4 1 series

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Information about 4 1 series

Published on March 8, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Notas sobre somas de séries Algoritmos e Estruturas de Dados IST/DEEC Série - definição Def: uma série é uma sequência de números a1,a2,…, an em que existe uma fórmula única para calcular ai a partir de ai-1. – Série aritmética: ai = ai-1 + d ai = ai-1 + d = ai-2 + 2d = … = a1 + (i-1)d – Série geométrica: ai = ai-1 * r ai = ai-1 * r = ai-2 * r2 = … = a1 * r(i-1) d=deslocamento, r=razão

Série aritmética – soma (1) Teorema: A soma de n termos de uma série aritmética n SArit (n) = ∑ ai = i =1 n( a1 + an ) 2 Demonstração: por indução 1. A soma do 1º termo é a1 SArit(1) = ½1(a1+a1) = a1 2. SArit(n) + an+1 = ½n(a1+an)+an+1 = ½n(a1+ an+1 - d)+an+1 = ½n(a1+an+1)+(an+1 - ½nd) = ½n(a1+an+1)+½(2an+1 - nd) = ½n(a1+an+1)+½(an+1+an+1 - nd) =½n(a1+an+1)+½(an+1+ a1)= ½(n+1)(a1+an+1) = SArit(n+1) Série aritmética – soma (2) Terorema: A soma de n termos de qualquer série aritmética, SArit(n), é sempre O(n2) Demonstração: efectuar os cálculos e usar as aproximações necessárias n( a1 + an ) n( a1 + a1 + ( n − 1) d ) SArit (n) = = = 2 2 = c1n(c2 + n) = c1n 2 + c1c2 n ∈ O{n2 }

Série aritmética – soma (3) História: once upon a time, there was a little criancinha, numa escola primária alemã. 1. O professor, querendo descansar, pede aos alunos que somem de 1 a 100. 2. Os alunos, obedientes, começaram a tarefa laboriosa: 1+2=3; 3+3=6; 6+4=10; … 3. De repente, um aluno levanta-se e afirma que já tem o resultado. O diálogo que se seguiu ficou registado para a História. Série aritmética – soma (4) Prof: Diga lá o resultado! Aluno: É facil, a soma são 5050. Prof: E como calculou tão depressa? Aluno: A soma de dois números, situados à mesma distância dos limites de uma série aritmética, é sempre o mesmo: 0+100=100, 1+99=100; 2+98=100; … ; 49+51=100. Logo, a soma dos primeiros 100 números é igual a 50*100+50=5050! Prof: Brilhante, o seu espírito arguto fará de si um grande matemático! Como se chama? Aluno: Gauss

Série geométrica – soma Teorema: A soma de n termos da série1 geométrica n+ n n i =0 i =0 SGeo( n) = ∑ ai =∑ a0 r i = a0 1− r 1− r Demonstração: multiplique à esquerda por (1-r) obtendo (1- r) SGeo(n) = (1- r)(a0 + a0 r + … + a0 r(n-1) + a0 rn) = a0(r0 + r + … + r(n-1) + rn) - a0r (r0 + r+ … + r(n-1) + rn) = a0(r0 + r+ … + r(n-1) + rn – r - r2+ … - rn - rn+1 )= a0(r0 - r(n+1)) = a0(1- r(n+1)) ∈ O(rn) Mais séries… • Série cujos termos são dados por: ai = i ⋅ 2i • A soma de n termos desta série: n Ss( n) = ∑ i ⋅ 2i = ( n − 1) ⋅ 2n +1 + 2 i =1

Exemplos • Considere os seguintes exemplos: n(1 + n ) n + n 2 ∑ i = ∑ i = 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 = 2 i =0 i =1 n n 1 − 5n ∑ 5 = 5 1− 5 i=1 1 − 3n +1 3n +1 − 1 ∑3 = 1 1− 3 = 2 i =0 n n i i 1 − 2 z − x +1 ∑ 2 = 2 1− 2 i= x z i x Revisão • Notação • Definição e propriedades ln( x ) = y ⇔ e = x y ln( x ) + ln( y ) = ln( x ⋅ y ) x ln( x ) − ln( y ) = ln( ) y log n x logv x = log n v Logaritmo Base ln(x) Nepper lg(x) 2 log(x) 10

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