Analisis vectorial

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Published on March 7, 2014

Author: DeissyBorjita

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Libro no escaneado por mi

SERIE DE COMPENDIOS SCIIAUM T E OR IA Y P RO BLEMAS DE ANALISIS VECTORIAL y una htroducción ¡l ANALI$S TENSORIAL MURRAY R. SPIEGEL,Ph. D. Prcfessor of Maúernatict ReñstelaerPolYkclnic Institu¡e Ltns GürÉrPiz Dftz I¡sdierc d¿ AMto ANc{. GtÍú¡¡z Idgdi¿ro .t AMto L¡.@¡a¿o d CiMiü Dlplo"ado I lñtú¡¿rid VIzqr¡z FÉlM Nuhar qYA4q McG RAW - H IL L xÉxcq.-BocorÁ yoRK . NUEVA . o guEttlos ¡tngs . GUATEMALA t-tsBoa . MAoRtD PANAMA . saN JUAN . saNTtAGo . sÁo paulo A U C KL AN D ' HA MB URGO JOHA NNE S B URG O 'L O NDRE S ' MO NT RE A L ! . PARÍS . SAN¡FRANcISco. SINGAPUR NUEVA DELHI ST, LOUIS . SIDNEY. TOKIO . IORONTO

:, .r . i ' 1 ' ' : l'r ': , .. i;' rLi :: :1 . '. . ¡ : '. .' ' ' : ;' ' ilil A¡IALISIS VECÍOFIAL Prohlbidala reproducción totat o parcialde 66la obra, escrltadel editor oor cualoulerm€dlo.sin autor¡zación DERECHOS RESERVAOOS 1970, respectoa lá /iméra edlc¡ónen españorpor i LIBROS IVCGRAW.HILL MÉxrCO, A. d€ C. V DE S. atlaoo¡fulco499.501, Fracc,lndustrialsan, Andrésatoto dé 53500NaucalDan Juárez.Edo.de Méx¡co Mlembrod€ la CámaraNaclonal ls Indusrla Edttorial, ds Reg.NúrA.455 lsBN 96&451-068.3 fladucido de la prlmsraedlción€n lnglésde VECÍOB ANAIYSIS Copydght@ 1967, Mccraw-HlltBookCo., U. S. A. by tsBN 0{7.000228.x 2209476543 LINSA-70 Estaobrase termlnó ds q: , ,LTqllTt1:l,l-t"r:c. v. tn'uitr.gi¿ticaa LT: s, u; C á l l él 3 N o .9 4 4 Cállé l3 No. |napalapa Oélegaclón Méxlco,D. F. 09310 F Se t¡¡aron8 200ejsmpláres 80123467S5 ",'l,io l"Y"r'".,,,,

  • Pr o lo g o que se inició a mediados siglo pasado, El análisisvector;al, del constituye hoy día una parteesencial para matemáticos, y nccesaria y las matenrátjcas fhicos, ingeniefos demáscientíficos lécnicos.Esta es casual el análisis v€ctorialno solo constituye una notaciónconcisa clam par¿presentar y tidad no i geométricos, que,además, ,cuaciones modelomatcrnáiico lassituaciones del físicasy problemas d€ sino rcioná una ayuda inefimable en la formaciónde las imágcnes men¡ales los conceptos dc fisicos ométricos- resrmcn,el análisis En veclorialpücdeconsiderarse, Iugara düdas,como cl más rico sin uaje y forma d€l pe¡samiento las cicnciasflsicas. d€ Po¡ la foma y mancrade cxposición, estelibro se pücdertilizar como tcxto en un cursodc ¿nálisis riai o €omo un m¡gnifico libro complcmentário cualquierotro texto. Asirdsmo, puedeser dc de valor para todos los alumnosde las asignaturas fisica, mecánica,electromagnetjsmo, de aerodi,a e inEnidadde otras correspondientes los distintoscamposde la cienciay de la tóc¡ica cn qüe a nplean los métodosvecroriales. principiosy tcor€más p€riinent€s, Cada capitulo comienzacxponicndoclaramentc dcfiniciones, las ejcmplosilxstrativosy descriplivos. cont;nuació¡¡ presenta A sc rna colecció¡de problemas totalpero sin resolver,todos ellos de progresiv¿ tc resucltosy otros suplcmentarios con r€spucsta difipuntosesencialcs los que€l . Los problemas rcsueltos los sin aclarany amplianla teoria.evidencian diantesc sentiria conti¡uamentepoco scguro y proporciona¡ la repcticiónde los principios fun. tales tan nccesarios resucltos se rara conoce¡ la materia a fondo. Asimismo.en los Droblemas y prob)emas uycn nunerosasdcnrostraciones teo¡crnas dedücciones fómrulas.Los ¡r¡merosos de de lnentariossiñ,en dc conpleto rcpasodcl tema de cada capitulo. Los temastfatados son, a grandcsrasgos, álgebray el cálculodifcrencialc integúl de vectores, el d€ la divcrgencia, rotacionaly de¡nis t€oremas del integrales. hacicndo much¡simas aplicacrones los oapítulos rclativosa las coorden¿das ¡ruy divcrsos.Atención especial curvilínéas mereceD p.oporcionanen cl estudiodc ingcnie¡ía, I análisistensorial,que tan cvidenles ventajas fisicay mateEl libro conticnemucho nás m¿terial de lo usualen ¡a mayo.ia dc los primcroscürsosde cimci3 genieri¡. Con ello la obra se ba hechomás completa,constituyendo libro de consultamuy útil un la vez. catalizadordel interésrcr tc¡nasmá! elevados. dcl El autor agradecc colaboración seño. H€nry Haydcn en la preparación la tipográficay dibujo ligüras. El realisn¡o las figurasrealzacl valor de la obra en la quc la crposiciónvis'ral.jueBa de papcl tan R, SPTEGEL
  • Indicede moterios TTTORf,S Y ESCALARES. ¡ I k6r. Esc¡lar. Al8ebra tccao.ial- ¡¡Fs del Algebr¡ vectorial. V€ctor uoiiario. yecroEs lira¡ios trirrecl¿ngulares. Vccto¡es compon€ntc!, C¡mpo €scala¡, Ca¡nDo lectorial. I. TTODUCTOSESCAIAR Y VECTORIAI. r6 hod¡¡clo cacal¿Lr intono. Producto y€ctorial o exlcmo. Productoc triot s. Sistemas & o A dFTRENCIACION WCIORIAL 35 Düivad¿ do ú v.ctor. Curvas €n el ospacio. Conlinuidad y dc¡ivabiliüd. Fórmulas de dcri?!ión. D€rivadas p¡rciales de ull v.ctor. DifeÉncial de un voctor, c€onetría dif€r€ncia¡. OPTRACIONES DIFERXNCIAIES: GRADmNTE, DIWRGENCIA Y ROTACIONAL.. 51 Operado¡ difer€ncial vecto¡i¿l nabla. CEdie¡te, Diverg€ncia, Rotacional.Fórmulas on la! q¡¡. inlcnie¡c cl opc¡ador ¡¿bla. Invariaúa. LTIECRACION VECTORIAI. lnlegr8l de un i€ctor. Inüe8¡al cuwillnea. Integral de sup€¡fici€. Inlogr¿l d6 volumen. TNTEGRALES:TEoREMA Df, LA DIVERGENCIA, TEoREMA ¡,JoPERAcIoTTs ! r' Y INTf,GRALr,S....... DEL ROTACIONAI OTROSTEOREMAS l0ó V -....,,..... Teorcmadc !a divcrspncia Gáuss.Teoromádcl rot¿cion¿lde Stokés. de Teoremade Gr€en ar el pl¿no. Ot¡os teorcrnas glal$. Fofma irtcgr¿l del op€r¿dor int nabl¡. .S f " c o o R D E N ¡ D AC ttR V rr,rN E.A.. ... . S ................. 135 Ttusfo¡trl¡ción dq coor&nad¡s. Coo¡dcnadas cuNilfrc¿s ofogon¿!€s. VectorÉ! unit¿rios en sistcdra d€ coord€¡ad¿r curvilín€¿s. El.ñentos de llnea y de volurnen. G¡adi.nte. d¡vergcncio y ¡otacio¡al. Caso3pa¡ticular€s de sistemasde coord€n.dÁs ortoAonales. Coordc¡adas cilíad¡jcas. Cm¡dcnadar €sfáica!. CoordoDad^ cilíndricas pa¡abólicas. Coord€nad¿s p¡r¿bolo¡d¿l€s. coord.nad¡s cillndrica¡ cliptic¡s. coorden¿das .lferoidales alargada!. coordenada3 csfe¡oidale acll¿tada. Coord.íadás cliGoidal€s. c,oo¡denadas biDolar6, r t6ó ANAIISIS TENSOnIAL fr)€s fisica.. Espa.ios dc N dineftlones. Transfonnació¡ d€ coordenadas. Convenio de sunaalótr dc los ¡ndicca r.pctidos. Vcctorc3 contrava¡iant s y coyar¡aotes. Tensorcs contr¿va¡iartcs, coErian&s y mixtos, Delta & KroDeckcr. Tcnsor€gde orden supc¡ior, Escalarcso invarlsntes. C¿mpos te¡Boriales. T€nsores simét¡icos y hcmisi¡nétricos. Op€racior6 fu¡daÍF¡úrles con iensor€s. Matriacs. Algebra matricial. EI clomenlo dc linea y cl tensor ñétrico. T€nso¡ r€clproco. Te¡sor€s asociados. Módulo de un vector. Angulo entre dos v€ctor€s. Co6Don6Ls ftuic¡s dc un v€.tor. Slrobolos de Cbfistoffel. Iry€s dc imnsfomació¡ dc 106 sÍlrlboloc de Clristoffcl. Llncas eeodésic¿s,D€rivada covariante do un t.nsor. Simbolos y t nsons altor¡antca. Fo¡ma t€nsorial del iradiente, divergencia, rotacional y laplaciana. Dedvad¿ ab3olut{ o intrlns€ca. Tensorls rclativo y ¿b6oluto. itDIcE. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2lE
  • -'Vectoresy escolores ICTOR. Es üna magnitudcüya determinación exigeel conocimiento un módulo, una direcd€ :i¡r r :n sentido.Ejemplos magnitud€s de vectorial(s son cl desplazam¡enro, velocidad, aceleración, la la l¡! 'rÉ.;3. el imoetu. ercC.áñcameñte, vector se representa ün por un segmento orien¡¡I,: OP (Fig. i); la longitud del segmento el módulo del vector,la es úr.J:.on de seCmento la correspondiente vectory Ia flechaindica es del a ;e.¡rdo del vecior. El puílo O s€ llama oigen o punto de aplica::tt -: P el extrcno del vector. La r€ctaen que s€ apoyael segmento E :¿.ma dirc¿rriz del vecror. lnaliticam€nte, un vector se representa por una lelra con una por '.sj-r encima. ejemploÁ en la l-ig. I. el módülo*".,.'¡¡. Á r :¡en A. Otros autores pre6erer emplear una letra negrilla, por :€:rpio A, con 10que lA o A indica su nódulo. En eslelibro emplea''=ri esta última notación.El vector OP también se pu€de esc¡ibir j¡. o bien, oP; en estecasosu nódulo es -oP, 1óF¡,o ti"n, or. ESCALAR. Es una magnitud cuya determinación solo requiere.elconocimientade u¡r número r. .antidad respectode ci€rta unidad de medida de su rnisma especie. !-emplos tipicos de escalares :i¡c la longitud,la masa,el tiempo, Ia temperatura, tfabajo, la energia, €l etc., y cualquiernúmeroreal. is escalar€s indican po! una letra de tipo ordinario. Las op€raciones €scalares se con obedecen las a nl.úas reglas del álgebrí elemental. ALGEBRA Vf,CTORIAL. Las operaciones adición o suma,difercnciao resta,multiplicación de x l.rodu€todel álCebra €lsmentalentre números¡ealeso escalar€s, puedengeneralizar, se introduciendo .ié¡rrminadas definiciones, álg€braentre vectorcs. al Veamoslas defniciones fundamentales. ./. Dos vectores y B.son equipolentes tienenel mismo módulo, la mismadireccióne idéntico A si sentido.Si ademástienenel mismo origen o punto de aplicación, son ¡gral¿r.Tanto la equipolenci¡ como la jgualdadentrelos vectores por dadosla representaremos A : B (Fig. 2). Ceofnótricamente reconoce se que dos vectores son equipolentes el polígonoque resultaal unir sus si por una parte, y sus €xtremospor otra es un paralelogramo: orígenes 2. Dado un vector A, el vector opuesto, -A, es €l que tiene €l mismo módulo y direc¿iónp€ro senrido con(rario (Fig. lr.
