المعادلات التربيعية

44 %
56 %
Information about المعادلات التربيعية

Published on March 8, 2014

Author: ng1234567ng

Source: slideshare.net

‫فيما سبق:‬

‫ أحلل ثلثية حدود على الصورة:‬‫س2 + ب س + جـ‬ ‫ أحل المعادلت على الصورة:‬‫س2 + ب س + جـ = 0‬

‫لماذا؟‬ ‫بركة سطحها مستطيل الشكل، يراد وضع سياج‬ ‫حولها طوله 42 م. إذا كانت مساحة سطح‬ ‫البركة 63 م2، فما بعداها؟‬

‫لحل هذه المسألة، يجب إيجاد عددين حاصل‬ ‫ضربهما 63 ومجموعهما يساوي نصف محيط‬ ‫البركة أي 21 .‬

‫تحليل س2 + ب س + جـ تعلمت كيف تضرب‬ ‫ثنائيتي حد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب،‬ ‫على أن تكون كل ثنائية حد منهما عامل لناتج‬ ‫ل ً‬ ‫الضرب. ويمكن استعمال نمط ضرب ثنائيتي‬ ‫الحد لتحليل أنواع معينة من ثلثيات الحدود .‬

‫)س + 3( )س + 4( = س2 + 4س + 3س + 3*4‬ ‫طريقة التوزيع بالترتيب‬ ‫= س2 + )4 + 3( س + 3×4‬ ‫خاصية التوزيع‬ ‫= س2 + 7س + 21‬ ‫بسط‬ ‫)ع.م.أ( = 3 × 3 × ص = 9ص‬ ‫لحظ أن معامل الحد الوسط 7 هو مجموع العددين‬ ‫3 و4، والحد الخير 21 هو ناتج ضربهما .‬

‫لحظ القاعدة التية في الضرب:‬ ‫)س + 3( )س + 4( = س2 + )4 + 3( س + )3*4(‬ ‫)س + م( )س + ن( = س2 + )ن + م( س + م ن‬ ‫لتكن 3 = م، 4 = ن‬ ‫= س2 + )م + ن( س + م ن‬ ‫س2 + ب س + جـ‬ ‫البدال )+(‬ ‫ب = م + ن، جـ = م ن‬

‫لحظ أن معامل الحد الوسط هو مجموع م، ن والحد‬ ‫الخير هو ناتج ضربهما .‬ ‫تستعمل هذه القاعدة لتحليل ثلثيات الحدود على‬ ‫الصورة س2 + ب س + جـ .‬

‫مفهوم أساسي: تحليل س2 + ب س + جـ‬ ‫التعبير اللفظي: لتحليل ثلثية حدود على‬ ‫الصورة س2 + ب س + جـ، أوجد عددين‬ ‫صحيحين م، ن مجموعهما ب وناتج‬ ‫ضربهما جـ، ثم اكتب س2 + ب س + جـ‬ ‫على الصورة )س + م( )س + ن( .‬

‫الرموز:‬ ‫س2 + ب س + جـ = )س + م( )س + ن(، حيث م‬ ‫+ ن = ب، م ن = جـ‬ ‫مثال: س2 + 6س + 8 = )س + 2( )س + 4( .‬ ‫لن 2 + 4 = 6، 2×4 = 8 .‬ ‫يكون لعاملي جـ الاشارة نفسها عندما تكون‬ ‫موجبة. ويعتمد كون العاملين موجبين أو سالبين‬ ‫على إاشارة ب. فإذا كانت ب موجبة فالعاملن‬ ‫موجبان، وإذا كانت سالبة فالعاملن سالبان .‬

‫تحليل س2 + ب س + جـ عندما يكون ب ، جـ موجبين‬ ‫1‬ ‫حلل: س2 + 9س + 02‬ ‫بما أن جـ، ب موجبان في ثلثية الحدود ب = 9، جـ‬ ‫= 02. لذا يجب إيجاد عاملين موجبين مجموعهما‬ ‫9 وناتج ضربهما 02. كون قائمة عوامل العدد 02،‬ ‫وجد العاملين اللذين مجموعهما 9 .‬ ‫عوامل العدد 02 مجموع العاملين‬ ‫1،2‬ ‫2،01‬ ‫4،5‬ ‫12‬ ‫21‬ ‫9‬

