3.4 ejercicios del capítulo 3 (mayo 07)

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Published on March 7, 2014

Author: raulnogueramorillo

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Guia 3

3.4 Ejercicios del capítulo 1. Si se conoce que 2 y 3 son raíces de la ecuación 2x3 + mx 2 − 13x + n = 0 , determina m y n y halla la tercera raíz de la ecuación. 2ax − 4a + bx − 2b 2 x 2 − 7 x + 12 2. Sean M = ; N= y P= 3 3 2 2 3 −x 8a + b 4a − 2ab + b Determina H, si H = M +P N r ⋅r 1 2 3. Sea R = r + r . Calcula r1 cuando R = 4,8 y r2 = 12. 1 2 4. En las fórmulas siguientes despeja las variables indicadas entre paréntesis. 1 24 F −3 4d 1 1 a) p = 1 b) f = p + 1 p (d y p) (p1) x2 − 4 x3 − 3x 2 − 13x + 15 y B= (1 − x)(x − 2) x3 + 27 a) La expresión A está definida para las x ∈ ℜ tal que: 5. Sean A = ____ x ≠ –1 y x ≠ 2 ___ x ≠ 1 y x ≠ 2 ___ x ≠ –1 y x ≠ –2 __ ninguna de estas. 19 b) Prueba que A · B + 1 = x 2 − 3x + 9 6. Sean las expresiones: A= x −2 x −3 B= x 3 + 27 x 3 + x 2 − 9x − 9 C= x 2 −1 2 x 2 −13 x + 11 a) Calcula y simplifica ( A − B ) ⋅ C b) Determina para qué valores naturales de la variable 1 independiente, se cumple que: A = . 2x 7. Indica el dominio de definición y determina en R el conjunto solución de la siguiente ecuación: 2 40 3 = 2 = 3(x + 2) x − x − 6 2x − 6 8. Uno de los ceros de una parábola de la forma y = –x2 + bx + c es 1 x2 − 3 x = –2 y el otro es la solución de la ecuación +1 = 2 . x−2 x − 2x Halla la ecuación de la parábola y analiza sus propiedades. 243

9. 1 x3 − 2 x 2 − 4 x + 6 yB= 2 x x Si A = Halla los valores para los cuales A ≥ B 10. ¿ Para qué valores de x ∈ ℜ la expresión x 2 −1 3 +5− x −2 x −2 es positiva? A= Sean 11. 5 2 2x − x − 3 y B= 1 2 x −x−6 . ¿Para qué valores del domino de la variable A – B es no negativa? En un circuito eléctrico dos resistores con resistencia R 1 y R2 se conectan en paralelos, la resistencia neta de R está dada por 12. 1 1 1 = + ¿Que valores de R2 hará que la resistencia neta sea menor R R1 R2 que 5Ω? 13. Sea la función f(x) = –x2 – x + 20. a). Determina la imagen de la función f. b). Resuelve la ecuación f ( x) 3 + = 1. 2 x−4 16 − x 14. La figura 3.34 muestra una función de la forma f(x) = –x 2 + bx + c. 11.1- Selecciona la respuesta correcta y a) La ecuación de la función es: ______ f ( x ) = x 2 − 2 x − 8 _____ f ( x ) = −x 2 + 2 x + 8 ______ f ( x ) = −x 2 − 2 x + 8 ____ Ninguna de estas b) –4 2 El valor máximo de la función es: ____ y= 8 ___ y = 9 ___ y = 11 x ___6 c) Un intervalo donde la función es decreciente y no negativa es: ____ x ≥ 0 3.34 ___ 0< x ≤ 2 ___ x ≥ −1 ___ x< –1 Fig. 11.2 Determina para qué valores reales de la variable independiente se cumple que: 15. x −2 x = f ( x) x +4 La figura 3.35 muestra una función cuadrática de la forma f ( x ) = x 2 + bx + c . 244

