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Health & Medicine

Published on March 1, 2014

Author: TaniaLoratadinaSotoOrtiz

Source: slideshare.net

Centro de Ciencias de la Salud Centro de Ciencias de la Salud Departamento de Optometría Departamento de Optometría MAESTRÍA EN REHABILITACIÓN VISUAL TERCER SEMESTRE MÉTODOS ESTADÍSTICOS ACTIVIDAD 3 MIDIENDO LA INCERTIDUMBRE Profesor: DCC Rogelio Salinas Gutiérrez Alumna: Lic. Opt. Tania Lucila Soto Ortiz Aguascalientes, Ags. 4 de Marzo de 2014

INDICE INTRODUCCIÓN…………………………… ……………………………………………………………………….…………….…………….1 OBJETIVO DEL TRABAJO………………………………………………………………………………….………………….2 CONCEPTO DE ESPACIO MUESTRAL.………………………………………………………….……………………………….3 PROCEDIMIENTOS EJERCICIO 1………………………………………………….……………………………………………………………………….5 EJERCICIO 5………………………………………………….……………………………………………………………………….7 EJERCICIO 6………………………………………………….………………………………………………………………………8 EJERCICIO 7………………………………………………….……………………………………………………………..……….9 EJERCICIO A ………………………………………………….……………………………………………………………………10 CONCLUSIONES.…………………………………………… ……………………………….………………….……………………………11 REFERENCIAS……………………………………………………………………………………………………..……………………………12

INTRODUCCIÓN El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo, estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúa con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos. La teoría de probabilidad se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones: Suceso: es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Ejemplo: al lanzar una moneda sale cara. Suceso aleatorio: es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: al tirar un dado, un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5. Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Lo representa la letra E (o bien, la letra griega Ω), y los elementos que lo forman se escriben entre llaves: { }. Ejemplo 1: Espacio muestral de una moneda  E = {C, X} (C: cara; X: sello) Ejemplo 2: Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Podemos definir a la probabilidad (p) como el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 y uno que ocurra con certeza es de 1, y el resto de sucesos tendrá probabilidades entre “cero y uno” que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar. En otras palabras, una fracción comprendida entre 0 y 1, indica las posibilidades que tiene de presentarse un suceso cuando se realiza un experimento aleatorio (aquellos experimentos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar, es decir, de la casualidad). La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n. La probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q. 1

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria o estocástica “x” (dato susceptible de tomar diferentes valores en determinadas circunstancias), que puede ser de dos tipos: Variable aleatoria discreta (x) Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Variable aleatoria continua (x) Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos. Las variables descritas anteriormente generan una distribución de probabilidad que puede ser discreta o continua. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA 1. Es generada por una variable discreta (x). 2. p(xi)= >0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. 3. Sp(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA 1. Es generada por una variable continua (x). 2. f(x)=>0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. La función de densidad de probabilidad sólo puede estar definida en los cuadrantes I y II. 3. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1. El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1. OBJETIVO DEL TRABAJO: Conocer conceptos básicos de la Teoría de Probabilidad y vincularlos con ejercicios prácticos. 2

CONCEPTO DE “ESPACIO MUESTRAL” El conjunto de todos los resultados posibles diferentes de un determinado experimento aleatorio se denomina espacio muestral asociado a dicho experimento y se suele representar por Ω o E. A los elementos de Ω se les denomina sucesos elementales. Así por ejemplo, el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de una moneda es Ω= {Cara, Cruz}; el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado es Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, siendo Cara y Cruz los sucesos elementales asociados al primer experimento aleatorio y 1, 2, 3, 4, 5 y 6 los seis sucesos elementales del segundo experimento aleatorio. A pesar de la interpretación que tiene el espacio muestral, no es más que un conjunto abstracto de puntos (los sucesos elementales), por lo que el lenguaje, los conceptos y propiedades de la teoría de conjuntos constituyen un contexto natural en el que desarrollar el Cálculo de Probabilidades. Sea A el conjunto de las partes de, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de Ω. En principio, cualquier elemento de A, es decir, cualquier subconjunto del espacio muestral contendrá una cierta incertidumbre, por lo que trataremos de asignarle un número entre 0 y 1 como medida de su incertidumbre. En Cálculo de Probabilidades dichos subconjuntos reciben en el nombre de sucesos o eventos, siendo la medida de la incertidumbre su probabilidad. La tripleta (Ω, A, P) recibe el nombre de espacio probabilístico. Advertimos no obstante, que la elección del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio no tiene por qué ser única, sino que dependerá de que sucesos elementales queramos considerar como distintos y del problema de la asignación de la probabilidad sobre esos sucesos elementales. Por ejemplo, consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer una bola al azar de una urna compuesta por tres bolas rojas, dos blancas y una verde. Podemos considerar como espacio muestral: Ω1= {ω1, ω2, ω3} en donde sea ω1 = bola roja, ω2= bola blanca y ω3 = bola verde, aunque también podíamos haber considerado como espacio muestral el conjunto: Ω1= {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6} en donde ωi = bola roja, i = 1,2,3, ωi = bola blanca, i= 4,5 y ω6= bola verde, haciendo las bolas distinguibles. Ambos pueden ser considerados espacios muéstrales del experimento descrito, eligiendo el que más nos convenga, por ejemplo, a la hora de asignar la probabilidad a los sucesos elementales de uno u otro espacio muestral. Respecto a la clase de los sucesos A, es natural que ésta tenga una estructura tal que permita hablar no solo de sucesos sino también de su unión, intersección, diferencia, complemeno, etc., debiendo ser la clase A, en consecuencia, cerrada a dichas operaciones entre "conjuntos" (entre sucesos). Esta es la situación del conjunto de las 3