  • VECTORES ESCALARES Y Su a o rcsultant¿ dos veotores y B cs otro de vector C obtenido trashdando el orig€n d. B al ^ cxtrcmo de A y ünicndo cl odgan de A con cl cxtr. mo B (Fig. 4). Anallticam€nte expresa s€ A+B : C, Observ$e quc trasladando los dos yeotorcs a ün origencomún, el veclor sümaco¡¡€spotd€a la diagonal dcl p¡relelogramo con €l orig€n en cl o¡igcn co¡nún- Por ello s€ dic¿ quc la suÍra de vcc(eéasc tores obedecca lz ley del paralelogrumo c=¡i! Prob. 3). La generalizació¡ a la suña de varios vectores Fl a.{ es inmediatosin riás que iI sumandode dos €n (ve¡sa Prob. 4). dos succaivamenta 4. La dtferenciade los tectores A y B, que se reprcs€ntaan¿lÍlicamcntepor A -8, es otro vector C, t¿l que sumado a B produc€ el vector A. Dicho de otra Íranera, para rast¿r dos vectorasse sunra al vcctor minuendo el opuesto sl 'ector sustraendo,es dccir, C : A - B : A + (-B). Ls dio simplememte0. 5, El produ.to de un esc¡rlartn por un vector Á es otro veotor, h1A, de la misma direc¿ión q pcro con un módulo l,rl veces de A y un senlido igual u opu€stoal de A scgúnque el el lar ñ sea posiLivo negátivo.Si ,n : 0. |'¡A es el vector nulo. o y LEYFS DEL ALGEBRA VECTORIAL. SeanA, E y C lras vectores ñ y ¿ dos escalares estas condiciones verifica: s€ ,. A +B :B +A 2. A +(B +C ):(A +B )+ C 1. n(nL: (nn)A t, (m + n'r[: nA + nA ó. n(A + B): nA +,ñB Propicdadconmutativ¿ la slma dc Propiedad asociativa de la swÍa Propiedad conmutstivadel productopor un cscalar Propiedad asociativ¿del producto por un €s.alar Propiedad dislributiva del producto por un escal¿r peoto de la sur¡a de escalar€s Propicdad dbtribotiva dcl producto por un csc¿l¡r pccto de la sume de vcctores Obs€rvcs€quc no ¡parecÉn más las propiedades dcl producto de un escalar por ün v€ctor. los €lcap. 2 d€finiremos prodüctosentr€ v€ctores. vectoriales da la misma for¡na que si fucr¡l Étss lcyes p€rmiten considetar y lratar las ecr¡acior¡ca términos,A: C-B (ciuacionesalgcbraicas). C, transponiendo Por ejgmplo,si A *B: escalares VEC¡OR UNITARIO. Es todo vector de módulo unid¿d.Si Acs un v€ctorde módulo distinto de cero,/ + 0, cl vcctoi Al,{ es un vector unitario de la mivn¿ dirección y sentidoque por Todo vcctor A se pu€d€repr€s€nt¿r el productodc ^. vector ünit¿rio ¡ dc ls dirección y s€ntido que aquel mul_ un tiplicadopo¡ sl módulo de A, que es ün escalar.Analític¿se m€nt€,Pues, esc¡ibe,A : ,l¡. VECTORf,S UNITARIOS TRINRf,CTANCULARE¡I l, j, t. Un sisten¡ tllúy importanE de vecto¡es unitarios a los las son los que tienenPor dircccioncs corresPondientes cartesi¡¡as.n €1csp¿cio, ejesda un sistema coordenadas de ¡, y, z, con scntidos los positivos de €stosejesy qüe sc llarran veclorcs unitariost, ¡, k (Fig. 5). Mientras ro sc diga lo contrario, supordremos que cl sisteña dc coordcü¿das trir¡ecBngularcs es 4alextrorsun>
  • VECTORES ESCALARES Y , r bcchos. Ests dcnominación deriva d€l h€cho que un E:illo con ros.a a der€ch¿sgi.ando 90' d€sde O¡ a Ol, rnfz ctr cl scntido poshivo de Oz. como sc mues¡¡aen r F!- 5. ^{ fc, di' r 0, fA iEn En gencral,trcs vcctores B y C oon el mismo origcn A, t fr coplanatios, fofÍnan tn sisteÍ <dexlrofiuh, o a derc,.iñ si un tornillo dc roscaa derechas girandode A a B po¡ i Éor ángulo avanz¿eD Ia di¡eccién y sentido dc C, Es s. reprcscnb cn l¡ Fig. ó. vECTOnES COMPONENTf,S. Todo v€ctor A en i :spacio (3 d¡mcnsioncs) s€ püede repres€ntar con sü ,r!-::cn en el conespondiente O de un sistema dc coorde¡d15 trirrcctangul¡rcs (Fig. 4- Sean(,{r, ,1,, ,lJ las coordeEdrs cartesiaDa3 punto extrEmodel veclor cuyo oridcl ^ !!3 es O. Los vectores lri, A;, y 4k se llLma vectorct fi*pwnles rcatangulares simplemenfe o veclorcs .onponente[ ü -.{ s€gúnl¿s direcciones x, y y z, resp€ctivam¿nte,Los ,{¡, Ar y At 6c ll^r al coñponenlet rcclanguldr$ o companerit€s vectorA segúnlas dircocioncs del -l¡rB ¡,t y z respaolvamanE, -d.nent€ La sumao resultantide los tresvector€s,4¡i, ,1J, y ,4sk ¿r cl vectorA. ¿stoas. tt:AiiAziiA.} E módulo de A es Ftr. ? a :l ^l :a/A i +A .,+A i E^ p¿trlic¡tlar,el y.ctor de posicíón o rudio recto¡ r cuyo origcn es el punto O y cuyo ertremo es cl ponlo 'r- /, z), sa cscribc cr Ia forma f : n +r + zk ¡ lcran FB. I I I {É tienede ñódulo t: rj: I x'¿+ f + z'. CAMPO ESCALAR. Si en cada punto (x, y, z) de una reSiónR d€l espaciose le pu€deadociar rn escalarÉ(r,,,, z), hemosdefinidoün cdrnpo pu¿s,d€l punto escalar$ cn R. L¿ funció¡ d dep€nde, y, por ello, 6e llama /¡rción es&lat de posición, o bi¿r, luicün de punto escalat. Eje|nDt6. (r) I¡s tcmperatnrasen cada punio int€rior o sobr€ l¡ superficiede la aierra,€o un cierto ¡nst¿nte,d€fircn un campo cscolar. (2't ó (t, t, z : * zr defne u¡ campo cscala.. Si un oampo cscafar cs independiente del ti€mpo, se llama pcnnaneñteo estacíoñatio, CAMPO VECTORIAL. Si e cadapunto (¡, /, z) de üna regiónR del espacio l€ puedeasociar se |d vectorV(x, /, z), hemosd€finidoun .anpo wctotial V e^ R. I-a firnciónV depende, pucs,del punto y, por ello, se llama fuacün vectorial de posictón, o bi.n fuhción de pmto vectoial. Ejenplo¡. (J) Las velocidades cada pünto (¡,),2) cn €1interior de un flüido en movimiento, en en un ci€rto instante,definenun campo vectorial. (2) V(x,y,z): xt'í-2yz't + xtzL dcfincun campo vectorial del Si un o¡mpo vcctodal es iDdependiente tiempo se llama perñdnente ettacionatio. o

    VECTORES ESCALARES Y Problemas resueltos l, Dé las nugnitudcs dadas a cont¡nuac¡ón irdic¿r las de caiáctefresl¿i € Sot. (¿) veclorial f¿l ¡-.áa¿ ,r, y tas de e¡ácter €torial. (l) potÉncia- "o,u^"n (,/, distanci¿ (j) intensidad campo ñasnético del Ut eneryíA -1f.. €s@le tu') eslár U) esc¿la¡ (r¡) es.ala¡ 0) yeclor¡al t (¿) gráficamentc: una füer!& de l0 n€wtonseÍ la dir€cció¡ Ét€ 30'Norte, 2. Represent¿r ' (ó) u¡a fucrza dc l5 ¡cwtons m la dirección Norle 30" Este. Frs.{ú) Con la un¡dad d€ ñódulos indicada, los vector€spedidosaparecen rcpresentadd en las 6gura¡. 3. Un aulomóvil recorre 3 kilóñ€tros hacia el Norte y lü€go 5 kilómelros hac¡ael Nord6tc. R€ptwnta rcstos ddplazamicnto y h¿llar cl desplazmiento Gultanter (¿) gráficamente (á) analiticameoto. El vector OP o A reprcsenta dcspiazamiento I km €l dc haciael Nort€. El v€ctor PQ o B reprcs¿nla €l desplazamiento do 5 kñ El r€ctor OQ o C rcpreent¿ el d€splazamien@resultaDte o sum¿ de los vcctores y B,.s decir,C : A + B. A Pu€de observar8ela /e/ d¿l r/¡¿¿r'!1o dc Ia süma dc vcctors. El vector r€sultantc OQ t¿mbiér s. puede obtcn¿r ttaz¡ndo l¿ di¡gonal del par¡lelosramo OPOR construido co¡ los véctores OP : A y OR (isual al vcctor PQ o R). Esra es b le! del patulelostMo & la suma do v.ciores. es d€cir, de (a) Deteminoción etdlca d¿ l¿ ¡¿r¿r¿¿r¿.Semid€ Ia lonsitud dc la diagon l cod la mi!¡na unid¿d de long¡tud dÉ I k¡n adoP t¿d¡ par¿ los olros vectons. Así sEdeduceel valor dc ?,4 km sproxitradam.nle. M€dianlc un trasport¿dor o schicircülo 8r¡duado s€ mide €f ángrJloEOQ - 61,5'. Por lo tanto, el vcctor OQ ti€no de rródulo 7,4 *m, y di.ección y s€¡tido E3tc61,5" Nortc. (b, D¿t.,ninaci¡jn anolítica de la rctultant.. En el triánsulo OPO,llamadoA, B, Ca los ¡bódulosdo los v€ctore3 B, c, A, rdpectivam€nüe, el teorc¡n¿ del coseno D€ín¡t€ €scribir: C' = At + B'-2ABcos L OPQ:tr + 5,-2<3N5)co6135. 34+ r5/td. dondeC = 7,4J(aprorim¿damenlcj, 55,2r

