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Análises de Séries de Fourier em Circuitos Elétricos

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Published on March 12, 2014

Author: FilipeRibeiro

Source: slideshare.net

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04/07/2013 1 Técnica de Análise através das Séries de Fourier Prof. Leonardo Menezes Circuitos Elétricos 2 ENE-FT-UnB Sumário • Introdução • Séries de Fourier • Transformada de Fourier Introdução • Com o estudo de fasores – Sabemos como calcular a resposta de circuitos lineares invariantes no tempo a funções forçantes do tipo seno e cosseno • Mas e a outros tipos de sinais? – E se o sinal for periódico mas não for nem seno nem cosseno?

04/07/2013 2 Introdução • Exemplo: R L Mj M e LR V eI    1 tan 22 )(     )tancos( )( )( 1 22 R L t LR V ti M        Introdução • Isto vale se o sinal for do tipo: Introdução • Mas e se o sinal for do tipo:

04/07/2013 3 Introdução • O sinal ainda é periódico • Mas como podemos utilizar o que já aprendemos para resolver um circuito submetido a este tipo de fonte? – Missão impossível? • Nem tanto, vamos ver como representar funções genéricas por somas (séries) de outras funções. Introdução • Representação de Funções por Séries de Funções – caso geral      gFccRg cRdtthtfcdtthtg thtfcthtg tfctg N n nknk N n nkn N n knnk N n knnk N n nn 1 1 11 1 1 )()()()( )()()()( )()(              Introdução • Representação de Funções por Séries de Funções – h(t) ortogonal a f(t) k kk kkkkk kkk N n knnk N n knnk N n nn g R ccRg kncR kn dtthtfcdtthtg thtfcthtg tfctg 1 0 )()()()( )()()()( )()( 1 1 1               

04/07/2013 4 Introdução • Que tal o seguinte – Vamos representar esta função com uma série infinita de senos e cossenos       11 0 )(sin)(cos)( n on n on tnbtnaatg  Introdução • Se utilizarmos esta representação – Sabemos resolver o circuito para sinais senoidais • Portanto sabemos resolver o circuito para CADA UM dos termos da série • Como vamos utilizar fasores, podemos simplificar a série               n tjn n n non n on n on ectg tnDDtg tnbtnaatg 0)( )cos()( )(sin)(cos)( 1 0 11 0    Introdução • Assim a questão é como representar • Simples: encontrar os coeficientes cn!     n tjn nectg 0 )( 

04/07/2013 5 Introdução • Passos – Multiplico ambos lados por: – Integro em um período:     n n tjn nectg 0)(  tjk n n tjn n tjk eecetg 000 )(                             01 1 00 01 1 0 )( Tt t tjk n n tjn n Tt t tjk dteecdtetg  Introdução • Passos – Calculo a integral do lado direito – O resultado da integral é: – Portanto         01 1 00 01 1 0 )( Tt t tjktjn n n n Tt t tjk dteecdtetg          knT kn dte Tt t tknj para para 0 )( 001 1 0    01 1 0)(1 0 Tt t tjk k dtetg T c  Introdução • Portanto, posso representar qualquer sinal PERIÓDICO por uma série: – De senos e cossenos – Ou Exponencial complexa • Com isto posso resolver circuitos para entradas periódicas arbitrárias

04/07/2013 6 Introdução • Voltando ao exemplo inicial   ; 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 1 0 1 0 2 0 nj e e nj dtedttvc nj ntjntj n               0n 2 1 0 0   c n     0 0 2T Introdução • De forma mais tradicional                     n n n n n tjn nj tn n e nj e tg 1 0 2 cos 12 2 2 1 2 1 2 1 )(       Introdução • Este tipo de representação é conhecido como Série de Fourier – Permite expressar funções periódicas em termos de somas de senóides – Muito útil para representar sinais arbitrários em circuitos

