advertisement

Метод Й. Виттенбурга (Сферические шарниры)

63 %
38 %
advertisement
Information about Метод Й. Виттенбурга (Сферические шарниры)
Education

Published on February 28, 2014

Author: tm_ssau

Source: slideshare.net

Description

Построение уравнений движения системы твёрдых тел, соединённых сферическими шарнирами (метод Й. Виттенбурга).
advertisement

Уравнения движения систем со сферическими шарнирами (метод Й. Виттенбурга) Юдинцев В. В. Кафедра теоретической механики Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) 28 февраля 2014 г.

Введение Рассматриваемый класс механических систем 0 сферический шарнир Структура взаимосвязей тел системы описывается ациклическим связанным графом – деревом. Одно из тел присоединено к телу 0, движение которого известно. Тела, связаны сферическими шарнирами. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 2 / 53

Введение Метод Й. Виттенбурга Для записи уравнений используются шарнирные координаты (углы Эйлера, Брайнта). В уравнения движения не входят реакции связей. Динамические уравнения: (1) ˙ A(q)ω = B(q). Кинематические уравнения: (2) ˙ q = f (ω). Й. Виттенбург Динамика систем твёрдых тел / М.: Мир, 1980. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 3 / 53

Уравнения движения Векторная форма Уравнения движения центра масс Fi – главный вектор внешних сил, действующих на тело i. Mi – главный момент, действующий на тело i. Xα – сила реакции в шарнире α. ciα , ciβ – шарнирные векторы. n Siα Xc , α mi ¨i = Fi + r i = 1, . . . , n. α=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 4 / 53

Уравнения движения Векторная форма Уравнения движения вокруг центра масс Li – момент количества движения тела i. Mi – главный момент, действующий на тело i. Xα – сила реакции в шарнире α. Yα – шарнирный момент в шарнире α. n ˙ Li = Mi + Siα (ciα × Xc + Yα ), α i = 1, . . . , n. α=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 5 / 53

Уравнения движения Векторная форма Система уравнений движения    mi ¨i = Fi +  r    ˙  Li = Mi +   Кафедра ТМ (СГАУ) n Sia Xc , a a=1 n i = 1, . . . , n Sia (cia × Xc a (3) + Ya ). a=1 Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 6 / 53

Уравнения движения Матричная форма Уравнения движения центра масс тела n Sia Xc , a r mi ¨i = Fi + i = 1, . . . , n. (4) a=1 объединяются в одно матричное уравнение m¨ = F + SXc , r (5) где столбцы векторов        c r1 L1 F1 X1  r2   L2   F2   Xc         2 r =  .  , L =  .  , F =  .  , Xc =  .  .  .   .   .  . . . . rn Ln Fn Xc n (6) m = diag(m1 , m2 , . . . , mn ) – диагональная матрица масс. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 7 / 53

Уравнения движения Матричная форма Уравнения движения вокруг центра масс n ˙ Li = Mi + Sia (cia × Xc + Ya ), a i = 1, . . . , n, (7) a=1 объединяются в одно матричное уравнение ˙ L = M + C × Xc + SY (8)   c     L1 X1 Y1 M1  L2   Xc   Y2   M2     2     c L =  . , X =  . , Y =  . , M =  .  .  .  .  .   .  .  .  . c Ln Xn Yn Mn (9) где  C – (n × n) матрица векторов с элементами: Cia = Sia cia , i, a = 1, . . . , n. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 8 / 53

Уравнения движения Матричная форма Система матричных уравнений m¨ = F + SXc , r ˙ L = M + C × Xc + SY. (10) (11) Умножив (10) слева на T = S−1 , можно выразить силы реакции Xc Xc = T(m¨ − F). r (12) и исключить из (11) силу реакции: ˙ L − CT × (m¨ − F) = M + SY r Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 9 / 53

Кинематика относительного движения Кинематика относительного движения тел ˙ L − CT × (m¨ − F) = M + SY r ˙ ˙ Между ¨i и ω i , которые входят в L, есть связь, определяемая r кинематикой относительного движения тел в системе. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 10 / 53