    VECTORES ESCALARES Y y -{9liándo ahora €l teo.ema de los s¿noss€ deduce l¿ dirección el s€ntido: AC ser L OQP *n oQP A*n a oPO - I (0,70?) :. 7.41 sen L OPQ 0.285s, LoQP : 6'35' E¡ v€cior OQ, en consecuencia, ti€ne de módulo 7,43 km y una d¡re.ción qúe forma un ángulo con la ¡irrEión Este de (45'+ 16'35') :61"35', esto es, su direcljón y senridoquedandefin¡dos por Este 61"35, .{ 5¿¡á¡ la suma o resullante.delos siguient€s dsplazamidtosi r-lo trtros hacia el Noroestej B, 20 metros,Este 30' No¡te; C, 35 meüos hacia el Sur. (F¡g. a.) E¡ €l €xtremo de A s€ sitú¿ el oriepn de B. E¡ el extremode B se sitúa el origen de C. l¿ resultant€ seobtieneunierdoelorig€n O del v€cto¡A con el extrerno C, esd€cjr,D : A + B + C. D de Sigüiendoel método e¡áfico se dedu@que el vecto¡ D tiene de módulo 4,1 unidades:20,5 m y und rtF€rión y s¿nüdodefrnidopor Este60 Sur ¡fs.(d) F¡s,(¿) S" Draost¡ar qu€ l¿ sumade vectoressoza de ¡a propiedadconmutativa!A + B: B + A (Fis, (r)). OP+PQ:oQ, o bie¡, A+B:C, OR +RQ: OQ, o bien, B+A:C. Fo r lo le! o, A-B B A. ¡5 Dcñostrar qu€ la suftra de v€.tores goza de Ia p¡opiedad aso€iativa: A + (B + C) : (A + B) + C. .{ OP+PQ:OQ:(A+B), PQ+QR:PR:(B+C). Y O¡ + PR : OR : D, e,sd€cir, +(B + C) : D. A oQ + QR : oR : D, esd.¡ir, (a +B) +C : D. f¡to¡ces, A +(B + C) : (A +B) + C G€neraliza¡dolos resuli¡dos de los probleñas 5 que t ó s€al€muestra en la sum¿de cualquier lme¡o é €ctoresla resultantccs indepcndient€ ordenen del qE s. tofmn, (- ¡, o
  • 6 V E C TOR E S FS C A LA R FS Y ' ;:if,ili1i1i¿3H'#:,i",Xi::"¿;¡;¡-* "" ", . . . , F".Ha,,a¡ ruerza es ra que ne@sario €np ap,ica¡ :1'"J,::,'?.:'#j,: fi":tTá,,i":""1T ::iJü14:1{:"{ ilTi:,ifii:t rlll{"i;::::f ";."'#;':T"f'.:H$::i*á.,i1""'fi",l'"'1ii"3ii.l* henre. con to que s obtieneet potigono de plgli;il"lr*.i;; * -*, €s,v€c,o .,,.:":'j1ii":LT-th?l'r;1;:1i.":lll'¿,,,"#: ffÁ:?TffllJ,?,::: esroe, 8. Dadoslos vector€s B y c (Fi8. 1a),consrruirtos vectores A _ A, (a) B + 2C, (b 3c _,1.e^ _ B) (bt - i(2^-a) f. I
  • VECTORES Y ESCALARES |' { 'ial IL ¡rih * aué! cn la dirccción y s¿ntido dcl Nor¡ ú¡ rclocidad, rolatirr ¡ l¡ Ti.rr¿, do 250 krvh ¿¡b r l¡ cr¡t ¡rci¡ d. un vicnto h¡cia GI O€6te con -d¿ 50 tm/ll rEl¡üva a l¡ Tirt¡ lámblh. Er -üdd.d h v!¡ocida4 dirtccitu y sc¡iido d.l i,ccto¡ ycloÉt l o¡¡c ll.i?rla cl avión si no hubicac vi.nto. -*-- -t / s.á¡ w : vetocid¿d vicnro d€l a' il r v. : volocid¿ddel ¿vióncon üento -¡ V! : vclocidadd.l ¡vtón rin üGDto l'I F¡ 6t&! co¡dbidcs, ¡. : v. + w, dodon¡lo - v. -w : v. + (-lV).v, quc equivalcn¿ Midiondo I¿ ¡oogitud dol ¡ccto! Vó se obfen 6,5 unidades É.llo vicncndadospor Oest! 33' Nortl. I. I¡do6 doo vatorEs ¡ y I dc dilint¡ F di¡Ección, h¡llar la crptlsión dc o¡¡lquic¡ véctor r dd pla¡o &tc¡minado ¿qucllo3. Los vrctoÉs d¡dos no ticÍcn l¿ rnis¡¡á dircctriz. Por lo rúto, &tarmiÍa! un pla¡o. S6ar cu¡lquicr vector do d¡cho quct.ng¿n los ll¡o y r¡8sladomos €ctorc! r, b y r dc d ori¡pn com¡lnO. por el €xt¡oño X do r 'naoe¡¿ partlole¡ ú¡cemos ¡ bs diraccloüa!dc ¡ y b, Elpccti$rnrnt , forná¡do €l para., r ))''t, Llograoo ODRC. D€ l¿ 68uñ 16doduc¿ , . r. oD | _'L" -¡(oa):.n, 4., ,,. OC : r()B) : )ó, ondordcxcrso¡.¡cal¡tB Ahora bion, rógúnl¿ lóy do compo¡icióndel paralclognmo, OR:OD +Oc, { 1tr r ¡ /- o bi.¡L r:¡¡+,t :) . á/ , 1 u q¡¡. ca l¡ o¡pnsión Fdid¡" l,oe v*lorEs .¡¡ c ,b son 16 @nqotu tcs t ctüld.t, o v.clo.!s coopo¡rcrit ., do r s.dn l¡! dincciord &. y b rcsFclív¡rFntc' lr3cac.ldlsr€/p¡¡.dcn s.r poaitivG o D.s¡tivo3, rgúr 106ati!6 dé lo3 icclo.la. Dc l¿ const¡r¡cción gcométrica s d.spr€ndc q*.t c / son únicos pore ., b y ¡ (hdos. los vcctorEs a y h *¡ lo. ve.toret ¿n la á¿tt d€l tístema dc coord$adrs dcñnido por ¡ut dircccioDc on ol plano quc délrfiin¡n. ¡L Dddo! trqt t€torai no copla¡¡rio! ni paralclos ¡, b y c, h¡llr¡ l¡ expresión dc cuslquie¡ v€ctor r é¡r cl 6pacio t¡idimc¡¡don4 s.e ¡ rl vdor cu¿lsui!¡¡ d.l.spacio de origi¡ o d qoc tr¿slad.Eoslor trc6Elorrs d¡do¡ .' Dy c. Por cl .xtrlso i dc r t ¡..mo6 pl¡ir6 par¿Lto3,rca!.c¿ivamt , ¿ lo3 qu. rtct!¡min¡n . y b, b y c, y. y., forñó¡dos! cl paratclcplpodo ¡Ox,Y¡Utl. Dc h fieu¡a sc doduco, ov = ¡(oA):r¡ ) OP : ÍOB) on - loc): : ),b ) on dond! ¡, /, .¿son e!.¿¡¡rcs . .u I zc) Alor¡bi.|| OR :Ov +vQ +QR -oV+OP o bicn, r -.ü +}n+ ,c- + OT, Llc Ie con trucción g.or¡¿!¡icá $ d.6pr.ndequo¡ /, y t ron único6pam r, b, c, y r d,¡dos.

    .-''---.-' VECTORES ESCAIA¡ES Y Los !€ctorcs ¡.,lb y zc sollas compon útet v¿ctoiales, o v€clorts coftponcntct, de r.según I¡s dirlcciones de ¡, b y c, repecrivam€nte. Los vscto¡cs .' b y c son los w.to'* ¿n la bas¿ d.l sisttroa d. coor' denadas d€nnidopor susdirec.io.ca cn el €spacio. rirtrtu¡lncnte p€r_ uritárioi i;l y k, respectlvañcntb, Coño casopadicular, si aj b y c aón los vector6s p€ndicuiares, cu¿lquierveclor. se pücdcexpresar! fo¡m¡ única.cn fünción d€ li)s vcctor€sünit¡rios según d€ po.. losejes -. ¡i + / + zL. Asimismo,si c - 0, el e¿tor r peno¡€.eráal plano fo¡mado por ¡ y b, obtcni¿nd@ €l problema 10. 12. Demostrarqne si los vectorcs, y b no tienenlamisr a di¡€cción,la igualdadv€ctoriai¡a +/b = 0 implica q u e ¡:/:o . E-slo Supongamos que ¡ I O. Ertoncls, de ¡. + /b : O s€ d€ducc ¡¡ : /b, €s dcci. ¡: --(//¡)b. quiere d€cir que a y b ricner la misma di@ión, lo cu¿l es cont.a.io a la hipót€sis. Por consiguienle, que y O. ¡ 0, v de vb 0 se desprende se r3. Demostrar que si ¡ y b son dos veclorescuyas dir€cciones cortan, la igu¡ldad v@torial ¡,a "l- ),¡b : rú + /¡b i mp l i c ¡ q u €¡¡ ¡, e r' : ,r. ¡,¡+/,0:¡!¡+/:b ¡,r + /,b (¡,¡+v¡b):0, o bidt, (¡¡-xJ¡ +Cv'-./¡)b=0, sesún Po¡lo ranro, elproblema 12. .t, - ¡' : 0' ,' - t: : 0. o bien, ¡, -,,'Y':!,. 14. Demorrar que si ¡, b y c no son coplanariosni paralelos,la iSualdadvecto¡i¿lx¡ +/b +zc - 0 implicá o u e .i :y :z :0 ' sc deduce ¡¡ = -)'6 + -:c, es decir Supongamosque ¡ + 0. Enlonces, de ¡s +zb + zc:o (z/x)c. Aho.¡ bien, -Olx)b - (?/¡)c es un veclor del plano qüe forma b v c (ptoblema | 0), ¡ : -<-yl¡)b e s to c s ,¡p e rl e o e € a l p l a n o debyc,l ocual escontr¿ri oal ahi pótesi sdeqi ¡€¡,bycnosorcoplana. ios, Po rl o ta n ¡o ,¡:0 -R a z o n a n dodcanál os¿manera,süponi endo/* oyl uegoz+ o,sel l e8¡ ascndascon' lo kadicciones, cor lo que quedaderhoslrado pcdido ¡iparalelos,la igFldad i€ctoliai tia.+ Iib + z,c = no 1 5 . Denosrra.que si¡, b y c son tresvectores coplan¿rjos ¡ ¡ . - hb r . c im plic a que , :Í /, ,., z' : zt. La ccuació¡ dada * puedeescr¡bi¡en l¡ fo¡¡na (¡r - ¡rh + O, - y)b + (2, -2). : o. ¡, f según probfema4, ¡, - at : 0, lt - y' : O,y zt -:r - o, o bien, : ¡¡, / : t^ 2| : z. ef so f-ióDerilorrar quelasdiagon:lisde un paralelogramocortancn su puntomedio / s€ dadocuyasdiasonales S¡,a;EC, el pamlelosramo / --l cort¿ncn el punto P. BP ComoBD :r : b,BD - b-e. Entonces : ¡(D ¡), b, AP : .y(¡ + bi. Como AC : a AP I PB = AP - BP, con lo que, Aho.a bien, AB a) : (¡ + /)¡ r L! - r)b. ¡ /á +.b) - ¡(b de Como las direcciones ¿ y b se corla¡. segúnel pro_ ¡ :0, es dei r, ¡:¡-' ,/" b l c ma 1 3 ,¡+ /' l € , Por lo tanto, ¡ cs ol punto medio dc las dos diagonales. quercsulta unir lospuntosmcdios los ladosdc un cuadrilátero unpara de al ec t7 . Demorrarqueel pollgono rerogr¿mo. dé Sea,rBCD€l cuad.¡látero dadoy P, O, rRy S los puntosmedios suslados(Fig. ¿). c), Rs:'r(c En¡onces, PQ: '/,(¡ + b), QR =='/lb bi.n,s + b+c.l d : 0. Porlo tanto, Ahora PQ -' :(a - b) -"/c + d) SR y + d), sP: rL(d+ ¡). QR : '/'(b + c) : -'/,(d,+ ¡) - PS del f'olieo¡o formado son igualesy pa.¿lelos,dicho poligono ee Como los lados opúesros logr¡mo.