04/07/2013 7 Séries de Fourier • De forma geral: – Se g(t) é periódico, com período T0, então g(t) pode ser expresso em uma das seguintes formas equivalentes:               n tjn n n non n on n on ectg tnDDtg tnbtnaatg 0)( )cos()( )(sin)(cos)( 1 0 11 0    Série exponencial complexa 0 0 2 T   Série trigonométrica Série trigonométrica compacta Séries de Fourier • E naturalmente existe uma relação entre os diversos coeficientes da série:  nnnn nnnn nnn j n abc bacD jbaceDn n    1 22 tg 2 2:0  Para  * nn cc        sin2 cos2 sincos jee ee je jj jj j      000 caD  se g(t) é real Séries de Fourier • ESTRATÉGIA GERAL – Usar as séries de Fourier para expressar a excitação periódica como uma soma de senóides ou de exponenciais complexas. – Analisar o circuito para cada harmônico usando fasores ou exponenciais complexas. – Usar o princípio da superposição para determinar a resposta de estado permanente para a excitação periódica.

04/07/2013 8 Séries de Fourier • Cada termo da série de Fourier é chamado de harmônico – Quanto maior o número de harmônicos • Melhor a qualidade da aproximação Sinal periódico original Aproximação com 2 termos Séries de Fourier • Melhores aproximações Sinal periódico original Aproximação com 4 termos Aproximação com 100 termos Séries de Fourier • Exemplo: Encontre a série de Fourier T TT   2 00  2/1 Tt 

04/07/2013 9 Séries de Fourier • Passo 1: – Calcule período e freqüência • Passo 2: – Determine os limites de integração • Passo 3: – Calcule os coeficientes n=0 e o genérico T TT   2 00       2 2 0 )(1 T T tjn n dtetv T c  Séries de Fourier • Para n=0 • Para n genérico – Resolvendo   01 2 2 0     T T dtV T c            2 4 4 4 4 2 000 )(1)(1)(1 T T tjn T T tjn T T tjn n dteV T dteV T dteV T c   2 4 4 4 4 2 0 000 )( T T tjnT T tjnT T tjn n eee jnT V c                 2 sen222 2 22    n n Veeee nj Vc jnjnnjnj n Séries de Fourier • Note que a série Trigonométrica • Pode ser obtida da série exponencial       11 0 )(sen)(cos)( n on n on tnbtnaatg  0),(sen)()(cos)( 00 00     ntn b ccjtn a ccecec n nn n nn tjn n tjn n p/  00 ac 

04/07/2013 10 Séries de Fourier • E que a relação entre os coeficientes indica simetria • Se a função for par ou ímpar – Isto determina se a série trigonométrica é senoidal ou cossenoidal 0p/,)(),(   n b ccj a cc n nn n nn  Séries de Fourier • Função com simetria par: )()( twtw         00 0 )(2)()()( dttwdttwdttwdttw Séries de Fourier • Portanto 2 *)()( 2 )( 2 1 n nnnn n nnn a cccctg a jbac   realése  )()( tgtg    2 0 0 0 2 2 0 0 000 0 )cos()(4)cos()(2 TT T parfunção n dttntg T dttntg T a        2 00 2 20 0 00 0 )(2)(1 TT T dttg T dttg T a 0)sen()(2 00 0 2 2 0 0   T T ímparfunção n dttntg T b    

04/07/2013 11 Séries de Fourier • Exemplo: Séries de Fourier • Resolução 0parfunção  nb ,2,1,cos)( 4 2 0 0 0 0   ndttntf T a T n   2 00 0 0 )( 2 T dttf T a 60 T 2)42( 3 1 0 a dttndttnan 0 1 0 2 1 0 cos4 3 2 cos2 3 2   3 0           3 sin 3 2 sin2 4   nn n an Séries de Fourier • Função com simetria ímpar: )()( twtw         0)()()( 0 0 dttwdttwdttw

04/07/2013 12 Séries de Fourier • Portanto 2 *)()( 2 )( 2 1 n nnn n nnn b jccctg b jjbac   realése  )()( tgtg 0)cos()(2 00 0 2 2 0 0   T T ímparfunção n dttntg T a     0)(1 2 20 0 0 0   T T dttg T a    0000 0 2 0 0 0 2 2 0 0 )sen()(4)sen()(2 TT T parfunção n dttntg T dttntg T b     Séries de Fourier • Exemplo: Séries de Fourier • Resolução             2 4 0 0 0 4 0 0 00 12 0 0 0 ])12sin[() 2 ( 4 ])12sin[( 44 T T T k dttk T t T V dttkt T V T b  24 00   T     4 0 02 0 12 0 ])12sin[( 48 T k dttkt T V b    4 0 2 0 0 0 0 2 0 12 0 )12( ])12sin[( )12( )12cos[(32 T k k tk k tkt T V b                 2 )12( sin ])12[( 8 212      k k V b k