12.1Selecciona la respuesta correcta: a) La ecuación de la función es: ______ f ( x ) = x 2 − 2 x − 8 ______ f ( x ) = x 2 + 2 x − 8 ______ f ( x ) = x 2 + x − 6 Fig. 3.35 b) El valor mínimo de la función es : 9 ______ y = − 8 5 ______ y = − _____ y = − c) Un intervalo donde la función es decreciente y negativa es: ______ –4 < x < 0 _______ –4 < x – 1 _____ x < –1 12.2 Determina para qué valores de la variable independiente, está definida la expresión f ( x) . x −2 16. Resuelve la ecuación: x + 2 − 2 3 + 5 − 15 = 3 + 5 − 3 11. x 17. ¿Determina qué valores enteros del intervalo [–1; ∞) son soluciones 4x + 2 x +1 ≤ de la inecuación ( 2 x + 1)( x − 2) 2 − x ? 18. Sean las expresiones: A= m3 + 4m2 − 5m m3 + 125 y B= 3 − 3m2 m3 − 4m2 + 20m + 25 a) Prueba, que para todos los valores admisibles de la variable se A m =− . verifica que B 3 b) Halla todos los valores reales negativos de la variable m, para los cuales se cumple que: A 1 2  ≥ m m + 1  − B 3 3  19. Dada la ecuación x2 – 2(2m + 6) x + 3m (m + 2) = 0. Halla m de modo que las raíces x1 y x2 de la ecuación sean tales que x 1 · x2 exceda a x1+ x2 en 2m. 20. Sea el sistema de ecuaciones:  y + 24 = 3ax (I)   −ax + y = 4 (II) 245

a) ¿Qué números naturales puede aceptar el parámetro a para que las soluciones del sistema dado sean pares ordenados de números naturales? b) Determina las soluciones del sistema dado según las condiciones del inciso anterior. 21. Si los puntos (1; y1) y (–1; y2) pertenecen al gráfico de la función f(x) = ax2 + bx + c y se cumple que y1 – y2 = –10. ¿Cuál será el valor de b? 22. Sean f(x) = x(x–1) y g(x) = x+n. Halla: a) El valor de m para que la representación gráfica de la función g sea tangente a la representación gráfica de f. b) Los valores de n para los cuales la gráfica de las funciones dadas sean secantes. c) Los valores de n para los cuales f ∩ g = ∅. 23. Dada g(x) = a + 1 b c  + 2 , calcula g −1  , si se conoce que: 2  x x a) Un cero de g es x =1.  1 b) g   = −4 . 2  5 c) La representación gráfica de g pasa por el punto P  2;  .  4 24. Sea el sistema de ecuaciones:  6x − 3y + 2z = 5a − 2b   4x + 2y − z = 3(2a + 3b)  5x − 7 y + 3z = − 4(a + b)  Comprueba que: (x+y) – z = 4b. 25. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:  x 2 + y 2 = a2  a) x + y = b x− y = c  1 1 x− y= 5  b )  1 + 1 = 233  x 2 y 2  ( x + y)2 − 2xy = 130  c ) x 2 − y 2 =2  x+ y  246

26. Halla el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:  xy2 = 80  a) x 1 − y3 = 65  1− y  3 x−  5 b) + y 2  − x  x3 − y3 = 3(xy − 1) c )  x2 + xy + y2 = 3  x + xy = a2 + a d)  xy − y = a2 − a ( ) 1 1 =3 y 2 3 = −7 z 1 =0 z 27. Sean los sistemas:  x2 + y2 − 2(2x + y) = 0 a)  y = kx  x2 + y2 = 4x + 2y b)  y − kx + 8 = 0 ¿Para qué valores del parámetro k el conjunto solución del sistema es unitario, binario o vacío? 28. Sea la parábola K representada por la ecuación y2 = x y la recta r de 1 ecuación y = x + n . 2 Calcula los valores del parámetro n para que: a) r no corte a K. b) r interseque a K en dos puntos. c)r sea tangente a K. 29. Sea:  y = mx + n  2 2  x + y = r Demuestra que si el sistema de ecuaciones dado tiene una única solución, entonces n = ±r 1 +m2 . 30. Un tren con 40 vagones transporta una carga de 765 t. Los vagones son de dos tipos, por eso algunos han sido cargados con 20 t, mientras que otros, con 15 t. ¿Cuántos vagones de cada tipo hay? 31. El numerador de una fracción es mayor en una unidad que el denominador. Si cada término de la fracción se aumenta en una unidad y se sustrae la nueva fracción de la original, se obtiene un 247