    VECTORESY ESCALARES II 3""; i;ii*ll1llli';:,::: g*,:' r,..,. rcsprcrivos deposic,ón. vectores D€mos':f"i'-o: "l-"'9* : o v 11' sus o'.;'ürd;;;';.;i::;i;ü;HT'.:?ü[[?:Ti; li TlTfi'T"'.::::::^: ",.: ^ ¡=q1 O' si, y sotosi, se verifici ¿, + ,, + ., 10. vver rJ);'iF1::1".'"'Ti:':-oj,:::':lóle-f,r:f',{{rrespecbdeo vecrordeposicióndco'r6s. o. ve¿nos qué en co¡diion€s*,¡i"."rá.i,iiíJi-,,ir;;,.,.;;;:i,H,i".ii,."í.#;: * =de la. F is . ( ó ) d e d u c eq u 9 .,:i _ ¡tr D . ¿,r! + ¿rr¡ : -sse transfo¡md en 0 e - rl€l + r,r, ¡¡:y + l !, ¡.:y + r,!, con l o quc l a ccuac¡ón a¡ + a{, + a,r1: a(v + ri) + ¿lr + ri, * *.,, "*' _ (a, + a, + a,:)r+ a¡,, + oii + a,¡,, : O La condición n€.esaria y süficienre pa.a que ¿,! i ¿,r., ¡ + ¿r.i : 0 es (a,+a,+a¡ -0. esdc.ir, a,+ar+a,:o. Este resultado puede generalizane dificutrad. sin o). ü que pasapor dospuntos7 y a cuyosvectores posición de ¡65p€cto or¡scn o crcr {:. :,",;:::."".1T,1.-:1.,:ra :l y D,respecnvamente. S.a r el vector de posiciónde un punto ge¡éricoP de la ¡ Dc Ia ñgur¡ adjunrase deduce, D-AP.- OP,o bien, + Ap : r, dedonde : r _ ¡ s Ap 01 - AB : OB, o bien,a + AB : b, de do¡deAB : b_s Ahora bicn como AP y AB son colinealcs,Ap : rAB, (b ¡). po¡ lo ranr¡, ta euación ped¡da cs r: ¡ + ( b-a ), o b i c ¡, r:(t _ r)¡ + rb S.6 '¿ ec uac ' ónc e$ ri b e e nta fo fma (¡ s 4 a , /b _ r. 0, i -r t ud€s us c o€ñ.i rn L e s d e a .b y r6 | _ | ¡r_ I =O -: ionstSutente. segúnet p¡oblena 18.el punro ppertcncce -.: ¿ : re.ta qu€ une y A, jndep€ndientem€nte de ta clección "4 o ,J¡o néla¿o, Corno Ap y pB soa colin€al€s, siendo h1y ,, :!r escalaras verifica: sc nap ! oonoe se deducer np['. o bjen, n(r-¡.) n^ nn que se ttamafarha rinérica. rr ¡ , , =
  • VECAORES ESCAI,ARES Y 20. (^4d€pos¡ción y r, derospuDto! 4 Ylllr r..1,rt !:.vc¡r9y I urt. -r.1, cf' un s6tom¡dc coor&n¡d¡3 trirrecr¿nguhr .n fudctón de tos rlctorcs unit¡rid l, l, L. (ó) D.t rminar gráñc¿y am tic¿tncnt le .6¡ o rE6ülr.¡rc dc dirrc3 r€c-roÉ (¿) ¡r =OP : oc + cB +Bp 2l + 4t + 3¡ r¡ - o Q:o D +D E + EQ t_51 + 2r - (bl Q{r,-t,2) ctófcank,t.,la rcsulratrrc d. r, y .r !. oor¡!.E 4t .!¡ ot¡soml OR dcl paralclosramo oPiO. Anan cañ¿nt¿ vtcn d^d^ ñr ¡, + r' = (¡ + aJ 3r)+(l-5, + 2¡):3t-l + + Jr quc cl r¡ódulo ,,1 vocaorA vi€de d¡do por dd A i +A J + A ¡c ca: llJ 4 ¡ 1 . Por cl t orcna dc pitágo¡as, (oP)' (oor'+@b" : er do¡deO-P et módulo vecror erc. €s d€l Op, Análosü'Ent, (oO)': (oT)'+ (iO)'. Po¡Io !¿nro.(-p)' . ro,nl. + riOy - tO¿). o A, - Al + AZ I ,ri. cadeci', : ,/ /? + 4=/l ,r ¿. Dadd lo3 v.c.or* rt : 3i-21 + t, r, : Z-4r-3r, (¿) r,, (á)r¡ + r' + r.. (.) 2r¡- 3q - 5r,. t.t lr"l ,r-¡r4+zrl = v ljt 1 - tzf +6 r,:-r+2r+2t, b¡ll¡r lo. ñódulo3 = c. (ó )q +.2 i .. = (3 r-2 ,+r ) + ( a- { t- 3t) + ( - t+ 2t+zr ) at- { J+ ot = 4t-i , Por t¡nto,l!+r,+."l = ll¡-+l+orl . /(8;7:&, to] = ,6 = *6=s,ec to (¿) al - 3.2-&3 = 2(3t- 4 +t) 3(21-r, -!¡t) - i(-t + zJ+ z¡) = 0l-4t +21-6t +tA +9¡ +í -roJ -tor = 5¡ -2, +¡. P o ror¡n to l.2 r1 -3 r ,- s,"1. ¡ r - zt*¡ l - /( R;( 8; l Dado. loj v.ctoE! f, : 21-l + t , h : ¡ + l¡ -2r, va6¡os oc ¡os c€.3lar€s¿. ó y . d0 múéra quc ¡. (# r, : -2t +l -3r, ¿rr r áf¡ r d.. = ,6=s.qz t ¡¡ : 3r * 2i * 5r, h¡[¡¡ 3r+2¡+5r = ¿(21-l+r) +r0+3t-2¡) +c(-2r+r_a¡) = (2.+b-2c)t + ({ +3ó+c).,+ (¿-2ó -3.)r. Ahoú bi.n, los yétores i, L k no son ni coplanariosni par¿telos, sc$l.nel probldra 15, 2t + b-2c:3, <+3b+c:2, o,7.b-3.:5. R e s o l v i c n d o c s tc s i s i . f¡¡de.cu¡ci o¡.s,s:--2,b:t,c:-1cútl oquor.:-24+ r¡- j Ir El ve.or r. d¿pcndclínealrurr¿ dG los vccrorts rL r, y r.; cn otru pal¡bras, ¡,, r,, rr y ¡., forn¡n sist€r¡a dc vcctorcs l¡r¿¿,r¿nte ¿lepeüleúe. Sin .mba¡go, tres (o renoo d. cao3cuatro v€cror€¡ son ñ.nte in¿.p.a¿ientes. ED Acncral, los v<.rorcs A, B, C, . . . sod lincaLEnto defEndbntes si .risten u cohjulto dé a 4 .,...,n o to d o s ¡¡u l o s ,d e b a¡cr¿que¿A + óB + .C + ...:0,c¡tcásocoD tr¿;osonl i
  • VECTORESY ESCALARES L II ü¡ !.rcto¡ udtario con la dircc.iór y sentido do la rGulranL dc los €ctores r, : 2l + 4¡-5L, úÉ *:i;2i+3 I. ¡rs¡lt¿¡tc R : !+ 12 = {21+4J-5k) + (r +2j +3}) = 3i + 6j _ 2[. For lo tanto, un vectorunitario .on Ia dire.ció¡ y sentidodé R es! Comprob¡ción r3. + 6, : lir tr q + ln l = l ¡r-o¡-z r,- /o7- tat' - , . - = t . r. ¡ 31+ 6i - 2L = !, * l'l = <lf.rlf -r-lf - t. 7 6. 1 2_ 7 Ealla¡ un vetor d. orisenP(t,, r, ,) y .xl¡emo QG,, y,, d, ü€¡mi¡udo lucao su módulo. El vector dc posición de 6 1El r€ctor de posición de "P es r2 = P Q = 12- L = l ' 2 í+ y 2 l + z 2 } )- Q 1 i + r]+2,r,) = l'2' + l ra - r!)i + (2 2 -,,)h. ' 1 t Obervesequccat€módulono caotra cosaquela distan. cia e¡tr€ los puntosP y O. ¡. Sobreu sólido actúa¡ trÉsfu€rzas B y C que,e¡ fu¡ciód dc suscomponcntes, A, vieneÍ dadaspor las€cuacio¡€svectorialca : ,1ri + AJ + A¡, B:¿,i + 4¡ + A,r, C: C,i * CJ * C"x. Hallar el módulo de A b tue.z¿resült¡n¡c. B Fuer¿a ¡c3u¡t¿nlr = a+B+c: (/4r+41+c1)t+ (42+82+c')t+ (/3+8.+ca)k. = Módufodc la rcsulrante ffi Este r€sül¡adose puedegÉncraliz¿r fácilment€al c¿so de varias fue¡z¿s. tl. Detcmi¡a¡ 1o3 áogulor.! P y / quc cl v.ctor r : xi+r4 +rt positivosdc 1o3 decoo¡denaal¡s, y cjc,s _ lorma cotr los scntidos co8!a+cos"É+cos¡?=1. El triángülo O?lPde la figura ca¡.ctánguloer ,r; por lo r-t" *" " tri¡ir$los ñcrán{. ft Análogrm.nte,d. 106 t , : I v c,o s/ = ,,, "o, 1.. --. rcspetúvaÍren&, Asimisrño, r, - r : /t't yt r or lo ur nt o , o 3d c /.c o 3 p : .,c o s y= -i , alcdóDde se deduc.n loc valor€s dc los ¿n8ülos o, f y / pcdidos. D€ estls c¡prEiones se obti€¡¿ ¡ulG OdP y OCP s! deduc¡¡. {osia +cocr+cos'/ _xt+r'+2' :1. ¡63 ¡¡¡¡¡6¡6¡ ¡6s z, cos f, cog ? !€ llaman los .or¿roJ dtr¿.tores del rf;¡tot OP, t, DctcrmirA¡ rm con uúto dc €c1¡acion.sdc la rccla quc p¡sa por 106punaosP(¡¡, ¡, z) t Q(4 !6 d.