04/07/2013 13 Séries de Fourier • Propriedades que podem simplificar o cálculo – Simetria de Meia Onda – Atraso no tempo – Periodicidade em Meia Onda Séries de Fourier • Simetria de Meia Onda t T tftf        , 2 )( 0 ímparnparasin)( 4 ímparnparacos)( 4 parnpara0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0       T n T n nn dttntf T b dttntf T a ba a   Cada semi ciclo é cópia invertida do semi ciclo adjacente Exemplos de Sinais com Simetria de Meia Onda Séries de Fourier • Exemplo – Sinal Par    2 2 00  T T       dttkV T dttkVdttkV T a TT T T k 0 4 0 0 2 4 0 4 0 12 12cos 8 12cos12cos 4               2 )12( sin )12( 4 4 )12sin( )12( 8 0 0 12          k k VT k kT a k

04/07/2013 14 Séries de Fourier • Exemplo – Sinal Ímpar             2 4 0 0 0 4 0 0 00 12 0 0 0 ])12sin[() 2 ( 4 ])12sin[( 44 T T T k dttk T t T V dttkt T V T b  2 )12( sin ])12[( 8 212      k k V b k Séries de Fourier • Atraso no tempo – Portanto o atraso apenas modifica a fase dos coeficientes     n n tjn nectf 0 )(           n n tjntjn n n n ttjn n eececttf 00000 )( 0 )(  nctn tft parafasedemudança )(paraatraso 00 0    Séries de Fourier • Atraso no tempo 24 0 000   nT ntn   200 T ) 4 ()( 0T tftv  )(tf Exemplo 0TT       oddn n n V evenn cn 2 sin 2 0       n n tjn vnectv 0 )(        oddne n n V evenn c n jvn 2 2 sin 2 0    1 2 sin 2 sin 2 cos 2 2            n njne jn n V jc kv  2 12, 

04/07/2013 15 Séries de Fourier • Periodicidade em Meia Onda                0 0 0 1 0 11 0 2 0 2 0)( )(with 2 )()( comoexpressoserpode,período, com,)(ondameiaemperiódicosinalTodo Tt T T ttf tf T tftftf T tf               n n tjn T jn n eec T tf 0 0 0 20 1 ) 2 (       k tkj k ectf 0)12( 122)(  Séries de Fourier • Espectro de Freqüência – O espectro é uma representação gráfica dos coeficientes da série de Fourier – O espectro unilateral é baseado na representação • O espectro de amplitude mostra Dn em função da freqüência • O espectro de fase mostra o ângulo n em função da freqüência • O eixo da freqüência é mostrado em unidades da freqüência fundamental     1 0 )cos()( n non tnDatg  Séries de Fourier • Espectro de Frequência – O espectro bilateral é baseado na representação – De forma similar temos os espectros de fase e de amplitude     n tjn nectg 0)( 

04/07/2013 16 Séries de Fourier • Exemplo      ímparn n ab tn n tn n tv nn 1 0220 )cos(40)sen(20)(      )(tg 122 nnnn nnnn abba jbaD     Espectro de amplitud e Espectr o de fase Séries de Fourier • Exemplo: tn n tv   2sin 1 2 1 )( 1    0; 1 ; 2 1 0  n n jDD n  n |Dn| Arg(Dn) 0 0.5 0 1 0.318309 -90 2 0.159155 -90 3 0.106103 -90 4 0.079577 -90 |Dn| 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1 2 3 4 5 |Dn| Séries de Fourier • Resposta de estado permanente de um circuito a entradas periódicas –Passos • Troque o sinal periódico por sua representação em série de Fourier • Determine a resposta em estado permanente para cada harmônica • Soma a resposta em estado permanente de todas as harmônicas