partes cuando es finito o inclusive numerable (caso, por ejemplo, del espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda hasta que salga cara por primera vez). En otras ocasiones en las que sea un conjunto continuo (por ejemplo, cuando estudiamos el tiempo que tarda un isótopo radioactivo en volverse inestable), deberá ser A un conjunto estrictamente más pequeño que el conjunto de las partes de Ω. En todo caso podemos pensar en A como en el conjunto que contiene todos los elementos de interés, es decir, todos los sucesos a los que les corresponde una probabilidad. Apuntemos además algunas peculiaridades del Cálculo de Probabilidades respecto a la teoría de conjuntos. Aquí, el conjunto vacío “0” recibe el nombre de suceso imposible, definido como aquel subconjunto de que no contiene ningún suceso elemental y que corresponde a la idea de aquel suceso que no puede ocurrir. De forma análoga, el espacio total recibe el nombre de suceso seguro al recoger dicha denominación la idea que representa. Llamaremos sucesos incompatibles a aquellos cuya intersección sea el suceso imposible. Por último, digamos que la inclusión de sucesos, A B, se interpreta aquí como que siempre que se cumpla el suceso A se cumple el B; por ejemplo, siempre que salga el 2 (suceso A) sale par (suceso B). El último elemento del espacio probabilístico es la probabilidad, que como antes dijimos está definida sobre A, asignando a cada suceso un número entre 0 y 1, este es el rango de valores que puede tomar una probabilidad. 4

PROCEDIMIENTOS 1. Consider two events E1 and E2, where P(E1) = 0.3 and P(E2) = 0.5. Calculate the following probabilities: (a) P(E1 ∪ E2) if the events are disjoint. In this case, are these two events partitioning the sample space? The probability of the union of two disjoint events is simply the sum of their marginal probabilities: P(E1 ∪ E2) = P(E1)+ P(E2)= 0.3+0.5= 0.8 Ambos eventos forman parte del mismo espacio muestral, pero si sucede E1 entonces no se puede presentar simultáneamente E2 y viceversa (disjoint). (b) P(E3), where E3 = (E1 ∪ E2)c, and E1 and E2 are disjoint. The probability of the complement event is 1 minus the probability of the event: P(Ec) = 1−P(E) P(E3) = 1−(E1 ∪ E2)c= 1-0.8= 0.2 (c) P(E1 ∩ E2) if the events are independent. When two events E1 and E2 are independent, the probability that E1 and E2 occur simultaneously, i.e., their joint probability, is the product of their marginal probabilities: P(E1 ∩ E2) = P(E1)×P(E2) In general, if events E1,E2, . . . , En are independent, then: P(E1 ∩ E2 ∩· · ·∩En) = P(E1)×P(E2)×· · ·×P(En) P(E1 ∩ E2) = 0.3×0.5= 0.15 (d) P(E1 ∪ E2) if the events are independent. The probability of the union of two independent events as follows: P(E1 ∪ E2) = P(E1)+P(E2)− P(E1)×P(E2) P(E1 ∪ E2) = 0.3+ 0.5 – 0.3×0.5= 0.8 – 0.15= 0.65 La probabilidad de intersección es menor que la de unión porque en la intersección se busca la probabilidad de que ambos eventos independientes sucedan simultáneamente mientras que en la unión sólo se suman las probabilidades de ambos eventos. 5