  • VECTORES Y FSCALARES sL¡rqyr.106v.ctort dc Do3iclón Py O, tspetiv¡dc X ment , y r .l concpondic¡rt ¡ un punto EÉnérico d. l¿ rectaPO. rr o bisr¡,PR = t -rr rt +PR rt+PQ o bi.tt, PQ : rr - ¡r -r} Ahor¡ bicn, PR : ¿PO,lkndo r un c6calar. lo tento, Ibr yrctorial d. h r!c-ta" r-¡r : (!' - rJ qlrc es l¿ óc1¡!cióú En coordonadas Iectangularcr,co¡no r-: ¡l + , + .t, . . rrl + t r¡, ' t llr2 t . r2 t . . 2 ¡) - (¡rl . t 1 t ' ¿ r¡)l kl'lr-¡¡)-{¡rl = t lt ' 2 + 9 a -t )t + k 2 - z r' t rl (¡-¡r)t+(r-t)l+(' -, r)¡ ';,t (¡on lineal¡Eerti¡drp.ndi.ntes), s.gún.t Cúro l, L t Do ror coplan¡rioc pardcloc ¡i t-r - t(yr-r), ,-4 - 4-z' de l¡ rcct¡, si6do , el psráúfro. Elii r !6 obtidi., f-tt fc- ,. (¿) definidopo¡ {(¡, /, z) 3¡': - .ry' + 5, haÍ¡r .l vdor d. { €o lós punüor (0, D¿dod cúipo g€calar - (b,(t, -4,2r, (c)(-t, -4, -3t. = (¿) C(o,0,0) 3(o)2 (o (o x o f + 5 . 0 -0 + 5 6l Q6,-2,21 = 3{rffl}- (1)(-2f + 5 - 6 + 8+ 5 = 19 = 3(-1f(-s) - (-¡)(-2f + 5 = --e - 8+ 5 = -12' (c) ó(-r,-z.-i) $, R€Fascnt¡r ¡¡áÍ!¡rste lo! si5¡i.[ta3 c¡spo¡ vlctof¡sbai (¿)v(¡,r)-.d+/r, (ó) v(ar: -¡t-r,|, (¿) v(.r,/,r)-.l+ ,i+*, (¿) En cad¡ F¡nto (r,r), cr(6pto d .l pun¡o (0, O dcl pl.no r/ ..tÁ dd¡ilo lm r¡dor ún¡co ¡I + nódub y'FT¡', cuya rtiÉcción Dasapor .l ori¡ar y *r.ido ¡!.j¡¡dos dc é1.P¡.d .iopli6 rnétodos3¡áfico!. obs¿rv.ñro! qua lodos lo¡ v.ctor6! ¡sociadoi o lo¡ ltuntos do l¡! c r.un¡ cl rÉprclontado c.¡npo tt + lt a', .o¡ a > 0, ti6n n d. Dodulo ¿. En ls Fig. (¿) 8p¡¡oéD -a c1¡asüótr uD¡ drtcroí¡¡d¡ clcal¡. ,

    VECTORESY ESCALARES l3 t¡4 F, cste caso. c¿da v€ctor cs i$ial y opr¡csro ¿l co¡rqlpordiente de (4). En la Fig. (ó) se ¡epr$€nta .l c€mpo rEtorial en cuestión. En l¡ Fig. (¿) cl cafipo ticrF cl asp.cto d€ un flüido qüc cmerg. do üna fuénre puntu¿l ¿n O, siguiendo hs dire.c¡ones y se.¡tidd qu€ apa.€cen. Por 6sta ¡arón el @mpo sa lla¡n¡ dc tipo ¡uehte puntual. En l¡ Fig. (á) cl c¡mpo parecc fluir hacia O, por lo que sc llad. de ripo r4ntil¿¡o Dunlua,. En el espacio de t es d¡mc¡sioncs la interpfctación co(€sponale a un ffuido que eúor8e (o d$¡gua) Edialmente de ü¡1afu€nte fo sumid.ro) line¿1. El campo vecto¡ial s¿ ll¿Íu bidirEnional porque cs indcp6ndiente d€ ,. It4 Corlro et módufo dc c^da e.ctor.s /i¡lir, todos lo5 puntos de l¿ sup.rficie esféric6:1.+ /, + z' : ¿:, con a > O, tiend el mismo vcctor d. posición €uyo módulo es, pr€cisamente,¿. Por co¡sigüiente, .l campo vectorial prqs€nta el aspccto de un fuido qu€ en€r8e de üna fülnte puntuat cn O segt¡n¡od¡s l¿s dircacioncs. Es u¡ ca¡npo d! t¡po /¿¿Ír, puntual cn tr€. dincN¡oncs. Problemas propueEtoe JK y (¿) E¡dc lar ÍraAnitud6 que secitan dccir cüálcsso¡ csc¿lar.s cuáles vectoriales. Enc¡glacinéticá,(¿) inten(t irád d€l campocléd'ico, (c) entropfa,(d) trabqio,(¿) fucrzaccntrírus¿, tcmpc.atur¡,(a) por.nc¡alsravilaerio, (r) carga€lódnca,(l) esf¡¡€rzo corrante, frecuencia. U) (c) (/) (ó) (d) (s) (}) (, sot (a)esc¿l¿r, vectorial, esc¿lar, .sc¿lar,(¿)vccto.i¿1, cscalar, cs{:¿lar, .sc¿lar, €ctorial, U) es.alar. i r L_n av¡ónrccon€ 2m km haci¡ €l O.st€ y luelo lJo km Oestcó0' No.tc. Ha lr) erÁf¡.¡¡n n&, (¿) anali¡icam.rte. iof. Módülo 304,r knr, dirccciónr sentidoOesre25'17' Nortc. lazamien¡o r€sulCmt€ Hallar€l dcsplazañ¡c¡to rcsultant€ los sigui€Dtcs: 20 km Estc30" Sur; B, 50 krn háciael O.6to;C, A, de { tm h¿cia Noresk:D. l0 km Cresl. Sul el 60' lr¿ Módulom,9 km, dir..rión y sentido Oest¿ 2l'39' Sur. Dcmost¡a.sáñcrt[Ént¿ q¡¡e-{A - B) : -A + B. Sob.€tln sól¡dopr¡nt¡al en P actúanlas tres fuer¿s coplanaria!qr¡€mü€$tra Fig. (¿). Hall¿. la fuerz¡ qu. la .s ne.csarioaplic¡r cn P para mantcDcr ¡cposoal sólido dado, €n So¿ 323lV di&crarnrntc opuost¿ la de i 50 ¡ú. a D¡do3 1o3Écton3 A, B, C y D Épr.sertadoó dr le Fig. (ó), construir ol vcctor (?) 3A - 28 - (C - D) ¡r; c + ; ( a - B + 2 D ). t I I k I
  • l4 VECTORESY ESCALARES 31. Sea ABCDEF los v¿rlic€s de un s(ágono regular, halla. Ia result¿nte de las fu€rz¡s reprEs@Éq¿s por vecto.€s AB, AC, AD, AE y AF. S¿/. 3 AD. 38, siendo y B dosv€ctores A dcmostrar d.siguald¿des(¿) + B I= la l+ lB ¡,(ó)l las lA -B l¿ tA l- 39. Demostr¿rl¿ dcsigualdadI A + B + C I S I A | + | B | + | C l. /¡0. Dos cindades.! y A e$án siruadas üna frente a la olra en las dos o¡illas de una ria de 8 km dc archo. si€nd velocidaddel aguade 4 krn/h- Un hoñbre cn ,.{ qui€reir a Ia ciudad C que seencuenha 6 kn aSuas a de, y en su misña ribe¡a. Si la €mb¿rc¡ció¡ qu€ utilüa tiene u¡a velocidad ¡¡áxiÍrz d€ l0 km/h y d.3.. I a Cen €l menor tiémpo posibl€,¿quédir€ccjóndebetorEr y cuántotiempo emplea.¡ conseSuir s- s¿/. Deb€seguir un¿¡rayectoria rectilln€a formaddo ánsulo 34'28'conl¿ di.€eión dc l¿ corri un de I h 25 min. 41. U¡ hombreque s€ dirige haciacl Sur ¿ 15 km/h observaqüe el vierto sopladel Oesto. Aum.nt¡ su a 25 krí/h y le pareceque cl vicnto sopla del Suroeste. Det€minar la v€locidaddet vi€nto asi como su d s¿/. El vionto vien€en la di.€cciónOeste56'18'None a 18 krn/h. 42. U¡ sólidode 10ONdepesopende dclcentrode unacu€rda como se obsera en la figura. Halla¡ la tensión 7 en ;a ,sol. 100 N. ,t3. Simplifica. la expresión + B + 3C {A - 28 2A (24 lB C)1. So/.5A-38+C. 2 y 44. S€an y bdosveclo.es distinta a de dhecciónA : (¡ +4/)a + (2x+ / + l)by B : (y-, + 2)a l2x-3r- l)b. + Hallar los valorcsd. : y d€.y d€ maneraquc 3A : 28. So l . r:2 -r:-t. l mN ¡¡5. EntE lc vatores d€ las bas¿sde dos sistetl6 de coordemdaE s,, ¡, rr y b,, b,. b, €xist n las rcl¡cionca ¡,:2h + lb'-b¡, E¡p.esar €l v@tor F : 3b, -br ¡':b'-2h+2b', &: + 2b, cn fu¡ción de r,, s", s". 2ü!+|''-2b, Sot. 2¡' + 5.' + 3¡¡. no ni det€mi¡arsi losv€ctores : 2r - 3b + c, r¡ = 3¡ ¡¡ 4ó. Seá¡¡, b, c iresvectores co!,lanarios paralelos, + 2c,y 13: 4a - 5b + c sonlin.almente independi€nles. S¿/. Comoseve.iñca r€lación : 5r, - 2¡,,solrli¡e¡lmeÍteindep€ndientes. Iá r. 47. Consruir el paralelográñodadossusvcctor€s diagonales y B. A 48. Demostrarque la rect¿que une los puntos mediosde dos lados de un triángulo es paralelaal t.rcar igual a su rnitad (paralelamedia). 49. (¿) Demostrar ¡gualdad Ia vectorial + OB + OC : OP + OQ + OR, siendo un punto O O^ interio¡al 1riá¡sulo ,4rC y P, 0, I los puntos d€ medios los ladd ,rr, ¿C, C,{, resp€ctivsment€ (ó) ¿Esci€rta la igualdadsi O es Lrnpunto exterior¿l triáneuio d¿dd?Demostrarlo. So¿ SI. y 50. En Ia figura adju.to, ,44C, es un'paralelog¡amo ? y O los puntos m€diosde los ladosrCy CD, respeclivame¡te. Demostrarque ,{P y,{O dividcn a la di¿sonalt en tres partes iguales m€diante los puntos ¡ y ñ 51. Demostra¡qu.l¡s ñedianas de un triánsulo s. cort¿¡ en ür punto. que e llamá baricentro, a l/l del lado y 2/3 del vértice opuBto s8ún cu&lqu¡era de cllas. f¿. Defilostrd qü€ las bis¿c¡.iccadc 1o3áncrtlos dc u¡ triiá¡gulo s co¡td en un puDto, quc 3allá¡¡ra ilrccDtro y @ffesponde al c€¡t¡o de la circunfcrcnci¡ ioscri¡a al a¡á¡gulo. l* 53. Dado un lriángulo cu¿lquicra,d.morrar quc exist€otro triángulo cuyos lad6 son iSualcs y paralelos a la! ñe dianasd€ aquel.