número cuyo recíproco es 30. ¿Cuál es la nueva fracción que se obtiene? 32. Juan es 5 años mayor que su hermano Pedro. Hace 4 años la edad de Juan era el doble de la edad de Pedro. ¿Cuáles son sus edades? 33. La edad actual de Alberto es el triplo de la de Berta, pero hace cuatro años la suma de ambas edades era igual a la que tendrá Berta dentro de 16 años. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente? 34. En un encuentro de béisbol asistieron al estadio 35 000 aficionados. Había 26 000 hombres más que mujeres y el número de menores era la mitad de la cantidad de mujeres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños asistieron al estadio? 35. En saludo a la Jornada de Girón, Mario y Ricardo han realizado entre ambos 72 h de trabajo voluntario. Si Mario hubiera realizado 12 h más, entonces tendría el doble de la cantidad de horas realizadas por Ricardo. ¿Cuántas horas de trabajo voluntario realizó cada uno? 36. El plan de producción de dos empresas es de 60 millones de pesos. Una de ellas cumplió el plan al 90 % y la otra, al 110 % y así juntas produjeron 62 millones de pesos. ¿Cuál era el plan de producción de cada empresa? 37. Un estudiante llenó 6 sacos del tipo A y 8 del tipo B, recogiendo en total 1340 lb de papas. Otro estudiante recogió 8 sacos del tipo A y 5 del tipo B, recogiendo en total 1 220 lb de papas. ¿Cuántas libras de papas había en cada saco utilizado? 38. Una brigada recogió una cantidad de sacos tal que si hubiera recogido 40 sacos más, habría llegado al cuadrado de la norma de un alumno; pero recogiendo 40 sacos menos habría llegado al doble de dicha norma. Si cada alumno cumplió exactamente su norma. ¿Cuántos sacos recogió la brigada y cuántos integrantes tenía? 39. Una empresa papelera vende a las librerías (al por mayor) dos tipos de cuadernos de notas: El primer tipo de cuaderno a $ 0,50, y el segundo, a $ 0,70. La empresa recibe un pedido de 500 cuadernos y junto a éste un cheque por $286,00, que cubre completamente los gastos. Si el pedido no menciona la cantidad de cada tipo de cuadernos, ¿cómo la empresa papelera debe realizar la entrega? ¿A qué precio debe vender la librería todos los cuadernos que compró a $ 0,50 para obtener una ganancia del 20 %? 40. En la figura 3.36 se representan dos circunferencias tangentes exteriormente, tales que la longitud de una es el duplo de la longitud de la otra. y la distancia entre los centros O y O', es 15 cm. Calcula los radios de las circunferencias dadas. O O´ 248

