de uma zona R onde não passam características, tal zona é denominada zona de rarefação. 52

Figura 5.1: Características do Exemplo 5.1. Para melhor entendimento da solução do tipo ondas de rarefação, antes de se apresentar a solução geral, será resolvido o Exemplo 5.1. Podemos aproximar a solução do problema inicial por um problema que possui as características homogêneas, apenas substituindo a condição inicial, da seguinte forma: ut  uu x  0  x   0,     u ( x,0)   g ( x),    x   1,  x     (Eq. 5.4) A Figura 5.2 mostra a diferença entre os perfis das soluções iniciais dada pelas Equações 5.1 e 5.4. A Figura 5.3 mostra as características da Equação 5.4. Do fato da Equação 5.4 ser homogênea, a solução pode ser escrita da seguinte forma: x   0,  u ( x, t )   g ( x, t ),    x    t 1, x  t  (Eq. 5.5) 53

Figura 5.2: Modificação da solução inicial da Equação 5.1. Figura 5.3: Características da Equação 5.4. Agora tomando o seguinte limite: lim u ( x, t )  0 (Eq. 5.6) Tem-se: x0 0,  u ( x, t )   g ( x, t ), 0  x  t 1, xt  (Eq. 5.7) 54

A Figura 5.4 mostra as características da Equação 5.7. Agora o problema se tornou se encontrar uma função g ( x, t ) que possua características contínuas e que seja solução da Equação 5.1. De acordo com a Figura 5.4 a inclinação das características muda na zona de rarefação, o que indica que a função g ( x, t ) possua a seguinte forma:  x g ( x, t )  g   t (Eq. 5.8) Figura 5.4: Características da Equação 5.7. Assim, como a função g ( x, t ) deve ser solução da Equação 5.1: d [ g ( x, t )] d [ g ( x, t )]  g ( x, t ) 0 dt dx (Eq. 5.9)  x x  x   x 1  g '  2  g   g '   0  t t  t   t t (Eq. 5.10)  x   x  1 x  g '  g    2   0  t   t  t t  (Eq. 5.11) 55

A Equação 5.11 admite duas soluções: g ( x, t )  constante (Eq. 5.12-a) x t (Eq. 5.12-b) g ( x, t )  Para se decidir qual solução melhor representa o Problema 5.1, deve-se analisar a condição de Rankine-Hugoniot nas duas soluções, assim: 1ª: Solução 5.12-a: 0,  u ( x , t )  a , 1,  x0 0  x  t , onde a  constante (Eq. 5.13) xt Aplicando a condição de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da função: dxs [ F ] 1 (u  ) 2  (u  ) 2   dt [u ] 2 u   u  (Eq. 5.14) dxs dt (Eq. 5.15)  xs 0 a 0 2 Ou seja, a  0 . dxs dt  xs t a 1 1 2 (Eq. 5.16) Ou seja, a  1 . Como a constante a tem que assumir dois valores diferentes, a Equação 5.13 não obedece à condição de Rankine-Hugoniot. 2ª: Solução 5.12-b: 0, x  u ( x, t )   , t 1,  x0 0 xt (Eq. 5.17) xt Aplicando a condição de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da função: 56

dxs [ F ] 1 (u  ) 2  (u  ) 2   dt [u ] 2 u   u  (Eq. 5.18) dxs dt (Eq. 5.19) dxs dt  xs  0 xs t x 0 2t x 1 t  1 2 (Eq. 5.20) Fazendo x  0 na Equação 5.19, e x  t na Equação 5.20, observa-se que a Equação 5.17 obedece à condição de Rankine-Hugoniot, sendo considerada a solução da Equação 5.1. A Figura 5.5 mostra a solução dada pela Equação 5.17 plotada para diferentes tempos. Observa-se a presença de uma onda de avanço da solução, chamada de onda de rarefação. Figura 5.5: Solução da Equação 5.1, para diferentes valores de tempo. 5.2 – Solução geral de equações homogêneas com áreas de rarefação No Tópico 5.1 foi construída uma solução do tipo ondas de rarefação para resolver o Exemplo 5.1. Nesse tópico irá ser construída uma solução geral que pode ser aplicada em todos os casos. Assim será construída a solução do seguinte problema de Cauchy: ut  C (u )u x  0  u  , xa   u ( x,0)     u , xa   (Eq. 5.21) 57