04/07/2013 17 Séries de Fourier • Matematicamente H( j) )(|| nntj n ec   )]([)(|| nnntj nn ejHc   )cos( nnn tD   )](cos[)(|| nnnnn tjHD    )()()()( )(   jHejHjH j  tj n neD Re  t nn nejHD  )()(Re 1  Séries de Fourier • Exemplo:  0,5:)( TAtv Séries de Fourier • Troque o sinal periódico pela sua representação em série de Fourier  0,5:)( TAtv      ímparn n ab tn n tn n tv nn 1 0220 )cos(40)sen(20)(     

04/07/2013 18 Séries de Fourier • Encontre resposta em estado permanente para cada harmônica )( 44 2 )( 21 22 21 2 )(1       jV j jV j j jV       )(tg 14 1 44 1 )( )( )( 1 2           jjV jV jH o 21 2 | | j Z   )(1 tv 10 2 1 VV  Séries de Fourier )(tg 14 1 44 1 )( )( )( 1 2           jjV jV jH o      ímparn n ab tn n tn n tv nn 1 0220 )cos(40)sen(20)(      )cos( nnn tD   )](cos[)(|| nnnnn tjHD     n j n jbaD nnnn 2040 22  1420   nn Dn                     2 tg180 2 tg180 11   nn n Séries de Fourier • Soma a resposta em estado permanente de todas as harmônicas                 180)2(tg 2 tg2cos 41 1 145)( 11 2 n n nt nnn tv no   1420   nn Dn )(tg 14 1 44 1 )( )( )( 1 2           jjV jV jH o                     2 tg180 2 tg180 11   nn n

04/07/2013 19 Série de Fourier • Potência média – A representação de série de Fourier permite uma forma simples de calcular a potência média         1 0 1 0 )cos()( )cos()( n inndc n vnndc tnIIti tnVVtv   )cos()cos( )cos()cos()()( 2 1 2 121 0 1 1 01 1 0 1 0 in n n vnnn n vnndc n inndcdcdc tntnIV tnVItnIVIVtitv                Série de Fourier • Mas a potência média é calculada • Portanto    Tt t med o o dttitv T P )()( 1         0 00 )cos( 2 0 0 00 kT k dttk T Tt t    )cos( 21 in n vn nn dcdcmed IV IVP     Série de Fourier • Exemplo: qual a potência média? ])[100754cos(2.1)45377cos(8.1)( ])[102754cos(24)60377cos(3664)( Attti Vtttv   ))100180102cos(2.124)15cos(8.136(5.0 P ][91.16 2 78.2859.62 WP   

04/07/2013 20 Transformada de Fourier • Estamos Ok quando o sinal aplicado é periódico – Mas será que podemos fazer algo quando o sinal não é periódico? • Existe a generalização da série de Fourier para sinais não periódicos – Transformada de Fourier Transformada de Fourier • Um sinal não-periódico pode ser visto como o caso limite de um sinal periódico quando o período tende para infinito: )(tg )(tgp )()( tgtg T p    Transformada de Fourier     n tjn np ectg 0)(  )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )(1 0 0 0 0 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0                   nG G dtetg dtetg dtetg dtetg T c n n tj tjn T T tjn T T tjn pn                           dtetgG tj )()(

04/07/2013 21 Transformada de Fourier           n tjn n tjn n T p T enG ectgtg 00 0 0 0 0 )( 2 1lim lim)(lim)(         deGtg tj     )( 2 1)(,     dtetgG tj )()( 0 tjeG )( 00 0)(   tnjenGÁrea 0n 0   deG tj     )( totalÁrea Transformada de Fourier • Assim     dtetgG tj )()(       deGtg tj)( 2 1)(  )()( Gtg -1F  )()( tgG F Transformada de Fourier inversa Transformada de Fourier direta Transformada de Fourier • Exemplo:

04/07/2013 22 Transformada de Fourier • Calculando pela definição               2 sinc 2 2 sen )()( 2 2        V VdteVdtetvV tjtj )(V Transformada de Fourier • Comparação Transformada de Fourier • Calculando   0 0 2 sinc 2 2 sen 0 0       n n n T V T Vc             n tjn np ectg 0)( 