Fig. 3.36 41. En un almacén hay 24 recipientes, entre latas y frascos. Usando todos los frascos se pueden envasar 35 L de pintura y esta misma cantidad se puede envasar usando todas las latas. Todas las latas tienen igual capacidad, en este caso 1 L más que los frascos, que también tienen todos la misma capacidad. ¿Cuántos recipientes de cada tipo hay en el almacén y cuál es la capacidad correspondiente? 42. En los últimos dos años los ministerios de la agricultura y del azúcar instalaron para el abasto de agua a la ganadería, 1 016 equipos entre molinos de viento y bombas de bajo consumo. El número de molinos excede en 86 al cuádruplo de las bombas instaladas. a) ¿Cuántos equipos de cada tipo fueron instalados por estos dos ministerios en los últimos dos años? b) ¿Qué porcentaje del total de equipos instalados representan los molinos de viento? 43. Dos trabajadores de una UBPC recolectaron durante tres días de trabajo un total de 104 cajas de tomates. Si el trabajador más productivo cediera al otro, el 20 % de las cajas recolectadas por él, entonces ambos tendrían la misma cantidad de cajas recolectadas. ¿Cuántas cajas de tomate recolectó cada trabajador? ¿En qué porcentaje superó la recolección de uno de los trabajadores, la del otro? 44. Dos grupos de estudiantes de un IPUEC están recogiendo papas. Al inicio de la jornada se le entregó a cada uno cierta cantidad de sacos vacíos. La tercera parte de los sacos entregados al grupo B excede en 4 a la cuarta parte de los entregados al grupo A. Al terminar la sesión de campo, entre los dos grupos lograron llenar todos los sacos, pero el grupo A llenó 30 sacos menos que los que le habían sido entregados y la cantidad de sacos que logró llenar el grupo B excede en dos al duplo de los que llenó el grupo A. ¿Cuántos sacos vacíos se entregaron al inicio de la jornada a cada grupo? 45. La novena etapa de la vuelta ciclística a Cuba, corrida entre las ciudades de Santa Clara y Cienfuegos, tuvo tres metas intermedias: Ranchuelo, Cruces y Abreus. Al llegar a Cruces, se había recorrido el doble de la distancia hasta Ranchuelo, disminuida en 1 km, y aún faltaban 64 km para llegar al poblado de Abreus, situado en el kilómetro 97 de la etapa. a) ¿A cuántos kilómetros de Santa Clara, se ubicó la meta volante de Ranchuelo? b) Si un ciclista mantiene una velocidad constante de 30 km/h, en qué tramo se encuentra cuando hayan transcurrido 145 min de iniciada la carrera. 249

46. Las ciudades A y B están separadas a 300 km. Dos ciclistas parten al mismo tiempo de A y B respectivamente para ir uno al encuentro del otro. Después de haberse cruzado, el ciclista que salió de A tarda 9 h en llegar a B, y el que salió de B, 4 h en llegar a A. ¿A qué velocidad iba cada ciclista? 47. La media aritmética de las dos cifras de un número es igual a la cifra de las decenas aumentada en 1. Si la suma de los cuadrados de las cifras del número se divide por éste, el cociente es la unidad y el resto es excedido en 16 unidades por el producto de las cifras del número. Halla el número. 48. Andrés, Víctor y Carlos aportaron $ 52 entre los tres para la fiesta de fin de curso. Lo que aporto Carlos es 30 % de lo que aportaron Andrés y Víctor conjuntamente. Si Víctor hubiera aportado $ 5 menos y Andrés, $ 5 más, entonces ambos hubieran aportado la misma cantidad. ¿Cuánto aportó cada uno? 49. El perímetro de un triángulo es de 53 cm. El triplo de la longitud del lado mediano excede en 4,4 dm a la longitud del lado mayor y la razón entre la longitud del lado menor y el mayor es igual a 0,2. Clasifica dicho triángulo según las longitudes de sus lados. 50. Entre Ana, Berta y Carlos, han desarrollado 60 h de trabajo voluntario. El duplo horas trabajadas por los dos primeros es igual al décuplo de las horas trabajadas por Carlos, que a su vez exceden en 20 h las trabajadas por Ana. ¿Cuál es el acumulado individual de horas de trabajo voluntario? 51. La producción de papas durante tres años consecutivos en una empresa agrícola alcanzó la cifra de 10 656 q. En el segundo año se obtuvo el doble del rendimiento alcanzado en el primero, y la producción del tercero, excede en 41 a lo logrado en el segundo año. a) b) ¿Cuáles fueron los rendimientos por año? ¿Qué tanto por ciento representa la producción del tercer año respecto a la lograda en el segundo año? 52. Un grupo de alumnos organiza un campismo, cuyos gastos en total ascienden a 430 pesos. AL salir aparecen 6 alumnos más. Y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 pesos menos. ¿Cuántos alumnos participaron en el campismo y qué cantidad de dinero pagó cada uno? 53. La suma de las áreas de dos terrenos cuadrados es 208 m 2.Para cercar ambos terrenos se necesitan exactamente 80 metros de cerca metálica. Calcula las dimensiones de cada terreno. 54. Sean dadas dos circunferencias concéntricas de centro O y radios R y r (R>r). La región rayada se denomina corona o anillo y su área es de 84 dm2. Si el triplo de la longitud del menor radio supera en 20 cm a la longitud del mayor radio, calcula sus longitudes. 250