  • VECTORESY ESCALARES por otra S.ú t y q los y€ctores de posición, ¡especto ale u¡ orig€n O, de los punros P y 0, respecrivamenre. trE, 3.a R un punto que dividc al segr¡rentoPO on la rcl¿ción a : r. Demoslra¡ que e¡ v€€lor de posición rD -f ¡¡q ' t viÍc dado por r in&p€ñdicnbenentc del oflsen elesido. ; ;: :I- t o r¡, !., ...,I, los vectorcsalc posición!respeciode un oigen O, de las rnasaspu.tuate52,,, ah, .,., n,, .E5Í.íivamcnte. Deñostrar qu€ .l vector de posición del contro de nasas vi€ne d¿do Do¡ :l |liat Ls.a ñ7r| + ñ2r2 + ,.. + nn n rod.p.odiontemcntldel origon elcgido. Í. E¡ Losvérticrs d€ un cuadril¿tcro,A(-L -2,2r, D(3,2,-l). C(t, -2,4t. y D(3, t,2), se colocan.nasa3 é l,2,3 y 4 unidades, respectivamcntc. Hallar las coordcnadas cenl¡o de masasde dicho sisterna. del 5! ¿ _ ( 2, 0, 2) . !f- r; D.f,osuar qu€ la €cuación do un plano que pas¿ por lres punlos dados ,-1, C, no alineados, d€ veclofes dc ¡oslión rcsp€ctivos r, b, c resfrecto de uD oricpn o, viene dada por ¡ p.+,b+pc rl. l l i . l. _ L . l* , ] * l^ -l ) L i + : Comprobarquedicha€.uaciónesindependi.nlcd€l o¡ican-elegido. / ¡¡¡do ,1, tr,p esqlarescualesquicra. , ' i¡'Lo.v€ctorcsal€posicióndelospuntosPyOso¡,r.spcctivameóle,r,r-2i ]j3l+k,y¡,:4'i:lj+2k. PQ de so/. 2l-ól +¡k,7.' Derermina¡ v€ctor en función i, j, k y hallarsu módulo. €l h"i"*' f B = -2t + 4j 3k, C: i + 2J-k, hall¡r Seo¿o ¡.::¡-l-4k, unilarioconla {') 2A - E + 3c, (ó) | A + B + C l, (c) I 3A - 28 + 4c l, (d) un vecto¡ e.u (.)/lss = 19,9t ,^la d€f3A-28+4c. Sor. (¿)lti-sL lbt ./ü 28+4C t9.95 F,:2i + 3j-5k' F en las 1sobrc un sólidopuntual P actúan fuerz¿s -5i + J + lk, F,: i -2j + 4k, (¿) r. : 4t - 3i - 2k, riedidasen n *tons (N). Hallar (¿) la fuerza¡esultante, el ¡nódulode dicharesultante. sol (a) 2t- L Q2,uN. si dados o no lin€almente son ¡ndependiontes determinar losvector€s ¡- En cada unode losdoscasos sigui€ntos, : i-4I'C = 4i + 3j k'(ó) A : t-3i + 2I'B : 2l-4j k'C - 3i + 2i-k. A 1d) : 2l +l-3lqB (ú) Sor. (¿) line¡hut dcpendientls, li¡€alEnre indep€nd¡entes. d€b€nser linealmentcd€p€ddi€nl€s. cn C- Demost.ar qu€ cada cuatro vectores ües dim€nsiones g- Dernosirar la condicrón para¡¡uclo3v€ctores : ,41i /¡l _l_ B : 4i + ¿,i + ,¡k, que A ,'1.k, ¡ec$aria y suficiente + lt si. li, !",1" que es ina li¡ealmentc independieñres cl dererm nr€ c:c¡l+CJ+csk, sea¡ lál i, i" | '*al't.t"cccero. los que iEctores :3i +t-2k, B: -l + 3¡ + 4¡, C:4¡ - 2i- 6¡ puedens$ lados ar (¿) Democt¡ar 106 A de sol.2.45;5't4t6.12. las de de un triárliulo,(á) HaUa. longiaudd las&€dianas dichotriángulo G, Dado el cámpoescalar4Q, 4 - 4rz' + 1ry2 -z' t, s¿r. (¿)36,(ó) ll. f- + 2, hallar(a) d(1,-1,-2),(á) /(0, -3, l). po. gráñcanente cañpos vectoriales definidos los Repre¡cntar =/l (¿) v(!.r );r¡ -'J . (ó)v (t.r) -rj , ( . ) v ( r . t , , ). ##3
  • Capítulo Productos escqlqry vectoriol PRODUCTO ESCALAR O INTERNO. Dados dos vec¡oresA y B, sr¡ p.oducto o int€rno, A' B, s€ definecomo el productode süsmódulos por el cosenodel ángulo 6 que Por lo lanto. L,B - AB cÁrs9, OS0=" que A B es un escalar,un número,y no ün v€clor. Obsérvcsc del produclo escalarson: Las propiedades ¡. A.B = B.A 2, A.(B+C) - A.B + A.C 3. a{A B) - (nA) B - A (ng). Propiedad conmutativa del P¡opiedád dislribü1iva productocscal¿r ¡espccto la suma. de sie¡Jo ,, un cscalar (A'B)' 4. t.l = j.j =L.t - 1, 1., = J,¡ = l.i =0 A y B = 8ri + AJ + 8.t, S.Dados = 4t+lei+4t AA A'A =a 2 =a 2 +Á '+a 2 B 'B sev€rifica, = Ag, + A,B2+ 483 = a ' - n i+ a i+ a i ó. Si A'B : 0 y ninguno de los vectores nulo, ambosson perpendicula¡es. es PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO. Dados los vectores y B, su producto A e,(tcrnoes otro vector C: A x B. El rnódulo de A X B es el produclo de módulos por el seno ánguloI que forman. La direccióD C - A ),8 es la p€rpendicular plano que fo¡man A y B, y dc al sentidoes tal que A, B! y C fornun un triedro a derechas. Por tanto, 'o A xB -,.{3sen09, 0303n siendou un vector unitario que indica la direc.ión y sentidodel prodüclo A x B. Si A: si A ti€nela mismadirecciónqr.¡e sen0 0, co¡ lo que A x B 0. B, - B, o Las propi€dades producto vectorialson: del .1.axa - -BxÁ 2. Ax (B +c) - AxB + Axc 3. n(AxB) = ('A)xB 4, i x l = j x j = k rk (No goza de l¿ pfopiedad oonmutatila.) P ropi edaddi stri bul i va del product o vcct or ial respecto l ¿ suma de = Ar (DB) = (A x B )n , si endo,) uD cscal ar. .0, 5. D a d o s A = l 1 i + Á; + ,k l xj = k, r j xk-i , k:i = j B - B i i 1B ,i + 4k, l6 s¿ ,cfi ri c¡.
  • PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAI itk a1 A2 A 3 = A tB L7 B1 82 B. '] _ de El roódülode A x B repr€senta ár€adel páralelogramo lado A y B. el es Í A x B - 0, y nirguno de los veclores nulo. ambostjenenia misma di¡ección. IIODUCTOS TRIPLES. Por medio dc productos escalaresy vectorialesde tres vcctores, L 3 c. s€ püedenformar p¡oductosde la forma (A-B)C, A'(B x C) y A x(B x c). se vcrific¡¡ |¡qicdades siguientes: : '{r. B) c + A( 8 . C) de : -r.(B x C): B'(C x A): C. (A x B): volumen un paraleleplpedo dearistas By C A, o .Dn signopositivoo negativosegúnquc A,By C formen un triedro á dereohas ¿ izquierdas. B:4i +4l +tL y c : qi + crj + c¡' s A :,11¡ +,r'i +,{g|(, A1 A 2 A 3 A .(B xc) = 81 82 B. c! c, c. (El producto vcctorial no goza dc la propieded asoc¡lriva.) :- ,^x (Bxc) I (Ax B) xc ! -4' (Bxc) = (A.c)B-(A.B)c 'i-{xB)xC = (A.c)B - (B.c)A q producto A . (B x C) se l1¿Í]á tt¡ple ptoducto escalar y se rep¡csenta por [AnCl: El producto ,l x C) recibeel nombre de liple prcrlLtto vectoríal. ¡¡ el producto A .(B x c) se püeden omiti¡ los paréDtesisy esc.ibi¡ A 'B x c (Problema 4l). los 29 ábargo, €stono se puedehacaren el producto A x (B X C) (véanse Problcmas y 47). S¡STEMAS DE VECTORES RECIPROCOS. Dos sistemasde vectores¡,b,c ¡' ¡' C .¡ - a ' .c l b'b'= c ' c' = = b ' . a = b ' .c = c' . a = c' .b y ¡',b',c' = 0 l¿ condición¡eccssriay suficie¡tepara que los sisteúasde vecloresa,b,c y ¡',b',c', , a bvc t 0. b /c i. bx. c va (problernas 53 y 54) r,": - ; f . i, l ¡ sc i" 1 -= -J seanrecl.
  • ':-=- IE ?RODUCITOS ESCALAR Y VECIORIAL Problema¡ resueltoe PRODUCTO ESCA¡JAR que l. Deftostr¿r A.B : B. A. A.B:/Acos0:A/co€0:B'A Por consiguiente, productoos.al¡r gozade Ia propiédadconmut¡tiva. et 2, Dcmosúarqw A.b cs igual ¡ l¡ proyección A sobrB dc B, siendo el véctorur¡¡taiocn Ia di¡Ección senr¡do B. b de v Co¡üo indic¿ la fisur¿, los plaros pcrpe¡diq¡lares ¿ B trazado3por €l origa y cl ¿lt¡€mo de A corr¿n a aquA Gnbs puntosG y ¡I, ¡.sp€ctivañ€nt€,po¡ lo tanto, PfoyeccióndcAsobroB:Cn:EF-Ac¡60:A.b quo 3. DemostrAr A.(B + C):A'B +A.C, -i i | 'r---.-á 54¿ ¡ el v.4tor ünirario en la dir€c¡ión y s.ntido de A, Proye4ción (B + C) sobreA : proy€cción B sobr€A de d€ A + proy€.ciónde C aobre (B +C ).r :B r + C.¡ Multiplicado por ,,1, (B + c) ,!¡ : B ' ,,{¡+ c . ,{s (E +C ).A:B,A + C,A Teniendo m cü.nl¡ !¡ propiedaal conrhubriva dcl prodr¡cto A .(B + C) : A , B + A . C luego .l produclo esc¿lar goza dc la propicdad disiributiv8 f€sp€cto de la suma. qw 4. I}mostr¿r (A + B),(C + D) A.C + A.D + B-C + B.D. = A . C+ A . D + B C + B ' Dolproblena(A + B ). (c + D) : A . (c + D)+ 8 . (c + D) 3, Luogoel productoe!.ala¡ sozad€ la propiedados ágebm ordin.ria. del €s.alarcs 5. Halla¡los prodr¡ctos siguié¡rbs: r'l r.r = l rl l rl (ó ) l .I j ll L o ' = ( l) { r ) ( 1 ) 1 -. s 90- - (l )(r)(0) - . 0 co r.l r.l . l.l lll . m ' = ( r ) ( r ) ( o )o = -3 (d) l.{2i-3J+I) =- " l-3J.J +l.lt = 0-3+0 2j (¿) (2t-l).{3i+I) = 2l . (3r+ r.)- ,. (31 r) = €l . t + 2t. | - 3l ' I - ,' t = 6 +0-0-0 + l l, ,6.)i -,/ q. B = 8,t + 4i + 4k, deinostra. ^.R +,t.[).(ali +a2j+83¡) A,B = (¡11+,42j A = A,r+ A,t + A¡ y = 6 = A$r+ A2B2+ Az + ,,{1t.(alt 8J +a3[) + 4J.(¡1r+8+4r¡) +,a!t.(8rr+¡,,+S3k) + Arqrt + 1B'.r +,%r.r + a,BJ-t + a2B2r,, 4831.¡ + A.B!r't + 4B2r'.t + ajB.r'
  • PRODUCTOS ESCALARY VECTORIAL l9 = A&r+ /t282+ a.B. csc¡lar€s nulos, son r F i. i = I' j : k. k - I y todoslosdcñft produclot : /-A'J,+,+,1'. q¡¡,r : y'T.r +,{t, + .r'r, ricooctr¿r A ' A (,1)(,1, co3a' = A'. l"tryD, A - yti A. Ta.nbién, A.A : (/tl +,rJ + A*),(Ai + )tl + I,tt oA:,lri !- ' ri-''> -, ¡ : (A)(a') + (A')(A' (A)(A,) Ai + ,ti + s" + - ! It Foblefna 6, ton¡ndo B - A. lo-¡ano, ; : VT .r - /4:+ / elrtódulo d6 A. AlsünasvÉces A.A 36 rcp$s€nt¿por A.. 4+4es ¿ - ¿'6 a foÍn¡do po¡ losv€ctorcs : !i l2r-L E rhr et ánsuto y a-6i A" - ü '1 -tt-?' AR.60, ,t - /6 +@¡ eÚ : t, B + (-3r' + (21:1 ^.8: : (2)(O e)(-3) + (-r)(2) : 12- 6 - 2 = 4^//(6r' + ^.8 Por r¿nto, - +P : óOr: f ro co!, = o,uos.a. * t s¡ A . B : 0 y ,1 y ¡ so¡ dbtintos dc cÉro,demolr¿¡ qu. A cap€rlendiculara B. Si A.B :,{acor t - sir 0, mtonccs 0 - 0, osóa,0:9O'. Reclprocament€, cos - 90', A B:0. a-Ha.ll¡r.lv¡lord.¿dcform¡q'¡cA:2i+d+ry8-41-2¡-2¡s€¡np.rpcrdicul¡¡t6. l' Del probleñ¡ 9, A y B ton F¡p€o.liorlat6 s¡ A 'B = 0. (2)(4) + (d) (-2) + (I)(-2) 8Por lo t¡Dto, A'B - t l* quc tt. DÉúostra¡ 106 itaiolü A:3i-2r+k' 2o-2 B:l-3r+5k' - o,.lG do'tdÉ,¿ - t. C:2i+¡-41 tonn¿nün triángr¡lo Dcmoatremo., prioar lüg¡r, quo los v.clor$ for¡Bn triángülo. on ¿ B'D (ó) (¿) ls i4Fur'¡ que De las ngr¡ras déduc¿ ello ocü.re si 66 i i. ;1 t.- ¿ L (¿) uro.te los r€ctorcs, por cjdnplo (3), €s la ¡¿sultá¡t dc los otros dos (1) y (2). (ó) I¡ Esult¡rl. dc los vcctorB (l) + (2) + (1) ér cl vector nulo. Co¡no i¡di@ lás figurás, pued. ocuri¡ quc doc v€ctorB tcnlM cl €sctmo cotntrn, o bien, quc ninSuno de los extrE nos co¡ricid¿n' Er ¡u€st.o ca¡o 6 t¡ivial qu. A : b I c y, por lo tanto, los v.ctore, forfná¡ triá¡8¡tlo. .J, ] I coño A . B = (3)(l) + (-2) (-3) + (r) (s) : 14, A . C : (3)(2)+ (-2) (l) + (r) (--4) : 0, y B'c:(l)(2)+(-3)(l)+(t(--4':-2l,scd.duccqueAvcsoÍperPendicular$vqueelkiánsulo. es r€cEnsuro.