‫العاملن الصحيحان هما 4، 5‬ ‫س2 + 9س + 02 = )س + م( )س + ن(‬ ‫اكتب القاعدة‬ ‫= )س + 4( )س + 5(‬ ‫م = 4، ن = 5‬ ‫)س + 4( )س + 5( = س2 + 5س + 4س + 02‬ ‫طريقة التوزيع بالترتيب‬ ‫= س2 + 9س + 02‬ ‫بسط‬

‫حلل كل من كثيريتي الحدود اليتيتين :‬ ‫1أ( د2 + 11د + 42‬ ‫)د+3()د+8(‬

‫إرشادات لحل المسألة‬ ‫خمن ويتحقق‬ ‫عند يتحليل يثليثية حدود، اعمل يتخمينا‬ ‫مدروسا، ويتحقق من معقولية، يثم عدل التخمين‬ ‫حتى يتصل إلى الاجابة الصحيحة.‬

‫إذا كانت ب سالبة، و جـ موجبة في يثليثية‬ ‫الحدود، استعمل ما تعرفه عن ضرب يثنائيتي‬ ‫الحد لتقليص قائمة العوامل الممكنة .‬

‫يتحليل س2 + ب س + اجـ عندما يتكون ب سالبة، اجـ مواجبة‬ ‫2‬ ‫حلل س2 – 8س + 21‬ ‫بما أن جـ موجبة، و ب سالبة في يثليثية الحدود، ب =‬ ‫8، جـ = 21 لذا يجب إيجاد عاملين سالبين مجموعهما‬‫8 وحاصل ضربهما 21 .‬‫عوامل العدد 21 مجموع العاملين‬ ‫1، -21‬‫2، -6‬‫-3، -4‬ ‫31‬‫8‬‫-7‬

‫س2 – 8س + 21 = )س + م( )س + ن(‬ ‫اكتب القاعدة‬ ‫= )س – 2( )س – 6(‬ ‫م = -2، ن = -6‬ ‫تحقق: مثل المعادلتين: ص = س2 – 8س + 21،‬ ‫ص = )س – 2( )س – 6( بيانيا على الشاشة‬ ‫ ً‬ ‫نفسها. بما أن التمثيلين متطابقان، فإن يثليثية الحدود‬ ‫حللت بصورة صحيحة .‬ ‫ُ‬

‫إرشادات للدراسة‬ ‫إيجاد العوامل‬ ‫عندما يتجد العوامل الصحيحة فليس هناك‬ ‫ضرورة لختبار العوامل الخرى.‬ ‫فمثل، العاملن الصحيحان في المثال 2‬ ‫هما: -2،-6، لذا فل داعي لختبار‬ ‫العاملين: -3،-4‬

‫حلل كل من كثيريتي الحدود اليتيتين:‬ ‫م ً‬ ‫2أ( 12 – 22م + م‬ ‫)م-1()م-12(‬ ‫2‬

‫تابــــــــــع‬

‫عندما تكون جـ سالبة، يكون لعامليها‬ ‫إشارتان مختلفتان. ولتحدد أي عامل منهما‬ ‫موجب وأيهما سالب، انظر إلى إشارة ب؛‬ ‫فالعامل الذي له القيمة المطلقة الكبرى له‬ ‫إشارة ب نفسها .‬

‫يتحليل س2 + ب س + اجـ عندما يتكون اجـ سالبة :‬ ‫3‬ ‫حلل كل كثيرة حدود ما يأتي:‬ ‫أ( س2 + 2س – 51‬ ‫في يثليثية الحدود هذه ب = 2،، جـ = --51 وبما أن جـ‬ ‫في يثليثية الحدود هذه ب = 2 جـ = 51 وبما أن جـ‬ ‫سالبة. فإن م و ن عددان مختلفان في الشارة. وبما أن ب‬ ‫سالبة. فإن م و ن عددان مختلفان في الشارة. وبما أن ب‬ ‫موجبة، فالعامل الذي قيمته المطلقة أكبر يكون موجباا ..‬ ‫موجبة، فالعامل الذي قيمته المطلقة أكبر يكون موجب ً ً‬

‫0=0‬ ‫0=0‬ ‫عوامل العدد 51 مجموع العاملين‬ ‫1، 51‬‫-3، 5‬ ‫41‬ ‫2‬

‫العاملن الصحيحان هما ــ 3 ، 5‬ ‫= )س – 3( )س + 5(‬ ‫م = -3، ن = 5‬ ‫تحقق: )س – 3( )س + 5( = س2 + 5س – 3س – 51‬ ‫طريقة التوزيع بالترتيب‬ ‫= س2 + 2س – 51‬ ‫بسط‬