Кинематика относительного движения Кинематика относительного движения тел (ri+ (α) + ci+ (α)α ) − (ri− (α) + ci− (α)α ) = 0, α = 1, . . . , n. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. (13) 11 / 53

Кинематика относительного движения Кинематика относительного движения тел (ri+ (α)α + ci+ (α)α ) − (ri− (α) + ci− (α)α ) = 0, a = 1, . . . , n. (14) Уравнения (14) можно записать при помощи матрицы S: n Siα (ri + ciα ) = 0, a = 1, . . . , n. (15) i=0 Движение тела 0 известно (r0 (t), ω 0 (t)). Базис, связанный с телом 0 удобней поместить в первую шарнирную точку, соединяющую тело 0 с первым телом системы. В этом случае c0α = 0 для всех α = 1, . . . , n. n S0α r0 + (Siα ri + Ciα ) = 0, α = 1, . . . , n. (16) i=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 12 / 53

Кинематика относительного движения Векторы dij Векторы ri n S0α r0 + (Siα ri + Ciα ) = 0, α = 1, . . . , n, (17) i=1 Матричная форма r0 ST + ST r + CT 1n = 0. 0 (18) Умножив (18) слева на TT , можно выразить столбец радиус-векторов тел: r = r0 1n − (CT)T 1n . (19) CT – матрица с элементами dij : n dij = (CT)ij = Taj Sia cia , i, j = 1, . . . , n (20) a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 13 / 53

Кинематика относительного движения Векторы dij Векторы dij n dji = Tai Sja cja , i, j = 1, . . . , n. (21) a=1 Произведения Tai Sja отличны от нуля для дуг ua , которые принадлежат пути между s0 и si (Tai = 0) и которые инцидентны sj (Sja = 0). Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 14 / 53

Кинематика относительного движения Векторы dij Три случая взаимного положения вершин n dji = Tai Sja cja , i, j = 1, . . . , n. (22) a=1 si sj s1 u1 Кафедра ТМ (СГАУ) Если sj не лежит на пути от тела 0 к телу si - в этом случае ни одна из дуг не вносит вклад в сумму (24) и, следовательно, dij = 0; s0 Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 15 / 53

Кинематика относительного движения Векторы dij Три случая взаимного положения вершин n dji = Tai Sja cja , i, j = 1, . . . , n. (23) a=1 si c sj b Кафедра ТМ (СГАУ) Если sj лежит на пути от тела 0 к телу si - в этом случае вклад в сумму (24) вносят две дуги, обозначим их индексами b и c, и следовательно dij = cjb − cjc , поскольку Tbi Sjb = +1, Tci Sjc = −1, где b - индекс дуги ub , предшествующей вершине si . s0 Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 16 / 53

Кинематика относительного движения Векторы dij Векторы dij n Tai Sja cja , i, j = 1, . . . , n. dji = (24) a=1 si ub Если sj и si - одно тело, в этом случае только дуга ub предшествующая si : Sib = ±1, дает вклад в сумму и, следовательно dij = cib . s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 17 / 53

Кинематика относительного движения Векторы dij Определение вектора dji Если i = j, то вектор dji выходит из шарнирной точки, расположенной на теле j и ведущей к телу i и заканчивается в шарнирной точке тела j, ведущей к телу 0. шарнир, ведущий к телу 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 18 / 53

Кинематика относительного движения Векторы dij Определение вектора dji Если i = j, то вектор djj выходит из центра масс тела j и заканчивается в шарнирной точке тела j, ведущей к телу 0. шарнир, ведущий к телу 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 19 / 53

Кинематика относительного движения Векторы dij Определение вектора dji ∀ i, j : si < sj ∨ (si sj ∧ sj si ) → dij = 0 s4 s2 u4 u2 u3 s1 s3 u1 s0 d21 = d23 = d24 = d42 = d43 = d41 = d31 = d32 = 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 20 / 53

Кинематика относительного движения Векторы gij Векторы gij Подставим в уравнение движения ˙ L − CT × (m¨ − F) = M + SY r вторую производную по времени от r: ¨ ¨ = ¨0 1n − (CT)T 1n . r r ˙ ¨ L − CT × m(CT)T 1n − (CT) × (¨0 m1n − F) = M + SY r (25) ¨ gij – элементы матрицы (CT) × m(CT)T : n ¨ mk dik × djk , i, j = 1, . . . , n. gij = (26) k=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 21 / 53