  • --'-'-'-ESCAIAR Y VECTORIAL PRODUCTOS quc forma el vecrorA : 3i - ó¡ + 2k con los ejascoo¡denados, _rá1, Hallar los ánsulos Soano, É, / los ángülosquefo¡rñ¿nA con los somicj€s positivos¡, /, r€sp€crivañenrc. ", A t: (A)(t) cos = ",/ a¡ 11-e¡ 1 1z¡ cosa : 7 coso a A.¡ :(3¡_6i +?k).i : 3i.l_ój.l * 2k.t : 3 Porlo t¿nlo,cosd : 3/7 : 0,4286, dond€ : 64,ó.r a d. aproxim¿damente, Análoraft€nt€, É = -617, P : I49",de donde. y : 217, = 73,4o. cos cos r Los cos.nosd. d, B,y ,,3¿ llatuar,.osenos dircctotetde A (problerna Capíaulo 27, I). del J 13. Halfarla f'rorccción ilctorA: t-2i la deB:41-4i + k sesún di¡ección Elv€ctor udr¡'ioen dif.cción ra dc r sertido Be b: f : + jk, f, r- f, ; + !*. iaffi- proyección sobn vécror : A. b : (t- A + D. dca el B (+t - +t + +k) - or(f)+t-a(-*) nor(l) :'r1 :''" ,,/4. o"¡n**, .l t€or€rhaitel cosenoile un t¡iánsulo €uarqu¡e¡. En la Fis. (¿) inferior, B+C-/{, Lu.go c. c: o bi€n, C : A-8, (A-B).(A-B): A.A + B B-2A.B cr: Ar + B. _L1Bcos0. AU Ftg.(d) .)rs-Dedlostrar Fl¿. que las diiasonalas do un rombo son perpendicula¡G. oQ...OP+PQ-A+B oR+RP -OP, obie¡, B+RP:A, Luoso oQ-RP: (Fis. (¿).) dedonde, RP:A-B (A + B) (A-B):,{:-a!:o. yaqueA:B. Po¡ consieuie¡t!, Oq ¡s pcrpendicula¡ Rp. a -/ 16. Hall¡r el vector u¡ritario perp€ndicular at plano formado por A : 2i - 6j - 3k y B : _4i + 3j - k. Se¡ C = .rl + c't J- cak un vector pe.pendicula.&l pl¡no form¡do por A y B. El vec(or C €s p€rpend i c u l a ra A y a B . L u .e o , I ¡ tf l' r ¡41 ü.&. C'A 2c,-6c, e .B:4.¡+ 3.r- 3.¡ : 0, o s€a, (1) 2¿, 6., : 3., c,:0, : o sca, (?) 4c, + 3c¿ cj
  • ESCALARY VECTORIAL PRODUCTOS ffi¡do.l ú4r .r ¿, = _ !" ; , d i.ctor un¡lario en la di¡ec.ión y s€ntidodc C es y sircma romado por (.¿) (2): q = c c . = ""rlr - |; - rr. ¿3(;r-á,+¡) ."'trlf.r-{r+rrf) &.t l¡abaiorBlir¿do po.la fuer¿a F:2i (Fis. (¿),) f: r:?i-5r. 1 (; ¡ -; l + ; r). I . ¡ ¿J ,f. un -l - k al desplazar sólidopuntual lo larsodelvcctor a Tabajo Ealizado = (nódülo de la fuez¡ en la dirección y sentido dol movimiento) (d.splazami&to) :(rc o s ,)(/)= F ¡ : (2i- j-k). (3 r + 2 j_ 5 r) - 6 '2 + 5 : 9. 't,') E lbr la ocu¡ción pla¡o p¿rpendícülarr€ctorA : 2l + 3j + 6k y qucpssapo¡ el extntfio det v€ctor del al (r),) f: i + 5¡+ lk, (Fig, Sear el vector d€ posición del punto P, y O cl ertrerho de Bp€rDondicula¡. ComoPQ: B-..s A,(B-r).A 0, o s.¿,r.A - B.A cs ta ecuación vectorial ¡H plano buscado. coord€¡adas En rc.tangula.es, (ri+/,+zk) (2¡+3j+6k) : (i + 5 J+ 3 k )-(2 i+ 3 j + 6 k ) : 2x +3r +62: O)(2)+(5)(3)+ (3)(6) 35 En cl probleña 18, hall¿r la distancia del o.iepn ¿l plano. La dista¡cja del oris€n al pla¡o os isual a la proyecaión de B sobre A. El v€ctor unit¡rio er Ia dir€ccióny senridoa rcAes¡ = A = 2i ' 3i | 6k : 2 + ^ )= Jo¡, *.ir, |-i 1:ia;-t. 'rd" proyección Lueso, dcBsobreA B .¡ : (i+5j +3 tt'(2111*3171+617t(2/7)+ 5i3/?)+3(ófD:5. lSicndoA un vcctor cualqui€m,demostrarque A : (A Di + (A j)l + (A . k)(. Como A:,4¡i *,4,i * A,k, A i= A;.1+ Ai.í+ A,y.i: y A.¡:r! A¡áloga¡rert€, l:,r¡ A Lueso, A .= lJ + ,lJ + ,,{,1: (A , i)t l- (A 'u + (A 'k)k. Al ...--
  • 22 PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL PRODUCTO YECIORIAL qüe 21, f,)cñostra¡ A x B: -B x A, Flc.(ó) E l mó d u l o d e Ax B:C e s ,4A sen,ysudi recci ónysenri dosonrai esqueA ,B yC fo¡manu nr ied¡ (Fig. (a)). a derechas Elmódulo deB x A: (Fie. (,t)). a izquierdas Dest4 sendy su di¡€ccióny sentidoson talesque B, A y D forman un triedn Por lo tanto D tiene el mismo modulo y dirección que C p€¡o 6 de scotido contrario, es d€ci¡, C - -f) o s e a ,A x B :-Bx A. El produclo vectorialno goza de la propiedadconmutativa. ,/r2. Sicndo A x B - 0 y A y B no rulos, d€mostrarque A es paral€loa B. S i A x B :á 8 s e o 0 u :0 , sc ti erc, sn 0 :0 y 0:0' ó 180' . r . r 23 . D e mo s traq u e lA xB 1+ AxBl+ A' B:: A .B i ¡:l A ' B ¡. ,4, s€nÚu ' + I ,44cosÚ : ,a' t' : l A :" i B r¡ /l¡1. Hallar los produclosvectoriales siguientesl ',. = *. (ó ) j x r, = ¡ (f) j xj ,l c ) ¡x j (.) rtt = J (d ) k x j = -j x l re .¡!j -0 = -l 0 (s) rx¡' r= -rxi - -j : 6l (¡) (2j )x(3h) 6j xl = 6J (i ) (3i )x(-21) = -6l xk I 2l l i -31{, ,-/2s.Demorrar que A r (B+c) : A x B +A x c en aBy r -- ..lcasoeóqueAesperpe¡dicülar támbiéncuando lo seaa C. Como A es perpendicular aB, A x B es un vector perlendicular al plano fo.mado por A y B y cuyo módulo es,jA sen 90' : -lr, o s€a,el mód¡lo de ,{8. Estoequilale e mulriplic¿rel lsror B po¡ I y girar el vcclór resulranteu¡1¡¡8ulo de 90' hasta la posicióÍ que se indic¡ en l¿ ñgura. Análos¡menle,A t C es el vector que se obtiene mL¡lliplicando pof A y gi.ar el vcctor rcsult¿¡te un C ángulo d€ 90' has¡r l¿ polición indrcadaen la figura. -2t-3[ --5r
  • PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 2t úisa forma, A x (B + C) esel vccto¡ qr¡. s¿ oblicne al ñutr¡plicar B+CporAygir¿rcl Éhante un ángulodc 90ohast¿la posiciónind¡mdaen ta figu.a. CE A x (B + C) es la diagon¡l del p¡¡alelosrsmo cuyos la¡os sonA ^B yA C . se deducó, ¡.C:O:AxB+AxC, M ú qw A x (B+c) :A x B +A x c enel brÉ¡r h - c¡ qüe A, B y C no !€an coplaDários ni para- !ú¡l perpendicuD6.omporiendo B en sw compon€ntes, haA, Br, y paralclo A, B , seticns,A: Br * 4,, ¿ | ¡-ñ-rdo, alángulo fofli¿doporA y B,rl -a s€n r. k lo tanto, el módl¡lo de A x Br €s ,,{, sen¿, es decir, a¡r q!¿ cl de A x B. lá dircc.ió. y scntidodc A x B, E Eñbién la mbm¡s qu6 l¿s de A . B, Por consiti¡ic,AxBr:AxB. A¡á:logar¡rente, 3i se descompo¡é C e¡ los v€ctorcs lc y Cr paral:lo y F¡pendicul¿r, r€sp€c{iv¡ñcn@, a A, robt iene, A C r:A C, (B r+ c!) + (B r,+ cr,) sededK €, T anbien, c omo E + c = B¡+ B l + c ,+ c Í (8 1 +c t) = A x(R + C )' ax A¡or¿ bi¿n Br y Cr son vecior€s perp€ndiculares á A y, scaún el problema 25, Á x (B r + Cr) = A xB r + ^xC = A xB + A xc 1 ^ x (B + C ) $É cxprcs¡ qr¡€ d p¡odüc[o r€lorial goz¡ do la pmpidad disr¡ibutiva .6Fcro dc l¡ surha. Muhipt¡cando p or - l, y & niendo e n c u e n l a c l p ro b l c ma 2 l ,(B+ C )xA :B xA + C rA .Obsé.ve3€queenel prodl¡cto ve€torial h¿y quc te¡€r on cuent¿ €l ord.n d€ loq facto¡€s. Las propi€dad€susu¿lesdel átgebras€pueden ¿plicar ú¡icar¡dnie 3i s€ toman los vectores e¡ el orde¡ élablecido. I v- Si.ndo A =^1i +A2i+hk AxB : - I queAx B = 9 = Bl + B.l I R¡, d€mostrar ( r 1 i + /2 1 + ,4 t) x (Arl + A rJ + B 3 t) l1tx(A1t+A2l+r3t) AlB¡xl + qB.lxl + ,lrt x (8it + Brj I A3t) + ,la¡ x (Arl + B2j + 8oh) + Al¿€Lxr+ A2Bút1+ A28dxi + A28.txÍ + &Bkxt + qB'ttx! + A!¡€txt tj ¡ = (4,4 - A.B,)t + (h4- Ai.)t + UrB, - A2R!)k8t 't. (d) B = r + 4J- 4, hallar A x B, (¿)BxA, (c)(A+B) x (A-B). a. ll r l | /t. ) l' (21-31:*t (r+4j-2t) = l2 -3 -l ^ | 4-2 Dsdosa-2t-3J-l (o a/8. A2 B. y = + + :il - ,li -ll . - Ii -:l =,oisr 11r 'l-i 'if: , (2¡- 3t - r) x (l + aJ- 2¡) = 2rx 0 + 4j - 3¡) - 3Jx (t + 4j - 2r) - ¡ x (t + {., 2¡) = 2¡xl + Etxt - 4ix¡ 3Jxt - r2j xf + 6jxI - ¡xr - 4tx j + ztx r = 0 + 8¡ + 4' + 3r_ 0 +61_J + 4i +0 = 10t+3J+l1l