‫ب( س2 – 7س – 81‬ ‫في يثليثية الحدود هذه ب = -7، جـ = -81، إذن م أو‬ ‫ن سالبة، وليس كلهما . وبما أن ب سالبة، فالعامل ذو‬ ‫القيمة المطلقة الكبرى يكون سالبا .‬ ‫ ً‬ ‫اكتب أزواج من عوامل -81، على أن يكون أحد‬ ‫العاملين في كل زوج سالبا والرخر موجبا، يثم انظر إلى‬ ‫ ً‬ ‫ ً‬ ‫العاملين اللذين مجموعهما -7 .‬

‫عوامل العدد 21 مجموع العاملين‬ ‫1، -81‬ ‫2، -9‬ ‫-6، 3‬ ‫71‬‫7‬‫-3‬ ‫العاملن الصحيحان هما 2، -9‬ ‫س2 + 7س – 81 = )س + م( )س + ن(‬ ‫اكتب القاعدة‬ ‫= )س + 2( )س – 9(‬ ‫م = 2، ن = -9‬ ‫تحقق: مثل المعادلتين ص = س2 – 7س –‬ ‫81، ص = )س + 2( )س – 9( بيانيا على‬ ‫ ً‬ ‫الشاشة نفسها، بما أن التمثيلين متطابقان،‬ ‫فإن يثليثية الحدود حللت بصورة صحيحة .‬ ‫لُ‬

‫3ب( ر2 – 2ر – 42‬ ‫)ر+4()ر-6(‬

‫تدرب وحل المسائل :‬ ‫41( أ2 + 8أ – 84‬ ‫)أ-4()أ+21(‬

‫حل المعادل ت بالتحليل: يمكن كتابة المعادل ت التربيعية‬ ‫على الصورة القياسية: أس2 + ب س + جـ = 0، أ ل‬ ‫يساوي 0 ويمكن حل بعض المعادل ت على هذه الصورة‬ ‫بالتحليل، يثم استعمال رخاصية الضرب الصفري .‬

‫4‬ ‫حل المعادلة: س2 + 6س = 72، وتحقق من صحة الحل:‬ ‫س2 + 6س = 72‬ ‫س2 + 6س – 72 = 0‬ ‫)س – 3( )س + 9( = 0‬ ‫المعادلة الصلية‬ ‫اطرح 72 من كل الطرفين‬ ‫حلل إلى العوامل‬ ‫س – 3 = 0 أو س + 9 = 0 خاصية الضرب الصفري‬ ‫س = 3 س = -9‬ ‫حل كل معادلة‬

‫س2 + 6س = 72‬ ‫س2 + 6س = 72‬ ‫)3( 2 + 6 )3( = 72‬ ‫)-9( 2 + 6 )-9( = 72‬ ‫9 + 81 = 72‬ ‫18 – 45 = 72‬

‫حل كل معادلة مما يأتي وتحقق من صحة الحل :‬ ‫4ب( س2 + 3س – 81 = 0‬ ‫س= 3، -6‬

‫كتاب النشاط‬

‫33( اكتشف الخطأ: حلل كل من رخليل وماجد العبارة:‬ ‫س2 + 6س – 61. فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك .‬ ‫ماجد: س2 + 6س – 61 = )س + 2( )س – 8(‬ ‫رخليل: س2 + 6س – 61 = )س - 2( )س + 8(‬

‫33( اكتشف الخطأ: حلل كل من رخليل‬ ‫وماجد العبارة: س2 + 6س – 61.‬ ‫فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك .‬ ‫ماجد: س2 + 6س – 61 = )س + 2( )س – 8(‬ ‫رخليل: س2 + 6س – 61 = )س - 2( )س + 8(‬ ‫خليل، عند ضرب العاملين اللذين يشكلن‬ ‫إجابة ماجد يكون الناتج س2-6س-61 إل‬ ‫أن الحد الوسط يجب أن يكون موجبا‬

‫تدرب وحل المسائل :‬ ‫81( س2 – 7س + 21 = 0‬ ‫س=4، 3‬

‫5‬ ‫تصميم: يصمم سعيد لوحة إعل ن لبيع أقراص‬ ‫مدمجة لتعلم الرياضيات. إذا كا ن ارتفاع الجزء‬ ‫العلوي من اللوحة 4 بوصات، ويزيد طول باقي‬ ‫اللوحة على عرضها ب 2 بوصة. ومساحة اللوحة‬ ‫616 بوصة مربعة، فأوجد عرض اللوحة .‬ ‫افهم: يجب إيجاد عرض اللوحة .‬ ‫خطط: بما أن اللوحة على شكل مستطيل‬ ‫فالمساحة = العرض×الطول‬