Кинематика относительного движения Векторы gij Векторы gij n ¨ mk dik × djk , i, j = 1, . . . , n. gij = (27) k=1 Четыре случая сочетаний индексов i и j: 1 i = j; 2 si < sj ⇒ для ∀sk : si < sk , dik = dij ; 3 sj < si ⇒ для ∀sk : sj < sk , djk = dji ; 4 все прочие случаи. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 22 / 53

Кинематика относительного движения Векторы gij gij при i = j При i = j выражение n ¨ mk dik × djk , i, j = 1, . . . , n, gij = (28) k=1 принимает следующий вид: n ¨ mk dik × dik , i, j = 1, . . . , n. gij = (29) k=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 23 / 53

Кинематика относительного движения Векторы gij gij при si < sj При si < sj ∀sk : si < sk , dik = dij , (30) следовательно n n ¨ mk dik × djk = dij × gij = k=1 Кафедра ТМ (СГАУ) ¨ mk djk , i, j = 1, . . . , n. (31) k=1 Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 24 / 53

Кинематика относительного движения Векторы gij gij при sj < si При sj < si ∀sk : sj < sk , djk = dji , (32) следовательно n n ¨ mk dik × djk = gij = k=1 Кафедра ТМ (СГАУ) ¨ mk dik × dji , i, j = 1, . . . , n. (33) k=1 Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 25 / 53

Кинематика относительного движения gij при sj При sj si и si si и si Векторы gij sj sj ∀sk : или djk = 0 или dji = 0, следовательно (34) n ¨ mk dik × djk = 0. gij = (35) k=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 26 / 53

Кинематика относительного движения Векторы gij Векторы gij  ¨  n mk dik × dik ,  k=1   d × n m d , ¨ ij k=1 k jk gij = n ¨  k=1 mk dik × dji ,    0 Кафедра ТМ (СГАУ) si = sj si < sj sj < si в других случаях. Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. (36) 27 / 53

Дополненное тело. Барицентр. Дополненное тело Тело i с дополнительными сосредоточенными массами в шарнирных точках. В каждую шарнирную точку тела i помещается масса всех тел, прямо или косвенно закрепленных при помощи этого шарнира. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 28 / 53

Дополненное тело. Барицентр. Барицентр Для дополненного тела может быть определено положение центра масс Bi . Барицентр тела i – центр масс дополненного тела Bi . Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 29 / 53

Дополненное тело. Барицентр. Векторы bij Положение барицентра определяется векторами bij . Векторы bij удовлетворяют уравнениям n bij mj = 0. (37) j=1 Для системы, изображённой на рисунке bij = bik Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. (38) 30 / 53

Дополненное тело. Барицентр. Векторы bij и dij Векторы bij и dij связаны соотношениями: dij = bi0 − bij . dik = bi0 − bik . Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры (39) (40) 28 февраля 2014 г. 31 / 53

Дополненное тело. Барицентр. Упрощение gij Используя dij = bi0 − bij , i, j = 1, . . . , n.   ¨ ¨  n mk dik × dik , si = sj  n mk dik × dik ,  k=1  k=1     M d × b , s < s d × n m d , ¨ j0 i ¨ ij j ij k=1 k jk → gij = n ¨ ji , sj < si ¨ ji ,  M bi0 × d  k=1 mk dik × d      0. 0, в других случаях. (41) Пример преобразования для случая si < sj : n n ¨ mk djk → dij × dij × k=1 n ¨ mk bj0 − dij × k=1 n → dij × k=1 d2 ¨ mk bj0 − dij × 2 dt k=1 n ¨ mk bjk → M dij × bj0 k=1 0 M Кафедра ТМ (СГАУ) ¨ mk bjk → Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 32 / 53