  • A PRODUCTOS ESCATáR Y VECTOR'^¿ ., ¡ I 4 = (¿) BxA= (r+{¡-2Dx,rr-rr-r, ll -21 - ,l-1 -,ll :?l' -11 ' j.-ll . -ror-o-rr:. Conpa¡¿n.tooon (¿), A x ! -B x A. ()¡6¿rr€r. qu. ato rquiy¡¡! ¿l @Éd¡ jsuirnt t Si d&EiDantc sc Ffmot¡¡.¡ür d - Í!.¡r (fiIaso coluDD.t), .l dltct!¡üim!! canbi¡ d.-tf¡no. doc (.) A+r : (21-3t:t) + (l+4J-2t) : 3t +J-31 A-l = (21-3t-t)-(t+{l-2¡) = I -lj +¡ h¡c8o (A+B)x(A-B) = (31+J-3Dx(r-1+r) . -l -'l-z I -31 -lS rl-¡lr tl ¡t . r A xA - rl* r l3 It A :l [-r+2 t, (.) =l'. j, ^'" B -2 ! + ¡-t , y It I (a). aplicendo h ¡I ¡r (a ) (A x B )x C, (¿ ) a x ( B x C= i-X + rt , t 2 = -l+ ? r+ 5 ¡. ,¡ I t¡!¡o (Axa)xc = -201 6, - 24. - . a-A rE -rtxl !-0 A xE + B x^-A rl = -2(r0t+¡r+rlD = -20r-8r-2r¡, t¡i I -!l : a x (a -B )+ B x (a -a ) (A+a) x (Á-l) Jp. -3 (-t+tl+!t) x0-2t+2r) : - r (ó) E xC - l2 r -1 ' t -2 2 - 0l-ü -5h = 2+r +1t- r l. I = -5r-5¡. l, IrE¡o AXOxc) = (U-l+t)x(-5r-5D = l8 r -¡ zl= l5l+tiJ-l!ü. 0-5-5 Ad pu.* (A x B),x C # A x (E x C} rr.in.lral¡ !.rf clib¡ .mbigi¡od¡d... ¡ar¡¡ir¡d d. t¡dülrr loraor..L c¡ A x¡ / 30. Dqr¡o.t¡¡¡ qu. cl áf!¡ dr un pñ¡lolotrá¡ro dc tadosA y¡.. lA x¡1. ¡l¡a r¡¡ p.nlclolr.Do - !E*L- - t A ls , : iB ¡ s,$¡ lA )''E-| ' i! qpc d ¡ñ d.l trl¡ryüb qr Obúrti h¡lorAy t..ilml ¡,/. I A x I l. h.A-+'¡ tinc po. ¡t¡¡l¡r .l ¡n &¡ triÁ¡&doq¡ro. v¿rtic.!lon 106 Fudor 4t, f, 4, 4¡¿ -t¡¡, 4f, ¿ f¡:, rQ -(2- r)r + (-t - 3),+ (r:-2)L- r -41- L Ia' (-¡ - l)¡ + (2- 3)l'+ (3¡:2)I - l¡-l +r -

    PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL E bA For*Eá 3,O, ui¡¡$¡lo = ¡lPe i PRI jl(i-ar-r)' ij - !l l-4-r -2 briÉ. -t l 25 {,,} (-2 r-j + k )l ; | " : l - 5 r *r - e kt = r .,G# ;1 ¡ F< - sP ¿ lw. el veclo¡ unilario porp€ndicular plano fo¡mado por A : 2i al 6j * 3k y B - 4l +3J -t. -l ! B cs un vector perpc¡dicular al plano formado por A y B, , li _6 k ,axB = -g l2 14 3 -l = 15i - 10j + 301¡ ,{Fe El vccior ünitario en la dircccióny sentidodc A x B s I rnul s.fr ur.rs "^ -¿ y/{15r+(-10r+(30)_ Fl *ctor üni.ario de la mismad¡É.c¡6n y sentidocont¡ario e$(- 3l + 2i - 6t)/7 Cc'oDarar con cl ¡€óultrdo dcl problcrna 16. Eir el teorerla de los s.nos en trián!¡¡lo plano. S.a¡ ¡, b y c los lados del t¡i¡h8ülo ,8c que 6e rlen ¡a ñgurai cn ést¿scondiciones ¡ + b + c : 0. Éla por ¡ x, b I, y c x, sucesivam€nt, s. Hiplic¿rdo ¡ x b: b x c :c x ¡ abeiC: b c s fn A sé¡ C !¡ib, C,Gidcrando un tctrecdro d. carasF,, F,, F,F., y sean r: Vb V& V. 106wcto.e6 cuyoañódulos soll, rEspccüv.son Et¿, l¡3 áre¡s ds F¡, ¿, F¡, F¡, cüyasdircccion€s Fp.{dicul¿rcs a dich¿scarasy de séntidohaci¿el .xt€' i. del tel¡aedro-Domootrarqu¿ Vr+Vr+V¡+V. = 0. seSrtn.l proble¡úa 30, cl á¡!¡ dG u¡ triá¡8ulo do rdosRyS$'/'lRxS Lo3 vectoros a¡ociados con cadaun¿ d€ lasc¿rasd.l v' ' j e'r' L uep v 1+ V 2+ V r+ V4 - y¡..r¡,c, y " = lc x e , } ,a stst¡oTrcA '1, +:+ $=1,?'.?' la(Bt D€ v 4 = á (c -a )x (! -A ) * [¡'r + ¡'c + c,¡ + tc-^)¡(B-^)] i [.r'r + r"c + c,aa* c'¡ - c'¡ - a'¡ + ¡,.¡] = ¡. Estor€lult&do !e puedr gÉncralizar Dn poliedro c€r¡adoy, cn €l casolfifito, a un¡ suporfciocer¡ada s y Atgün¿e v!co6,cono h.mcr visto c¡ cs& c¿!o, r.sulta conwnicnto asigna¡dtu€cción sentidoa un ár€¿, condicionc.d.l Ect¿t €s dccir, consid6rar cor caráctcrvectoria¡a un¿ supcrftie. Se pü€nehablar, en ¿3aas &.a o v.cto¡ superfrcí., I{aih. cl n¡omcototlc üna fr¡cr¿a Espectodc ün punto ¡. F EI rnaub ilel mo¡nentoM d¿ una fi¡cr¿aF resp€ctodc un punro P 6s igual ¿l módülo de la fuerzaF,
  • -,É-++' PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 26 multiplicando po¡ la disiancia dcl pünto P r l¿ di¡Ect¡iz de F. Por Io tanto, Iláma¡üo r al v€ctor quo une P con cl origpd 0 de F. result¡, M : ¡(r sen0) : /Fsen € : lr x Í | El sentido de r x F correspo¡d€ al avan@ de un dacacorchos cn ¡ con el s€ntido alc ¡ot¡ción tal quc llcvc ¿ coincidircl prirncr vector con el sogundo por el ñenor de los ángulos que forn¿n (r€gla d.l triedro a dercchas que heños visto ¿nterio¡fncnte), El momento de un veclof se rcpr€santa, €ntorces, por M :rx F . 9 ' F, L-- ---" at) 6d. Uo sóli.to rlgido gir¡ alredédor de un €je que pasa por O con - u¡¿ volocidld angular@.D€mostr¿rqüe la v.locidad lineal y de utr pr¡oto P del sólido cuyo vcctor d€ posición €s r vi€¡e daila por v : {, x r, siendo @ un vector de módulo o y orya direcció¡ y s€ntido son ¡as &l ¡yanoc de !n sacacorchos que gira en el sentidodel movimienro. Como €l punto P dcscribe urla circunfe¡encia do radio . s€n ,, el ñódulo de la velocidadl¡leal v es @(¡s¡ ,) : lo x.l. Pñ¡ co6igüie¡tc, v es pe.pcndicul¿r ¡ o y e r dc foúa quc r, o y r fo¡men uri tri€dro a d€r€ch¿s. Lu€go v tienc €l misrno módulo, dirección y rcrtido que o x r, es clcci¡, i : o x r. El v€ctor o se ll¡ma rd¿.¡Z¿¡d¿¡f!- PRODUCTO,STRTPLFS. que cl valor absolutoile A .(B x C) 6s ../¡1. Oemostr¿r igual al volu¡ber de u! pe¡alebptpcdodc ¿rÉtas A,B y C. Scan cl vector unitario pcrpcndicüla.al pa¡a. lclosramo I con la misma dire¡ción y sentidoq e B x C, y á la dislarci¡ del cxlrlmo de A al pa¡a- I I : Voluñ€n del par¿lelspípodo (alrura ,) (ftla del par¿lclosr¿mo ¡) : (A.n)( lB x C L) : A'{ BxCl'¡}A (BxO SiA,By cr|ofonna¡ün tncal¡o dclr.lE, A.¡ < 0 yelvolurrloD:lA'(B x C) I. a '/ts. s¡ ¡-A,t*Aoln/ok, B -Blt+Bri+8.k, A. (Bxc) qu€ c =crt+caj +cak de¡nostrar = AL A, 4l 81 8' 831 c, c. c.l I ¡l L ' A " arl c c2 cal = (a¡ + A2! /{,r. k¿'c"-¡"c")r + (&c'-¡1c.), + (81c'-&c)ll + . 4lB2C.- ¡€C2t + A.@sCt- B/C. + ,tei¿$r- 82C!) = ,t¡ le A¿l L 82 B.l

    PRODUCTOS ESCATÁR Y VECTOR¡AL ( 2 -3 j ) . [(i + j -k )x (3 i -k )] D.l Drobl€ma 18. s obliene . 2 -3 0 l r I -ll = 4 . ¡ o -rl 27 t,'.' [-,I . i, rd{ ( ' ,' 7ü ' lq Olro nétodo- Haciendo oDereionos, ( 21- 3 J ). [i x (3 1 -t) + tx (3 i -t) - ]x(3r-r)l : (2r-3t. [¡ixr - ix[ + 3jxt - jx¡ - 3¡xt + Ixrl = (2 1 -3 J ).(0 + j - 3 ¡(- ¡ - 3j + 0) t o, = (21-3t.(-t-2J-3r) = (2)(-1)+ (-3)(-2)+ (0)(-3) = 4. --t-. l} D. f , os t r arqueA (B x c ) Del problefn¿ 38, = C .(A xB ). = B.(c x A ) a'(BxC) = 4 a rhl t-1='A t'('r f. ¡r82¿¡l c1 c' cal Teni€ndo cn cuentaque €n un det€rminante si se p.ínut4n €ntn sl dos.llne¿! (filas o colun¡ad A1 A, 4l LB"B"l=- ", I B. t, t i B"l q c2 ctl o, a" a.l = 83 c1 c2 ca - B B, B' cr c. ^. 1 cal t" c"l B1 82 @ L su valor ct c2 c. B 82 8. qüe Dcm6rrar A. (B x C) = (AxB) C. 7 Del problcma zl0, A-(tx C ) = c.(A xD ). (A xB ).C En €l prodüctoA (B x C) s pu€ne$¡primir el paiént.sisy oscribirA .B x C, ya que.tr estocasono €xisa€ ambisii€dad e¡ ef€cto,l.s úni@s int ¡prclacionespoliblcs ion dc A . (B x C) y (A B) x C, p.ro ; estaúlr¡nr¿carec€de 3crtido ya quc no €stád€ñnidoel pfoducto vcctoí5l de u¡ es.al¿rpor u vcctor. quo diciendo los productos La igu¿ldad (B x C):A xB C sep¡.¡.de A exprcsar es.al¡ry voctoris¡, en estas son condiciones, p€rmutables, a. Dcmstra. que A.(A x C) = oDel probleña41. A (A x C) = (A x A) 'C : 0. .6. Deñctmr qu€ la @ndición ¡ec€sáriay suficbnte par¿ qr¡c los rctorEs A, B y C se3ocoplan¡riose3 quc A B C=0. Obs:¡ves€que A B x C no puede8ilnifi*r otÉ cosaqr¡e A (B x C). Si A, B y C aod coplan¡rioa, cl volüñen dcl paraleleplpodo fomado por cllo6 6s igual ¿ ccro. Lucge, s egún pr obl e ma 7 , A B x C = 0 . el 3 R€cípro@ftente, si A'B x C : 0, el volum€|l del p¿ral€leplpcdo fodnado po¡ lo

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