‫حل: بما أ ن ض = عرض اللوحة.‬ ‫فيكو ن طول اللوحة = ض + 4 + 2‬ ‫=ض+6‬ ‫ض )ض + 6( = 616‬ ‫ض2 + 6ض = 616‬ ‫اكتب المعادلة‬ ‫اضرب‬ ‫ض2 + 6ض – 616 = 0 اطرح 616 من كل طرف‬ ‫حلل‬ ‫)ض + 82( )ض – 22( = 0‬ ‫ض + 82 = 0 أو ض – 22 = 0 خاصية الضرب‬ ‫ض = -82 ض = 22 الصفري‬ ‫حل كل معادلة‬

‫بما أن البعاد ل يمكن أن تكون سالبة، فإن‬ ‫العرض = 22 بوصة .‬ ‫تحقق: إذا كان العرض 22 بوصة فإن المسافة = 22‬ ‫)22 + 6( = 616 بوصة مربعة وهي مساحة اللوحة‬ ‫المطلوبة .‬

‫الربط مع الحياة‬ ‫تصميم بعض اللوحات العلينية لستخدامها مرة‬ ‫واحدة لمناسبة معينة، وإ ن كا ن الغرض من اللوحة‬ ‫الستخدام لفترة طويلة، فيجب مراعاة المواد‬ ‫المصنوعة منها لتقاوم عوامل الجو.‬

‫5( هندسة: متوازي أضل ع ارتفاعه أق من قاعدته‬ ‫بـ 81 سم، ومساحته 571 سم2 . فما ارتفاعه؟‬ ‫ارتفاعه=7سم‬

‫1( س2 + 41س + 42‬ ‫)س+2()س+21(‬

‫7( س2 – 51س + 45 = 0‬ ‫س= 6، 9‬

‫تدرب وحل المسائل :‬ ‫12( ج2 + 01ج + 9 = 0‬ ‫جـ=-1، -9‬

‫انتهى الدرس‬

‫مراجعة المفرادات‬ ‫القيمة المطلقة‬ ‫تمثل القيمة المطلقة للعدد ن المسافة‬ ‫بين العدد والصفر على خط‬ ‫العداد. وتكتب على الصورة ) ن(‬

Add a comment

Related presentations

Related pages

معادلة تربيعية - ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

للمعادلة التربيعية ذات ... التي يتم بها حساب حلول المعادلات التربيعية وتعطى ...
Read more

المعادلة التربيعية وطرق حلها

ثلاثيات الحدود التربيعية : مفهوم المعادلة التربيعية : الطريقة الأولى. طرق ...
Read more

‫المعادلات التربيعية1‬‎ - YouTube

الصف الثالث متوسط الفصل الدراسي الثاني - مادة رياضيات درس المعادلات التربيعية ...
Read more

المقدمة - المعادلات التربيعية

المعادلة :- هي تساوي بين تعبيرين، وتستخدم في كل فروع الرياضيات البحتة والتطبيقية وكذا ...
Read more

المعادلة التربيعية وطرق حلها

باسم القانون العام لإيجاد جذري المعادلة التربيعية. ـ تعرف العلاقة . حيث ...
Read more

‫الصف التاسع: المعادلة التربيعية‬‎ - YouTube

رياضيات : حل المعادلات التربيعية على الصورة أس + ب س + جــ = 0 أ لا يساوي 1 - Duration: 9:52.
Read more

حل المعادلة التربيعية بأستخدام القانون العام

موضوع: حل المعادلة التربيعية بأستخدام القانون العام الإثنين أبريل 05, 2010 7:16 am:
Read more

اكاديمية ومدارس وروضة الصديق الوفي الأساسية - المعادلة ...

طرق حل المعادلة التربيعية: ... - حل المعادلات التالية بالطريقة التي تجدها مناسبة . 1.
Read more

المعادلة التربيعية وطرق حلها

طرق . حل المعادلة . التربيعية: يمكن حل المعادلة . التربيعية. بعدة طرق، منها إعادتها إلى ...
Read more

(7) حل المعادلة التربيعية بيانياً - رحلة معرفية في وحدة ...

... التحليل إلى العوامل، وحل المعادلات التربيعية غير المكتوبة كحاصل ضرب عدة عوامل. (4) ...
Read more