Дополненное тело. Барицентр. Подставив выражения (41) для gij в уравнение (25) ˙ ¨ L − CT × m(CT)T 1n − (CT) × (¨0 m1n − F) = M + SY, r (42) [g]ij получим следующую систему уравнений:   n ¨ dij × bj0 + bi0 × ¨ mk dik × dik + M  ˙ Li + j:si <sj j=1 j:sj <si n − ¨ dji  − n dij × (mj ¨0 − Fj ) = Mi + r j=1 Sia Ya , i = 1, . . . , n, (43) a=1 Далее необходимо выразить через угловые скорости и ускорения тела ¨ ˙ ¨ векторы Li , bj0 , dji . Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 33 / 53

Момент количества движения тела Момент количества движения тела i i dm ρ ρ′ Ci d ii ρ = ρ − dii d ik a k 0 П а а а а аi ˙ ˙ (ρ − dii ) × (ρ − dii )dm ˙ ρ × ρ dm → Li = Li = m Кафедра ТМ (СГАУ) m Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 34 / 53

Момент количества движения тела i dm ρ ρ′ Ci d ii d ik a k 0 П а а а а аi Производная Li : dLi = dt Учитывая, что ρ (ρ − dii ) × (¨ − dii )dm = ρ ¨ mi m ρdm ¨ ρ × ρ. = 0: dLi ¨ ˙ = Li + mi dii × dii . dt Кафедра ТМ (СГАУ) (44) mi Сферические шарниры (45) 28 февраля 2014 г. 35 / 53

Момент количества движения тела Если выражению dLi ¨ ˙ = Li + mi dii × dii . dt n ¨ k=1 mk dik × dik , то получатся два первых члена в добавить сумму уравнении ¨ mk dik × dik + M  ˙ Li +   n j:si <sj j=1 n − ¨ dji  − ¨ dij × bj0 + bi0 × j:si <sj n dij × (mj ¨0 − Fj ) = Mi + r Sia Ya , i = 1, . . . , n, a=1 j=1 ¨ ˙ Li + n mk dik × dik – абсолютная производная по времени момента j=1 количества абсолютного движения дополненного тела i относительно его предшествующей шарнирной точки. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 36 / 53

Тензор инерции дополненного тела Тензор инерции дополненного тела Пусть Ki - тензор инерции дополненного тела i по отношению к его предшествующей шарнирной точке. Связь между Ki и центральным тензором инерции тела Ji : n mk (d2 E − dik dik ), i = 1, . . . , n. ik Ki = Ji + (46) k=1 Тензор инерции Ki отличается от тензора инерции тела Ji учётом сосредоточенных масс в шарнирных точках. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 37 / 53

Тензор инерции дополненного тела n mk (d2 E − dik dik ), i = 1, . . . , n. ik Ki = Ji + (47) k=1 Два первых члена уравнения движения можно выразить, используя угловую скорость вращения тела ω i : n ¨ ˙ mk dik × dik = Kiω i + ω i × Kiω i . ˙ Li + (48) j=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 38 / 53

Уравнения движения В выражении n n dij × (mj ¨0 − Fj ) = r n (bi0 − bij ) × ¨0 mj + r j=1 j=1 dij × Fj = j=1 n r dij × (mj ¨0 − Fj ) (49) = bi0 × ¨0 M − r j=1 множитель dij отличен от нуля только для тех значений j, которые удовлетворяют соотношению si ≤ sj . Учитывая это, преобразуем уравнения движения к виду   ¨ dij × bj0 + bi0 × (−¨0 + r ˙ Kiω i + ω i × Kiω i + M  j:si <sj ¨ dji ) + j:sj <si n dij × Fj = Mi + + j:si <sj Кафедра ТМ (СГАУ) Sia Ya , i = 1, . . . , n. (50) a=1 Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 39 / 53

Уравнения движения Производные векторов bj0 и dji Векторы bj0 и dji связаны с телом j, поэтому их производные определяются движением тела j: ¨ ˙ ω bj0 = ω j × bj0 + ω j × (ω j × bj0 ), i, j = 1, . . . , n, ¨ ˙ ω dji = ω j × dji + ω j × (ω j × dji ), i, j = 1, . . . , n. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. (51) (52) 40 / 53