(e) P(E2|E1) if P(E1|E2) = 0.35. In this case, are these two events independent? In general, for two events E1 and E2, the following equation shows the relationship between P(E2|E1) and P(E1|E2): P(E2|E1) = P(E1|E2)P (E2) P(E1) We know the conditional probability of E1 given E2 “P(E1|E2)= 0.35” but we are interested in the conditional probability of E2 given E1 “P(E2|E1)” . P(E2|E1) = (0.35)(0.5)= 0.175 = 0.58 0.3 0.3 P(E1|E2) = 0.35 P(E2|E1)= 0.58 Son eventos dependientes, ya que la probabilidad condicional de E1 cuando ya sucedió E2 es distinta a la probabilidad condicional de E2 cuando sucedió primero E1; en otras palabras, un evento modifica al otro, dependiendo de cuál se presente primero. 6

5. Suppose that a pregnant woman is going to give birth to a girl or a boy with equal probabilities. However, if the baby is a boy, the probability that he has black (Bk) hair is 0.7, whereas this probability is 0.4 if the baby is a girl. Alternatively, the baby could have blond (Bd) hair. Using a tree diagram, find the sample space and the corresponding probabilities for all possible combinations of gender and hair color for the baby. S Espacio muestral Black Hair p=0.7 p (probabilidad) Boy Black Hair p= 0.35 Boy Blond Hair p= 0.15 Boy p=0.5 Blond Hair p= 0.3 p= 0.2 Girl Black Hair Blond Hair p= 0.6 Girl p=0.5 Black Hair p= 0.4 Girl Blond Hair p= 0.3 E = {Boy-BlackHair, Boy-BlondHair, Girl-BlackHair, Girl-BlondHair} The probability of Boy-BlackHair is the product of the conditional P(Boy|BlackHair) and the marginal probability P(Boy): P(Boy-BlackHair)= P(Boy|BlackHair) P(Boy)= 0.7x0.5= 0.35 probability The probability of Boy-BlondHair is the product of the conditional P(Boy|BlondHair) and the marginal probability P(Boy) P(Boy-BlondHair)= P(Boy|BlondHair) P(Boy)= 0.3x0.5= 0.15 probability The probability of Girl-BlackHair is the product of the conditional P(Girl|BlackHair) and the marginal probability P(Girl) P(Girl-BlackHair)= P(Girl|BlackHair) P(Girl)= 0.4x0.5= 0.20 probability The probability of Girl-BlondHair is the product of the conditional P(Girl|BlondHair) and the marginal probability P(Girl) P(Girl-BlondHair)= P(Girl|BlondHair) P(Girl)= 0.6x0.5= 0.30 probability TOTAL 1.0 7

6. Suppose that the probability of being affected by H1N1 flu is 0.02.We found that among people who are affected by H1N1, the probability that a person washes her hands regularly is 0.3. If the probability of washing hands regularly in general (regardless of whether the person has the H1N1 flu or not) is 0.6. What is the probability of getting the H1N1 flu if a person washes her hands regularly? In some situations, we know the conditional probability of E1 given E2, but we are interested in the conditional probability of E2 given E1. In this exercise, the probability of having H1N1 is P(HN) = 0.02 and the probability of washing hands regularly in general, (regardless of whether the person has the H1N1 flu or not) is P(W) = 0.6. Then, we know that if a person has H1N1, the probability of washing hands regularly is P(W|HN) = 0.3. We are, however, interested in the probability of getting H1N1 if a person washes her hands regularly, P(HN|W). This conditional probability is: P(HN|W) = P(W ∩ HN) P(W) The probability of washing hands regularly and getting H1N1 at the same time is: P(W ∩ HN) = P(W|HN)P(HN) Since P(HN) and P(W|HN) are known, we can calculate the conditional probability of getting H1N1 for people who washes her hands regularly: P(HN|W) = P(W|HN)P(HN)= 0.3 x .02 = 0.006 = 0.01 P(W) 0.6 0.6 Therefore, the probability of getting H1N1 when people wash her hands regularly decreases from 0.02 to 0.01. 8