Solução: Utilizando o fato da Equação 5.21 ser homogênea, as características são dadas da seguinte forma: x  x0  c(u( x0 )).t  x0  c(u (u  )).t ,  x  x0  c(u (u  )).t ,  (Eq. 5.22) xa xa (Eq. 5.23) De acordo com a Equação 5.23 as características são retas, plotadas na Figura 5.6. Figura 5.6: Características da Equação 5.21. Da mesma forma que o Exemplo 5.1, a solução da Equação 5.21 pode ser aproximada da seguinte forma: u  , x  [a  c(u (u  )).t ]   u ( x, t )   g ( x, t ), [a  c(u (u  )).t ]  x  [a  c(u (u  )).t ]   x  [a  c(u (u  )).t ] u ,  (Eq. 5.24) De acordo com a Figura 5.6 a inclinação das características muda na zona de rarefação, o que indica que a função g ( x, t ) possua a seguinte forma da Equação 5.8, porém deslocada de uma constante a , ou seja: 58

 xa g ( x, t )  g    t  (Eq. 5.25) Assim, calculando as derivadas parciais da função g ( x, t ) através da regra da cadeia: d [ g ( x, t )]  ( x  a)    g ' ( x, t ). 2  dt  t  (Eq. 5.26) d [ g ( x, t )] 1  g ' ( x, t ).  dx t  (Eq. 5.27) Substituindo as Equações 5.26 e 5.27, na Equação 5.21:  ( x  a)  1  g ' ( x, t ). 2   C ( g ( x, t )).g ' ( x, t ).   0  t  t  (Eq. 5.28)  1  ( x  a)   g ' ( x, t ) C ( g ( x, t )).    2    0 t   t   (Eq. 5.29) Da mesma forma que na Equação 5.11, a Equação 5.29 possui duas soluções distintas, assim verificando a condição de Rankine-Hugoniot nas duas condições, chega-se a conclusão que a solução fisicamente coerente da Equação 5.29 é dada por:  1  ( x  a)    C ( g ( x, t )).    2    0 t   t   (Eq. 5.30)  ( x  a)  C ( g ( x, t ))    t   (Eq. 5.31) Por isso, a função g ( x, t ) é dada da seguinte forma:  ( x  a)  g ( x, t )  C 1    t  (Eq. 5.32) Logo, a solução da Equação 5.21 é dada por: 59

u  , x  [a  c(u (u  )).t ]    ( x  a)    u ( x, t )  C 1  , [a  c(u (u )).t ]  x  [a  c(u (u )).t ]   t  u  , x  [a  c(u (u  )).t ]  (Eq. 5.33) Exemplo 5.2: Resolver o seguinte problema de Cauchy: ut  u 3u x  0  x 1  1, u ( x,0)  2, x 1   (Eq. 5.34) Solução: 1º Passo: Construção das características: Como a Equação 5.34 é homogênea, as características são dadas da seguinte forma: x  x0  c(u( x0 )).t (Eq. 5.35)  x0  t , x  x0  8t , (Eq. 5.36) x 1 x 1 As características do problema estão plotadas na Figura 5.7. É possível perceber uma zona de rarefação que começa no ponto ( xb , tb )  (1,0) . Figura 5.7: Características do Exemplo 5.2. 60

2° Passo: Construção da solução A solução do tipo onda de rarefação pode ser escrita utilizando-se a Equação 5.33, dessa forma: x  [1  t ] 1,    ( x  1)  u ( x, t )  C 1  , [1  t ]  x  [1  8t ]  t   2, x  [1  8t ]  (Eq. 5.37) Nesse problema a função C (u ) é dada da seguinte forma: C (u )  u 3 (Eq. 5.38) Dessa forma, a solução da Equação 5.24 é dada por: x  [1  t ] 1,   ( x  1) u ( x, t )  3 , [1  t ]  x  [1  8t ] t  2, x  [1  8t ]  (Eq. 5.39) A Figura 5.8 mostra a solução dada pela Equação 5.39 plotada

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