Уравнения движения Уравнения движения ¨ ¨ После подстановки bj0 и dji   ˙ dij × (ω j × bj0 ) + bi0 × ˙ Kiω i + M  j:si <sj ˙ ω j × dji  = j:sj <si n Sia Ya , i = 1, . . . , n. (53) = Mi + Mi + a=1 где  ω Mi = −ω i × Kiω i − M  ω ω dij × (ω j × (ω j × bj0 )) − bi0 × ¨0 + r j:si <sj  +bi0 × ω ω j × (ω j × dji ) − dij × Fj , i = 1, . . . , n. (54) j:sj <si j:si ≤sj Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 41 / 53

Уравнения движения Тензорная запись векторного произведения Двойные векторные произведения выражаются через тензорные произведения следующим образом: ˙ ˙ dij × (ω j × bj0 ) = (bj0 · dij E − bj0 dij ) · ω j . (55) где bj0 · dij – скалярное произведение в координатной форме, записываемое в виде   bx T by  = ax bx + ay by + az bz . a b = ax ay az bz bj0 dij – диадное произведение в координатной форме, записываемое в виде:     ax ax bx ax by ax bz abT = ay  bx by bz = ay bx ay by ay bz  . az az bx az by az bz Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 42 / 53

Уравнения движения Тензоры Kij Уравнения  ˙ Kiω i + M   ˙ dij × (ω j × bj0 ) + bi0 × j:si <sj ˙ ω j × dji  = j:sj <si n Sia Ya , i = 1, . . . , n (56) = Mi + Mi + a=1 после замены векторных произведений на тензорные произведения принимают вид  ˙ Kiω i + M  ˙ (bj0 · dij E − bj0 dij ) · ω j + j:si <sj  n ˙ (dji · bi0 E − dji bi0 ) · ω j  = Mi +Mi + + Кафедра ТМ (СГАУ) Sia Ya , i = 1, . . . , n. a=1 j:sj <si Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 43 / 53

Уравнения движения Тензоры Kij Первые три слагаемых уравнения  ˙ Kiω i + M  ˙ (bj0 · dij E − bj0 dij ) · ω j + j:si <sj  n ˙ (dji · bi0 E − dji bi0 ) · ω j  = Mi +Mi + + объединяются при помощи тензоров Kij :  Ki ,    M (b · d E − b d ), j0 ij j0 ij Kij = M (dji · bi0 E − dji bi0 ),    0, Кафедра ТМ (СГАУ) Sia Ya , i = 1, . . . , n. a=1 j:sj <si Сферические шарниры i = j, si < sj , sj < si , в других случаях. 28 февраля 2014 г. (57) 44 / 53

Уравнения движения Тензоры Kij При помощи тензоров Kij уравнение движения можно записать в следующем виде: n n ˙ Kij · ω j = Mi + Mi + j=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Sia Ya , i = 1, . . . , n. (58) a=1 Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 45 / 53

Уравнения движения Уравнения движения n n ˙ Kij ω j = Mi + Mi + j=1 Sia Ya , i = 1, . . . , n (59) a=1 где  Ki ,    M (b · d E − b d ), j0 ij j0 ij Kij = M (dji · bi0 E − dji bi0 ),    0, Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры i = j, si < sj , sj < si , в других случаях. 28 февраля 2014 г. (60) 46 / 53

Уравнения движения Вектор Mi  ω Mi = −ω i × Ki · ω i − M  ω ω dij × (ω j × (ω j × bj0 ))+ j:si <sj   ω ω j × (ω j × dji ) − ¨0  − r +bi0 ×  j:sj <si Кафедра ТМ (СГАУ) dij × Fj , i = 1, . . . n. j:si ≤sj Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 47 / 53

Координатная форма уравнений Преобразование координат Выполнение операций необходимо проводить над координатными столбцами в одной системе координат. Необходимо использовать матрицы ортогональных преобразований: Ai – матрица преобразования координат из базиса i в базис 0 Aij – матрица преобразования координат из базиса j в базис i Матрицы Ai определяются из кинематических уравнений, интегрируемых совместно с динамическими уравнениями. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 48 / 53