04/07/2013 23 Transformada de Fourier • Exemplos – Determine a transformada de Fourier da função impulso unitário  (t - t0) 0)()]([ 00 tjtj edtetttt       F 1)]([ tF Transformada de Fourier • Exemplos – Determine a transformada de Fourier inversa de  ( - 0) tjtj- ede 0 2 1)( 2 1)]([ 00 1          F )(2][ 0 0   tjeF )(2][ 0 0   tjeF )(2][ AA F Transformada de Fourier • Exemplos – Determine a transformada de Fourier de cos (0t +  )      jj jtjjtj ee eeeet         )()( 2 )][cos( 00 0 00 FF

04/07/2013 24 Transformada de Fourier Transformada de Fourier Transformada de Fourier • Convolução • No domínio de Fourier     dxxtfxftftftf )()()()()( 2121 )()()( 21  FFF 

04/07/2013 25 Transformada de Fourier • Aplicação da Convolução )(th )(tvi     dxxvxthtv io )()()( Transformada de Fourier • Exemplo )()( tuetv t i   )()( 2 tueth t  Condições iniciais nulas )(determinarparaFourierdeadatransformUse tvo Transformada de Fourier • Usando a transformada Da tabela de transformadas )()( tuetv t i   2 1 )( 1 1 )(         j H j Vi )()( 2 tueth t  1 1 2 1 )()()(      jj VHV io   )()( 2 1 1 1 )( 2 tueetv jj V tt o o        

04/07/2013 26 Transformada de Fourier • Teorema de Parseval – O Teorema de Parseval permite a determinação da energia do sinal em um dado intervalo de frequência          2 |)(||)(| 22 d Fdttf Transformada de Fourier • Exemplo: Influência do filtro no sinal de entrada Transformada de Fourier • Calculando 20 20)(     j Vi 5 5 1 1 1 1 )(           jRCjR Cj Cj H )()()(  io VHV 

04/07/2013 27 Transformada de Fourier • Combinando os diagramas de Bode – Sinais de alta-frequência são bastante atenuados Transformada de Fourier • No domínio do tempo Transformada de Fourier • Efeito de filtros Efeito Passa Baixa Efeito Passa Alta

04/07/2013 28 Transformada de Fourier • Efeito de filtros Efeito Passa Faixa Efeito Rejeita Faixa Transformada de Fourier • Exemplo: separando sinais de AM )()(Assumindo cos)](1[)(:2estaçãodasinal cos)](1[)(:1estaçãodasinal 21 222 111 tsts ttstv ttstv      Transformada de Fourier do sinal kHzfkHzf 960,900 21  )]()([)( 21 tvtvKtvr  Transformada de Fourier • Filtro Filtro Proposto Cs LsR R sv sv sG r o v 1)( )( )(   LCL R ss L R s sGv 1 )( 2   LC fo 2 1 :centralfrequência  L R BW 2 1 :banda  Eqs. de Projeto Especificações kHzorkHzf kHzBW o 960,900 60  

04/07/2013 29 Transformada de Fourier • Filtro Mais icógnitas que equações. Com algumas escolhas   10 10 R kHzBW HL L R BW   2.159 2 1        kHzfpFC kHzfpFC LC f o o 9606.172 9004.196 2 1 0  Resposta em frequência do filtro Sintonizado em 960kHz Transformada do sinal recebido Filtro ideal retira uma estação Transformada de Fourier • Filtro Resposta em frequência dos filtros sintonizados 800 820 840 860 880 900 920 940 960 980 1000 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 Frequencia (KHz) GanhodeTensão(dB) Resposta dos Filtros Passa Faixa AM Fitro Passa Faixa - 900 KHz Filtro Passa Faixa - 960 KHz Conclusões • Apresentada a representação da série de Fourier para sinais periódicos – Vistas as séries trigonométricas e exponenciais – Vistas propriedades principais • Apresentada a representação da transformada de Fourier para sinais não periódicos – Vistas propriedades principais

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