55. Con dos cuadrados se forma una figura de seis lados como se muestra en la figura 3.37. Calcula las longitudes de los lados de los cuadrados, sabiendo que la figura obtenida tienen 233 cm2 de área y 68 cm de perímetro. G A F E F B C Fig. 3.37 56. En la figura 3.38 se representa una ventana normanda, formada por un rectángulo ABCD y una semicircunferencia de diámetro CD . Si se conoce que la diagonal del rectángulo mide 5 m y s perímetro es de 140 dm. Calcula el área total de la ventana. D Fig. 3.38 C A B 57. En un laboratorio de química se tienen tres recipientes de cristal con disoluciones de borato de socio (N 2B4O7).En el recipiente A la disolución está al 19%, en la B al 30% y en la C al 50 %. Se utilizaron estas disoluciones para obtener 50 L de una disolución de borato de sodio al 32%. Si la cantidad de litros de disolución al 50 % que se usó fue el doble de la cantidad de litros de disolución al 30% empleada, ¿cuántos litros se utilizaron de cada disolución? 58. Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 km/h. Para ir de A a B tarda 2 h y 30 min, y para volver de B a A, 2 h y 45 min. ¿Cuál es la longitud de camino llano entre A y B, si sabemos que la longitud total entre A y B es de 192 km? 59. Dos trenes realizan diariamente su recorrido entre dos estaciones distantes entre sí 300 km, uno expreso y el otro de correo. El expreso corre 20 km/h más que el de correo, por lo que tarda 4 h menos en hacer el recorrido. Halla la velocidad de cada tren, suponiendo que ambos se mueven con movimiento rectilíneo uniforme. 251

60. En la figura 3.39 se han representado tres circunferencias de centros A, B y C, tangentes dos a dos. Si AB =40 cm, AC =5 dm y BC =7 dm . Calcula la suma de las longitudes de las circunferencias dadas. C B A 61. Un agrimensor ha realizado la triangulación de una superficie poligonal, como se muestra en la figura 3.40, de manera que los triángulos ABE y CDE son iguales y el área del triángulo BCE es 60 ha. Se conoce que el perímetro del triángulo ABE es 36 hm, la longitud del lado menor es el 75 % de la longitud del mediano y la longitud del lado mayor es excedida por 600 m por la suma de las longitudes de los otros dos lados. Si el área de la superficie poligonal ABCDE se dedicó al cultivo de arroz y la cosecha fue de 588 t, ¿cuál fue el rendimiento por hectárea de este cultivo? E D A C B 62. En una empresa química se compra una solución salina al 10 % recipientes de 500 cc (cm3), una solución salina al 20 % recipientes de 500 cc (cm3) y una solución salina al 50 % 3 recipientes de 1000 cc (cm ).¿Cuántos recipientes de cada tipo solución tendrá que comprar para preparar 12 000 cc (cm 3) solución al 26 %? en en en de de 63. Una piscina se puede llenar mediante tres llaves A, B y C. La llave A la puede llenar en 8 h. Si se usan juntas las llaves A y C, la piscina puede llenarse en 6 h. Si se usan juntas las llaves B y C, se tardan 10 h. ¿Cuánto tarda en llenarse la piscina si se usan las tres llaves a la vez? 64. Elabora un problema que conduzca a un sistema: a) Lineal con dos variables. 252

b) Lineal con tres variables. c) Cuadrático con dos variables. 253

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