Координатная форма уравнений Тензоры Kij в базисе 0 (0) Kij =  (i) Ai Ki , i = j,     (j) T (i) (j) (i) T M (Aij b ) d E − Aj b (Ai d ) , si < sj , j0 ij j0 ij M (Aij d(j) )T b(i) E − Aj d(j) (Ai b(i) )T , sj < si ,  ji i0 ji i0    0, в других случаях. n (i) Ki = (i) Ji (i) (i)T mk (|dik |2 E − dik dik ), i = 1, . . . , n. + (61) k=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 49 / 53

Координатная форма уравнений Координатная форма вектора Mi  (i) Mi (i) (i) (j) (j) (j) ˜ (i) ˜ ˜ dij Aij ω j ω j bj0 + (i) ˜ = −ω i Ki ω i − M  j:si <sj   (0) (j) (j) (j) ˜ ˜ r Aij ω j ω j dji − AiT ¨0  − ˜ (i) +bi0  j:sj <si (0) ˜ (i) dij AiT Fj , i = 1, . . . n. (62) − j:si ≤sj (0) Mi Кафедра ТМ (СГАУ) (i) = Ai Mi Сферические шарниры (63) 28 февраля 2014 г. 50 / 53

Кинематические уравнения Кинематические уравнения Для определения матриц Ai необходимо к динамическим уравнениям добавить кинематические уравнения, связывающие производные параметров, определяющих ориентацию каждого тела с его угловой скоростью: углы Эйлера; углы Брайнта; кватернионные параметры; элементы матрицы поворота. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 51 / 53

Кинематические уравнения Кинематические уравнения для углов Брайнта (1-2-3) Кинематические уравнения      (i)  cos αi3 sin − cos αi3 0 ωix αi1 ˙ cos αi2 αi2  (i)  αi2  =  ˙ sin α3 cos α3 0 ωiy  . αi3 ˙ − cos α3 tan α2 sin α3 tan α2 1 ω (i) iz Матрица преобразования координат из базиса i в базис 0:   c2 c3 −c2 s3 s2 Ai = c1 s3 + s1 s2 c3 c1 c3 − s1 s2 s3 −s1 c2  . s1 s3 − c1 s2 c3 s1 c3 + c1 s2 s3 c1 c2 (64) (65) где s1 = sin αi1 , s2 = sin αi2 , s3 = sin αi3 , c1 = sin αi1 , c2 = cos αi1 , c3 = cos αi3 . Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 52 / 53

Кинематические уравнения Кинематические уравнения для углов Эйлера (3-1-3) Кинематические уравнения    ˙ ψi  θi  =  ˙ ϕi ˙ sin ϕi sin θi cos ϕi sin θi cos ϕi − sin ϕi − sin ϕi ctg θi − cos ϕi ctg θi   (i)  0 ωix  (i)  0 ωiy  . 1 ω (i) (66) iz Матрица преобразования координат из базиса i в базис 0:   cψi cϕi − sψi cθi sϕi −cψi sϕi − sψi cθi cϕi sψi sθi Ai =  sψi cϕi + cψi cθi sϕi −sψi sϕi + cψi cθi cϕi −cψi sθi  . sθi sϕi sθi cϕi cθi (67) где sψi = sin ψi , sθi = sin θi , sϕi = sin ϕi , cψi = cos ψi , cθi = cos θi , cϕi = cos ϕi . Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 28 февраля 2014 г. 53 / 53

Add a comment

Related presentations

Related pages

Метод Й. Виттенбурга (сферические шарниры)

Опубликовано admin в 28 Февраль, 2014 - 22:26. Метод Й. Виттенбурга (Сферические шарниры) from ...
Read more

CLASSICAL MECHANICS - classmech.ru

Виттенбурга (сферические шарниры) ... Метод Й. Виттенбурга (Сферические шарниры) ...
Read more

Кафедра теоретической механики | СГАУ | Самара

Метод Й. Виттенбурга ... Виттенбурга (Сферические шарниры) from Theoretical Mechanics Department.
Read more

системы тел | Кафедра теоретической механики | СГАУ | Самара

All time: 1st IAA Conference on Dynamics and Control of Space Systems, DyCoSS' 2012, Porto, Portugal; Второй этап региональной ...
Read more