7. A person has received the result of his medical test and realized that his diagnosis was positive (affected by the disease). However, the lab report stated that this kind of test has false positive probability of 0.06 (i.e. diagnosing a healthy person, H, as affected, D) and that the probability of false negative is 0.038 (i.e., diagnosing an affected person as healthy). Therefore, while this news was devastating, there is a chance that he was misdiagnosed. After some research, he found out that the probability of this disease in the population is P(D) = 0.02. Find the probability that he is actually affected by the disease given the positive lab result. The probability of this disease in the population is P(D) = 0.02. Then, the probability of being healthy is P(H) = 1 −0.02 = 0.98. The probability of false positive for this lab test is P(T+|H)=0.06 and the probability of false negative is P(T−|D)=0.038. We can use all probability rules for conditional probabilities. Because T+ and T− are complementary events, we have: P(T−|H) = 1−P(T+|H) = 1−0.06 = 0.94  Probabilidad de dar resultado negativo a alguien sano P(T+|D) = 1−P(T−|D) = 1−0.038 = 0.962  Probabilidad de dar resultado positivo a un enfermo Esto podría tomarse como fiabilidad de la prueba. Knowing that the outcome of the test is positive, we can calculate the updated probability of the disease. Notice that the two events D and H form a partition of the sample space. Using the general form of Bayes’ theorem, the conditional probability of the disease given a positive test result is: P(D|T+) = P(D|T+) = P(T+|D)P(D) . P(T+|D)P(D) + P(T +|H)P(H) (0.962)(0.02) = 0.01924 = 0.01924 = 0.246 (0.962)(0.02) + (0.06)(0.98) 0.01924 + 0.0588 0.07804 Therefore, the positive test result increases the probability of having the disease from P(D)=0.02 to P(D|T+) = 0.246. These are definitely not good news for this person. 9

A. Dibujar y presentar un diagrama de árbol para los posibles tipos de paciente de optometrista considerando sexo (hombre, mujer), si utiliza o no utiliza anteojos al momento de la consulta y grupo de edad (niño, adulto, adulto mayor). En base al diagrama de árbol definir cuál es el conjunto complemento de un paciente hombre que no utiliza anteojos y que es adulto mayor proporcionando argumentación que justifique la respuesta. ESPACIO MUESTRAL NIÑO LENTES H-L-N ADULTO H-L-A H-L-AM AD. MAYOR NIÑO HOMBRE NO LENTES H-NL-N ADULTO H-NL-A AD. MAYOR NIÑO LENTES ADULTO MUJER AD. MAYOR NO LENTES H-NL-AM M-L-N M-L-A M-L-AM NIÑO M-NL-N ADULTO M-NL-A AD. MAYOR M-NL-AM El complemento de un evento son aquellos resultados obtenidos que están fuera de la región definida pero que están dentro del espacio muestral. Entonces, si se busca el complemento de H-NL-AM, el resto de los resultados son su complemento. H-NL-AMC= {H-L-N, H-L-A, H-L-AM, H-NL-N, H-NL-A, M-L-N, M-L-A, M-L-AM, M-NL-N, M-NL-A, M-NL-AM} 10

CONCLUSIONES La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos, los cuales son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas pero poseen como resultados posibles un conjunto de alternativas. Se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Una aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad. Muchos bienes de consumo, como los automóviles y aparatos electrónicos, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería está estrechamente relacionada con la garantía del producto (o con la fiabilidad de los resultados de alguna prueba de laboratorio o prueba diagnóstica, como en el ejercicio 7). La mayoría de las investigaciones biomédicas utilizan muestras de probabilidad, es decir, aquellas en las que el investigador pueda especificar la probabilidad de cualquier elemento en la población que investiga. Las muestras de probabilidad permiten usar estadísticas inferenciales, aquellas que permiten hacer inferencias a partir de datos; estas inferencias pueden permitir, como en el ejercicio 6, determinar acciones que disminuyan el riesgo asociado a algo, puede ser a contagio o a accidente. Se utilizan cuatro tipos de muestras probabilísticas: muestras aleatorias simples, muestras aleatorias estratificadas, muestra por conglomerados y muestras sistemáticas. Por otra parte, las muestras no probabilísticas solo permiten usarse estadísticas descriptivas, recordemos que la estadística descriptiva es aquella que sólo permite describir, organizar y resumir datos, más no realizar predicciones. 11

REFERENCIAS Biblioteca Virtual UAA: o SHAHBABA Babak, BIOSTATISTICS WITH R, Ed. Springer; EEUU,2012 http://www.monografias.com/trabajos32/teoria-probabilidades/teoriaprobabilidades.shtml#ixzz2uNiTvvBL http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Distribuciones%20d e%20Probabilidad.htm http://www.madrid.org/cs/StaticFiles/Emprendedores/Analisis_Riesgos/pages/pdf/estadi sticas_es.pdf http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0278-01/probab1.html 12

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